2.1 认识实数 课件 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学课件围绕“认识实数”展开，含“不可比的数”和“实数”两课时，核心知识点包括无理数的引入、实数的概念与分类、实数与数轴的对应关系。通过拼图活动（剪拼边长1的小正方形得大正方形）和有理数化小数的规律探究，从有理数自然过渡到无理数，搭建知识递进支架。 其亮点在于以活动探究和逻辑推理驱动教学，拼图活动让学生直观感受无理数产生背景，培养数学眼光中的几何直观；表格估算“不可比的数”大小及证明其非有理数，发展数学思维中的推理意识；数轴表示实数体现数学语言的模型意识。学生能从具体到抽象理解实数本质，教师可借助结构化活动与练习提升教学效率。

2.1 认识实数 2.1 认识实数 第1课时 不可比的数 1.通过拼图活动,感受不可比的数产生的实际背景和引入的必要性。 2.估计“不可比的数”的大小。 学 习 目 标 什么叫有理数？ 整数 正整数：如 1，3，… 零：0 负整数：如 －1，－3，… 分数 正分数：如 ,5.2,… 负分数：如，－3.5,… 有理数 除了有理数外还有没有其他的数呢？ 知 识 回 顾 活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 1 1 讲 授 新 课 （2）a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？说说你的理由。 （1）大正方形的面积是多少呢？如果设大正方形的边长 为 a，则 a 满足什么条件？ 因为S大正方形＝2，所以 a2＝2。 ∵ a2＝2, 而 12＝1, 22＝4 ， ∴ 12＜a2＜22 。 ∴ 1＜a＜ 2，a 不是整数。 讲 授 新 课 （3）a 可能是分数吗？说说你的理由。并小组内交流。 因为一个整数的平方一定是整数，一个分数的平方一定是分数，所以 a 不可能是分数。 ☀归纳 事实上，满足 a2＝2 的 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数。 讲 授 新 课 思考 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为 b，b 满足什么条件？ (3) b 是有理数吗？ b2＝5 ∵ b2＝5，4＜b2＜9 ，∴ 2＜b＜3， ∴ b不是整数. ∵ b2＝5，∴ b 不是分数. b 既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数. S＝22＋12＝5 讲 授 新 课 a2＝2 b2＝5 通过上面两个问题我们发现： 数 a，b 确实存在，但是它们不是有理数。 讲 授 新 课 1.在直角三角形中两个直角边长分别为 2 和 3,则斜边的长( ) A.是有理数 B.不是有理数 C.不确定 D.为 4 B 针 对 练 习 （1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ （2）边长 a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。 2 探究 那么，面积为 2 的正方形的边长 a 究竟是多少呢？ 1 a 面积为2 1＜a＜2 讲 授 新 课 （3）将探索过程整理在下列表格中： 边长a 面积S＝a2 1＜S＜4 1.96＜S＜2.25 1.988 1＜S＜2.016 4 1.999 396＜S＜2.002 225 1.999 961 64＜S＜2.000 244 49 1.4＜a＜1.5 1.41＜a＜1.42 1.414＜a＜1.415 1.414 2＜a＜1.414 3 1＜a＜2 1.52＝2.25 1.42＝1.96 1.412＝1.9881 1.422＝2.0164 1.432＝2.0449 1.442＝2.0736 1.452＝2.1025 1.4152＝2.002225 1.4142＝1.999396 讲 授 新 课 💡想一想：还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？ 借助计算器，我们可以无限的计算下去，a＝1.414 213 56…， 所以 a 不是一个有限小数,它是一个无限不循环小数。 我们可以根据 a 的精确度的要求，取不同的近似值： (结果精确到0.1) (结果精确到0.01) (结果精确到0.001) 讲 授 新 课 (4)面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少? b 可能是有限小数吗? 利用计算器计算： b＝2.236067978…，它也是一个无限不循环小数 ☀归纳 事实上， a＝1.414 213 56…, b＝2.236067978…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 讲 授 新 课 例 在 △ABC 中，AB ＝AC , AD 是底边上的高，如图，若 AC ＝10 cm , BC ＝ 8 cm。 (1)求以 AD 的长为边长的正方形的面积； (2)判断 AD 是否为有理数，并说明理由。 解:(1)∵ AB＝AC＝10 cm，AD⊥BC， ∴ BD＝CD＝4 cm, AD²＝AB²－BD²＝10²－4²＝84, ∴以 AD 的长为边长的正方形的面积为 84 cm²。 (2)∵AD²＝84, ∴AD 既不是整数也不是分数，即 AD 不是有理数。 典 例 精 析 1.一个长方形的长与宽分别是 6 cm , 3 cm,则它的对角线的长是( ) A.整数 B.分数 C.有理数 D.无限不循环小数 2. 若 x2＝27,则 |x| 介于正整数　 　和　 　之间。  D 5 6 随 堂 练 习 Lenovo (L) - T2与本节无关？ 3.如图,在 3×3 的方格中,有一个阴影正方形,设每一个小方格的边长为 1 个单位,请解决下面的问题。 (1)阴影正方形的面积是多少? (2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间? 解:(1) 5 。 (2) 2 和 3 之间。 随 堂 练 习 有理数 不可比的数 有限小数 无限循环小数 无限不循环小数 课 堂 总 结 2.1 认识实数 第2课时 实数 1.了解无理数的基本概念。（重点） 2.了解实数的意义，能对实数按要求分类。(重点） 3.了解实数范围内相关概念的意义。(重点） 4.了解实数与数轴上点的一一对应关系.能用数轴上的点表示 无理数。(难点） 学 习 目 标 问题1 一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗? 问题2 把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3, , ， ， 。 3＝3.0, ＝0.8, ＝0.， ＝－0.1，＝0.. ☀归纳 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 新 课 导 入 无理数有很多，常见的有以下形式： ①一般的无限不循环小数； ② π 及含有 π 的式子表示的数； ③有规律的无限不循环小数； ④开方开不尽的数(后边会学习)。 如 π＝3.14159265…, 0.585885888588885… (相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1 ) 无限不循环小数称为无理数。 想一想 你能找到其他的无理数吗? 讲 授 新 课 例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，－ ，0. ， 0.1010001000001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加2）。 解：有理数有：3.14，－，0. ； 无理数有：0.1010001000001…（相邻两个 1 之间0 的个数逐次加 2）。 ☀归纳 有理数和无理数统称为实数。 典 例 精 析 23 思考 （1）请你把下列各数填入下面相应的集合内。 3.14，－ ，0. ， 0.1010001000001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加2）。 … 正数集合 … 负数集合 3.14，0. ， 0.1010001000001… － 讲 授 新 课 思考 （2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ ① 按定义分： 实数 有理数 无理数 正有理数 0 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 ② 按性质分： 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 讲 授 新 课 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 例如： 与 互为相反数 5与 互为倒数 2 －2 |3|＝3，| 0|＝，|－|＝。 新 知 小 结 实数性质： 1.实数 a 的相反数是 。 2.实数 a 的绝对值是 ，且有|a|＝。 3.实数 a 的倒数是 。 －a |a| 讲 授 新 课 (3)绝对值等于 5 的数是 ，－7 的平方是 。 (1)正实数的绝对值是 ，0 的绝对值是 ，负实数的绝对值是　 。 它本身 0 它的相反数 49 (2)3的相反数是 ，绝对值是 。 3 ±5 针 对 练 习 (1)无理数是无限不循环小数； 有理数是有限小数或无限循环小数。 (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能。 有理数与无理数的主要区别: 新 知 小 结 探究 上节课讨论的两个正方形，边长分别是 a , b ,且满足 a²=2, b²=5。 (1)如图, OA=OB , 数轴上点 A 对应 a , b 中的哪个数? （1）通过计算器计算，得 a＝1.414 213 56…,b＝2.236067978…， 所以，点 A 对应数 a 。 讲 授 新 课 例2 在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序进行排列，用“＜”连接： －π,4,－1.5。 解：将点在数轴上表示，如图所示， -π · -1.5 · 4 · ∴－π＜－1.5＜4。 典 例 精 析 例3 在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度是无理数的线段。 解：长度为有理数的线段：AB、EF； 长度为无理数的线段：CD、GH、MN。 C D G H A B F E M N 讲 授 新 课 1. 在 ，，0.7070070007…(每两个 7 之间 0 的个数逐渐加1)，0.6 中不是有理数有( )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 2. 下列说法中，正确的有（ ） ①无限小数都是有理数；②不循环小数不是有理数； ③不是有理数的数都是无限小数；④ 0 是有理数。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 随 堂 练 习 3.将下列各数按要求分类： －，－1.，π，3.1416，，0，3.14，－0.2020020002……（相邻两个 2 之间 0 的个数逐次加 1 ）有理数有 ， 无理数有__________________________，分数有 ， 整数有 。 －，－1.，3.1416，，0，3.14 0 π，－0.2020020002…… －，－1.，3.1416，，3.14 随 堂 练 习 无理数 认识无理数 实数与数轴上点的关系及大小比较 实数的概念及分类 课 堂 总 结 $