2.2 平方根与立方根 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕平方根（算术平方根、平方根）、立方根及估算展开，通过勾股定理填空、复习旧知、魔方体积问题、实际情境等导入方式，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于注重概念抽象与推理应用，以具体问题抽象概念培养数学眼光，通过对比辨析发展数学思维，结合实际问题解决强化数学语言。如非负性应用、夹逼法估算等实例，助力学生提升能力，教师教学更高效。

2.2 平方根 Lenovo (L) - 标题 平方根与立方根 2.2 平方根 第1课时 算数平方根 1.了解算术平方根的概念及其性质。（重点） 2.会求一个数的算术平方根。（难点） 学 习 目 标 x2＝ ， y2＝ ， z2＝ ， w2＝ 。 请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： 2 3 4 5 x,y,z,w 中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？ 新 课 导 入 4 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。 记作： 读作：根号 a 特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0 ，即＝0。 根号 被开方数 新 知 小 结 5 例1 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； （3）； （4）14。 非平方数的算术平方根只能用根号表示。 解: (1)因为 302＝900， 所以 900 的算术平方根是 30，即＝30; (2)因为 12＝1， 所以 1 的算术平方根是 1，即＝1； (3)因为()2＝，所以 的算术平方根是 ，即 ＝; (4) 14 的算术平方根是 。 典 例 精 析 算术平方根的求解方法 求非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根。 x2＝a(a≥0) x＝ 互为逆运算 a 的算术平方根 讲 授 新 课 思考 一个正数的算术平方根是一个________数； 负数有算术平方根吗？ 0 的算术平方根是________； 正 0 算术平方根的性质： 非负数 算术平方根具有双重非负性 (a≥0) 负数没有算术平方根． 讲 授 新 课 解: ∵|m－1|≥0， ≥0， 又|m－1|＋＝0, ∴|m－1|＝0，＝0， ∴ m＝1,n＝－3, ∴ m＋n＝1＋(－3)＝－2。 例2 若|m－1|＋＝0,求 m＋n 的值。 ☀归纳 几个非负数的和为 0，则每个数均为 0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根。 典 例 精 析 探究 (1)在上面例 1 中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点? (2)在上面例 1 中，＝30,也就是 ＝30。一般地，当a≥0时，＝a 成立吗? 这些数正好是某个正有理数的平方 a＜0时，＝a 成立吗? ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ； 2 3 0.5 当 a≥0 时，＝a 讲 授 新 课 ＝ ；＝ ；＝ ；＝ 。 2 3 0.5 当 a＜0 时，＝－a (3)()²＝a 成立吗?这里的 a 是什么数?你是怎么理解的? ()2＝ ； ()2＝ ； ()2＝ ； ()2＝ 。 2 0.5 0 不成立 当 a≥0 时，()²＝a 讲 授 新 课 例3 自由下落物体下落的距离 s（单位：m）与下落时间 t（单位：s）的关系为 s＝4.9t2。有一铁球从 19.6 m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解:将 s＝19.6 代入公式 s＝4.9t2 ， 得 t2＝4， ∴ t＝＝2。 即铁球到达地面需要 2 s。 典 例 精 析 12 1．下列说法正确的是（ ） A．5 是 25 的算术平方根 B．16 是 4 的算术平方根 C．－6 是 (－6)2 的算术平方根 D．0 没有算术平方根 2．49 的算术平方根是（ ） A．9 B．－9 C．±9 D．±49 3． 的算术平方根是（ ） A．3 B．±3 C． D．± A A C 随 堂 练 习 4．1.44 的算术平方根为 ，13 的算术平方根为 ， (－7)2 的算术平方根为 ； 5． ＝ ， ＝ ，＝ ， ＝ ,()2＝ ， ＝ 。 6．若一个数的算术平方根是 6，则这个数为 ； 是 的算术平方根。 1.2 7 11 0.7 25 3 36 6 随 堂 练 习 算术平方根的概念 算术平方根 算术平方根的应用 当 a≥0 时，＝a，()²＝a；当 a＜0 时，＝－a。 课 堂 总 结 2.2 平方根 第2课时 平方根 1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与 开方互为逆运算。（重点） 2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别 与联系。（难点） 3.经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养 求同和求异的思维方法。 学 习 目 标 2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。 加法与减法互逆；乘法与除法互逆。 💡思考 乘方有没有逆运算？ 1.什么叫算术平方根？ 如果一个正数 x 的平方等于 a，即＝a 那么这个正数x就叫做a的算术平方根,表示为 (a≥0)。 复 习 导 入 18 （1）3 的平方是 9，还有其他的数，它的平方也是 9 吗? （2）平方等于 的数有几个? 平方等于 0.64 的数呢? 3 的平方是 9 ，－3 的平方也是 9。 即 32＝9，(－3)2＝9。 平方等于的数有2个，即和； 平方等于 0.64 的数也有2个，即±0.8。 正数 3 叫 9 的算数平方根，那 －3 是 9 的什么呢？ （3）平方等于正数的数都有几个，它们有什么关系？ 平方等于正数的数有2个，它们互为相反数。 讲 授 新 课 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即x2＝a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 例如：(±4)2＝16，则 4 和 －4 都是 16 的平方根； 即 16 的平方根是 4 和 －4； 其中，4 还是 16 的算术平方根。 新 知 小 结 思考 (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点? (2)一个正数有几个平方根? 0 有几个平方根?负数呢? 一个数的平方根有两个，一个数的算术平方根只有一个。 ☀平方根的性质： 因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根。 ① 一个正数有两个平方根，两个平方根互为相反数。 ② 0 只有一个平方根，它是 0 本身。 ③ 负数没有平方根。 讲 授 新 课 根号 被开方数 （a是非负数） 读作：正、负根号 a。 正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根 ,另一个是 ,它们互为相反数。 记作： 新 知 小 结 例1 求下列各数的平方根: （1）64； （2）； （3）0.0004； （4）； （5）11。 解：（1）∵＝64，∴ 64 的平方根为±8，即±＝； （2）∵＝，∴ 的平方根为 ±，即±＝； （3）∵＝，∴ 的平方根为 ±，即 ±＝； （4）∵＝，∴ 的平方根为 ±，即±＝； （5）11 的平方根为 ±。 典 例 精 析 平方根 算术平方根 联 系 区 别 ☀平方根与算术平方根的联系与区别 一个正数有两个平方根，其中正平方根就是算术平方根 包含关系 相同性 只有非负数才有平方根和算术平方根 0 的平方根和算术平方根都是 0。 表示方法不同 个数不同 正数有两个平方根 正数只有一个算术平方根 新 知 小 结 想一想：开平方与平方运算有什么关系呢？ （a≥0） （a≥0） 互为 逆运算 ☀求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方， a 叫做被开方数。 讲 授 新 课 例2 求下列各式的值： (1)； (2)－； (3)。 解：(1)15； (2)－； (3)8。 典 例 精 析 1．代数式 x2＋1,,|y|,(m－1)2 中一定是正数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x＞－ B．x≥－ C．x＞ D．x≥ 3．下列说法中，错误的是（ ） A．4 的算术平方根是 2 B． 的平方根是 ±3 C．121 的平方根是 ±11　　　　　 D．－1 的平方根是 ±1 A D D 随 堂 练 习 4．若 5＋ 的小数部分为 a，5－的小数部分为 b，求 a＋b 的值。 解：∵ 3＜＜4 ， ∴ 5＋ 的整数部分为 8， 5－ 的整数部分为 1， ∴ 5＋ 的小数部分 a＝5＋－8＝－3， 5－的小数部分 b＝5－－1＝4－， ∴ a＋b＝－3＋4－＝1。 随 堂 练 习 平方根的概念 平方根 开平方及相关运算 课 堂 总 结 2.2 平方根与立方根 第3课时 立方根 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。（重点） 2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为 逆运算。（重点，难点） 学 习 目 标 16的平方根是______； 2.平方根的定义 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个数叫做 a 的平方根。记作：x＝。 1.算术平方根的定义 一般地，如果一个非负数 x 的平方等于a，即 x2＝a 那么这个非负数 x 叫做 a 的算术平方根。记作：x＝。 －16的平方根________； 0的平方根是________。 没有 0 3.你还记得吗？ ±4 复 习 导 入 如图,一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个体积为 216cm³ 的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少? 解：∵魔方是由 27 个小正方体组成， ∴每个小正方体的体积为 217÷27＝8(cm3)， ∵ 23＝8， ∴每个小正方体的棱长是 2 cm 。 讲 授 新 课 ☀立方根的概念 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即＝a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫三次方根。 如：2是 8 的立方根， － 是 － 的立方根， 0 是 0 的立方根。 新 知 小 结 思考（1）一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能 有几个呢？ ☀立方根的表示 每个数 a 都有一个立方根。 根指数 被开方数 其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略。 读作:三次根号 a， 记作: 讲 授 新 课 思考（2）根据立方根的意义填空： 因为( )3＝8，所以8的立方根是（　）； 因为( )3 ＝0，所以0的立方根是（　）； 因为( )3 ＝－27，所以－27的立方根是（ ）。 （3）正数有几个立方根？0 有几个立方根？负数呢？ 0 2 －3 0 －3 2 都只有一个立方根。 ☀正数的立方根是正数， 0 的立方根是 0 ， 负数的立方根是负数。 立方根是它本身的 数有 1, －1, 0； 平方根是它本身的数只有0。 讲 授 新 课 下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根。其中，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 D 针 对 练 习 ☀求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方。 类似开平方与平方，开立方与立方也互为逆运算。 立方运算 开立方运算 x3＝a x＝ a为任意数 互为 逆运算 新 知 小 结 例1 求下列各数的立方根: （1）－27；（2）；（3）0.216；（4）－5。 (4) －5 的立方根是 。 解:（1）∵(－3)3＝－27， ∴－27的立方根是－3，即 （2）∵()3＝，∴ 的立方根是 ，即 （3）∵3＝， ∴ 的立方根是 即 典 例 精 析 探究 (1)在例 1 中，一些数的立方根的结果没有“”了，这些数有什么特点? 这些数正好是一个有理数的立方. (2)在例 1 中，＝－3,也就是 ＝－3。一般地，＝a 成立吗? ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ；＝ 。 规律：对于任何数 a 都有 ＝a 。 2 －2 －3 3 0 讲 授 新 课 ()3＝ ， ()3＝ ； ()3＝ ，()3＝ ； ()3＝ 。 探究 (3) ()³＝a 成立吗? 规律：对于任何数 a 都有()³＝a 。 8 －8 27 －27 0 讲 授 新 课 所以 － 。 因为 ＝ ，－ ＝ ； ☀思考 你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数 a 与－a的立方根的关系吗? －2 －2 ＝ 互为相反数的数的立方根也互为相反数。 因为 ＝ ，－ ＝ ； －3 －3 所以 － 。 ＝ ＝－ 。 探究 (4)填空并观察： 讲 授 新 课 例2 求下列各式的值: 典 例 精 析 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 可以为任何数 非负数 ± 平方根与立方根的区别和联系 新 知 小 结 2.要使＝3－k，k 的取值为（ ） A.k≤3 B.k≥3 C.0≤k≤ 3 D.一切实数 3.一个数的平方等于 64，则这个数的立方根是________。 1.－64 的立方根是（ ） A.4 B.－4 C.－ D. B D 2或－2 随 堂 练 习 4.将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解:∵ 600＋129＝729, 729 的立方根是 9， ∴正方体的棱长为 9 cm。 答：这个正方体的棱长为 9 cm。 随 堂 练 习 立方根的概念及性质 立方根 开立方及相关运算 课 堂 总 结 2.2 平方根与立方根 第4课时 估算 1.了解估算的基本方法。(重点) 2.学会使用计算器求平方根和立方根。（重点） 3.能够运用估算解决生活中的实际问题。(难点) 学 习 目 标 已知：游乐园门票82元/人。 周末我们小组的 7 名同学约好一起去游乐园玩，带550元，购吗? 82×7＝574元， 574＞550，不够。 你还能想到更快速的判断方法吗? 解：80×7＝560＞550。 估算法 情 境 导 入 解：若公园的宽为 1000 m，则长为 2000 m， S＝2000×1000 ＝2000000＞400000 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2。 (1)公园的宽大约是多少？它有 1000 m 吗？ 1000m 2000 m S=400 000 m2 所以公园的宽没有 1000 m。 讲 授 新 课 解：设公园的宽为 x m，则长为 2x m，得： 2x·x＝400 000 x＝ x≈450 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000m2。 (2)如果要求结果精确到 10 米，它的宽大约是多少？ x 2x S=400000 讲 授 新 课 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2。 (3)该公园中心有一个圆形花园，它的面积是 800 m2，你能估计它的半径吗？(误差小于 1 米) S=800 r 解：设花园的半径为 r 米，得 πr2＝800 r2≈254.8 r＝ r≈16 怎么估算无理数的大小？ 讲 授 新 课 探究1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？ 通过“精确计算”可比较 两个数的大小关系 讲 授 新 课 54 探究2 你能估算无理数 的大小吗？（结果精确到 1） 注意：精确到 1 是四舍五入到个位。 解：∵()3＝900， ∴9.53＜900＜103。 ∴9.5＜＜10。 所以的估算值是10。 夹逼法 讲 授 新 课 探究3 宽与长之比为 长方形称为“黄金矩形”。你能比较 与 的大小吗? 解：∵＜＜， ∴2＜＜3。 ∴1＜＜2。 ∴ ＜ 。 方法：估值法。 思路：同分母分数，分子越大，分数值就越大。 讲 授 新 课 例1 怎样估算无理数 (误差小于 0.1)? 解：∵()²＝12.5, ∴ 3＜＜4。 ∴ 的整数部分是 3。 ∵ 3.5²＜12.5＜3.6², ∴ 3.5＜＜3.6。 ∴ 的值约是 3.5 或 3.6。 典 例 精 析 例2 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子的底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定。如图，现有一架长度为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达 5.6 m 高的墙头吗？ 典 例 精 析 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达 5.6 m 高的墙头。 解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为 x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的 。 根据勾股定理，得： x2＋(×6)2＝62， 即 x2＝32，x＝。 ∵ 5.62＝31.36＜32, ∴ ＞5.6。 典 例 精 析 除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算。 对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数 ； 对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数 。 不同计算器可能会存在不同的用法。 ■ 3 SHIFT 讲 授 新 课 思考 (1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键?利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1)：① ；②。 解：① ，显示2.426 9 ； ② ，显示－10.871 8。 5 . － 1 ■ SHIFT 讲 授 新 课 思考 (2)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。 都符合一个规律： 计算的结果越来越接近1。 讲 授 新 课 1.下列整数中，与最接近的是 ( 　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 2. 下列计算结果正确的是(　 ) C 3. 通过估算，下列不等式不成立的是（　 　） B 随 堂 练 习 4. 估算 的值是在（　） A. 2 与 3 之间 B. 3 与 4 之间 C. 4 与 5 之间 D. 5 与 6 之间 C 5. 面积为 10 m2 的正方形地毯，它的边长介于（　　） A. 2 m 与 3m 之间 B. 3m 与 4m 之间 C. 4m与 5m 之间 D. 5m 与 6m 之间 B 6. 比较 2，， 的大小，正确的是（　　） A 随 堂 练 习 估算无理数的大小 估算 用估算法比较两个数的大小 用计算器探索数的规律 使用计算器进行开方运算 课 堂 总 结 $