2.3.1二次根式及乘除运算法则课件2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、性质及乘除运算法则，通过“旧识回顾”复习平方根与算术平方根，再“创设情境”呈现含二次根式的式子引导学生观察共同特征，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于注重数学思维与应用意识，通过计算示例让学生猜想验证乘除法则培养推理能力，结合长方形面积、包装铁盒容积等实际问题提升应用意识。课堂小结系统梳理知识，含分层练习与详细解析，助力学生提升运算能力，方便教师高效教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 2.3.1二次根式及乘除运算法则 第二章 实数 北师大版八年级上册2.3.1 二次根式及乘除运算法则 练习题 本节核心考点：一般地，形如$$\sqrt{a}(a\ge0)$$的式子叫做二次根式，其中被开方数$$a$$必须是非负数。核心性质与运算法则：1. $$\sqrt{a}\ge0(a\ge0)$$（双重非负性）；2. $$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\ge0,b\ge0)$$（乘法法则）；3. $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\ge0,b>0)$$（除法法则）。 最简二次根式要求：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。二次根式乘除运算结果必须化为最简二次根式。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 二次根式$$\sqrt{x-2}$$有意义，则x的取值范围是________。 2. 计算：$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=$$________，$$\sqrt{12}\div\sqrt{3}=$$________。 3. 化简$$\sqrt{18}=$$________，$$\sqrt{\frac{1}{4}}=$$________。 4. 若$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{30}$$，则a=________。 5. 二次根式$$\sqrt{3}、\sqrt{12}、\sqrt{5}、\sqrt{\frac{1}{2}}$$中，最简二次根式有________个。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（） A. $$\sqrt{-3}$$ B. $$\sqrt{x}$$ C. $$\sqrt{5}$$ D. $$\sqrt[3]{4}$$ 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（） A. $$\sqrt{20}$$ B. $$\sqrt{7}$$ C. $$\sqrt{0.2}$$ D.$$\sqrt{\frac{2}{3}}$$ 3. 计算$$\sqrt{3}\times\sqrt{12}$$的结果是（） A. 6 B. $$\sqrt{15}$$ C. 36 D. 4 4. 下列运算正确的是（） A. $$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{8}\div\sqrt{2}=2$$ C. $$\sqrt{4}=\pm2$$ D. $$\sqrt{-9}=-3$$ 5. 若$$\sqrt{\frac{x}{x-1}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}$$成立，则x的取值范围是（） A. $$x\ge0$$ B. $$x>1$$ C. $$x\ge1$$ D. $$x e1$$ 三、计算与解答题（共60分） 1.（20分）化简下列二次根式： （1）$$\sqrt{48}$$ （2）$$\sqrt{50}$$ （3）$$\sqrt{\frac{9}{16}}$$ （4）$$\sqrt{27}$$ 2.（20分）利用乘除法则计算，结果化为最简二次根式： （1）$$\sqrt{5}\times\sqrt{20}$$ （2）$$\sqrt{24}\div\sqrt{6}$$ （3）$$\sqrt{1\frac{1}{3}}\times\sqrt{27}$$ （4）$$\sqrt{45}\div\sqrt{5}$$ 3.（20分）已知长方形的长为$$\sqrt{32}\mathrm{cm}$$，宽为$$\sqrt{8}\mathrm{cm}$$，求长方形的面积。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. $$x\ge2$$ 2. 4、2 3. $$3\sqrt{2}$$、$$\frac{1}{2}$$ 4. 5 5. 2 选择题答案 1.C 2.B 3.A 4.B 5.B 解答题详细解析 1. 解： （1）$$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$$； （2）$$\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$$； （3）$$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$$； （4）$$\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}$$。 2. 解： （1）$$\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{5\times20}=\sqrt{100}=10$$； （2）$$\sqrt{24}\div\sqrt{6}=\sqrt{24\div6}=\sqrt{4}=2$$； （3）$$\sqrt{1\frac{1}{3}}\times\sqrt{27}=\sqrt{\frac{4}{3}\times27}=\sqrt{36}=6$$； （4）$$\sqrt{45}\div\sqrt{5}=\sqrt{45\div5}=\sqrt{9}=3$$。 3. 解：长方形面积=长×宽 $$S=\sqrt{32}\times\sqrt{8}=\sqrt{32\times8}=\sqrt{256}=16\mathrm{cm^2}$$ 答：长方形的面积为16平方厘米。 五、易错点总结 1. 二次根式有意义的前提：被开方数非负，负数没有二次根式； 2. 乘除运算误区：根号内外数不能直接相乘除，必须先将根号内整体运算再开方； 3. 结果必须化简：含开得尽方的因数、分母在根号内的，都要化为最简二次根式； 4. 除法法则成立条件：被开方数非负、除数对应的被开方数大于0，切勿忽略取值范围。 旧识回顾 1．什么是平方根？ 2．什么是算术平方根？ 3．算术平方根的性质是什么？ 平方根又叫二次方根，表示为± 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根 双重非负性： ≥0(a≥0)．互逆性： ＝|a|＝ ( )2＝a(a≥0) 它们都含有开平方运算(根指数都为 2) 被开方数都是非负数 创设情境，导入新课 这些式子有什么共同特征呢? 一般地，形如 ( a ≥ 0 ) 的式子叫作二次根式，a 叫作被开方数. a可以是数，也可以是式 概 念： 二次根式两个必备特征 内在特征：被开方数a ≥ 0 外貌特征：含有“ ” 4 【拓展训练】 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ x － 3 ≥ 0 x ≥ 3 答：当 x ≥ 3 时， 在实数范围内有意义. 1. ［2025周口期中］在式子， ， ，，3，， 中，二 次根式有( ) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 若式子有意义，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 6 3. 等式“( ) ”中，括号内应填入( ) A A. 6 B. 3 C. D. 4. ［2025重庆万州区期末］估计 的值应在 ( ) A A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 若一个无理数与 的积是一个有理数， 写出 的一个值是__________________. （答案不唯一） 返回 中考考法 7 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥ 0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为 0. 【变式训练】 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 【变式训练】 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ 尝试·思考 6 6 20 20 2 3 2 3 5 7 5 7 （2）根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。 与 与 二次根式的乘法法则和除法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 结 论 积的算术平方根也可以拓展到被开方数是两个以上的因数（或因式）相乘： 拓 展 计算： 例 1 （1） ； （2） 。 解：（1） ； （2） 。 计算： 例 2 （1） ； （2） ； 解： （3） ； （4） ； （5） ； （6） 。 6. 庐山云雾茶历史悠久，是中国 名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁 盒，若其内部底面半径为，深 ， 则其容积为________（结果保留根号和 ）. 返回 中考考法 18 7. 教材P42例2 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 中考考法 19 （3） ； 原式 . 中考考法 （4） . 原式 . 返回 中考考法 21 8. 如果是整数，那么整数 是( ) C A. 6或3 B. 3或1 C. 2或18 D. 18 返回 中考考法 22 9. 如图，数轴上有，，，， 五个点， 根据图中各点所表示的数，则表示数 的点会落 在( ) B A. 点和点之间 B. 点和点 之间 C. 点和点之间 D. 点和点 之间 返回 中考考法 23 10.问题探究：因为 ，所以 .因为 ，所以 .请你根据以上规律，结合你的经验化简 _______. 11. 已知一个长方体木块放在水平的桌面上， 木块的长、宽、高分别是，， ，若 木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则 的值等于 _ ___. 返回 中考考法 24 12. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从1到若 干个数的自然数排成纵、横各为若干个数的正方形，使在同一 行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等.类比幻方， 我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方 向上的实数相乘的结果都相等，则，，， 之积为____. 5 10 20 中考考法 25 【点拨】对角线方向上的实数相乘的结果为 .根据方格中横向、纵向及对角线方 向上的实数相乘的结果都相等，得 ，解 得；，解得 ； ，解得； ， 解得，所以，，， 之积为 . 返回 中考考法 26 13.请判断是否存在整数 ，使它同时满足以下三个条件： ①二次根式和 均有意义； 的值仍为整数； ③若，则 也是整数. 如果存在，请求出 的值. 中考考法 27 【解】存在.因为二次根式和 均有意义，所以 ，，解得 . 因为为整数，所以 . 当时，，则 ，满足条件， 所以 的值为16. 返回 中考考法 28 14.如图，将长和宽分别是， 的长方形纸片的四个角都剪去 一个边长为 的正方形. （1）用含，， 的代数式表示纸片剩余部分的面积； 【解】纸片剩余部分的面积为 . 中考考法 29 （2）当 ， ， 时，求剩余 部分的面积. 把，，代入,得 .所以剩余部分的面积为384. 返回 中考考法 30 15. 阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根 式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如： 与，与 .这样，化简一个分母含有二次根式的 式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可 以了.例如： , . 中考考法 31 （1）请你写出 的有理化因式：__________________ _____； （答案不唯一） （2）请仿照上面给出的方法化简且 ; 【解】原式 . 中考考法 32 （3）已知,,求 的值. , . 把, 的值代入,得 . 返回 中考考法 33 课堂小结 一般地，形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，a可以是数，也可以是式. $