探源反比例：1.1反比例函数的概念导学案2026-2027学年九年级数学上册苏科版

该初中数学导学案聚焦反比例函数概念，涵盖反比例关系、三种等价形式及应用。通过对比正比例函数，结合路程、面积等实例导入，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解概念形成脉络。 资料亮点在于分层训练设计与中考真题融入，基础判断、中层参数求解、提优实际应用层层递进，结合易错点强调，培养学生抽象能力和模型意识，助力新授课同步学习与核心素养提升。

答案与解析 变式训练答案 变式训练1-1：C。解析：A 是一次函数，B 中 x 的次数为 2，D 是正比例函数，C 可变形为，是反比例函数。 变式训练1-2：C。解析：只有 C 符合反比例函数的标准形式。 变式训练1-3：②③④。解析：②是标准分式形式，③是负指数幂形式，④是乘积形式，均为反比例函数，①是正比例函数。 变式训练2-1：1。解析：由得，又，故。 变式训练2-2：A。解析：由得，又，故。 变式训练2-3：-1。解析：由得，图象在二、四象限说明，故。 变式训练3-1：。解析：阻力 × 阻力臂 = 1600×0.5=800，故，变形得。 变式训练3-2：180。解析：代入，得。 变式训练3-3：，解析式为。解析：由，代入得，故。 巩固练习答案 1、5。解析：代入，得。 2、B。解析：只有 B 选项满足，符合反比例函数的乘积形式。 3、C。解析：只有 C 符合反比例函数的标准形式。 4、B。解析：即，是反比例函数。 5、0。解析：，，相加得 0。 6、。解析：分母不能为 0。 7、-6。解析：。 8、A。解析：交点横坐标为 3，代入一次函数得，即交点为 (3,-1)，代入反比例函数得。 9、1。解析：由得，又，故。 10、2。解析：设，代入 x=2,y=3 得 k=6，故 x=3 时，y=2。 11、。解析：设，代入 x=2,y=3 得 k=3，故 x=4 时， 12、B。解析：与 y 轴的交点：x=0 时，y=2，存在；与 x 轴的交点：y=0 时，，无解，故只有 1 个交点。 学科网（北京）股份有限公司 $ 探源反比例：1.1反比例函数的概念导学案 —— 苏科版九年级数学上册 1.1 反比例函数的概念导学案 基本信息 年级：九年级上册 学科：数学（苏科版新教材） 章节：第 1 章 反比例函数・第一节 适用范围：新授课同步学习 学习目标 1、理解反比例关系与反比例函数的核心概念，能准确判断一个函数是否为反比例函数； 2、掌握反比例函数的三种等价表达形式，能根据定义求解函数中的参数； 3、能结合实际问题情境，确定反比例函数的解析式，体会反比例函数的实际应用价值。 知识点梳理 1. 反比例关系 两个变量、，若它们的每一组对应值的乘积为非零常数，即满足 （为常数，），则称与成反比例关系。 常见实例：路程一定时，运动时间与速度成反比；矩形面积一定时，长与宽成反比。 2. 反比例函数的定义 一般地，形如 （为常数，）的函数，叫做反比例函数。 注意：其中是自变量，是的函数；自变量的取值范围是不等于 0 的一切实数（分母不能为 0）。 3. 反比例函数的等价形式 反比例函数有三种常见的表达形式，本质完全等价： 1、分式形式：（最常用的标准形式） 2、负指数幂形式：，此时自变量的次数为 3、乘积形式：，常用于快速判断点是否在函数图象上，或求解比例系数 4. 核心易错点 比例系数：若，函数将变为，属于常函数，不再是反比例函数； 自变量：因此函数值也不可能为 0，反比例函数的图象与坐标轴永远没有交点。 例题与变式训练 题型 1：反比例函数的判断（基础层） 例题 1下列函数中，哪些是反比例函数？若是，请指出对应的比例系数。 ①；②；③；④；⑤；⑥ 解析：根据反比例函数的定义与等价形式判断： ①是，；②是正比例函数，不是；③是正比例函数，不是； ④是，符合乘积形式，；⑤是，可变形为，； ⑥是，符合负指数幂形式，。 因此，①④⑤⑥是反比例函数。 变式训练： 1-1下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 变式训练1-2下列关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 变式训练1-3 函数①，②，③，④中，是反比例函数的是 （填序号）。 题型 2：反比例函数的参数求解（中阶层） 例题 2（2024・云南中考）：若函数是反比例函数，求的值。 解析：根据反比例函数的定义，需要同时满足两个条件： 1、自变量的次数为：，解得； 2、比例系数不为 0：，即。 综上，。 变式训练2-1已知函数是反比例函数，那么的值为 。 变式训练2-2若是反比例函数，则的取值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 任意实数 变式训练2-3若函数是反比例函数，且图象在第二、四象限，则的值为 。 题型 3：反比例函数的实际应用（提优层） 例题 3（2024・河北中考）：淇淇家计划购买 500 度电，若平均每天用电度，则能使用天。 （1）写出关于的函数解析式； （2）若平均每天用电 5 度，那么这些电可以用多少天？ 解析： （1）根据题意，总电量 = 每天用电量 × 使用天数，即，变形得（，实际问题中用电量为正）； （2）将代入解析式，得，即这些电可以用 100 天。 变式训练3-1（2024・江苏连云港中考）：杠杆平衡时，“阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂”。已知阻力和阻力臂分别为 1600N 和 0.5m，动力为(N)，动力臂为(m)。则动力关于动力臂的函数表达式为为 。 变式训练3-2（2024・湖南中考）：在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即（为常数，），若某乐器的弦长为 0.9 米，振动频率为 200 赫兹，则的值为为 。 变式训练3-3（2024・海南中考）：某型号蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系。已知当时，，求的值，以及关于的函数解析式。 分层巩固练习（共 14 题） 基础巩固（1-7 题） 1、已知点在反比例函数的图象上，则 。 2、反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3、（2024・江苏扬州期末）下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4、（2025・江苏泰州期末）若，则与的函数关系是（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 无法确定 5、在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 。 6、（2023・江苏淮安期末）函数的自变量的取值范围是 。 7、已知反比例函数的图象经过点，则的值为 。 能力提升（8-10题） 8、已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为 3，则的值为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 9、（2023・江苏盐城期末）若函数是反比例函数，则 。 10、已知与成反比例，当时，，则当时， 。 拓展提优（11-12 题） 11、（2023・江苏连云港期末）已知与成反比例，当时，，则当时， 。 12、（2024・江苏扬州中考）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 学科网（北京）股份有限公司 $