1.2.4绝对值导学案2026-2027学年七年级数学上册人教版

该初中数学导学案聚焦“绝对值”核心知识点，通过“互为相反数的两个数在数轴上的相同部分”问题导入，衔接相反数概念，以具体数在数轴上的距离探究为支架，引导学生逐步建立绝对值概念。 资料以问题探究驱动概念形成，结合数轴培养直观想象，实例与变式训练联系生活实际，提升数学运算与应用意识，达标检测覆盖多题型，助力学生发展抽象能力与推理意识，适合课堂教学与自主学习。

姓名: 学科: 日期: 1.2.4绝对值 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年6月24日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解绝对值的概念；（数学抽象、直观想象·重点） 2. 理解与掌握绝对值的运算法则，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、直观想象、数学运算·难点） 【学习过程】 1、 绝对值的概念 (一)问题探究 我们知道，互为相反数的两个数（除0以外）只有符号不同，这两个数的相同部分在数轴上表示什么？ 探究： 看一个具体例子，和互为 ，在数轴上分别用点表示这两个数，可以发现，点与原点的距离都是 （图1.2-7）. （2） 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与 的距离叫作数的绝对值（absolute value)，记作 ． 例如，图1.2-7中表示和的点与原点的距离都是 ，所以和的绝对值都是 ，即 显然. 2、 绝对值的运算法则 （一）思考 一个数的绝对值与这个数有什么关系？借助数轴多取几个数试一试，看能不能发现规律. 探究： 由绝对值的定义，结合数轴可知： ∵表示和的点与原点的距离都是 ，∴和的绝对值都是 ，即 又∵原点与原点的距离都是 ，∴的绝对值是 ，即 （二）绝对值的运算法则 由上探究可知 一个正数的绝对值是 ； 一个负数的绝对值是它的 ； 0的绝对值是 ． 用数学语言表示为 (1）如果，那么； (2）如果，那么； (3）如果，那么. 即 注：这里的 可以是一个 ，也可以是一个 或一个 （整体）. 例如，计算的值. ∵ ∴，即是一个 ， 故 3、 实例运用 例1．的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解： ∵ ∴ ． 故选 例2 (1)写出的绝对值； 解（1）： (2） 如图1.2-8，数轴上的点分别表示有理数，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 分析：对于（2)，一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点 ；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值 . 解(2）： ∵在点中，点 离原点最近， ∴在有理数中， 的绝对值最小. 4、 变式训练 变式1．若m，n为有理数，，，且，那么的大小关系是（     ） A． B． C． D． 变式2．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 变式3．尊师重教是我国的传统美德．在教师节这天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师．规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程（单位：）如下：，，，，， (1)小王接送教师这天出租车的总行程是多少千米？ (2)若出租车每千米耗油，则小王接送教师这天共耗油多少升？ 五、达标检测 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 3．若，则 __________． 4．代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 5．（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 6．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 7．数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是_____. 8．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 9．求下列各数的绝对值： ，，，，． 10．请写出数轴上的点A，B，C，D所表示的数的绝对值． 11．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 12．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 13．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 14．安全无小事，某天库车东城派出所的一辆警车在东西方向的马路上巡视，警车从海美超市处出发，规定向东方向为正，当天行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)最后警车是否回到海美超市处？若没有，在海美超市处何方，距处多远？ (2)警车每行驶千米耗油升，共耗油多少升？ 15．某天一个巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，向东方向为正，这段时间行驶记录如下单位：千米：，，，，，，，． (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？ (3)若摩托车行驶1千米耗油升，从岗亭巡逻到A处一共耗油多少升？ - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 1.2.4绝对值 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年6月24日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解绝对值的概念；（数学抽象、直观想象·重点） 2. 理解与掌握绝对值的运算法则，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、直观想象、数学运算·难点） 【学习过程】 1、 绝对值的概念 (一)问题探究 我们知道，互为相反数的两个数（除0以外）只有符号不同，这两个数的相同部分在数轴上表示什么？ 探究： 看一个具体例子，和互为相反数，在数轴上分别用点表示这两个数，可以发现，点与原点的距离都是（图1.2-7）. （2） 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值（absolute value)，记作． 例如，图1.2-7中表示和的点与原点的距离都是，所以和的绝对值都是，即 显然. 2、 绝对值的运算法则 （一）思考 一个数的绝对值与这个数有什么关系？借助数轴多取几个数试一试，看能不能发现规律. 探究： 由绝对值的定义，结合数轴可知： ∵表示和的点与原点的距离都是，∴和的绝对值都是，即 又∵原点与原点的距离是，∴的绝对值是，即 （二）绝对值的运算法则 由上探究可知 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0． 用数学语言表示为 (1）如果，那么； (2）如果，那么； (3）如果，那么. 即 注：这里的 可以是一个数，也可以是一个字母或一个式子（整体）. 例如，计算的值. ∵ ∴，即是一个负数 故 3、 实例运用 例1．的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解： ∵ ∴ ． 例2 (1)写出的绝对值； 解（1）： (2） 如图1.2-8，数轴上的点分别表示有理数，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 分析：对于（2)，一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小. 解(2）： ∵在点中，点离原点最近， ∴在有理数中，的绝对值最小. 4、 变式训练 变式1．若m，n为有理数，，，且，那么的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、利用数轴比较有理数的大小 【详解】解：如图所示， ∴ ． 变式2．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【难度】0.78 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性、用数轴上的点表示有理数 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 变式3．尊师重教是我国的传统美德．在教师节这天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师．规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程（单位：）如下：，，，，， (1)小王接送教师这天出租车的总行程是多少千米？ (2)若出租车每千米耗油，则小王接送教师这天共耗油多少升？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数加法在生活中的应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加法与乘法的实际应用． （1）把记录数据的绝对值相加即可得到答案． （2）由总路程乘以单位耗油量即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：小王接送教师这天出租车的总行程是 （2）解： 答：小王接送教师这天共耗油 五、达标检测 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、化简多重符号 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 3．若，则 __________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：∵， ∴． 4．代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 5．（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 6．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 7．数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是_____. 【答案】 【难度】0.86 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、用数轴上的点表示有理数 【分析】根据数轴上点到原点距离的定义，结合绝对值的性质求解，所求数的绝对值等于3，即可得到对应的数． 【详解】设该点表示的数为，由题意得， 解得或， ∴数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是． 8．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】求一个数的绝对值、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 9．求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】9；；；； 【难度】0.94 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查绝对值，正确应用绝对值的定义是解题关键． 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 10．请写出数轴上的点A，B，C，D所表示的数的绝对值． 【答案】见解析 【难度】0.94 【知识点】求一个数的绝对值、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，求一个数的绝对值，先根据数轴上表示出各数，再根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：根据题意，由数轴表示的有理数可知， 点表示数为，绝对值为； 点表示数为，绝对值为； 点表示数为，绝对值为； 点表示数为，绝对值为． 11．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、相反数的定义、绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 12．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【难度】0.94 【知识点】绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 13．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【难度】0.4 【知识点】绝对值的其他应用、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 14．安全无小事，某天库车东城派出所的一辆警车在东西方向的马路上巡视，警车从海美超市处出发，规定向东方向为正，当天行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)最后警车是否回到海美超市处？若没有，在海美超市处何方，距处多远？ (2)警车每行驶千米耗油升，共耗油多少升？ 【答案】(1)警车没有回到海美超市处，在处的西边千米处 (2)共耗油升 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，熟练掌握有理数的加法运算是解题关键． （1）根据有理数的加法运算即可得到答案； （2）根据绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （千米）， 警车没有回到海美超市处，在处的西边千米处． （2）解：由题意得， （千米）， （升）． 答：共耗油升． 15．某天一个巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，向东方向为正，这段时间行驶记录如下单位：千米：，，，，，，，． (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？ (3)若摩托车行驶1千米耗油升，从岗亭巡逻到A处一共耗油多少升？ 【答案】(1)在岗亭的西边，距岗亭13千米 (2)离开出发点最远时是15千米 (3)从岗亭巡逻到处一共耗油升 【难度】0.65 【知识点】有理数加减混合运算的应用、绝对值的其他应用、正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得每次巡逻后与出发点之间的距离，从而得出答案； （3）根据绝对值的实际意义列式，先化简绝对值，再计算加法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解：（千米）， 因为向东方向为正，， 所以在岗亭的西边，距岗亭13千米． （2）解：第1次巡逻后离开出发点的距离：（千米）， 第2次巡逻后离开出发点的距离：（千米）， 第3次巡逻后离开出发点的距离：（千米）， 第4次巡逻后离开出发点的距离：（千米）， 第5次巡逻后离开出发点的距离：（千米）， 第6次巡逻后离开出发点的距离：（千米）， 第7次巡逻后离开出发点的距离：（千米）， 第8次巡逻后离开出发点的距离：（千米）， 所以离开出发点最远时是15千米． （3）解： （升）， 答：从岗亭巡逻到处一共耗油升． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $