精品解析：上海市奉贤区2024-2025学年高二下学期期末统一练习数学试题

2024学年第二学期奉贤区高二数学练习卷 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分.） 1. 抛物线的焦点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为. 故答案为 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型. 2. 在等差数列中，已知，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用等差数列性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 3. 在平面直角坐标系中，，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式求解. 【详解】由，，得，， 因此，而， 所以. 故答案为： 4. 已知函数，则曲线在点处的切线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义即可得出答案. 【详解】解：， 则， 所以曲线在点处的切线的方程为， 即. 故答案为：. 5. 已知直线与圆相交于、两点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 6. 某班要选举班干部，现有10名候选人，从这10名候选人中任选5人组成班委，有________种不同的选法.（结果用数字表示） 【答案】252 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算. 【详解】从这10名候选人中任选5人组成班委，不同选法种数是. 故答案为：252 7. 在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 【答案】20412 【解析】 【分析】根据二项展开式得到第项系数为，再利用二项式系数最大项的求法得出的值即可求最大项的系数. 【详解】的展开式通项为，则系数为， 设第项系数最大，则 即，解得，又，所以， 所以最大项系数为第7项，最大系数为. 故答案为：20412. 8. 某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，先确定的值，再结合已知的概率公式计算质量误差超过的可能性. 【详解】因为每包糖果的实际质量服从的正态分布，则. 质量误差不超过，即，也就是. 根据参考数据可知. 那么质量误差超过的概率为. 故答案为：. 9. 若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 10. 设函数，其中，，，定义域为.对于，定义，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由导数可得单调递增，然后由定义可得答案. 【详解】注意到，则在R上单调递增. 则. 故答案为：. 11. 已知，对于任意的实数，都有恒成立，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律，系结合恒成立的不等式求得，再利用数量积的运算律求得，然后利用向量的三角不等式求出最小值. 【详解】由，得，而， 则，依题意，对任意的实数，恒成立， 因此，则， 又， 则 ，当且仅当与反向时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 12. 点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有________种情况. 【答案】5 【解析】 【分析】由双曲线的定义得：，所以，根据直角三角形的六种情况可求，进而利用定义可求，再利用勾股定理或余弦定理可求，即可得到离心率. 【详解】 因为两条直角边的长度分别为3和4，所以斜边为5， 由双曲线的定义得：， 所以，解得， ①时，，若 又，， ， 所以此时离心率； 若 又，， ， 所以此时离心率； ②时，，若， ，， ， 所以此时离心率； 若， ，， ， 所以此时离心率； ③，若，， ，， 所以此时离心率； 若，， ，， 所以此时离心率； 综上，满足条件的双曲线的离心率有5种情况. 故答案为：5. 二、单项选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 13. 已知变量与负相关，且由观测数据得到样本的平均数，，则由观测数据得到的回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用负相关及回归直线经过样本中心点，逐项判断. 【详解】对于AC，回归直线、的斜率分别为0.4，2，都为正，变量与正相关，AC不是； 对于B，回归直线斜率，变量与负相关， 当时，，B可能是； 对于D，回归直线斜率，变量与负相关， 当时，，D不是. 故选：B 14. 如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设基底为，选项中涉及到的向量都用基底表示出来，再验证各个选项是否正确. 【详解】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为. 对于A：， ，故A错误； 对于B：， ，故B错误； 对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得. ，故D正确； 又，故C错误. 故选：D. 15. 函数图象上存在点，使得不等式成立，则称函数为“向心函数”，下列四个选项中，是向心函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定定义，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由，得函数不是向心函数，A不是； 对于B，点在函数图象上，且成立，函数是向心函数，B是； 对于C，由，得函数不是向心函数，C不是； 对于D，由，得函数不是向心函数，D不是. 故选：B 16. 圆锥的母线长为，下面有两个判断： ①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大. ②圆锥的体积可以取到. 则正确的判断是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的高为，求出该圆锥体积的函数关系，利用导数求出最大值，进而判断得解. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，则， 圆锥体积，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此当，时，圆锥的体积取得最大值， 此时圆锥的母线与底面所成角，有，，①正确； 而，则圆锥的体积不能取到，②错误. 故选：B 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人） 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 100 女性 70 100 合计 （1）完成上表，并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关? （2）现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率； 参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析；有 （2） 【解析】 【分析】（1）完成列联表，由列联表，得，然后根据独立性检验判断即可； （2）由题知抽取10人中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由可计算选取的3人中至少有2人经常网购的概率. 【小问1详解】 完成列联表： 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 50 100 女性 70 30 100 合计 120 80 200 由列联表得，， 有99%的把握认为我市市民网购与性别有关. 【小问2详解】 由题知女市民中利用分层抽样的方法抽取10人中， 经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人， 选取的3人中至少有2人经常网购的概率， 所以所求概率为. 18. 如图，已知点为所在平面外一点，若平面，， （1）求证：面面； （2）若与面所成的角的大小为，，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证. （2）由线面角求出，由（1）的结论，作出点到平面的垂线段，进而求出长度. 【小问1详解】 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由平面，得是与面所成的角，则， 而，则，在平面内过作于， 由（1）知，平面平面，平面平面，因此平面， 所以点到平面的距离为. 19. 已知无穷数列，.若对任意的正整数，都有，则称与“伴随”. （1）若，，判断与是否“伴随”，说明理由； （2）已知数列的前项和为，满足，证明：与“伴随”. 【答案】（1）不“伴随”，理由见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取特值计算，结合数列“伴随”的定义判断即可. （2）给定的递推公式求出通项公式，再利用定义推理得证. 【小问1详解】 数列与不“伴随”. 取，， 所以数列与不“伴随”. 【小问2详解】 数列中，，则，解得， ，即， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，，， 则， 所以与“伴随”. 20. 如下图所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作、，点在第一象限，点在第三象限. （1）如图1，设，，，求点的坐标和； （2）如图2，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积； （3）如图3，在轴右侧的曲线上有两点、，直线经过点（点在上）.当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在请说明理由. 【答案】（1），； （2）； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得、为与公共点，将两椭圆方程联立，结合题意，可得；由，结合，可得，再将代入椭圆方程可得，据此可得答案； （2）由（1）分析结合，可得椭圆方程，由对称性可设直线方程为：，由直线与椭圆相切，结合联立方程判别式为0，可得，从而可得四点坐标，据此可得面积； （3）由（1）分析结合，可得椭圆方程，设直线，将直线与两椭圆方程联立，设，结合韦达定理，可得关于k的表达式，由、在y轴右侧，点在上），可得.假设相关直线存在，则，据此可得关于的方程，通过判断方程有无解，可判断相关直线是否存在. 【小问1详解】 令，由题可得，、为与公共点. 将与联立，可得， 解得：，则， 由题可得， 则，又，则，从而. 将代入，得. 解得或（小于0，舍去）. 故； 【小问2详解】 由（1）分析可知，又，则 则两椭圆方程为：.设， 由对称性可得，则直线方程为：. 将直线方程与联立，化简后可得， 因直线与椭圆相切，则判别式. 此时，将与联立，化简后可得：， 其判别式也为0，则直线也与椭圆 相切. 则，由对称性可得， 则四边形的面积为：； 【小问3详解】 由（1）分析可得，又，则. 则两椭圆方程为：. 从而曲线与y轴正半轴，x轴正半轴交点为：. 设直线，将直线分别与两椭圆方程联立， 则，化简后可得： ， ； ， . 设，由韦达定理， ，. 因、y轴右侧，点在上）， 则. 则，.因， 则，. 若所在直线与所在直线关于直线对称，则. 因，由对称性可得，则.若， 则， 化简可得， 因，则不存在使得. 即不存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称. 【点睛】关键点睛：对于存在性问题，常先假设相关研究对象存在，据此得到关于某参数的不等式或方程，通过判断相关不等式或方程有无解，可完成结论判断. 21. 已知函数，数列满足，且.对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质. （1）任意取一个，判断函数是否具有性质； （2）函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质； （3）求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质，说明理由. 【答案】（1）不具有性质，理由见详解. （2）证明见详解. （3）单调递减区间为，单调增区间为， 函数不具有性质，理由见详解 【解析】 【分析】（1）由题可得即可判断不具有性质； （2）根据题意当时，可得，所以函数不具有性质； （3）对确定定义域并求导，根据导函数的正负确定单调区间，当时，可判断，再构造函数，求导可证得，即，从而得到，故函数不具有性质. 【小问1详解】 由题知， 则， 所以函数不具有性质. 【小问2详解】 证明：不妨取时，因为函数在定义域上严格减， 所以，， ， 所以函数不具有性质. 【小问3详解】 函数定义域为， ， 当时，，当时， 所以函数单调递减区间为，单调增区间为， 性质的判断， ，则， 在单调递减，，即， 令， ， 所以在单调递减，，即， 所以， 综上，， 故，函数不具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期奉贤区高二数学练习卷 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分.） 1. 抛物线的焦点坐标是__________． 2. 在等差数列中，已知，则__________． 3. 在平面直角坐标系中，，，则________ 4. 已知函数，则曲线在点处切线的方程为______． 5. 已知直线与圆相交于、两点，则________. 6. 某班要选举班干部，现有10名候选人，从这10名候选人中任选5人组成班委，有________种不同的选法.（结果用数字表示） 7. 在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 8. 某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 9. 若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别：，：，则________. 10. 设函数，其中，，，定义域为.对于，定义，则________ 11. 已知，对于任意的实数，都有恒成立，则的最小值是________. 12. 点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有________种情况. 二、单项选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 13. 已知变量与负相关，且由观测数据得到样本的平均数，，则由观测数据得到的回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 函数图象上存在点，使得不等式成立，则称函数为“向心函数”，下列四个选项中，是向心函数为（ ） A. B. C. D. 16. 圆锥母线长为，下面有两个判断： ①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大. ②圆锥体积可以取到. 则正确的判断是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人） 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 100 女性 70 100 合计 （1）完成上表，并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关? （2）现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率； 参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 如图，已知点为所在平面外一点，若平面，， （1）求证：面面； （2）若与面所成的角的大小为，，求点到平面的距离. 19. 已知无穷数列，.若对任意的正整数，都有，则称与“伴随”. （1）若，，判断与是否“伴随”，说明理由； （2）已知数列的前项和为，满足，证明：与“伴随”. 20. 如下图所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作、，点在第一象限，点在第三象限. （1）如图1，设，，，求点的坐标和； （2）如图2，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积； （3）如图3，在轴右侧的曲线上有两点、，直线经过点（点在上）.当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在请说明理由. 21. 已知函数，数列满足，且.对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质. （1）任意取一个，判断函数是否具有性质； （2）函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质； （3）求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$