专题3.1 导数之基本概念和切线 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数专题，覆盖导数概念、运算及切线问题等核心考点，按“基本运算—切点切线—外点切线—公切线”逻辑递进，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识体系，突破切线分类求解难点。 讲义采用分层教学策略，如切线问题分三类讲解培养逻辑思维，复合函数求导拆解步骤提升数学表达，配套基础到综合练习。通过真题演练与即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题03导数高考专项复习 专题3.1 导数的基本概念和切线相关题型 3.1.1 导数的基本运算 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝ax（a>0且a≠1） f(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) 注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题.（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可. 2.导数的四则运算法则 （1）函数的和差的导数运算法则：. 拓展：. （2）函数积的导数运算法则：. 拓展：①若c为常数，则. ②若a,b为常数，则. （3）函数商的导数运算法则：. 拓展：若c为常数，. 3.简单复合函数的导数 （1）复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. （2）复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为. 例1.求下列函数的导数： （1）。 （2）。 （3）。 （4）。 例2.已知函数f（x）的导数为，且满足，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．-12 1.求下列函数的导数： （1）y=sin(2x+1)； （2）； （3）y＝xln（x+1）； （4）y＝sin22x+2x+1； （5）y＝sinx； （6）． 2.已知函数，则（　　） A． B．1 C． D．2 3.若，则( ) A.   B.   C.   D. 4.函数的导数是( ) A.   B.   C.   D. 5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值为（ ） A．-2 B． C． D． 6.，则（ ） A.   B. C.   D. 7.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（ ） A． B．1 C．-1 D．0 8.设xlnx，若，则的值为（ ） A． B． C．e D． 3.1.2 切线-已知点为切点 1.导数的几何意义：函数在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线在点（x0，）处的切线的斜率k0,即. 如果切线的倾斜角为，则tan=f'(x0). 2.由1可知，若函数在点（x0，）处的切线方程为：. 例1.已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，当时，f（x）＝ln（1﹣2x），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 例2.已知曲线在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为　 ． 例3.若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　 　． 例4.设． （1）求函数y＝f（x）的定义域； （2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 1.曲线在切点处切线方程为 . 2.曲线在切点切线斜率为 . 3.曲线在切点切线方程为 . 4.已知函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 . 5.曲线y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线方程为（　　） A．3x+2y﹣2＝0 B．2x﹣2y+1＝0 C．3x﹣y+1＝0 D．3x﹣2y+2＝0 6.已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣ax+2，当a＝1时，则f（x）在（1，f（1））处的切线方 程为 . 7.已知函数，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 . 8.已知，在点切线方程为 . 9.已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1），若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l在x 轴上的截距为2，则a的值为 . 10.已知函数f（x）＝（a）ln（1+x）． 则当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 3.1.3 切线-已知点为曲线外一点 已知函数的切线过了点A（m，n），且点A不在图像上，则可先设切点坐标为，则斜率，则切线方程为，然后将点A（m，n）代入得，由此解出的值. 例1.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+1在x＝0时取得极大值1，则过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程为 ． 例2.过点(0,-2)作曲线的切线，则切线方程为 . 例3.曲线，若过点可作3条切线，求的取值范围为 . 1.过点作曲线的切线，则切线方程为（ ） A.   B. C.   D. 2.已知函数f（x）＝x3-6x2+9x-7，直线l过点(0,1)且与曲线y＝f（x）相切,则直线l的斜率为（  ） A．24 B．24或-3 C．45 D．0或45 3.若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是（ ） A.   B.   C.   D. 4.若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 . 5.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上，则曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程为 . 6.若曲线在点处的切线过原点O(0,0)，则 . 7.已知函数，过原点作曲线y＝f（x）的切线l，则切线l的斜 率为 ． 8.已知点A在曲线上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ，切线方程为 . 9.已知直线l为曲线过点的切线. 则直线l的方程为 . 10.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b∈R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1． （1）求a，b的值； （2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程． 3.1.4 切线-公切线 公切线是指一条直线与两条给定的曲线（或一条曲线）都相切.公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 例1.已知曲线在点(1,1)处的切线与曲线相切,则 a= ． 例2.若曲线在点(0,1)处的切线也是曲线的切线，则a= . 例3.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 例4.已知函数，，若直线l是曲线与曲线的公切线，则l的方程为（  ） A． B． C． D． 1.抛物线，，两曲线的公切线斜率为( ) A. B. C. D. 2.曲线与直线的公切线条数为( ) A. B. C. D. 3.若曲线与存在公切线，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.抛物线 ，，两曲线存在两条不同公切线，则实数满足( ) A. B. C. D. 5.斜率为1的直线l与曲线和圆都相切，则实数a的值为（  ） A．0或2 B．-2或0 C．-1或0 D．0或1 6.若直线 () 是曲线与曲线()的公切线, 则 . 7.函数与函数公切线的斜率为 . 8.若曲线与存在公切线，则实数的最小值为 . 9.直线是和的公切线，则实数 . 10.线与在交点处切线的夹角是 ． 11.已知，，若两曲线存在公切线，求实数的取值范围。 12.已知抛物线C1:和C2:，若直线l同时是抛物线C1与C2的切线，则称直线l是抛物线C1与C2的公切线.问：当取什么值时，抛物线C1与C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03导数高考专项复习 专题3.1 导数的基本概念和切线相关题型 3.1.1 导数的基本运算 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝ax（a>0且a≠1） f(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) 注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题.（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可. 2.导数的四则运算法则 （1）函数的和差的导数运算法则：. 拓展：. （2）函数积的导数运算法则：. 拓展：①若c为常数，则. ②若a,b为常数，则. （3）函数商的导数运算法则：. 拓展：若c为常数，. 3.简单复合函数的导数 （1）复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. （2）复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为. 例1.求下列函数的导数： （1）。 （2）。 （3）。 （4）。 解：（1）。 （2）。 （3）。 （4）。 例2.已知函数f（x）的导数为，且满足，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．-12 解：∵， ∴ ，∴， 所以，∴. 1.求下列函数的导数： （1）y=sin(2x+1)； （2）； （3）y＝xln（x+1）； （4）y＝sin22x+2x+1； （5）y＝sinx； （6）． 解：（1）； （2）； （3）根据题意，y＝xln（x+1）， 其导数； （4）根据题意，y＝sin2（2x）+2x+1， 其导数y′＝4sin（2x）•cos（2x）+2xln2＝2sin（4x）+2xln2． （5）y＝sinx，所以y′＝cosx． （6），所以． 2.已知函数，则（　　） A． B．1 C． D．2 解：因为函数，所以f′（x），所以f′（1）， 所以f′（1）． 故选：C． 3.若，则( ) A.   B.   C.   D. 解：商法则求导：，代入，，故。故选：A. 4.函数的导数是( ) A.   B.   C.   D. 解：三角复合求导，内层导数为5，。故选：B. 5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值为（ ） A．-2 B． C． D． 解：∵，令x=2得，， 故选D. 6.，则（ ） A.   B. C.   D. 解：乘积+复合求导：。故选：A. 7.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（ ） A． B．1 C．-1 D．0 解：，则，故选：D. 8.设xlnx，若，则的值为（ ） A． B． C．e D． 解：，∴，即，解得：.故答案选：C. 3.1.2 切线-已知点为切点 1.导数的几何意义：函数在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线在点（x0，）处的切线的斜率k0,即. 如果切线的倾斜角为，则tan=f'(x0). 2.由1可知，若函数在点（x0，）处的切线方程为：. 例1.已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，当时，f（x）＝ln（1﹣2x），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 解：根据题意，函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，则f（1+x）＝f（1﹣x）， 两边同时求导可得：f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x）， 当时，f（x）＝ln（1﹣2x），求导可得f′（x），则有f（0）＝﹣2， 又由f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），令x＝1可得：f′（2）＝﹣f′（0）＝2， 则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为2．故选：C． 例2.已知曲线在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为　 ． 解：函数的导数， 可得曲线f（x）在x＝1处的切线的斜率为1， 而曲线f（x）在x＝1处的倾斜角为，可得1tan，解得a＝1． 故答案为：1． 例3.若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　 　． 解：曲线y＝ex+x，可得y′＝ex+1， 在点（0，1）处切线的斜率为：e0+1＝2， 切线方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1． 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线， 设y＝ln（x+1）+a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为：2，可得x， x代入y＝2x+1，可得切点坐标为：（，0）， 切点在曲线y＝ln（x+1）+a上，所以0＝ln（1）+a，解得a＝ln2． 故答案为：ln2． 例4.设． （1）求函数y＝f（x）的定义域； （2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 解：（1）根据题意可得f（x）的定义域为（0，+∞）； （2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x﹣1，所以， 所以f（1）＝﹣2，f'（1）＝0， 所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0． 1.曲线在切点处切线方程为 . 解：； 则斜率； 所以切线方程为。故答案为：。 2.曲线在切点切线斜率为 . 解：求导：； 代入：得切线斜率。故答案为：。 3.曲线在切点切线方程为 . 解：求导：； 代入，斜率； 故切线方程为：。故答案为：。 4.已知函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 . 解：，则f′（1）＝1，又f（1）＝0， 所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1； 故答案为：y＝x﹣1． 5.曲线y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线方程为（　　） A．3x+2y﹣2＝0 B．2x﹣2y+1＝0 C．3x﹣y+1＝0 D．3x﹣2y+2＝0 解：因为y′＝ex+2cos2x，所以y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线斜率为，所以切线方程为y﹣1＝3×（x﹣0），即3x﹣y+1＝0．故选：C． 6.已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣ax+2，当a＝1时，则f（x）在（1，f（1））处的切线方 程为 . 解：当a＝1时，f（x）＝（x+1）lnx﹣x+2（x＞0），，则f′（1）＝1，f（1）＝1，所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝1×（x﹣1），即y＝x． 7.已知函数，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 . 解：由于f（1）＝0，则切点坐标为（1，0），因为，所以切线斜率为， 故切线方程为，即故答案为： 8.已知，在点切线方程为 . 解：求导：；斜率； 切线方程为：。故答案为：。 9.已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1），若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l在x 轴上的截距为2，则a的值为 . 解：已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1），曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l在x轴上的截距为2，因为f（1）＝e，则点P（1，e）． 因为f′（x）＝ex﹣a，则f′（1）＝e﹣a． 据题意，切线l经过点A（2，0），则f′（1）＝kPA， 即，所以a＝2e．故答案为：2e． 10.已知函数f（x）＝（a）ln（1+x）． 则当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 解：（1）a＝﹣1时，f（1）＝0， f′（x）ln（x+1）+（1）( )，f′（1）＝﹣ln2， ∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣ln2（x﹣1）． 3.1.3 切线-已知点为曲线外一点 已知函数的切线过了点A（m，n），且点A不在图像上，则可先设切点坐标为，则斜率，则切线方程为，然后将点A（m，n）代入得，由此解出的值. 例1.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+1在x＝0时取得极大值1，则过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程为 ． 解：f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 把点（0，2）代入， 得， 整理得，解得x0＝1或． 所以切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1）或，即3x+y﹣2＝0或15x﹣4y+8＝0． 故答案为：3x+y﹣2＝0或15x﹣4y+8＝0． 例2.过点(0,-2)作曲线的切线，则切线方程为 . 解：由题意知,点 不在曲线 上,设切点坐标为 , 切线的斜率为 , 则切线方程为 , 即 . 又点 在切线上,所以 , 解得 , 所以切线方程为.故答案为：. 例3.曲线，若过点可作3条切线，求的取值范围为 . 解：切点，；切线代入整理：； 令，； 极大值，极小值； 有3条切线可得：。故答案为(-3,-2). 1.过点作曲线的切线，则切线方程为（ ） A.   B. C.   D. 解：切点，， 切线代入：， 斜率，切线：。故选：A. 2.已知函数f（x）＝x3-6x2+9x-7，直线l过点(0,1)且与曲线y＝f（x）相切,则直线l的斜率为（  ） A．24 B．24或-3 C．45 D．0或45 解：由，得， 设直线与曲线相切的切点为 ，则在处的切线斜率为 ， 所以切线方程为， 将点的坐标代入并整理，得， 即，解得或，所以直线的斜率为24或-3. 故选:. 3.若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是（ ） A.   B.   C.   D. 解：切点，，切线代入：， 令，，极值点（极大）、（极小）。 三条切线要求：，解得。故选：A. 4.若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 . 解：代入整理得，令； 极值点、，三零点条件：，解得。故答案为：。 5.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上，则曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程为 . 解：令所求切线在曲线y＝f（x）上的切点为（m，m3），则f′（m）＝3m2， 所以切线方程为y﹣m3＝3m2（x﹣m）⇒3m2x﹣y﹣2m3＝0， 又E（2，0）在切线上，故6m2﹣2m3＝0⇒m＝0或m＝3， 所以切线方程为y＝0或27x﹣y﹣54＝0． 6.若曲线在点处的切线过原点O(0,0)，则 . 解：因为，所以， 所以在点处的切线方程为. 又切线过原点，则，所以.故答案为：. 7.已知函数，过原点作曲线y＝f（x）的切线l，则切线l的斜 率为 ． 解：根据题意得 ，设切点坐标为，则 ， 所以切线 的方程为 ， 将点 代入， 可得 ，整理得：，故 ， 解得 故 ，即切线 的斜率为 . 8.已知点A在曲线上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ，切线方程为 . 解: 设, 由, 得，， 则该曲线在点处的切线方程为，∴切线经过点， ，即, 则. ∴ 点的坐标是，此时切线方程为，即.故答案为: . 9.已知直线l为曲线过点的切线. 则直线l的方程为 . 解：对求导，得：.切线斜率：. 由点斜式方程，得：,化简得. 故答案为：. 10.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b∈R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1． （1）求a，b的值； （2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程． 解：（1）由f（x）＝x3﹣ax2+b，得f′（x）＝3x2﹣2ax， 则，解得a＝1，b＝0； （2）由（1）得，f（x）＝x3﹣x2，则f′（x）＝3x2﹣2x， 设切点坐标为( )， 则函数在切点处的切线方程为y， 把点（0，﹣1）代入，可得， 整理得：，解得x0＝1． ∴曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程为y＝x﹣1． 3.1.4 切线-公切线 公切线是指一条直线与两条给定的曲线（或一条曲线）都相切.公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 例1.已知曲线在点(1,1)处的切线与曲线相切,则 a= ． 解： 的导数为 , 曲线 在 处的切线斜率为 , 则曲线 在 处的切线方程为 , 即 . 由于切线与曲线 相切, 故 可联立 , 得 , 又 , 两线相切有一切点, 所以有 , 解得 .故答案为: . 例2.若曲线在点(0,1)处的切线也是曲线的切线，则a= . 解：令 , 则 , 所以曲线 在点 处的切线斜率为 , 所以其切线方程为 . 令 , 则 . 因为直线 也是曲线 的切线, 所以两直线斜率相等, 所以令 , 解得 , 则曲线 与直线 相切的切点坐标为 , 所以 , 解得 . 例3.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 解：设直线 与曲线 相切于点 , 直线 与曲线 相切于点 , 设 , 且直线 过定点 , 则 , 且 , 所以 , 设 , 则 , 则 , 且直线 过定点 ,则 , 所以 , 令 , 则 , 当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增, 则 , 且 , 当 时, , 且 , 所以当 时, , 因为 ,即 , 所以 , 所以 , 故 .故答案选：A. 例4.已知函数，，若直线l是曲线与曲线的公切线，则l的方程为（  ） A． B． C． D． 解：设与曲线相切于点, 与相切于点. 由 , 可得的斜率, 所以. ① 又由, 可得,所以, 即. ②又因为, ③ 将②③代入①中, 可得, 由③易知, , 则. ④将④代入③, 可得 , 则 , 令, 则, 当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增. 所以 , 当且仅当 时取等号,故,可得, 所以, 所以的方程为, 即.故选：B. 1.抛物线，，两曲线的公切线斜率为( ) A. B. C. D. 解：设切点横坐标，；切点横坐标，； 由斜率相等：； 切线截距相等：，代入得，仅水平切线满足， 公切线为。故选：C. 2.曲线与直线的公切线条数为( ) A. B. C. D. 解：设切点，； 时，切线，与已知直线重合； 时，切线，与平行不重合； 再联立公切线方程组，可解得另一组切点，总计2条不同公切线。故选：B. 3.若曲线与存在公切线，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：设切点，；切点，；联立截距条件消去，得； 构造函数，求最值可得的最大值为，故。故选：A. 4.抛物线 ，，两曲线存在两条不同公切线，则实数满足( ) A. B. C. D. 解：两抛物线开口完全相同，设公切线 ； 联立相切判别式：，； 两式相减得 ，无斜向公切线；仅当 时，存在两条水平公切线。 故选：A. 5.斜率为1的直线l与曲线和圆都相切，则实数a的值为（  ） A．0或2 B．-2或0 C．-1或0 D．0或1 解：设直线 的方程为 , 即 , 由直线和圆 相切, 可得 , 解得 . 当 时, 和 相切, , 设切点为 , 根据导数的几何意义有 , 又切点同时在直线和曲线上, 即，即 时, . 当 时, 和 相切, , 设切点为 , 根据导数的几何意义有 , 又切点同时在直线和曲线上, 即，即 时, . 综上所述, 或 . 6.若直线 () 是曲线与曲线()的公切线, 则 . 解： 因为与曲线的导数分别为，， 设直线与曲线的切点为 ，所以，即， 所以切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为 ，由，得，即. 切线方程为，化简得.因该切线为，故，解得. 7.函数与函数公切线的斜率为 . 解： 因为 所以 设切点分别为 则切线斜率为 所以 所以 所以 所以 或 所以公切线的斜率为 或 8.若曲线与存在公切线，则实数的最小值为 . 解：设 切点 ， 切点 ，； 截距相等得 ； 令 ，求导得极小值点 ，代入得最小值。 故答案为：。 9.直线是和的公切线，则实数 . 解：对，切点，切线，截距，； 验证：，切线，完全重合。故答案为：2. 10.线与在交点处切线的夹角是 ． 解: 由 得 ， ∴∴两曲线只有一个交点.∴ 又 当 时, ∴两曲线在交点处的切线斜率分别为 则. 11.已知，，若两曲线存在公切线，求实数的取值范围。 解：设切点，；切点，； 切线截距相等：；由消去，整理得； 构造函数，求导分析单调性，得的最大值为； 结合，范围为。 12.已知抛物线C1:和C2:，若直线l同时是抛物线C1与C2的切线，则称直线l是抛物线C1与C2的公切线.问：当取什么值时，抛物线C1与C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程. 解：设直线与抛物线相切于点。 对抛物线的方程求导得： 则抛物线在点处的切线方程为， 整理有： 设直线与抛物线相切于点。对抛物线的方程求导得： 则抛物线在点 处的切线方程为：， 整理有：其中①②都是切线的方程，则有， 消去并整理得：令，得 。 从而 ，此时公切线方程为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $