3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念、几何意义及运算核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑层次梳理，涵盖基本导数公式、四则运算法则、复合函数求导及切线方程、公切线等应用。通过考点自练自悟、多维探究、师生共研，配合真题精讲与方法总结，帮助学生系统突破难点。 资料以数学抽象、数学运算、直观想象为导向，设计分层练习（基础、能力、拓广），如在导数几何意义教学中，结合图像比较导数值与割线斜率，培养直观想象；通过全国卷真题示例，总结公切线问题双切点法，提升解题效率。助力学生夯实基础、提升能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

3．1　导数的概念及其意义、导数的运算 课标要求 考情分析 1．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． ◎考点考法：高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容，考查形式以选择题、填空题为主，属于中档题． ◎核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1)′＝－. (2)′＝－(f(x)≠0). 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．下列函数的求导正确的是(　　) A．(x-2)′＝－2x B．(x cos x)′＝cos x－x sin x C．(ln 10)′＝ D．(e2x)′＝2ex 2．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 3．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝，当t＝3时，水面下降的速度为(　　) A．－ cm/s B． cm/s C．－ cm/s D． cm/s 4．已知函数f(x)＝x(19＋ln x)，若f′(x0)＝20，则x0＝________． 5．曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为________． 考点一　导数的运算　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝2x2－3x，则 ＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－3 2．(多选)下列求导正确的是(　　) A．(e3x)′＝3e2x B．(2sin x－3)′＝2cos x C．′＝x D．(x sin x)′＝sin x＋x cos x 3．设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________． 4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f(1)＝________． 考点二　导数的几何意义　多维探究　发散思维 角度1　求切线方程 (1)全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． (2)(新高考全国卷Ⅱ)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0). (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 角度2　求参数的值(范围) (1)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是(　　) A．e B．e2 C． D． (2)(新高考全国卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 1．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3) 2．过点(0，－1)作曲线f()＝ln x(x＞0)的切线，则切点坐标为________． 考点三　两曲线的公切线　重难考点　师生共研 (1)(新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． (2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________． 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 1．已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 2．若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝________． A级　基础过关 1．已知f(x)＝e2025＋x ln x，则f′(1)＝(　　) A．1 B．e2025＋1 C．e2025－1 D．e2025 2．设函数f(x)＝x＋的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　) A．y＝－x B．y＝－x－1 C．y＝0 D．y＝x－1 3．已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　) A．－e B．2 C．－2 D．e 4．已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　) A．－2 B．2 C．－e D．e 5．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是(　　) A．y＝cos x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 6．已知函数f(x)＝＋ex cos x，若f′(0)＝－1，则a＝________． 7．函数f(x)＝x3－3x2的图象上过点(3，0)的切线方程为________． 8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为________． 9．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程． 10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 12．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________． 13．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． C级　拓广探索 14．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝2x2＋3 B．f(x)＝ C．f(x)＝e－x D．f(x)＝ln x 15．若存在a＞0，使得两曲线f(x)＝a ln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．1　导数的概念及其意义、导数的运算 课标要求 考情分析 1．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． ◎考点考法：高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容，考查形式以选择题、填空题为主，属于中档题． ◎核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1)′＝－. (2)′＝－(f(x)≠0). 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．下列函数的求导正确的是(　　) A．(x-2)′＝－2x B．(x cos x)′＝cos x－x sin x C．(ln 10)′＝ D．(e2x)′＝2ex 解析　∵(x-2)′＝－2x-3，∴A错误；(x cos x)′＝cos x－x sin x，∴B正确；(ln 10)′＝0，∴C错误；(e2x)′＝2e2x，∴D错误．故选B. 答案　B 2．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析　过点A作切线lA，过点B作切线lB，连接AB，得到直线lAB，由图可知，lA的斜率＞lAB的斜率＞lB的斜率， 即f′(2)＞＞f′(3)＞0， 所以0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选B. 答案　B 3．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝，当t＝3时，水面下降的速度为(　　) A．－ cm/s B． cm/s C．－ cm/s D． cm/s 解析　h′(t)＝＝，所以h′(3)＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x(19＋ln x)，若f′(x0)＝20，则x0＝________． 解析　f′(x)＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f′(x0)＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1. 答案　1 5．曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为________． 解析　因为(－1，a)在曲线y＝x3＋1上，所以a＝0.令f(x)＝x3＋1，则f′(x)＝3x2，f′(－1)＝3，即切线的斜率k＝3，所以所求切线的方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3. 答案　y＝3x＋3 考点一　导数的运算　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝2x2－3x，则 ＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－3 解析　由题意有f′(x)＝4x－3，由导数定义知f′(1)＝ ， 所以 ＝4×1－3＝1.故选B. 答案　B 2．(多选)下列求导正确的是(　　) A．(e3x)′＝3e2x B．(2sin x－3)′＝2cos x C．′＝x D．(x sin x)′＝sin x＋x cos x 解析　对于A中，由(e3x)′＝3e3x，所以A错误；对于B中，由(2sin x－3)′＝(2sin x)′－3′＝2cos x，所以B正确；对于C中，由′＝＝，所以C错误；对于D中，由(x sin x)′＝sin x＋x cos x，所以D正确．故选BD. 答案　BD 3．设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________． 解析　由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1. 答案　1 4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f(1)＝________． 解析　∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)＋，则f′(2)＝－.∴f(1)＝1＋3×1×＋0＝－. 答案　－ 考点二　导数的几何意义　多维探究　发散思维 角度1　求切线方程 (1)全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． (2)(新高考全国卷Ⅱ)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． [解析]　 (1)f′(x)＝， 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A． (2)当x>0时，切点(x1，ln x1)(x1>0)处的切线为y－ln x1＝(x－x1).若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝. 当x<0时，切点(x2，ln (－x2))(x2<0)处的切线为y－ln (－x2)＝(x－x2).若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－. [答案]　(1)A　(2)y＝　y＝－ 求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0). (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 角度2　求参数的值(范围) (1)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是(　　) A．e B．e2 C． D． (2)(新高考全国卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． [解析]　(1)设直线y＝kx＋1在曲线y＝ln x上的切点为P(x0，y0)， 因为y＝ln x，所以y′＝， 所以切线斜率＝， 所以曲线y＝ln x在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)， 又y0＝ln x0，所以切线方程为y＝·x－1＋ln x0， 又切线方程为y＝kx＋1， 所以解得 (2)因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝＝(x0＋a＋1)＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). [答案]　(1)D　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 1．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3) 解析　设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f′(x0)＝3x－1＝2，∴x＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝x－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1，3)或(－1，3). 答案　C 2．过点(0，－1)作曲线f()＝ln x(x＞0)的切线，则切点坐标为________． 解析　由题意得f(x)＝ln x2＝2ln x，则f′(x)＝，设切点坐标为(x0，2ln x0)，显然(0，－1)不在曲线f(x)上，则＝，解得x0＝，则切点坐标为(，1). 答案　(，1) 考点三　两曲线的公切线　重难考点　师生共研 (1)(新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． (2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________． [解析]　(1)令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln ＋a，所以a＝ln 2. (2)设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝，f′(x)＝ex， 所以f′(x1)＝，所以切点为(x1，)，切线斜率k＝， 所以切线方程为y－＝ (x－x1)， 即y＝·x－x1＋.① 同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)， 所以y2＝ln x2＋2，又g′(x)＝，所以g′(x2)＝， 所以切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝， 所以切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2＋1，② 由题意知，①与②相同， 把③代入④有－x1＋＝－x1＋1， 即(1－x1)(－1)＝0， 解得x1＝1或x1＝0， 当x1＝1时，切线方程为y＝ex； 当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1. 综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1. 答案　(1)ln 2　(2)y＝ex或y＝x＋1 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 1．已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析　根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)， 对于f(x)＝ex－1，有f′(x)＝ex，则直线l的斜率k＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋(1－m)em－1， 对于g(x)＝ln x＋1，有g′(x)＝， 则直线l的斜率k＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)， 即y＝x＋ln n，则 可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1， 则切线方程为y＝ex－1或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有2条． 答案　C 2．若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝________． 解析　f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，则有f′(x)＝2x，g′(x)＝－2. 设公共切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝－2， f(x0)＝x＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0. 根据题意，有解得 答案　－3 A级　基础过关 1．已知f(x)＝e2025＋x ln x，则f′(1)＝(　　) A．1 B．e2025＋1 C．e2025－1 D．e2025 解析　∵f(x)＝e2025＋x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1. ∴f′(1)＝ln 1＋1＝1.故选A． 答案　A 2．设函数f(x)＝x＋的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　) A．y＝－x B．y＝－x－1 C．y＝0 D．y＝x－1 解析　令x＋＝0，即x＋1＝0， 即(x＋1)2＝0，解得x＝－1， 故P，f′(x)＝1－， 则f′(－1)＝1－＝0， 则其切线方程为y－f(－1)＝f′(－1)(x＋1)， 即y＝0.故选C. 答案　C 3．已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　) A．－e B．2 C．－2 D．e 解析　由题意得，f′(x)＝2f′(1)＋·′＝2f′(1)＋x·＝2f′(1)－，所以f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1. 所以f(x)＝2x＋ln ，则f(1)＝2＋ln 1＝2. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　) A．－2 B．2 C．－e D．e 解析　设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2. 答案　B 5．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是(　　) A．y＝cos x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 解析　由题意，若y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.对于A，因为f′(x)＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，正确；对于B，因为f′(x)＝＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，错误；对于C，因为f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1，错误；对于D，因为f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1，正确．故选AD. 答案　AD 6．已知函数f(x)＝＋ex cos x，若f′(0)＝－1，则a＝________． 解析　f′(x)＝＋ex cos x－ex sin x＝＋ex cos x－ex sin x，所以f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2. 答案　2 7．函数f(x)＝x3－3x2的图象上过点(3，0)的切线方程为________． 解析　由题意得f′(x)＝3x2－6x.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－6x0，∴切线的方程为y－y0＝(3x－6x0)(x－x0)，又切线过点(3，0)，∴0－y0＝(3x－6x0)(3－x0)，又y0＝f(x0)＝x－3x，得2x－12x＋18x0＝0，∴x0＝0或x0＝3，当x0＝0时，切线方程为y＝0，当x0＝3时，切线方程为y＝9(x－3)＝9x－27. 答案　y＝0或y＝9x－27 8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为________． 解析　因为f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，所以f′(x)＝3x2－2ax＋a＋1，因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2－2ax＋a＋1＝0有两个不相等的实根，则Δ＝4a2－12＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1，所以a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞). 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 9．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程． 解析　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f′(1)＝1－＝0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.设切点为(x0，y0)， 因为f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，① f′(x0)＝1－＝k，② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，所以x0＝－1，k＝1－e， 所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1. 10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． (1)解析　方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝， 又∵f′(x)＝a＋，∴解得 ∴f(x)＝x－. (2)证明　设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点， 由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0). 令x＝0，得y＝－， ∴切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， ∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). ∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. B级　能力提升 11．(多选)若函数f(x)＝＋ln (x＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的值可以是(　　) A．－1 B．5 C．1 D．3 解析　f′(x)＝x＋－a＝x＋1＋－a－1≥2－a－1＝1－a， 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立． 因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线， 所以f′(x)min≥0，即1－a≥0，解得a≤1，故选AC. 答案　AC 12．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________． 解析　直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln (x＋1)均相切， 设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由y＝ln x＋2得y′＝， 由y＝ln (x＋1)得y′＝， ∴k＝＝，∴x1＝，x2＝－1， ∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k. 即A，B， ∵A，B均在直线y＝kx＋b上， ∴解得 答案　1－ln 2 13．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 解析　(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2. (2)存在．理由如下： 由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12). 因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9. 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，f′(x)＝－6x2＋6x＋12. ①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝9， 所以曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是直线y＝9. ②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1. 在x＝0处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以直线y＝12x＋9不是曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线． 综上所述，曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是直线y＝9，此时k＝0. C级　拓广探索 14．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝2x2＋3 B．f(x)＝ C．f(x)＝e－x D．f(x)＝ln x 解析　对于A，由f(x0)＝f′(x0)得2x＋3＝4x0，即2x－4x0＋3＝0，Δ＝－8＜0，∴该方程无解，∴函数f(x)＝2x2＋3无“巧值点”，故A符合题意； 对于B，由f(x0)＝f′(x0)得＝－，解得x0＝－1，∴函数f(x)＝有“巧值点”－1，故B不符合题意； 对于C，由f(x0)＝f′(x0)得e－x0＝－e－x0，无解，∴函数f(x)＝e－x无“巧值点”，故C符合题意； 对于D，由f(x0)＝f′(x0)得ln x0＝，易知函数y＝ln x0与y＝的图象(图略)在第一象限内有一个交点，∴方程ln x0＝有一个解，∴函数f(x)＝ln x有“巧值点”，故D不符合题意．故选AC. 答案　AC 15．若存在a＞0，使得两曲线f(x)＝a ln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为________． 解析　f′(x)＝，g′(x)＝2x－3， 令f′(x)＝＝1，得x＝a，∴切点为(a，a ln a)， 令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2， ∴切点为(2，－2－b). 代入切线方程为y－a ln a＝x－a，可得－2－b－a ln a＝2－a，则b＝a－a ln a－4， 令h(x)＝x－x ln x－4，x＞0，则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当0＜x＜1时，h′(x)＞0，当x＞1时，h′(x)＜0， ∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h(x)max＝h(1)＝－3，即b的最大值为－3. 答案　－3 学科网（北京）股份有限公司 $