辽宁大连市2025-2026学年高二下学期数学期末考试模拟（二）

**基本信息** 覆盖高二数学核心知识，解答题融合生物污染、产品质检等现实情境，凸显数学应用与核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、命题否定、随机变量|基础概念与逻辑推理结合，如条件概率（题7）| |多选题|3/18|不等式性质、等比数列、函数零点|多知识点综合辨析，如等比数列性质（题10）| |填空题|3/15|导数计算、独立性检验、对称中心|实际问题转化，如中学生追星调查（题13）| |解答题|5/77|导数应用、数列证明、统计模型、概率分布|跨情境综合，如生物污染回归分析与概率（题17）、产品交换的期望计算（题18）|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（一） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题：，则是（   ） A． B． C． D． 3．设随机变量，则（    ） A．1 B． C． D． 4．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．39 D．78 6．若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量与负相关 B．当时，残差为0.2 C．线性回归方程中 D．可以预测当时销量约为2.1万只 7．盒子里放着五张卡片，两面都是红色的卡片一张，两面都是黑色的卡片两张，一面是红色一面是黑色的卡片两张.现在随机抽出一张卡片，并展示它一面的颜色.假设这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是（    ） A． B． C． D． 8．若函数，，，，则（     ） A． B． C． D． 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则（     ） A． B． C． D． 10．已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（    ） A． B．数列有最小项 C． D．当或时，取得最大值 11．已知函数，则（ ） A．一定有零点 B．曲线与直线恒有3个交点 C．若有3个零点，则它们的和为0 D．曲线上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，则_____． 13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 14．已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数 (1)求在处的切线方程．(2)求的单调区间． (3)求在区间上的最值． 16．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求证：数列是等差数列，并求； (2)令，设数列的前n项和为．证明：． 17．生物污染是环境污染的主要类型之一，它会对生态环境造成极大的破坏．某种有害昆虫每只的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关．现收集到此类昆虫的平均产卵数（个）和温度的组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型 ①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中，，，； (1)根据散点图，比较模型①、②，哪个模型比较合适？（无需说明理由），并根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，我国南方某地每年平均温度达到以上时此类昆虫会对当地生态环境造成严重破坏，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要次人工防治的概率为，求取得最大值时对应的概率，并以此估计该地未来年需要人工防治的次数． 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 18．，两盒中各有10件产品，其中盒中有4件次品，盒中有5件次品. (1)在盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量，求变量的概率分布及. (2)若随机交换盒与盒中两件产品后，再从，盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变量，求. (3)甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加一分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？ 19．已知函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若在上存在零点． ①求实数的取值范围； ②记的极值点为，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《辽宁大连市2025-2026学年高二下学期数学期末考试模拟（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A C B A D ABD ACD 题号 11 答案 AC 1．B 【详解】集合，即， 集合，即， 所以， 因此. 2．C 【详解】易知命题：的否定为：. 3．C 【详解】已知，则， ． 4．A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 5．C 【分析】根据等差数列的性质“若，则”求出即可求解. 【详解】因为是等差数列，所以， 而，所以，解得. 所以. 6．B 【分析】利用表中数据变化情况判断A；由样本中心点求出线性回归方程判断C；利用回归方程求出预测值，进而求出残差判断B；利用回归方程求出预测值判断D. 【详解】对于A，从数据知，随的增大而减小，变量与负相关，A正确； 对于C，，，， 因此线性回归方程为，C正确； 对于B，，残差，B错误； 对于D，当时销量约为（万只），D正确. 7．A 【分析】先确定抽出一张卡片展示一面颜色的事件，利用条件概率公式即可求解. 【详解】记抽出一张卡片，展示的这一面的颜色是红色为事件, 剩下一面的颜色是红色为事件，抽出一张卡片展示一面是红色且剩下一面也是红色为事件. 两面都是红色的卡片有1张，共个红色面； 两面都是黑色的卡片有2张，无红色面； 一面红色一面黑色的卡片有2张，共个红色面； 总面数：面，其中红色面总数为面； 随机抽一张卡片并展示一面，所有可能的面有10种（等可能）， 其中红色面有4种，因此 ，因此 ， 根据条件概率公式代入得： . 8．D 【分析】要比较的大小，只需要比较三个自变量的大小即可，构造辅助函数，通过讨论单调性来比较三个自变量的大小即可. 【详解】 因为由基本不等式，对任意实数，都有， 当且仅当时等号成立，又， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以比较的大小即可， 设，因为，当时，， 所以在单调递减，从而有， 所以，因为在上单调递增，所以， 即，所以. 9．ABD 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式和作差比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由基本不等式，可得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，由，可得，因为指数函数为单调递增函数， 所以，所以B正确； 对于C，当时，此时，所以C不正确； 对于D，由， 因为，可得，所以，所以，所以D正确. 10．ACD 【详解】已知正项等比数列，，， 由条件得，即，， 由，即， 代入得：， 整理得，解得（负根舍去，因），故选项A正确； 得，通项公式， 前项和：， 即，故选项C正确； 数列是递减正项数列：， 增大时不断减小趋近于0，不存在最小项，故选项B错误； 前项积，指数是开口向下的二次函数，对称轴为， 为正整数，因此和时指数最大，对应为最大值，故选项D正确. 11．AC 【分析】对于A，运用零点存在定理即可证明；对于B，联立得到方程，将条件转化为方程有三个解，讨论方程的解的个数即可；对于C，设出零点，将函数写成因式乘积的形式，展开与原函数对应系数相等即可；对于D，求出函数的对称中心，利用菱形的对角线性质转化为直线和函数的交点个数问题. 【详解】对于A，若当，，当，， 根据零点存在定理，至少存在一个，使得，故A正确； 对于B，若曲线与直线恒有3个交点， 则有三个根，整理得， 解得或， 当即，此时只有一根. 当即，此时有三个根，故B错误； 对于C，若有3个零点，设三个零点分别为， 则， 又因为，系数对应相等， 则有，故C正确； 对于D，因为， 所以关于点对称， 若对于任意的总存在直线与函数交于三个点， 同时与函数交于三个点， 此时根据对称性得且相互平分，所以四边形为菱形. 联立，整理得， 因为，所以要有两个解， 所以 同理，得到， 若，两个不等式矛盾，所以D错误. 12． 【详解】因为， 所以 13． 【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 14．4 【分析】求出函数的对称中心并代入直线中得，化为并结合，利用基本不等式即可求得最值. 【详解】因为， 所以函数的图象的对称中心为， 将点代入直线，得， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为4. 15．(1)切线方程为； (2)单调递减区间为，单调递增区间为； (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程； （2）通过分析导函数符号确定单调区间； （3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值. 【详解】（1）函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. （2）将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. 16．(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由的关系通过作差法即可求解； （2）通过裂项相消法即可解题. 【详解】（1）当时，，∴ 当时，， ∴， 即， 即，∵，∴ 所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，故 （2）由（1）知 ∴ 又因为数列为递增数列，， 综上． 17．(1)②， (2)，2 【分析】（1）根据散点图可选模型②，再根据题设中的数据和公式可求回归方程； （2）根据二项分布可求，利用导数可求其最大值；利用二项分布可求期望. 【详解】（1）②，理由如下：由散点图知，呈指数增长，所以模型②的拟合效果更好． 令，则， 则， 所以， 因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为． （2）由题意得，， 所以 令，得， 故当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以取得最大值时对应的概率． 当时，，即每年需要人工防治的概率为， 且服从二项分布．所以， 估计该地未来年需要人工防治的次数为2． 18．(1)则随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 (2) (3) 【分析】（1）根据不放回抽样的特点，确定随机变量的取值，并用组合数计算各取值对应的概率，再由分布列求数学期望． （2）固定产品交换后的结果，设两盒中的次品数分别为和．分别求从两盒中抽出的次品数的期望，再利用+=9求总期望． （3）按题意，一轮是某人从开始抽取到抽到正品为止．分别设甲、乙一轮的期望得分，利用有放回抽取后概率不变列方程，再根据前10轮中甲、乙各进行5轮求期望差． 【详解】（1）由题意得服从超几何分布，的取值可能为， 则， ， 则随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 则. （2）固定一次交换后的结果，设交换后A盒、B盒中的次品数分别为和． 交换产品不会改变两盒中次品的总数，所以． 设从A盒、B盒中各取2件产品时，所取次品数分别为和，则． 在上述固定的交换结果下，从含有件次品的10件产品中随机取2件， 所取次品数的期望为；同理，． 因此，无论交换后两盒中的次品如何分配， 都有．故． （3）按题意，一轮是某人从开始抽取到抽到正品为止；抽到正品后，本轮结束并换另一人开始下一轮． 由于甲先开始，所以前10轮中甲进行第1，3，5，7，9轮，乙进行第2，4，6，8，10轮，即甲、乙各进行5轮． 甲从A盒抽取时，抽到次品的概率为，抽到正品的概率为． 设甲一轮的期望得分为． 若甲第一次抽到正品，本轮得分为0；若第一次抽到次品，甲先得1分， 再继续进行与开始时相同的有放回抽取过程，后续期望得分仍为． 因此．解得． 同理，乙从B盒抽取时，抽到次品和正品的概率均为． 设乙一轮的期望得分为，则，解得． 所以前10轮结束后，甲、乙得分期望值的差为． 19．(1) (2)①； ②由①可知，且，于是在上单调递增， 要证，只需证，即证， 又，则， 即证， 记，， 只需证在时恒成立 则 ； 记， ， 因为，则，， 所以，故在上单调递增，于是， 而有，于是在上单调递增，所以，证毕． 【分析】（1）不等式恒成立，分离构造新函数，则求导找的单调区间，确定函数先增后减，求出，从而解出参数范围； （2）①时导数，函数单调增，无法满足零点条件，直接排除，时导函数单调递增，存在唯一变号零点，使得，原函数先减后增，极小值点唯一，极小值，配合区间端点函数值正负，满足零点存在条件，限定参数范围即可； ②利用两式消去参数，建立关系式，欲证，结合前面函数单调性，转化为证明函数值，等价变形后构造单变量辅助函数，，求导研究单调性，证函数，即可得到原不等式成立. 【详解】（1）由已知，令，，则． 因为， 令，解得；令，解得， 所以在单调递增，在单调递减， 从而，因此． 所以实数的取值范围 （2）①，，且， 因为，若，则对任意的，， 于是在上单调递增， 所以，在上无零点，不合题意； 若，记，因， 所以在上单调递增， 注意到，时，；时，， 所以存在唯一的，使得，且在上单调递减，在上单调递增． 若，则在上单调递增，而，显然不符合题意 若，则在上单调递减，在上单调递增． 因此，时，， 故存在唯一的，使得，符合题意； 此时在单调递减，在单调递增， 于是只需即可，即 综上，所求取值范围为 ②略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $