精品解析：2024年希望杯六年级培训试题

2024IHC6培训题 1. 计算。 ＝（ ）。 2. 将1一9这九个数字填入到如图所示的3×3方格后，求出其三行、三列以及一条对角线上三个数字之和，分别记为A～G，如果这七个数能构成一个等差数列，则其中对角线上三个数之和G=________ ． 3. 1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01＝（ ）。 4. 找规律：第8个图形中圆点有（ ）个。 5. 计算：（ ）。 6. 设p，q是两个自然数，规定：。则3△（4△6）＝_____。 7. 计算：＝（ ）。（注：n！＝1×2×3×…×（n－1）×n） A. B. C. D. E. 8. 计算的十位上的数字是（ ）。 9. 将循环小数与相乘，小数点后第2021位上的数字是（ ）。 10. 有些三位数：①它的各位数字不同且没有数字0；②这个数等于所有由它的各位数字所组成的没有重复数字的两位数的和。那么满足以上条件的所有三位数的和是（ ）。 11. 冬冬要把三个小球放入三个箱子，其中三个小球的颜色分别是红色、黄色和蓝色，而三个箱子的颜色也分别是红色、黄色和蓝色。如果这些箱子都可以空着不放球，那么有多少种不同的放球方法？ 12. 小明有25张卡片，他将它们中的每一张的两面都涂上颜色，使每两张卡片的涂色方式是不同的，即至少一面所涂颜色不同，那么总共至少需要（ ）种颜色。 13. 若将四种颜色的花种入下图中的七个区域，使相邻区域花的颜色不同，共有（ ）种种法。 14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，面积为4的格点三角形共有（ ）个。 15. 如果自然数a的各位上的数字之和等于5，那么称a为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列为a1，a2，a3，……，若an2021，则n＝（ ）。 16. 图1是一个由小正方体组成的5×5×5的大正方体。从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通。图2中的阴影部分是抽空的状态。则图2中的正方体中还剩（ ）个小正方体。 图1 图2 17. 某电子表在6时18分32秒时，显示6：18：32，那么从5时到6时这1个小时里，此表显示的5个数字都不相同的情况有（ ）种。 18. 圆周上有8个点，任意两点用线段连接，这些线段在圆内最多有（ ）个交点。 19. 如图所示，大圆的直径是小圆的5倍，大圆内的“S”形曲线（图中虚线）由两段半圆弧组成。如果已知阴影部分的面积等于4，那么图中空白部分的面积等于（ ）。 20. 如图，在直角的两个直角边上分别作正方形和。若。则的面积等于____。 21. 如图所示，正六边形ABCDEF中，点P是AB上一点，已知＝8，＝42。求。 22. 如图所示，一周长为1的圆顺时针方向绕一边长为1的等边三角形转动。如果此圆绕该三角形的三边转动时没有出现滑动，则该圆最少要转动（ ）圈才能回到原来的位置。 23. 下面的图形中没有对称轴的有（ ）个。 24. 下面图形不能围成一个长方体的是（ ）。 A. B. C. D. 25. 将下图①围成图②的正方体，图①中标志所在的正方形是正方体中的面（ ）。 A. CDHE B. BCEF C. ABFG D. ADHG 26. 一个圆锥体的体积是84.78立方厘米，底面的直径是6厘米。它的高是（ ）厘米。（π取3.14） 27. 如图，直角梯形的周长，它的面积是（ ）。 28. 如图，四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。四边形ABCD的面积是（ ）平方厘米。 29. 如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。长方形ABO1O的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 30. 一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出（ ）升。 31. 如下图，甲和乙两个圆柱体容器，底面积之比是2∶3。在甲容器中有一个体积是30立方厘米的铁球，此时两容器中水面高度相差1厘米；若把铁球从甲容器移到乙容器中，两容器水面的高度仍然相差1厘米，则甲容器的底面积是（ ）平方厘米。 32. 如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，则此立体图形的表面积是（ ）平方厘米。体积是（ ）立方厘米。（π取3.14） 33. 如图，已知正六边形ABCDEF的面积是18平方厘米，分别以正六边形对角线为边向外作六个大正六边形，那么阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 34. 下图是某个几何体的三视图，根据图中的数据计算：该几何体的体积是（ ）。（π取3） 35. 如图所示，连接正六边形的各个顶点的线段组成一个“六角星”（阴影部分）。若六角星的面积是2024，则正六边形的面积是（ ）。 36. 如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的______倍。 37. 在下图中，AB、CD表示两条海岸线，甲、乙是两个小岛。若某只小船从甲岛出发，先到达AB岸，然后到达CD岸，最后到乙岛。小船走什么路线最短？ 38. 某校有100名学生到离学校33千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘25人的中型面包车，为了让全体学生尽快到达目的地，决定采取步行与乘车相结合的办法。已知学生步行的速度是5千米每小时，汽车行驶的速度55千米每小时。请你设计一个方案，使全体学生都能到达目的地并且所用的时间最短，最短时间是（ ）小时。 39. 一项工程先由甲队独做12天，再由乙队接手。乙队独做20天后，甲队又回来与乙队合作。在两队合作时，甲队工作效率比原来提高了，乙队工作效率提高了1倍，这样合作15天后，整个工程恰好完成了一半。那么甲、乙两队再合作（ ）天就可以把剩下的工作做完。 40. 一条匀速流动的河，甲乙两码头分别在上游和下游，相距200千米。A、B两船分别从甲乙码头同时出发相向而行，相遇后继续前进，到达对方的码头后立刻返回，并在途中第二次相遇，如果两次相遇间隔4小时。A、B的静水速度分别是36km/h和64km/h，则水流速度为（ ）km/h。 41. 两块合金含金比例不同，重量分别为64千克和25千克。从两块合金上各切下m千克的一块，彼此交换后重新融合，得到两块含金比例相同的合金，则m＝（ ）。 42. 甲、乙、丙三人同时从A点出发，按逆时针方向沿着正方形ABCD的4条边跑步。已知三个人的速度分别为每秒5米、4米和3米。在甲第一次看到乙、丙与他在同一条边后，又过了7分钟，三个人第一次到达同一点，那么四条边的总长最少是（ ）米。 43. 一块肥皂使用一次，它的体积减少当前体积的10%，当肥皂使用n次后，它的体积小于原来的一半，那么n的最小值是（ ）。 44. 某店原来将一批苹果按100%的利润定价出售，由于定价过高，无人购买，后来不得不按38%的利润定价，这样出售了其中的40%。此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%。那么第二次降价后的价格是原定价的（ ）%。 45. 已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子贵288元，一张桌子（ ）元。 46. 要生产某种产品100吨，需用A种原料200吨，或B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E种原料180吨。现用A种原料及另外一种（指B，C，D，E中的一种）原料共19吨可生产此种产品10吨。试分析所用另外一种原料是哪一种，A原料用了多少吨？ 47. 两辆汽车都从A地出发到B地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达B地，它要比货车提前开出（ ）小时。 48. 有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件。这批零件共有（ ）个。 49. 一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物距客船5千米。客船在行驶20千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇。则水流的速度为（ ）千米/小时。 50. 甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲种酒精取了（ ）升，乙种酒精取了（ ）升。 51. 要制造甲、乙两批零件，张师傅单独制造甲零件要9小时，单独制造乙零件要12小时。王师傅单独制造甲零件要3小时，单独制造乙零件要15小时。如果两人合作制造这两批零件，最少需要（ ）小时。 52. 16人3天平整土地67.2亩。如果每人每天工作效率提高25%，20人平整280亩土地需要（ ）天。 53. 甲、乙两个长方形长的比是4∶5，宽的比是3∶2，面积的和是242平方厘米。甲、乙两个长方形的面积分别是（ ）平方厘米、（ ）平方厘米。 54. 某校六年级男生人数是女生的，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的，现在男生有（ ）人，女生有（ ）人。 55. 某水池有甲乙两个排水管和一个进水管。如果盛满一池水，单开甲管或乙管分别需要6小时和4小时才能把水排完。如果现在水池中有一部分水，并且同时打开甲管和进水管，用了10小时就将水排完；而如果同时打开甲管、乙管和进水管，则只用2.5小时就将水排完，那么水池中的水占全部水池的（ ）。 56. 一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现由甲，乙，丙三人合作完成此工程，工作过程中，甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息。这项工程一共用了（ ）天。 57. 有一游泳池，第一次放出全部水的，第二次放出36立方米的水，第三次放出剩下水的，游泳池里还剩下30立方米的水，游泳池原来有水（ ）立方米。 58. 某超市9时开门营业，开门前就有人等候入场。假设从第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数一样多。那么如果开4个门，等候的人要全部进入超市要8分钟；如果开6个门，等候的人要全部进入超市要4分钟。第一个顾客到达的时间是（ ）。 59. 小明下午放学回家，休息了一会儿开始做作业，此时他看到钟面上分针略超过时针。完成作业时，小明发现分针与时针恰好互换了位置。小明做家庭作业用了（ ）分钟。 60. 某人从住地外出有两种方案：一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去，公共汽车速度比自行车快，但要等候（候车时间可看作固定不变的）。在任何情况下，他总采用花时间最少的方案。下表表示他到达A，B，C三地采用最佳方案所需时间。为了到达离住地8千米的地方，他最少需要花（ ）分钟。 目的地 目的地离住地距离 最佳方案所需时间 A 2km 12分 B 3km 15.5分 C 4km 18分 61. 新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。搬书的老师_______人，男生_______人，女生_______人 62. 某地水费，不超过10吨时，每吨4.5元，超过10吨时，超出部分按每吨8元，张家比李家多交水费33元，如果两家的用水量都是整数吨，李家交水费（ ）元，张家交水费（ ）元。 63. 某人从甲城到乙城，两城相距24千米，步行一半路程后改骑自行车，共经4小时到达。回来时，仍一半路步行，一半路骑摩托车，而步行的速度是原来速度的，摩托车的速度比自行车的速度提高1倍，但仍比去时多用了30分钟才回到甲城。原来步行的速度是（ ）千米/时。原来自行车的速度是（ ）千米/时。 64. 一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪救险，如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速行驶72千米，再将速度提高三分之一，就可以比预定时间提前30分钟赶到。这支解放军部队一共需要行（ ）千米。 65. 一家股份公司有2011个股东。其中任意1500个股东联合起来都可以具有控制权（即占有不少于一半的股份），一个股东所占股份的份额最多是（ ）%。 66. 一房间中有红黄蓝三种灯，当房间所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红黄灯都亮；第三次拉开关，红黄蓝灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭。现在编号1～100的同学走过该房间，并将开关各拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，拉的次数是自己的编号数；编号为偶数者，若其编号可以写成（其中P为正奇数，n为正整数），就拉P次。100人都走过房间后，灯的情况为（ ）。 A. 只有红灯亮 B. 只有红黄灯亮 C. 三灯都亮 D. 三灯都不亮 67. 一个盒子里有100张卡片，每张上面写有一个数，已知写“1”的有1张，写“2”的有2张，写“3”的有3张，……，写“9”的有9张，剩下全写“0”。那么在盒子中至少拿出（ ）张卡片才能保证一定有5张卡片上面写的数相同。（“9”倒过来不能看作“6”） 68. 如图是一艘飞船的密码锁，想要发动飞船，必须把0～8这9个数字填入9个圆圈内，使得每条直线上的三个数字之和相等，并且阴影圆圈内三个数字的和达到最大。那么“？”处填（ ）。 69. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒。那么平均分给三群猴子，每只可得（ ）粒。 70. 从如图所示的4张牌中，任意抽取两张。其点数和是奇数的概率是_________。 71. 在1，2，3，…，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______种。 72. 在射箭比赛中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。乙的总环数是（ ）。 73. 有4袋糖果，它们中任意 3 袋糖数的和都超过60粒，那么这4袋糖果的总数最小有 （ ）粒． 74. 下图的圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1，2，3，……，2999，3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，……，直到1号棋子被取走为止。 （1）此时圆周上还有（ ）枚棋子。 （2）在圆周上剩下的棋子中，从编号最小的一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是（ ）。 75. 有5克，25克，30克，50克的砝码各若干个，从中共取n个，每类砝码至少取1个，50克的砝码不能超过6个，若总重为1千克，则n的最小值是（ ）。 76. 已知地铁列车每隔10分钟到站一次，每次停车时间是1分钟。现在有一位乘客来到车站，这位乘客直接乘上车的概率是（ ）。 77. 用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数和一个两位数，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。算式×－×的计算结果的最大值是（ ）。 78. 通过在表达式1÷2÷3中加括号，我们可以得到两个不同的值（1÷2）÷3＝和1÷（2÷3）＝，现在表达式1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8 中加上括号，我们所能得到的最大值是（ ）。 79. A、B、C、D、E、F六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C，那么第五天A与（ ）对阵。 80. 5人站成一排，乐乐愿意在排头，欢欢不愿意在排尾，那么共有（ ）种满足要求的排队方式。 81. 有一个三位数，它分别除以1，2，3，4，5，6这6个自然数的余数互不相同，这个三位数最小是（ ）。 82. 星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的。 （2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的。 （4）张明说：我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一个人说的是真话。桌凳是（ ）修的。 A. 许兵 B. 李平 C. 刘成 D. 张明 83. 如图，用3种颜色对五个区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色。那么，共有（ ）种涂法。 84. 已知x，y满足x[y]2021，{x}y20.21，其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示x的小数部分，即{x}x[x]，那么x＝（ ）。 85. 由1，2，3，4，……，8，9这9个数字可以组成362880个数字各不相同的九位数，这些九位数的最大公因数是（ ）。 86. 设t为正整数，且不是95的倍数。k是两位有限小数。则k的最大值是（ ）。 87. （45）a（54）b，（45）a表示a进制下的45，（54）b表示b进制下的54，其中a，b都是正整数。满足要求的a＋b的最小值为（ ）。 88. 有9个分数的和为1，它们的分子都是1，其中的五个是，，，，，其余四个数的分母个位数都是5，这4个分数分别是（ ）。 89. 修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，修改后的数是（ ）。 90. 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数。将这24个四位数按从小到大的顺序排列，第二个是5的倍数；按从大到小的顺序排列，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000到4000之间。这24个四位数中最大的那个数是（ ）。 91. 在7进制中有三位数（）7，化为9进制为（）9，这个三位数在十进制中为（ ）。 92. 将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘积等于52605，那么，这两个三位数的和等于（ ）。 93. 用63，90，130除以某一个自然数都有余数，3个余数的和是25。这3个余数中最大的一个是（ ）。 94. 已知a，b，c都是质数，并且a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＝133，则abc＝（ ）。 95. 除以10，余数是（ ）。 96. 用一个自然数去除另一个自然数，商40，余16，被除数、除数、商与余数的和是933，除数是（ ）。 97. 已知三位数是质数，且a＋b＋c＝14，则三位数的最大值与最小值的和是（ ）。 98. 在1～1000这1000个自然数中，既不是6的倍数，又不含有数字6的自然数有（ ）个。 99. 如果n是自然数，n，n＋1，n＋2，……，n＋9中所有质数的和是173，则n的最小值是（ ）。 100. 从乘法算式1×2×3×4×…×26×27中最少要删掉（ ）个数，才能使得剩下的数的乘积是个完全平方数。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024IHC6培训题 1. 计算。 ＝（ ）。 【答案】1006 【解析】 【分析】根据算式中分子和分母的特点，每项的分子和分母结果都可以用带分数表示，把带分数用假分数的形式表示，如第一项的分子3＋＝＝，第一项的分母2＋＝2＝，分子与分母相除时，分母是分数，根据除以一个不为0的数等于乘它的倒数可得：＝＝，同理后面每一项可以用相同的方法把算式转化为，前项的分子和后项的分母约分，化简后算式分子剩余2012，分母剩余2，结果为2012÷2＝1006 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1006 2. 将1一9这九个数字填入到如图所示的3×3方格后，求出其三行、三列以及一条对角线上三个数字之和，分别记为A～G，如果这七个数能构成一个等差数列，则其中对角线上三个数之和G=________ ． 【答案】15 【解析】 【分析】根据A～G这七个数构成一个等差数列，设它们的公差是d，则A+B+C=1+2+3+…+9=45，D+E+F=1+2+3+…+9=45，据此推得A=15，d=0，所以A=B=C=D=E=F=G=15，所以对角线上三个数之和是15，据此解答即可． 【详解】因为A～G这七个数构成一个等差数列，所以设它们的公差是d， 因为A+B+C=1+2+3+…+9=（1+9）×9÷2=45，所以A+（A+d）+（A+2d）=45， 整理，可得A+d=15…（1）； 因为D+E+F=1+2+3+…+9=（1+9）×9÷2=45，所以（A+3d）+（A+4d）+（A+5d）=45， 整理，可得A+4d=15…（2）； 由（1）（2），解得 A=15，d=0， 所以A=B=C=D=E=F=G=15， 所以对角线上三个数之和G=15． 3. 1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01＝（ ）。 【答案】1 【解析】 【分析】通过观察算式，每四个数字为一组计算，结果都是相同的。可运用加法结合律分组计算。同时从0.01到1共100个数字，四个为一组共25组。用每组的计算结果乘25即可求解。 【详解】 4. 找规律：第8个图形中圆点有（ ）个。 【答案】29 【解析】 【分析】先数出前几个图形的圆点数量，找出规律：第1个图形有1个圆点，第2个图形有5个圆点，第3个图形有9个圆点，第4个图形有13个圆点。可以发现，从第2个图形开始，每个图形的圆点数量都比前一个多4个，是一个公差为4的等差数列。根据这个规律，推导出通项公式，再计算第8个图形的圆点数量。 【详解】数出前几个图形的圆点数量： 第1个图形：1个 第2个图形：5个 第3个图形：9个 第4个图形：13个 找规律： 5－1＝4，9－5＝4，13－9＝4， 规律为第n个图形的圆点数量 ＝ 1 ＋ 4×（n－1） 计算第8个图形的圆点数量：1 ＋ 4×（8－1） ＝ 1 ＋ 28 ＝ 29 【点睛】解决这类找规律的题目，关键是先列出前几项的数量，再通过相邻两项的数量关系，判断数列的类型，再根据规律写出通项公式，最后代入计算即可。 5. 计算：（ ）。 【答案】16 【解析】 【分析】本题的解题步骤为：先根据纯循环小数化分数的方法（分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，且9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的要约分），将算式中的循环小数转化为分数，再按分数乘法的运算法则计算，通过约分简化运算，最终得出结果。 【详解】先将循环小数化为分数： 再计算分数乘法： ＝8×2＝16 【点睛】解决此类循环小数乘法问题，关键是熟练掌握纯循环小数化分数的通用方法。 6. 设p，q是两个自然数，规定：。则3△（4△6）＝_____。 【答案】65 【解析】 【分析】根据定义的运算，可知4乘第二个数，减去这两个数的和的一半，有括号先计算括号内的，先计算，求出其值，再计算即可。 【详解】根据题意： 7. 计算：＝（ ）。（注：n！＝1×2×3×…×（n－1）×n） A. B. C. D. E. 【答案】A 【解析】 【分析】分析通项的裂项形式： 然后，将每一项裂项后，通过裂项相消求和，消去中间项，得到最终结果。 【详解】 【点睛】本题的关键是理解n!的展开形式，找到通项的裂项规律，然后裂项相消。 8. 计算的十位上的数字是（ ）。 【答案】1 【解析】 【分析】乘法里，积的最后两位数字只和乘数的最后两位有关，前面的数字乘完，不会影响最后两位。只需求这个数除以100的余数，也就是末两位数。因为2008除以100余8，所以2008的2008次方除以100的余数，等于8的2008次方除以100的余数。需要找8的幂除以100的余数循环周期。连续计算8的幂的末两位，直到出现循环，然后根据指数2008确定对应的余数，再取出十位数字。 【详解】（1）先算“8连乘”的最后两位，找规律每次只算最后两位，不用算完整的大数： →最后两位：08 →最后两位：64 →最后两位：12 →最后两位：96 →最后两位：68 →最后两位：44 →最后两位：52 →最后两位：16 →最后两位：28 →最后两位：24 →最后两位：92 →最后两位：36 →最后两位：88 →最后两位：04 →最后两位：32 →最后两位：56 →最后两位：48 →最后两位：84 →最后两位：72 →最后两位：76 →最后两位：08 2008÷20＝100……8； 8的2008次方与8的8次方余数相同，8⁸除以100余数为16，16的十位数字是1。 9. 将循环小数与相乘，小数点后第2021位上的数字是（ ）。 【答案】8 【解析】 【分析】根据循环小数与分数的互化规律： 分子：直接取一个循环节的数字； 分母：循环节有几位，就写几个9；最后把得到的分数约分成最简分数。 先将循环小数化为分数，再把所得的两个分数相乘，然后又转化为循环小数，找出循环节，再利用“有余除法”确定指定数位上的数字。 【详解】（1）将循环小数化为分数： 纯循环小数：循环节是3位，所以。 纯循环小数：循环节是6位，非循环部分为0位，所以 （2）计算分数乘法并约分： （3）确定第2021位上的数字 循环小数的循环节是016284，循环节长度为6， 余数为5，对应循环节016284上的第5位，是8。 所以小数点后第2021位上的数字是8。 10. 有些三位数：①它的各位数字不同且没有数字0；②这个数等于所有由它的各位数字所组成的没有重复数字的两位数的和。那么满足以上条件的所有三位数的和是（ ）。 【答案】792 【解析】 【分析】设这个三位数为（a、b、c分别为百位、十位、个位上的数字）。 由它的各位数字组成的没有重复数字的两位数有、、、、、。 根据条件，这个三位数等于这些两位数的和，即＝＋＋＋＋＋。 将这些数用数字表示并化简，从而得出a、b、c之间的关系，再根据各位数字不同且无0的条件找出所有满足的组合，最后计算这些三位数的和。 【详解】首先将数用数字表示并化简： ＝100a＋10b＋c。 ＝10a＋b，＝10a＋c，＝10b＋a，＝10b＋c，＝10c＋a，＝10c＋b。 所以100a＋10b＋c＝（10a＋b）＋（10a＋c）＋（10b＋a）＋（10b＋c）＋（10c＋a）＋（10c＋b）。 展开等式右边得：100a＋10b＋c＝22a＋22b＋22c。 移项化简得：100a−22a＝22b−10b＋22c−c，即78a＝12b＋21c，进一步化简为26a＝4b＋7c。 找出满足条件的数字组合： 因为a、b、c是1到9的数字，且各不相同。 从a＝1开始尝试： 当a＝1时，26＝4b＋7c，通过试值，b＝3，c＝2满足等式。此时三位数是132。 从a＝2开始尝试： 当a＝2时，52＝4b＋7c，通过试值，b＝6，c＝4满足等式。此时三位数是264。 从a＝3开始尝试： 当a＝3时，78＝4b＋7c，通过试值，b＝9，c＝6满足等式。此时三位数是396。 当a＝4时，104＝4b＋7c，此时b、c在1到9范围内无法取值使等式成立。因为随着a增大，4b＋7c的值增长速度小于26a的增长速度，所以无需再继续增大a尝试。 满足条件的三位数有132、264、396。 它们的和为132＋264＋396＝792。 11. 冬冬要把三个小球放入三个箱子，其中三个小球的颜色分别是红色、黄色和蓝色，而三个箱子的颜色也分别是红色、黄色和蓝色。如果这些箱子都可以空着不放球，那么有多少种不同的放球方法？ 【答案】27种 【解析】 【分析】因为箱子可以空着，说明每个小球都有 3 个箱子可以选择，且每个小球的选择互不影响。红色小球有 3 种放法，黄色小球也有 3 种放法，蓝色小球也有 3 种放法。根据乘法原理共有不同的放球方法为：3×3×3＝27（种）。 【详解】（种） 答：如果这些箱子都可以空着不放球，有 27 种不同的放球方法。 12. 小明有25张卡片，他将它们中的每一张的两面都涂上颜色，使每两张卡片的涂色方式是不同的，即至少一面所涂颜色不同，那么总共至少需要（ ）种颜色。 【答案】7 【解析】 【分析】需先确定n种颜色时最多能涂的卡片数，其规律为三角形数，再找到最小n使该数≥25。 【详解】解：由题意， 张次正面反面颜色数 第1张：A A 1 第2张：A B 2 第3张：B B 第4张：A C 3 第5张：B C 第6张：C C 第7张：A D 4 第8张：B D 第9张：C D 第10张：D D ⋯ 所需颜色数规律：1＋2＋3＋4＝10（张），末项为所需颜色数； 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（张），即6种颜色可涂21张，再加1种颜色就可满足要求， 所求：6＋1＝7（种） 13. 若将四种颜色的花种入下图中的七个区域，使相邻区域花的颜色不同，共有（ ）种种法。 【答案】264 【解析】 【分析】环形染色，相邻不同色。1号是中间圆，2到7号是圆周六块，完全相邻。涂到7号时，7号挨着1号、2号、6号。现在要按“3号与7号是否同色”来分类讨论，因为3号和7号在圆周上正好相对，它们虽然不直接相邻，但通过其他块会产生颜色限制。分两类：3号与7号同色，3号与7号不同色。每类按顺序涂色，用乘法原理算。 【详解】1区域有4种种法，2区域有3种种法； 如果3区域与7区域同色，则有2种种法； 如果4区域和6区域同色，则有2种种法，于是5区域有2种种法，如果4区域和6区域不同色，则有2种种法，则5区域仅有1种种法； 如果3区域与7区域不同色，则有2种种法，如果4区域和6区域同色，则有1种种法，于是5区域有2种种法，如果4区域和6区域不同色，则有3种种法，于是5区域仅有1种种法。 ，共有264种种法。 14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，面积为4的格点三角形共有（ ）个。 【答案】1156 【解析】 【分析】本题运用分类列举的思想，将面积为 4 的格点三角形按三边与网格线的位置关系分成三类求解，第一类统计有两边与网格线平行的直角三角形，先求出对应规格矩形个数，再算出每个矩形内含有的符合条件三角形数量；第二类统计仅有一边与网格线平行的斜三角形，按水平、竖直不同底边方向分别计算数量；第三统计三边均不平行网格线的全斜三角形，按不同尺寸的外接矩形逐一分类计数，最后把三类数量相加求得总数。 【详解】（1）形如2×4或4×2的直角三角形 水平占两格，竖直占四格的矩形有：5×3＝15个，同理，水平占四格，竖直占两格的矩形也有15个，每个这样的矩形里存在4个面积为4的直角三角形。 这种类型一共有2×15×4＝120个。 （2）形如2×4或4×2的非直角三角形（一边水平 / 竖直，另两边斜） 底边水平占两格，竖直高度占四格，注意高有朝左和朝右之分，这样的三角形有：5×5×3×2＝150个。 同理，底边水平占四格，竖直高度占两格，这样的三角形有3×5×5×2＝150个。 同理，底边竖直的三角形也有150×2＝300个。 这种一共有150×4＝600个。 （3）三角形三边都是斜边（三边均不平行于网格线） 所在矩形形如6×5或5×6：5×6或6×5的矩形有 2×2＝4个，在这样的矩形里，三边都是斜边时，面积为4的三角形有4个。这种一共有4×4＝16个。 所在矩形形如 6×4或4×6：6×4或4×6矩形的对角线，可以根据铅锤法求三角形面积，这样的三角形有3×4×2＝24个。 所在矩形形如6×3或3×6：3×6或6×3的矩形有 4×2＝8个，在这样的矩形里，三边都是斜边时，面积为4的三角形有4个。这种一共有8×4＝32个。 所在矩形形如 6×2 或 2×6：2×6或6×2的矩形有5×2＝10个，在这样的矩形里，三边都是斜边时，面积为4的三角形有4个。这种一共有10×4＝40个。 所在矩形形如5×4或4×5：4×5或5×4的矩形有3×4＝12个，在这样的矩形里，三边都是斜边时，面积为4的三角形有4个。这种一共有12×4＝48个。 所在矩形形如5×2或2×5：2×5或 5×2的矩形有5×4＝20个，在这样的矩形里，三边都是斜边时，面积为4的三角形有4个。这种一共有：20×4＝80个。 所在矩形形如 4×4：4×4的矩形有3×3＝9个，在这样的矩形里，三边都是斜边时，面积为4的三角形有4个。这种一共有9×4＝36个。 所在矩形形如 4×3或3×4：3×4或4×3的矩形有6×4＝24个，在这样的矩形里，三边都是斜边时，面积为4的三角形有4个。这种一共有24×4＝96个。 所在矩形形如 3×3：3×3 的矩形有 4×4＝16个，在这样的矩形里，三边都是斜边时，面积为4的三角形有4个。这种一共有16×4＝64个。 总计： 120 ＋ 600 ＋ 16 ＋ 24 ＋ 32 ＋ 40 ＋ 48 ＋ 80 ＋ 36 ＋ 96 ＋ 64 ＝ 1156个。 【点睛】解决此类方格网格点三角形计数问题，关键是先合理划分类型，再借助外接矩形作为统一标准进行归类统计，按照固定标准逐类计算，条理清晰有序罗列，便可把所有符合条件的图形全部统计齐全。 15. 如果自然数a的各位上的数字之和等于5，那么称a为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列为a1，a2，a3，……，若an2021，则n＝（ ）。 【答案】39 【解析】 【分析】先按位数分类列举所有各位数字之和为5的自然数（吉祥数），再按从小到大顺序排列，最后确定2021的位置。 【详解】一位数的吉祥数：5，共1个 两位数的吉祥数：14，23，32，41，50，共5个 三位数的吉祥数：104，113，122，131，140，203，212，221，230，302，311，320，401，410，500，共15个 四位数的吉祥数：最高位是1的：1004，1013，1022，1031，1040，1103，1112，1121，1130，1202，1211，1220，1301，1310，1400，共15个 最高位是2的：从小到大依次为：2003，2012 2021，⋯ 因为 所以n＝1＋5＋15＋15＋3＝39 16. 图1是一个由小正方体组成的5×5×5的大正方体。从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通。图2中的阴影部分是抽空的状态。则图2中的正方体中还剩（ ）个小正方体。 图1 图2 【答案】75 【解析】 【分析】如图所示，从上面的面抽出的小正方体有3×5＝15（个），从前面抽出的小正方体有5×5＝25（个），从右面抽出的小正方体有5×5＝25（个），上面和前面重复计算的小正方体有3＋2＝5（个），上面和右面重复计算的小正方体有2＋1＋2＝5（个），前面和右面重复计算的小正方体有3＋2＋3＝8（个），三个面都重复的有1＋1＋1＝3（个），则实际抽出的正方体个数为15＋25＋25－5－5－8＋3＝50（个），剩余正方体的个数等于正方体总个数减去抽出的个数。 【详解】（3＋5＋5）×5－（2＋3）－（2＋1＋2）－（3＋2＋3）＋（1＋1＋1） ＝13×5－5－5－8＋3 ＝65－5－5－8＋3 ＝50（个） 5×5×5－50 ＝125－50 ＝75（个） 17. 某电子表在6时18分32秒时，显示6：18：32，那么从5时到6时这1个小时里，此表显示的5个数字都不相同的情况有（ ）种。 【答案】840 【解析】 【分析】要解决从5时到6时电子表显示的5个数字都不相同的情况数，需按时间格式5：AB：CD分析各数位的选法即可。 【详解】根据电子表6：18：32的显示形式，将时间格式设为，5：AB：CD。 数字A的选法： 因为时间范围是5时到6时，所以十位数字A（对应分钟的十位）只能是0、1、2、3、4，共5种选法。 数字C的选法： 数字不能重复，A选了一个数字后，C只能是4选法。 数字B的选法： B不能与5、A、C重复，所以有7种选法（数字0－9除去5、A、C）。 数字D的选法： D不能与5、A、B、C重复，所以有6种选法（数字0－9除去5、A、B、C）。 根据分步乘法计数原理，总情况数为：（种） 那么从5时到6时这1个小时里，此表显示的5个数字都不相同的情况有840种。 【点睛】本题难点在于理解时间格式中每个数位数字的限制条件，以及运用分步乘法计数原理准确计算出所有满足情况的数量。 18. 圆周上有8个点，任意两点用线段连接，这些线段在圆内最多有（ ）个交点。 【答案】70 【解析】 【分析】圆内的交点由两条线段相交形成，而两条相交线段对应圆周上的4个不同点。要让圆内交点数量最多，就需要任意4个圆周上的点，仅对应1个圆内交点，且没有三条线段交于同一点的情况。因此问题转化为从8个点中选出4个点，每一组4个点就对应圆内的1个交点，交点总数等于组合数。 【详解】 【点睛】解决这类圆内交点计数问题的关键，是将交点与圆周上的点建立一一对应关系：每一个圆内交点，都唯一对应一组4个不同的圆周点。因此，直接计算从总点数中选取4个点的组合数，就能得到圆内最多的交点 19. 如图所示，大圆的直径是小圆的5倍，大圆内的“S”形曲线（图中虚线）由两段半圆弧组成。如果已知阴影部分的面积等于4，那么图中空白部分的面积等于（ ）。 【答案】21 【解析】 【分析】 给圆中间画一条辅助线，令小圆的半径r＝1，根据图上的几何关系分别表示出两个阴影半圆和大圆的半径，然后分别表示出阴影部分的面积和空白部分的面积，求出它们的面积比，再结合阴影部分的面积，就可以求出空白部分的面积。 【详解】令小圆的半径r＝1，那么根据图上的几何关系，上边的阴影半圆半径r1＝2，下边的阴影半圆半径r2＝3，大圆的半径R＝5。 上边的阴影部分面积＝上边的阴影半圆面积－1个小圆面积＝πr12－πr2＝×π×22－π×12＝2π－π＝π 下边的阴影部分面积＝下边的阴影半圆面积－3个小半圆面积＝πr22－3×πr2＝×π×32－3××π×12＝π－π＝3π 阴影部分的面积＝π＋3π＝4π 大圆的面积＝πR2＝π×52＝25π 空白部分的面积＝大圆的面积－阴影部分的面积＝25π－4π＝21π 空白部分的面积∶阴影部分的面积＝21π∶4π＝21∶4 空白部分的面积＝4÷4×21＝21 20. 如图，在直角的两个直角边上分别作正方形和。若。则的面积等于____。 【答案】784 【解析】 【分析】连接CE，将三角形分成两部分，由于BC是AC的2倍，那么BG是CE的2倍，阴影部分的面积可以用△CEG＋△CEB＋△BCG来表示。 【详解】如图所示： 【点睛】本题主要考查的是勾股定理与图形的分割，合理分割是求解问题的关键。 21. 如图所示，正六边形ABCDEF中，点P是AB上一点，已知＝8，＝42。求。 【答案】33 【解析】 【分析】正六边形中，各条边均相等，各内角也相等为120°。我们已知两个三角形的面积，求，一定无法直接求得，需要用面积互相转化。 P点在AB线段上的位置未知，设它距离A点x个单位，同时设正六边形边长为a。将题目中所有已知面积的三角形的高全表示出来，用含a的字母表示、，可以得到关于a、x的等量关系。最后表示出，其中的a一定可以等量代换。 关键是如何表示出，的高不是竖直的不好表示，我们要把它放进规则图形里求。观察到矩形APHE与三角形AEF都可求，减去多余的两个三角形，可以直接表示出。接下来只需代入计算即可。 【详解】过P作于H，连AE、BD。 设正六边形边长为，，则。 ，且PH∥AE，∠FAB是正六边形的一个内角，因此。 ，同理可得，∠AEF＝30° 所以三角形AEF是一个底角为30°的等腰三角形，因此底边AE上的高等于腰长的一半，即正六边形边长的一半，底边长为 ， 根据正六边形的特殊性，， 。化简： ； ，代入，化简后得。 。 又已知，，代入计算得16＋25－8＝33。 答：的面积是33。 22. 如图所示，一周长为1的圆顺时针方向绕一边长为1的等边三角形转动。如果此圆绕该三角形的三边转动时没有出现滑动，则该圆最少要转动（ ）圈才能回到原来的位置。 【答案】4 【解析】 【分析】圆在滚动过程中，圆心（或圆上某点）所经过的路径长度由两部分组成：一部分是沿三角形边长滚动的距离，另一部分是绕三角形顶点旋转的距离。 【详解】设圆周长为C＝1，三角形边长为a＝1。 沿三边滚动时，圆心移动路径长为3×1＝3，对应自转圈数： 在每个顶点处，圆需转过外角120°，三个顶点共转过360°＝2π，对应额外自转1圈。 故总自转圈数为：3＋1＝4（圈） 23. 下面的图形中没有对称轴的有（ ）个。 【答案】5 【解析】 【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；折叠的这条直线叫做这个图形的对称轴；图形中没有对称轴，即这个图形不是轴对称图形，依此选择。 【详解】 即图形中没有对称轴的有5个。 【点睛】此题考查的是对称轴的画法，以及轴对称图形的特点，应熟练掌握。 24. 下面图形不能围成一个长方体的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体展开图的类型，主要分为“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型、“3-3”型，据此选择即可。 【详解】A.属于“1-4-1”型，能围成长方体； B.属于“1-4-1”型，能围成长方体； C.属于“3-3”型，能围成长方体； D.不属于长方体展开图，不能围成长方体。 故答案为：D 25. 将下图①围成图②的正方体，图①中标志所在的正方形是正方体中的面（ ）。 A. CDHE B. BCEF C. ABFG D. ADHG 【答案】D 【解析】 【分析】 如上图，将图①各部分编号。 1、2、3、4围成正方体的前、后、左、右面。5、6、7组成正方体的上面，8、9组成正方体的底面。当5号面的顶角向前时，1号面是前面，2号面是右侧面、3号面是后面、4号面是左侧面。据此解答。 【详解】由分析知：将下①围成图②的正方体，图①中标志所在的正方形是正方体中的ADGH面。 故答案为：D 【点睛】本题考查了正方体的展开图，关键是根据上面、底面、特别是上面，弄清围成后前后、左、右四个面的位置。 26. 一个圆锥体的体积是84.78立方厘米，底面的直径是6厘米。它的高是（ ）厘米。（π取3.14） 【答案】9 【解析】 【分析】由题可知，已知底面直径，可得到底面半径，通过底面半径可以求出底面积，在等底等高的条件下，圆锥的体积＝圆柱的体积，圆柱的体积＝底面积×高，已知圆锥体积，可得到圆柱体积，已知圆柱体积和底面积，即可求出结果。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 84.78×3＝254.34（立方厘米） 254.34÷28.26＝9（厘米） 27. 如图，直角梯形的周长，它的面积是（ ）。 【答案】88 【解析】 【分析】用40去掉两条腰，得上下底的和，再利用梯形面积公式即可求得解。据此解答。 【详解】40－（10＋8） ＝40－18 ＝22（厘米） 22×8÷2 ＝176÷2 ＝88（平方厘米） 【点睛】本题虽然求不出上底和下底的具体长度，但是利用上下底的和的数值乘高除以2，是解答此题的关键。 28. 如图，四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。四边形ABCD的面积是（ ）平方厘米。 【答案】45 【解析】 【分析】将四边形ABCD沿BD拆分为两个三角形： 分别计算S△ABD与S△AEF的倍数关系和S△CDB与S△CFE的倍数关系，相加后可得出四边形ABCD的面积与四边形AECF的面积之间的倍数关系。 【详解】因为BD被E、F两点三等分，所以EF＝BD。 因为三角形ABD和三角形AEF同高，所以S△ABD＝3S△AEF，同理可知S△CDB＝3S△CFE。 四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△CDB＝3S△AEF＋3S△CFE＝3（S△AEF＋S△CFE）＝3S四边形AECF＝3×15＝45（平方厘米） 29. 如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。长方形ABO1O的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 【答案】1.57 【解析】 【分析】根据图示，长方形ABO1O的面积等于两个圆的面积减去下面阴影部分的面积再加上上面阴影部分的面积，因为图中两个阴影部分的面积相等，所以长方形ABO1O的面积就等于两个圆的面积和。 【详解】设上面阴影部分的面积为S1，下面阴影部分的面积为S2，那么长方形ABO1O的面积＝两个圆的面积－ S2＋ S1，因为S1＝ S2，所以长方形ABO1O的面积＝两个圆的面积＝3.14×12××2＝3.14×1××2＝1.57（平方厘米） 30. 一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出（ ）升。 【答案】6.4 【解析】 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，求出玻璃缸内水的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体铁块的体积，用玻璃缸内水的体积加上铁块的体积减去玻璃缸的容积就是溢出水的体积，据此列式解答。 【详解】8×6×2.8＋4×4×4－8×6×4 ＝134.4＋64－192 ＝198.4－192 ＝6.4（立方分米） 6.4立方分米＝6.4升 【点睛】此题主要考查长方体的体积（容积）公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 31. 如下图，甲和乙两个圆柱体容器，底面积之比是2∶3。在甲容器中有一个体积是30立方厘米的铁球，此时两容器中水面高度相差1厘米；若把铁球从甲容器移到乙容器中，两容器水面的高度仍然相差1厘米，则甲容器的底面积是（ ）平方厘米。 【答案】25 【解析】 【分析】通过设未知数，根据铁球在不同容器中时两容器水面：高度关系列出方程，进而求解甲容器的底面积。 【详解】设甲容器的底面积为 2x平方厘米，则乙容器的底面积为 3x平方厘米。 铁球在甲容器中时，甲容器水面上升高度为厘米，此时甲容器水面比乙容器高1厘米。 铁球移到乙容器后，乙容器水面上升高度为厘米，此时乙容器水面比甲容器高1厘米。 因此，甲容器水面下降高度与乙容器水面上升高度之和为2厘米，即： 所以，甲容器的底面积为： （平方厘米） 32. 如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，则此立体图形的表面积是（ ）平方厘米。体积是（ ）立方厘米。（π取3.14） 【答案】 ①. 785.12 ②. 668.64 【解析】 【分析】立体图形表面积＝外侧表面积＋内侧表面积 外侧表面积用正方体的表面积减去4个正方形面积和2个圆形面积即可求出。 内侧表面积是由2个圆柱的侧面积，2个中间挖去一个圆的十字的面积和8个长方形的面积组成。 立体图形的体积＝大正方体的体积－挖出图形的体积 大正方体的体积是标准的正方体体积，直接利用公式计算即可。 挖出部分的体积由2部分组成，第一部分是上下圆柱的体积，第2部分是中间十字的体积。中间十字的体积可由两个长方体的体积减去交叉部分正方体的体积求出。 【详解】①立体图留空形的表面积： 外侧表面积： 10×10×6－4×4×4－3.14×（4÷2）2×2 ＝600－64－3.14×4×2 ＝536－25.12 ＝510.88（平方厘米） 内侧表面积： 如图，中间挖去一个圆的十字的面积： 10×4×2－4×4－3.14×（4÷2）2 ＝80－16－12.56 ＝51.44（平方厘米） 2个圆柱的侧面积： 3.14×4×（10－4） ＝3.14×4×6 ＝75.36（平方厘米） 51.44×2＋75.36＋4×（10－4）×4 ＝102.88＋75.36＋96 ＝274.24（平方厘米） 510.88＋274.24＝785.12（平方厘米） 立体图形的表面积是785.12平方厘米。 ② 如图，先求上下圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×（10－4） ＝3.14×4×6 ＝75.36（立方厘米） 中间十字的体积： 4×4×10×2－4×4×4 ＝320－64 ＝256（立方厘米） 正方体的体积：10×10×10＝1000（立方厘米） 1000－75.36－256 ＝924.64－256 ＝668.64（立方厘米） 立体的体积是668.64立方厘米。 33. 如图，已知正六边形ABCDEF的面积是18平方厘米，分别以正六边形对角线为边向外作六个大正六边形，那么阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】150 【解析】 【分析】根据图形的对称性，阴影面积可以分成6个部分，每部分的面积相等，因此只需要算出其中一部分即可。如图进行图形分割，将正六边形ABCDEF平均分成18份，那么每份的面积是1平方厘米。则其中一个阴影部分的面积是2×2＋7×3＝25（平方厘米），因此阴影部分的总面积为25×6＝150（平方厘米）。 【详解】18÷18＝1（平方厘米） （3×7×1＋2×2×1）×6 ＝（21＋4）×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 34. 下图是某个几何体的三视图，根据图中的数据计算：该几何体的体积是（ ）。（π取3） 【答案】29000 【解析】 【分析】依据几何体的三视图，可以看到几何体是由一个长方体和一个圆锥组成的。长方体的长是60，宽是40，高是10；圆锥的底面直径是20，高是50。 长方体的体积＝长×宽×高，圆锥的体积＝×底面积×高，将数据代入计算即可。 【详解】圆锥的底面积： 3×（20÷2）2 ＝3×102 ＝3×100 ＝300 圆锥的体积：×300×50＝5000 长方体的体积：60×40×10＝24000 总体积：24000＋5000＝29000 35. 如图所示，连接正六边形的各个顶点的线段组成一个“六角星”（阴影部分）。若六角星的面积是2024，则正六边形的面积是（ ）。 【答案】4048 【解析】 【分析】本题通过分割图形来分析面积关系。连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分成6个相同的大正三角形。从图中可以看到，每个大正三角形被六角星的边分成2个完全相同的小三角形，其中1个属于六角星（阴影部分），1个属于正六边形（空白部分）。 因此，六角星（阴影部分）由 6×1＝6（个）小三角形组成，正六边形由6×2＝12（个）完全相同的小三角形组成。也就是说，正六边形的面积是六角星面积的2倍。 【详解】正六边形面积：2024×2＝4048 【点睛】解决这类问题，关键是通过合理分割图形，找到阴影部分与整体的关系。 36. 如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的______倍。 【答案】7 【解析】 【分析】观察图形，在三角形ABC内部已经3条线段相交，但是只有两两相交于同一点，结合题目给出边的比例关系，可作辅助线构造燕尾进行解题。 连接AI 因为，CF∶AF＝2∶1 根据燕尾定理，，（份数化统一） 设为2份 得份，则份， 同理连接BG、CH得份，份 所以份 所以三角形ABC的面积是三角形GHI的面积的7倍。 【详解】 设为2份 （份） （份） 7÷1＝7 37. 在下图中，AB、CD表示两条海岸线，甲、乙是两个小岛。若某只小船从甲岛出发，先到达AB岸，然后到达CD岸，最后到乙岛。小船走什么路线最短？ 【答案】见详解 【解析】 【分析】由题可知，求小船走什么路线最短，那么两点之间直线最短，将小船的行走路线用一条直线表示出来，那么这条直线就是最短路线。以AB为对称轴，画出甲的对称点，同理以CD为对称轴，找出乙的对称点，连接两个对称点，这条直线与AB、CD相交的点，就是所求结果。 【详解】用点J表示甲岛，用点K表示乙岛， 以AB为对称轴，作点J的对称点E，以CD为对称轴，作点K的对称点F，连接EF，分别交AB于G，交CD于H， 根据对称的性质可得： JG＝EG，小船从甲岛到AB的距离，就等同于从E到AB的距离； KH＝FH，小船从乙岛到CD的距离，就等同于从F到CD的距离； 两点之间，直线最短小船行走的路线，全部规划到一条直线。 小船行走的三条线段，集中到一条线段上,如下图所示： JG、GH、HK就是小船走的最短路线，即从甲到G，再从G到H，最后从H到乙。 38. 某校有100名学生到离学校33千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘25人的中型面包车，为了让全体学生尽快到达目的地，决定采取步行与乘车相结合的办法。已知学生步行的速度是5千米每小时，汽车行驶的速度55千米每小时。请你设计一个方案，使全体学生都能到达目的地并且所用的时间最短，最短时间是（ ）小时。 【答案】2.6 【解析】 【分析】根据汽车与学生步行的速度比，确定路程比，将学生分组，通过分析汽车行驶和学生步行的路程关系，计算出最短时间。 【详解】步行速度和汽车速度比为5：55＝1：11 学生需分成100÷25＝4（组） 出发时，每一组乘车，其他三组同学步行，汽车往返接送，最后全部同时到达，用时最短。 根据上面公式，学校到采摘园的路程被平均分成 （份） 每份路程为 （千米） 汽车行6份，人步行3份 所以最短时间为 （小时） 39. 一项工程先由甲队独做12天，再由乙队接手。乙队独做20天后，甲队又回来与乙队合作。在两队合作时，甲队工作效率比原来提高了，乙队工作效率提高了1倍，这样合作15天后，整个工程恰好完成了一半。那么甲、乙两队再合作（ ）天就可以把剩下的工作做完。 【答案】25 【解析】 【分析】已知甲队回来跟乙队两队合作时，甲队工作效率比原来提高了，乙队工作效率提高了1倍，则甲原来和现在工作效率的比为：1∶1＋＝5∶6，乙原来和现在工作效率的比为1∶1＋1＝1∶2，根据工作总量一定，工作效率和工作时间成反比，相同的工作量，甲原来和现在所用时间比为6∶5，乙原来和现在所用时间比为2∶1，甲原来做12天的工作量现在所用时间为：12÷6×5＝10（天），乙原来做20天的工作量现在所用时间为：20÷2＝10（天），即原来甲队独做12天，再由乙队独做20天的工作量相当于两人按照新的工作效率合作10天的工作量，后面两队又合作了15天，一共完成了一半，等于两队从开始就按照新的工作效率合作了10＋15＝25（天）完成了工程的一半，那么甲乙继续合作还是用25天完成剩下的一半工程。 【详解】＝＝5∶6，＝6∶5，12÷6×5＝10（天） ＝1∶1＋1＝1∶2，＝2∶1，20÷2×1＝10（天） 10＋15＝25（天） 40. 一条匀速流动的河，甲乙两码头分别在上游和下游，相距200千米。A、B两船分别从甲乙码头同时出发相向而行，相遇后继续前进，到达对方的码头后立刻返回，并在途中第二次相遇，如果两次相遇间隔4小时。A、B的静水速度分别是36km/h和64km/h，则水流速度为（ ）km/h。 【答案】14 【解析】 【分析】顺水速度等于静水速度加水流速度，逆水速度等于静水速度减水流速度。两船从河道两端同时出发相向而行，速度和等于两艘船静水速度相加，不受水速影响。由“路程除以速度的和等于相遇时间”列式，可得出从出发到第一次相遇合走1个全程，用了2小时，第一次相遇到第二次相遇合走2个全程，通过“两次相遇间隔4小时”可列式4÷2=2（小时），可得出每合走1个全程用时都相等，说明两船实际行进速度相等，据此列出方程，就能求出水流速度。 【详解】合走一个全程所用的时间： 解：设水流速度为x千米/时。 【点睛】本题关键在于利用两次相遇的路程时间特征，得出两船实际行驶速度相等，结合流水行船顺水速度、逆水速度的关系式直接列方程求解水流速度。 41. 两块合金含金比例不同，重量分别为64千克和25千克。从两块合金上各切下m千克的一块，彼此交换后重新融合，得到两块含金比例相同的合金，则m＝（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】本题的解题思路为：首先，互换相同质量的合金后，两块合金的总质量都没有变化。每块合金都由两部分组成，一部分是自身剩余的合金，另一部分是交换得来的合金。然后分别表示出交换后两块合金的含金量。最后，根据两块合金的含金比例相等，列出等量关系式，再依据等量关系式列方程并化简求解。 【详解】解：设两块合金每千克含金量分别为 a、b（a≠b）。 交换后，64千克合金的含金量为（64－m）a ＋ mb，含金比例为； 25千克合金的含金量为（25－m）b ＋ ma，含金比例为。 根据题意，列方程， 依据比例的基本性质，得 展开算式，得 【点睛】这类合金互换配比问题，不用分别求出两种合金具体含金量，只需抓住互换后含金比例相同这一条件列式。解题不用考虑合金含金量具体是多少，计算中会自然抵消，只需要理清互换后每块合金含金量的组成，按相等关系列式整理即可。 42. 甲、乙、丙三人同时从A点出发，按逆时针方向沿着正方形ABCD的4条边跑步。已知三个人的速度分别为每秒5米、4米和3米。在甲第一次看到乙、丙与他在同一条边后，又过了7分钟，三个人第一次到达同一点，那么四条边的总长最少是（ ）米。 【答案】4200 【解析】 【分析】因为甲、乙、丙的速度比为5：4：3，所以路程比也是5：4：3，即甲跑5圈，乙跑4圈，丙跑3圈，此时三人处在同一位置，都在A点（因为速度差均为1m/s，只有回到起点三人才能重合）。7分钟＝420秒，从甲看到乙、丙同边的时刻，到三人在A点重合的时刻，间隔420秒。甲在420秒内跑到路程：5×420＝2100（米），此时甲到达A点，说明2100米是正方形边长的整数倍。甲看到乙、丙与自己同边的条件：甲、丙速度差为5－3＝2（m/s），420秒内的路程为2×420＝840（米），要让乙、丙都在甲所在边上，必须满足正方形的边长不小于840米（否则甲、丙的距离会超过一条边的长度，无法同边）。 2100÷1＝2100＞840；2100÷2＝1050＞840；2100÷3＝700＜840；所以正方形的边长是2100米或1050米。根据正方形周长＝边长×4，可知周长为2100×4＝8400（米）或1050×4＝4200（米），8400＞4200，所以四条边的总长至少为4200米。 【详解】因为甲、乙、丙的速度比为5：4：3，所以路程比也是5：4：3。 7分钟＝420秒 5×420＝2100（米） 5－3＝2（m/s） 2×420＝840（米） 2100÷1＝2100＞840 2100÷2＝1050＞840 2100÷3＝700＜840 所以正方形的边长是2100米或1050米。 2100×4＝8400（米） 1050×4＝4200（米） 8400＞4200 所以四条边的总长至少为4200米。 【点睛】在相同时间内速度的比等于路程的比，确定共点的位置，用时间差求甲的路程，然后用同边的条件确定边长范围，筛选边长确定最小周长。 43. 一块肥皂使用一次，它的体积减少当前体积的10%，当肥皂使用n次后，它的体积小于原来的一半，那么n的最小值是（ ）。 【答案】7 【解析】 【分析】肥皂使用一次后体积变为原来的（1－10%），也就是0.9倍。那么使用两次后体积就是第一次使用后体积的0.9倍，即原来体积的0.9×0.9＝0.9²倍。以此类推，使用n次后体积就是原来体积的0.9n倍。我们要找到n的最小值，使得0.9n小于，也就是0.5。从n＝1开始，逐步计算0.9n的值，看它什么时候开始小于0.5即可。 【详解】n＝1时，肥皂体积变为原来的0.9倍，0.9＞0.5； n＝2时，肥皂体积变为原来的0.9²＝0.81倍，0.81＞0.5； n＝3时，肥皂体积变为原来的0.9³＝0.729倍，0.729＞0.5； n＝4时，肥皂体积变为原来的0.94＝0.6561倍，0.6561＞0.5； n＝5时，肥皂体积变为原来的0.95＝0.59049倍，0.59049＞0.5； n＝6时，肥皂体积变为原来的0.96＝0.531441倍，0.531441＞0.5； n＝7时，肥皂体积变为原来的0.97＝0.4782969倍，0.4782969＜0.5。 所以n的最小值是7。 44. 某店原来将一批苹果按100%的利润定价出售，由于定价过高，无人购买，后来不得不按38%的利润定价，这样出售了其中的40%。此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%。那么第二次降价后的价格是原定价的（ ）%。 【答案】62.5 【解析】 【分析】先根据利润和利润量，算出第一次售出的利润，38%×40%＝0.152，再根据总利润（30.2%）减去第一次售出的利润，算出第二次售出的利润，30.2%－0.152＝0.15，进而根据第二次售出的利润和售出量（1－40%），算出第二次售出后的利润率，0.15÷（1－40%）×100%＝25%，最后算出第二次降价后的价格是原定价（1＋100%）的百分之几，（1＋25%）÷（1＋100%）×100%＝62.5%。 【详解】原定总利润为100%。 第一次售出的利润：38%×40%＝0.152 第二次售出的利润：1×30.2%－0.152＝0.15 第二次售出的利润率：0.15÷（1－40%）×100%＝25% 第二次售出的价格是原定价的百分之几：（1＋25%）÷（1＋100%）×100%＝62.5% 第二次降价后的价格是原定价的62.5%。 【点睛】首先能求出第二次售出的利润，再根据第二次售出的利润求第二次售出的利润率。 45. 已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子贵288元，一张桌子（ ）元。 【答案】320 【解析】 【分析】把椅子价钱看作1份，桌子价钱就是10份。桌子比椅子多（10－1）份，对应贵288元。先求1份椅子价钱，再求桌子价钱。 【详解】椅子：288÷（10－1）＝32（元）； 桌子：32×10＝320（元）。 46. 要生产某种产品100吨，需用A种原料200吨，或B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E种原料180吨。现用A种原料及另外一种（指B，C，D，E中的一种）原料共19吨可生产此种产品10吨。试分析所用另外一种原料是哪一种，A原料用了多少吨？ 【答案】E种原料；10吨 【解析】 【分析】首先根据生产100吨产品所需各种原料的吨数，计算出每种原料生产1吨产品所需的原料吨数。接着计算实际生产中平均每生产1吨产品消耗的原料吨数，通过与各原料单耗对比，确定另外一种原料的种类。 再利用假设法，假设产品全部由A种原料生产，计算出原料差额，进而求出另外一种原料生产的产量及各自消耗的原料吨数。 【详解】（1）各种原料生产1吨产品所需的原料吨数： A种原料：200÷100＝2（吨） B种原料：200.5÷100＝2.005（吨） C种原料：195.5÷100＝1.955（吨） D种原料：192÷100＝1.92（吨） E种原料：180÷100＝1.8（吨） 实际混合生产时平均每吨产品消耗的原料吨数： 19÷10＝1.9（吨） 因为A种原料生产1吨消耗为2吨，混合后的平均生产1吨消耗为1.9吨，小于2吨，所以另外一种原料生产1吨的消耗必须小于1.9吨。 对比各原料消耗： B：2.005＞1.9 C：1.955＞1.9 D：1.92＞1.9 E：1.8＜1.9 只有E种原料生产1吨的消耗小于1.9吨，故另外一种原料是E种原料。 答：所用另外一种原料是E种原料。 （2）假设生产的10吨产品全部由A种原料生产，所需原料吨数为：10×2＝20（吨） 实际所用原料吨数与假设的差额为：20－19＝1（吨） 每生产1吨产品，使用E种原料比使用A种原料节省的原料吨数为：2－1.8＝0.2（吨） 由E种原料生产的产品吨数为：1÷0.2＝5（吨） E种原料使用的吨数为：5×1.8＝9（吨） A种原料使用的吨数为：19－9＝10（吨） 答：A原料用了10吨。 47. 两辆汽车都从A地出发到B地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达B地，它要比货车提前开出（ ）小时。 【答案】3 【解析】 【分析】由题可知，两车都从A地到B地，则两车的路程相同，已知货车的速度和行驶时间，可求出A地到B地的路程，已知客车的速度，可求出客车的行驶时间，两者同时到达，则用客车的时间减去货车的时间，即可得到结果。 【详解】60×15＝900（千米） 900÷50＝18（小时） 18－15＝3（小时） 48. 有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件。这批零件共有（ ）个。 【答案】180 【解析】 【分析】我们只需求出这多做的20个零件对应多少份工作总量，这道题就很简单了。将工作总量看作单位“1”，工作总量相同时，甲、乙的效率比就是工作时间的反比，先求甲、乙工作效率比；合作完工时间相同，工作量比等于效率比。利用工作量差对应20个零件，求出总零件数。 【详解】根据分析， 甲的工作效率：； 乙的工作效率：； 甲、乙两人的效率比：，则工作总量的比：5∶4。 甲比乙多5－4＝1份，总份数：5＋4＝9份； 总零件数：20÷（5－4）×（5＋4） ＝20÷1×9 ＝180（个）。 49. 一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物距客船5千米。客船在行驶20千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇。则水流的速度为（ ）千米/小时。 【答案】6 【解析】 【分析】物品落水后随水流漂流，速度等于水流速度；客船向上游行驶，速度为“静水速度-水流速度”。两者的相对速度就是客船的静水速度，与水流无关。 客船的往返过程：客船先向上游行驶20千米，再掉头向下游追赶物品。物品一直在随水流向下游漂流，客船追上物品时，物品漂流的时间等于客船从出发到追上的总时间。 货船的运动：货船从乙码头向上游行驶，与客船、物品同时相遇，说明货船的行驶时间也等于客船的总时间。 【详解】（1）求客船的静水速度： 物品落水后，会顺着水流往下漂，速度等于水流速度；客船往上开，逆水速度是“静水速度-水流速度”。 两者是反向运动，相对速度=客船逆水速度+物品漂流速度=（静水速度-水流速度）+水流速度=静水速度 物品落水后，10分钟（即小时）与客船相距5千米。那么静水速度为：（千米/小时） （2）分析“客船追物品”的过程（抵消水流影响）： 客船先向上游开20千米，再掉头往下追物品。物品一直在往下漂，速度是水流速度，客船掉头后的顺水速度为：静水速度+水流速度 两者的相对速度：客船顺水速度-物品漂流速度 =（静水速度+水流速度）-水流速度 =静水速度（30千米/小时） 已知客船往上开时，它和物品的相对速度，就是客船的静水速度（水流对两者的影响抵消了）。 客船往下追时，它和物品的相对速度，还是客船的静水速度（水流对两者的影响再次抵消）。 这说明：客船追上物品的时间，等于它逆水行驶20千米的时间。 （3）计算相遇需要的时间： 根据题意“两船的静水速度相同且始终保持不变”，因为两船静水速度相同，逆水速度也相同，所以它们的相对位置始终保持 50 千米不变，所以当客船折返的时候，两船相距是50千米。 客船掉头后的顺水速度为：静水速度＋水流速度；货船往上开，速度为：静水速度-水流速度。 两船相对的速度是：静水速度+水流速度+静水速度-水流速度=2个静水速度：（千米/小时） 两船相遇需要的时间：（小时） （4）计算水流速度： 已知客船追上物品的时间，等于它逆水行驶20千米的时间，所以客船的逆水速度为：（千米 / 小时） 水流速度=静水速度-逆水速度 （千米/小时） 所以水流的速度为6千米/小时。 50. 甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲种酒精取了（ ）升，乙种酒精取了（ ）升。 【答案】 ①. 12 ②. 30 【解析】 【分析】利用十字交叉法，根据第一次混合时甲乙两种酒精的纯酒精含量以及混合后的纯酒精含量，求出第一次混合时甲乙两种酒精数量的比例。 同理，对第二次混合进行相同操作，得出第二次混合时甲乙两种酒精数量的比例。 将初次混合时甲种酒精的数量设为未知数，然后根据比例关系将初次混合时乙种酒精的数量表示出来。再将这两个数带入第二次混合得出的比例式中，解出甲乙两种酒精的数量。 【详解】第一次混合时甲乙酒精数量比例： 用十字交叉法： 甲：62%－58%＝4% 乙：72%－62%＝10% 所以第一次混合时甲、乙两种酒精数量之比为4%∶10%＝2∶5，设第一次混合时甲种酒精数量为x，那么x∶乙种酒精数量＝2∶5，所以乙种酒精数量＝x。 第二次混合时甲乙酒精数量比例： 用十字交叉法： 甲：63.25%－58%＝5.25% 乙：72%－63.25%＝8.75% 所以第二次混合时甲、乙两种酒精数量之比为5.25%∶8.75%＝3∶5 此时甲酒精取了（x＋15）升，乙酒精取了（x＋15）升，那么： （x＋15）∶（x＋15）＝3∶5 3（x＋15）＝5（x＋15） x＋45＝5x＋75 x－5x＝75－45 x＝30 x＝30× x＝12 带入乙种酒精数量计算，x＝×12＝30（升）。 第一次混合时，甲种酒精取了12升，乙种酒精取了30升。 51. 要制造甲、乙两批零件，张师傅单独制造甲零件要9小时，单独制造乙零件要12小时。王师傅单独制造甲零件要3小时，单独制造乙零件要15小时。如果两人合作制造这两批零件，最少需要（ ）小时。 【答案】8 【解析】 【分析】设甲、乙两批零件的任务量均为1.根据题意可知：张师傅单独制造甲零件的工作效率是，单独制造乙零件的工作效率是；王师傅单独制造甲零件的工作效率是，单独制造乙零件的工作效率是。比较两人单独制造甲、乙零件的效率，甲零件：＞，王师傅效率更高，优先让王师傅制造甲零件；乙零件：＞，张师傅效率更高，优先让张师傅制造乙零件。王师傅完成甲零件需3小时，此时张师傅制造乙零件也用了3小时，则乙零件剩下的工作量是；还需合作＝＝5（小时）；所需的最少时间为3＋5＝8（小时）。 【详解】设甲、乙两批零件的任务量均为1。 ＞，＞ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5（小时） 3＋5＝8（小时） 52. 16人3天平整土地67.2亩。如果每人每天工作效率提高25%，20人平整280亩土地需要（ ）天。 【答案】8 【解析】 【分析】由题可知，16人3天平整土地67.2亩，可得到1人1天平整土地多少亩，用原来的工作效率乘（1＋25%），得到现在的工作效率，再用现在的工作总量除以现在人数，所得结果再除以现在的工作效率，就可得到结果。 【详解】67.2÷16＝4.2（亩/人） 4.2÷3＝1.4（亩/人/天） 1＋25%＝125% 1.4×125%＝1.75（亩/人/天） 1.75×20＝35（亩/天） 280÷35＝8（天） 53. 甲、乙两个长方形长的比是4∶5，宽的比是3∶2，面积的和是242平方厘米。甲、乙两个长方形的面积分别是（ ）平方厘米、（ ）平方厘米。 【答案】 ①. 132 ②. 110 【解析】 【分析】设甲、乙两个长方形的长分别为4与5，宽分别为3和2，甲的面积为4×3＝12，乙的面积为5×2＝10，甲、乙的面积比为＝。设甲的面积为6份，则乙的面积为5份，甲、乙的面积和为6＋5＝11（份）。将甲、乙的面积和看作单位“1”，则甲的面积是甲、乙的面积和的，乙的面积是甲、乙的面积和的；根据“求一个数的几分之几用乘法”，即可分别求出甲、乙的面积分别是多少。 【详解】设甲、乙两个长方形的长分别为4与5，宽分别为3和2。 4×3＝12 5×2＝10 ＝ ＝ ＝ 甲：242×＝242×＝132（平方厘米） 乙：242×＝242×＝110（平方厘米） 54. 某校六年级男生人数是女生的，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的，现在男生有（ ）人，女生有（ ）人。 【答案】 ①. 36 ②. 48 【解析】 【分析】依据题意“男生人数是女生的”，可以得出原来的男女生人数比是2∶3，再根据变化后的人数建立比例关系，列方程求解。 【详解】根据分析已知原来的男女生人数比是2∶3，设男生人数为2x，则女生人数为3x。 转进2名男生，现在的男生人数为； 转走3名女生，现在的女生人数为； 依据“男生人数是女生的”，可得现在男女生人数的比是3∶4， 代入式子计算： 现在的男生人数为： （人） 现在的女生人数为： （人） 所以现在男生有36人，女生有48人。 55. 某水池有甲乙两个排水管和一个进水管。如果盛满一池水，单开甲管或乙管分别需要6小时和4小时才能把水排完。如果现在水池中有一部分水，并且同时打开甲管和进水管，用了10小时就将水排完；而如果同时打开甲管、乙管和进水管，则只用2.5小时就将水排完，那么水池中的水占全部水池的（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】先设水池总水量为单位“1”，算出甲、乙两个排水管的排水效率，再通过两种排水方案的用时差，求出进水管的进水效率，最后根据进水效率和排水效率，计算出水池中原有的水量占总水量的比例。 【详解】设水池总水量为单位“1”，计算排水管效率： 甲管每小时排水：1÷6＝ 乙管每小时排水：1÷4＝ 计算两种方案的总排水量： 方案1总排水量：10× 方案2总排水量： 2.5× 两种方案的总排水量差： 进水管工作时间差：10－2.5＝小时 进水管每小时进水： 每小时净排水量： 水池原有水量： 【点睛】这道题的核心是用差量法消元，通过两种排水方案的差异，消去原有水量这个共同量，直接求出进水管的进水效率，再反推原有水量。 56. 一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现由甲，乙，丙三人合作完成此工程，工作过程中，甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息。这项工程一共用了（ ）天。 【答案】17 【解析】 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别得出甲乙丙三个人工作效率。 假设甲、乙不休息，则可以求出此时的工作总量为：，三人的工作效率和为：，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率得出时间即可。 【详解】 （天） 则这项工程一共用了17天。 57. 有一游泳池，第一次放出全部水的，第二次放出36立方米的水，第三次放出剩下水的，游泳池里还剩下30立方米的水，游泳池原来有水（ ）立方米。 【答案】210 【解析】 【分析】这道题可以采用倒推法，从最后剩余的水量逐步往前推算。先把第二次放完后剩下的水量看作单位 “1”，第三次放出它的，剩余的30立方米对应第二次放完后水量的，据此可求出第二次放完后剩下的水量；再把游泳池原来的总水量看作单位 “1”，第一次放出全部水的，剩余水量为总水量的，这部分水量减去第二次放出的36立方米后，正好等于第二次放完后剩下的水量，据此可求出游泳池原来的总水量。 【详解】 58. 某超市9时开门营业，开门前就有人等候入场。假设从第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数一样多。那么如果开4个门，等候的人要全部进入超市要8分钟；如果开6个门，等候的人要全部进入超市要4分钟。第一个顾客到达的时间是（ ）。 【答案】8时52分##8：52 【解析】 【分析】把每个门每分钟进入的顾客数量看成1份。开4个门8分钟进入的总人数就是4×8＝32（份），开6个门4分钟进入的总人数就是6×4＝24（份）。这两个总人数不一样，是因为开门时间不同，多出来的时间里又新来了一些顾客。所以用两次总人数的差除以时间差，就能得到每分钟新增加的顾客份数。再通过开4个门8分钟进入的总人数，就能算出开门前已经等候的顾客数量。用开门前已等候的顾客数量除以每分钟新增加的顾客数量，得到从第一个顾客来起到9时开门经过的时间，从而推出第一个顾客到达的时间。 【详解】把每个门每分钟进入的顾客数量看成1份。 开4个门8分钟进入的总人数：4×8＝32（份）。 开6个门4分钟进入的总人数：6×4＝24（份）。 时间差为8－4＝4（分），人数差为32－24＝8（份）。 所以每分钟新增加的顾客数量为8÷4＝2（份）。 开4个门8分钟进入32份顾客，这8分钟里新增加的顾客数量为2×8＝16（份）。 那么开门前已等候的顾客数量为32－16＝16（份）。 所以从第一个顾客来起到9时开门经过的时间为16÷2＝8（分）。 9时往前推8分钟是8时52分，所以第一个顾客到达的时间是8时52分。 59. 小明下午放学回家，休息了一会儿开始做作业，此时他看到钟面上分针略超过时针。完成作业时，小明发现分针与时针恰好互换了位置。小明做家庭作业用了（ ）分钟。 【答案】## 【解析】 【分析】时针和分针在整个过程中，相当于共同走过了一圈，也就是360°。把这一圈的角度看成总路程，然后分别计算时针和分针每分钟转动的角度作为时针和分针的速度。最后用总路程除以速度和，就可以得到所用的时间，也就是小明做作业的时间。 【详解】时针每分钟走的角度：360°÷720＝0.5° 分针每分钟走的角度：360°÷60＝6° 时针和分针每分钟转动的角度和：0.5°＋6°＝6.5° 小明做作业的时间：360°÷6.5°＝（分）＝（分） 60. 某人从住地外出有两种方案：一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去，公共汽车速度比自行车快，但要等候（候车时间可看作固定不变的）。在任何情况下，他总采用花时间最少的方案。下表表示他到达A，B，C三地采用最佳方案所需时间。为了到达离住地8千米的地方，他最少需要花（ ）分钟。 目的地 目的地离住地距离 最佳方案所需时间 A 2km 12分 B 3km 15.5分 C 4km 18分 【答案】28 【解析】 【分析】A地2千米，用时12分钟；B地3千米，用时15.5分钟。因为3千米比2千米远但用时仅多15.5－12＝3.5（分钟），且公共汽车速度更快，所以短距离（＜3千米）时选择骑自行车。骑自行车的速度为：（千米/分）。B地3千米，若骑自行车，所用时间为：（分钟），最佳方案用时15.5分钟，比骑自行车用时少，故选择乘坐公共汽车，所以长距离（≥3千米）时选择乘坐公共汽车。公共汽车每行驶1千米，所用的时间为：18－15.5＝2.5（分钟）；公共汽车行驶3千米所用时间为：3×2.5＝7.5（分钟），候车时间为：15.5－7.5＝8（分钟），公共汽车行驶8千米所用时间为：8×2.5＝20（分钟），最少所需总时间为：8＋20＝28（分钟）。 【详解】根据以上分析可知：到达离住地8千米的地方应选择乘坐公共汽车。 汽车每行驶1千米需要的时间为：18－15.5＝2.5（分钟） 行驶3千米所用时间为：3×2.5＝7.5（分钟） 候车时间为：15.5－7.5＝8（分钟） 行驶8千米所用时间为：8×2.5＝20（分钟） 8＋20＝28（分钟） 【点睛】本题解题关键是：通过短距离（2千米、3千米）的时间差判断短距离选择骑自行车，长距离（4千米）选择乘坐公共汽车； 利用长距离的时间差求出公共汽车行驶1千米的时间，进而算出候车时间； 用候车时间加公共汽车行驶8千米的时间，得到所需的总时间。 61. 新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。搬书的老师_______人，男生_______人，女生_______人 【答案】 ①. 3 ②. 3 ③. 8 【解析】 【分析】设老师x人，男生y人，女生z人，由题意可知，老师和学生的总人数为14人，据此列方程：x＋y＋z＝14，又知100本教科书，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好搬完，可列方程：12x＋8y＋5z＝100。由方程x＋y＋z＝14，可得z＝14－x－y，代入方程12x＋8y＋5z＝100，得，再根据人数是正整数，从小到大枚举，直到找到答案。 【详解】解：设老师x人，男生y人，女生z人． x＋y＋z＝14 12x＋8y＋5z＝100 z＝14－x－y 代入12x＋8y＋5z＝100 12x＋8y＋5×（14－x－y）＝100 因为人数是正整数，我们从小到大枚举： 时，，不是整数，舍去； 时，，不是整数，舍去； 时，，得，再算得，符合要求； 时，，不是整数，舍去； 时，不是正整数，舍去。 所以，解得：x＝3，y＝3，z＝8 62. 某地水费，不超过10吨时，每吨4.5元，超过10吨时，超出部分按每吨8元，张家比李家多交水费33元，如果两家的用水量都是整数吨，李家交水费（ ）元，张家交水费（ ）元。 【答案】 ①. 36 ②. 69 【解析】 【分析】先判断两家的用水档位：张家比李家多交33元，33既不是4.5的整数倍，也不是8的整数倍，说明张家用水超过10吨，李家用水没超过10吨。差价由两部分组成：李家少交的低价段水费 ＋ 张家多交的高价段水费，结合“两家的用水量都是整数吨”的条件，用凑数法找出符合的用水量。 【详解】先算10吨水的费用：10×4.5＝45元。 设李家用水a吨（a≤10），张家超出10吨的部分为b吨（b≥1）。 差价33元＝李家10吨少交的水费＋张家超出部分多交的水费 也就是：（10－a）×4.5＋b×8＝33 因为 a、b 都是整数，（10－a）是1到10间的整数，代入试算： 当10－a＝2时，2×4.5＝9元，剩下 33－9＝24元，24÷8＝3吨，b＝3符合条件。 所以：a＝10－2＝8吨，张家总用水10＋3＝13吨。 算水费： 李家：8×4.5＝36元 张家：10×4.5＋3×8＝45＋24＝69元 【点睛】这类分段计费问题，核心是先通过差价的倍数特征判断双方所处的计费区间，再结合整数条件拆分差价，用试算法找到唯一解。 63. 某人从甲城到乙城，两城相距24千米，步行一半路程后改骑自行车，共经4小时到达。回来时，仍一半路步行，一半路骑摩托车，而步行的速度是原来速度的，摩托车的速度比自行车的速度提高1倍，但仍比去时多用了30分钟才回到甲城。原来步行的速度是（ ）千米/时。原来自行车的速度是（ ）千米/时。 【答案】 ①. 4 ②. 12 【解析】 【分析】将一开始步行和骑自行车的速度分别设为未知数，然后表示出回来时的步行速度和骑摩托车的速度，分别列出二元一次方程联立求解。 【详解】解：设一开始步行的速度为x，骑自行车的速度为y。 30分钟＝0.5小时 整理等式并在等号两边同时乘xy得： ②－①×2得： 等号两边同时除以y得：2.5x＝10，x＝10÷2.5＝4 将x＝4代入①中计算得y＝12。 原来步行的速度是4千米/时，原来自行车的速度是12千米/时。 64. 一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪救险，如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速行驶72千米，再将速度提高三分之一，就可以比预定时间提前30分钟赶到。这支解放军部队一共需要行（ ）千米。 【答案】216 【解析】 【分析】解答本题的核心在于利用路程不变时，速度和时间成反比的规律。通过分析提速前后速度的变化比例，我们可以推导出走同一段路所需时间的变化比例，进而利用提前节省的时间，求出如果全程按原计划行驶，各段路程分别需要耗费的时间。 【详解】汽车按原速行驶1个小时后，车速提高五分之一，提速后的速度与原速之比就是6：5，则所用时间与原计划行驶这段路程的时间之比为5：6。 而一共少用了20分钟，那么如果继续按原速行驶，还需要行驶20÷（6−5）×6＝120分钟。 汽车先按原速行驶72千米，再将车速提高三分之一与原速之比就是4：3，则行驶后面这段路程所用时间与原计划时间之比为3：4。现在少用了30分钟，那么如果继续按原速行驶，还需行驶30÷（4−3）×4＝120分钟。 比较两种方案可知，汽车1小时行驶的路程正是72千米，因此这支部队的总行程是72×（1＋120÷60）＝216千米。 65. 一家股份公司有2011个股东。其中任意1500个股东联合起来都可以具有控制权（即占有不少于一半的股份），一个股东所占股份的份额最多是（ ）%。 【答案】33 【解析】 【分析】要让一个股东的股份尽可能大，需要满足条件：任意1500个股东的股份和不少于总股份的一半。最坏情况是选出的1500个股东都不包含这个最大股东，因此这1500个中小股东的股份和至少要等于总股份的50%，才能让最大股东股份最大，据此求出这1500个中小股东的股份和至少要有的股份，再用100%减去这个数即可。 【详解】总共有2011个股东，去掉最大股东，还剩2011－1＝2010个中小股东。 要求任意1500个中小股东的和≥50%，为了让最大股东股份最大，所有中小股东股份相等，且刚好满足1500×单个中小股东股份＝50%，得单个中小股东股份＝​。 所有中小股东总股份＝2010×＝67%。 因此最大股东股份＝100%－67%＝33%。 【点睛】本题的核心破题逻辑是抓住极端约束，要让单个股东的股份最大，等价于让其余所有股东的总股份尽可能小，在满足约束的前提下，其余所有股东股份相等时，其余总股份最小，就能算出单个股东的股份上限。 66. 一房间中有红黄蓝三种灯，当房间所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红黄灯都亮；第三次拉开关，红黄蓝灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭。现在编号1～100的同学走过该房间，并将开关各拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，拉的次数是自己的编号数；编号为偶数者，若其编号可以写成（其中P为正奇数，n为正整数），就拉P次。100人都走过房间后，灯的情况为（ ）。 A. 只有红灯亮 B. 只有红黄灯亮 C. 三灯都亮 D. 三灯都不亮 【答案】D 【解析】 【分析】从题目描述中发现灯的亮灭以4次拉开关为一个周期（关→红亮→红黄亮→全亮→全关）。分别计算出不同编号的人拉的次数，求出次数总和。通过奇偶性分析，判断总次数的奇偶性，除以周期的余数，根据余数找到灯的最终状态。 【详解】先确定灯的亮灭周期： 初始状态：三灯全关（0次） 第1次拉：红灯亮 第2次拉：红、黄灯亮 第3次拉：红、黄、蓝灯都亮 第4次拉：三灯全关（回到初始状态）→周期为4，灯的状态由“拉开关次数除以4的余数”决定： 余1：红灯亮；余2：红、黄灯亮；余3：三灯都亮；余0：三灯全关。 再计算1~100号同学总共拉开关的次数的奇偶性，以及拉开关的次数除以4的余数情况： （1）奇数编号同学（1，3，5，，99），拉的次数＝自己的编号（奇数） 1~100中有50个奇数，每个奇数编号拉奇数次，总次数为：50个奇数相加 奇数编号同学拉的次数和为：（次） （2）偶数编号同学拉的次数和： 设任意偶数为k，写成（P为正奇数，n≥1，且k≤100），拉开关次数为P次（奇数）。 把2~100的偶数，按能被2整除的次数分类： 能被整除但不能被整除（即仅含1个2的因数，P×2）： 形式：k＝2P，即P＝1，3，5，…，49（共25个） 和：（次） 能被整除但不能被整除（含2个2的因数，P×4）： 形式：k＝4P，即P＝1，3，5，…，25（共13个） 和：（次） 能被整除但不能被整除（含3个2的因数，P×8）： 形式：k＝8P，即P＝1，3，5，…，11（共6个） 和：（次） 能被整除但不能被整除（含4个2的因数，P×16）： 形式：k＝16P，即P＝1，3，5（共3个） 和：1＋3＋5＝9（次） 能被整除但不能被整除（含5个2的因数，P×32）： 形式：k＝32P，即P＝1，3（共2个） 和：（次） 能被整除（含6个2的因数，P×64）： 形式：k＝64P，即P＝1（共1个） 和：1（次） 所以偶数总次数和​：（次） ​拉开关次数总和:（次） 余数为0，对应周期的初始状态：三灯都不亮。 67. 一个盒子里有100张卡片，每张上面写有一个数，已知写“1”的有1张，写“2”的有2张，写“3”的有3张，……，写“9”的有9张，剩下全写“0”。那么在盒子中至少拿出（ ）张卡片才能保证一定有5张卡片上面写的数相同。（“9”倒过来不能看作“6”） 【答案】35 【解析】 【分析】本题解题关键是先计算每种数字的卡片数量，再找出 “最不利” 的拿卡情况：即先把无法凑够5张的数字卡片全部拿完，再把能凑够5张的数字卡片各拿4张，此时再拿1张，就一定能保证有5张卡片数字相同。 【详解】先计算各数字卡片的数量： 写1到9的卡片总数： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝ 45（张） 写0的卡片数量： 100－45 ＝ 55（张） 分析最不利情况： 数字 1：只有1张，全部拿完 数字 2：只有2张，全部拿完 数字 3：只有3张，全部拿完 数字 4：只有4张，全部拿完 数字 5：拿4张（最多拿 4 张，仍不够5张） 数字 6：拿4张 数字 7：拿4张 数字 8：拿4张 数字 9：拿4张 数字 0：拿4张 计算最不利情况下拿的总张数： 1＋2＋3＋4 ＋ 4×6 ＝ 10 ＋ 24 ＝ 34（张） 此时再拿1张，必然会让某个数字的卡片达到5张： 34＋1 ＝ 35（张） 【点睛】解决这类 “至少…… 保证……” 的问题，核心思路是先构造最不利的情况，也就是离成功只差一步的情况，再在此基础上加1，就能保证目标一定实现。 68. 如图是一艘飞船的密码锁，想要发动飞船，必须把0～8这9个数字填入9个圆圈内，使得每条直线上的三个数字之和相等，并且阴影圆圈内三个数字的和达到最大。那么“？”处填（ ）。 【答案】6 【解析】 【分析】先求出0到8所有数字的总和，再根据过中心的直线条数，利用重复计算的特点列出关系式；依据整除条件确定中心数的可能取值，再结合阴影三数和最大的要求选定中心数，最后通过数字配对验证，排除不符合直线和要求的数，确定问号处的数字。 【详解】求数字总和： 0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 建立关系式： 设每条直线上三数之和为S，中心数为a。 图中有4条直线都经过中心，中心数被计算4次，其余各数只计算1次。 4S＝36＋3a S＝（36＋3a）÷4 确定中心数可选值： S必须是整数，所以36＋3a能被4整除。36是4的倍数，因此3a必须是4的倍数。 在0～8中，符合条件的中心数为0、4、8。 选定中心数： 要让阴影三个圆圈的和最大，中心数要尽可能小，所以取a＝0。 求直线和并数字配对： S＝（36＋3×0）÷4＝9 去掉中心数0，把剩下数字配成和为9的数对： 1和8，2和7，3和6，4和5。 筛选确定问号处数字： 要使阴影和最大，优先选三个大数：8、7、6。 若问号处填8，8 必须和1配对成和为9的一组，这样无法满足图中每条直线上三个数字的和都等于9； 若问号处填7，7必须和2配对成和为9的一组，同样无法保证每条直线上三个数字的和都相等； 若问号处填6，6和3配对和为9，既能满足每条直线三数之和都等于9，又能让阴影三个数的和达到最大，符合题意。 【点睛】解辐射型数阵图的关键两点：一是找准重复计算的数，列出等量关系，借助整除缩小取值范围；二是结合题目限定条件，通过试数排除，确定最终答案。 69. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒。那么平均分给三群猴子，每只可得（ ）粒。 【答案】5 【解析】 【分析】需先将花生总数看作单位“1”，分别求出三群猴子的数量，再计算三群猴子的总数量，最后用花生总数除以总数量得到每只猴子可得的粒数。 【详解】 （粒） 70. 从如图所示的4张牌中，任意抽取两张。其点数和是奇数的概率是_________。 【答案】 【解析】 【详解】先画树状图： 很容易可以算出，任意抽取两张，其点数和共有9、10、12、11、13、14六种可能的结果。和是奇数的概率是3÷6＝ 71. 在1，2，3，…，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______种。 【答案】1728 【解析】 【详解】略 72. 在射箭比赛中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。乙的总环数是（ ）。 【答案】28 【解析】 【分析】首先对1764进行分解质因数，因为每箭环数是不超过10的自然数且包括0（脱靶），但如果有0，积就为0，所以这里不考虑0。 然后将这些因数组合成5个不超过10的数相乘的形式，找出所有可能的组合，接着计算每种组合的环数总和。最后根据甲的总环数比乙少4环这一条件，确定乙的总环数。 【详解】将1764分解质因数：1764＝2×2×3×3×7×7， 组合成5个不超过10的数相乘的形式有： 1764＝1×4×9×7×7，总环数为1＋4＋9＋7＋7＝28（环） 1764＝1×6×6×7×7，总环数为1＋6＋6＋7＋7＝27（环） 1764＝2×3×6×7×7，总环数为2＋3＋6＋7＋7＝25（环） 1764＝2×2×9×7×7，总环数为2＋2＋9＋7＋7＝27（环） 1764＝3×3×4×7×7，总环数为3＋3＋4＋7＋7＝24（环） 因为甲的总环数比乙少4环，观察这些总环数，发现28－24＝4，所以乙的总环数是28环。 73. 有4袋糖果，它们中任意 3 袋糖数的和都超过60粒，那么这4袋糖果的总数最小有 （ ）粒． 【答案】82 【解析】 74. 下图的圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1，2，3，……，2999，3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，……，直到1号棋子被取走为止。 （1）此时圆周上还有（ ）枚棋子。 （2）在圆周上剩下的棋子中，从编号最小的一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是（ ）。 【答案】（1）1333 （2）407 【解析】 【分析】（1）第一圈刚好把能被3整除的取走，即第一圈最后取走编号为3000的，共取走1000枚，剩下2000枚，此时1号仍为第一个．再从这2000枚棋子中隔2个取走1个，2000÷3＝6662（枚）第二圈共取走666枚，剩2枚没有取走．再取就是第1号了，则取走1号时一共取了1000＋666＋1＝1667（枚）棋子，还剩下3000－1667＝1333枚棋子．（2）前两轮取棋子存在以18枚为一个周期的规律：每组18枚棋子中，第一轮取走3、6、9、12、15、18共6枚，第二轮取走4、8、13、17共4枚，每周期合计取走10枚，剩余8枚。剩余棋子中编号最小的是2，从2开始数第181枚，对应从1开始数的第182枚。计算周期数：182÷8＝226（枚），即该棋子在第23个周期的剩余序列中排第6位。前22个周期共覆盖22×18＝396（枚）棋子，第23个周期的编号为397到414。该周期取走棋子后剩余的8枚顺序为：397、398、401、403、406、407、410、412，第6枚即为所求编号。 【小问1详解】 3000÷3＝1000（枚），3000－1000＝2000（枚），2000÷3＝6662（枚），1000＋666＋1＝1667（枚），3000－1667＝1333（枚） 【小问2详解】 如果第二轮不取1，圆周上剩下的棋子中第181枚棋子的编号对应的是从1开始的第182枚棋子的编号。根据取棋子的方式，每18枚棋子中第一轮取6枚，第二轮取4枚，每轮取10枚，剩8枚。 182÷8＝226（枚） 22×18＝396（枚），剩余的8枚顺序为：397、398、401、403、406、407、410、412，第6枚为407. 【点睛】本题重点考查数字规律和周期的问题，数字在一个圆周上，根据规律判断每一圈划掉的数的特征，剩余的数字找出对应周期进行计算。 75. 有5克，25克，30克，50克的砝码各若干个，从中共取n个，每类砝码至少取1个，50克的砝码不能超过6个，若总重为1千克，则n的最小值是（ ）。 【答案】31 【解析】 【分析】由题可知，想要n最小，质量重的砝码要尽可能的多，且50g的砝码不能超过6个，则取5个，是为最小化n，由此剩下的砝码总重为750g，750g可由25个30g砝码组成，但是每类砝码至少取1个，恰巧5＋25＝30g，则少用一个30g的砝码，换成5g和25g的，则可求出结果。 【详解】1千克＝1000克 50×5＝250（克） 1000－250＝750（克） 750÷30＝25（个） 5＋25＝30（克） 1＋1＋24＋5＝31（个） 【点睛】本题总重确定，质量大的多，则数量就少，想要数量最小，就抓住质量大的入手，这是题目的关键。 76. 已知地铁列车每隔10分钟到站一次，每次停车时间是1分钟。现在有一位乘客来到车站，这位乘客直接乘上车的概率是（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】需先确定列车运行的周期，再用停车时间占总周期时间的比例求乘客直接乘上车的概率。乘客到达时间均匀随机，在1分钟停车区间就能直接上车，其余9分钟需要等车。 【详解】 77. 用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数和一个两位数，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。算式×－×的计算结果的最大值是（ ）。 【答案】60483 【解析】 【分析】要让×－×的结果最大，需要满足： 让ABC×DE尽可能大：用1，3，5，7，9组成的三位数和两位数的乘积要最大； 让FGH×IJ尽可能小：用0，2，4，6，8组成的三位数和两位数的乘积要最小。 使乘积最大的策略是：把最大的两个数字分别放在两个数的最高位；再将次大的数字放在次高位，最小的数字放个位； 枚举用1，3，5，7，9组成的三位数和两位数：953和71、951和73、751和93、753和91；再分别计算出乘积找出最大的即可。 使乘积最小的策略是：把最小的两个非零数字分别放在两个数的最高位，再将剩下的较小数字放在低位，个位的差越大，两个数的乘积越小。 枚举用0，2，4，6，8组成的三位数和两位数：268和40、260和48、460和28、468和20；再分别计算出乘积找出最小的即可。 【详解】根据分析： 枚举× ①953×71＝67663 ②951×73＝69423 ③751×93＝69843 ④753×91＝68523 其中最大的乘积是：③751×93＝69843 枚举× ①268×40＝10720 ②260×48＝12480 ③460×28＝12880 ④468×20＝9360 其中最小的乘积是：468×20＝9360 所以算式×－×＝69843－9360＝60483 【点睛】用数字凑最大乘积时：大数优先高位，且两数差尽量小。 凑最小乘积时：小数优先高位，且两数差尽量大。 78. 通过在表达式1÷2÷3中加括号，我们可以得到两个不同的值（1÷2）÷3＝和1÷（2÷3）＝，现在表达式1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8 中加上括号，我们所能得到的最大值是（ ）。 【答案】10080 【解析】 【分析】本题需要在不改变数字顺序的前提下，给连除算式添加括号使结果最大，要想让计算结果尽可能大，必须遵循被除数尽量大、除数尽量小的原则，再结合乘除混合运算的去括号规则，括号前面是除号，去掉括号后括号里的除号都要变成乘号，因此选择从第二个数开始到最后全部加上括号，通过添括号再去括号的方式，把后面的连除全部转化为连乘，只保留一个除数，从而满足被除数最大、除数最小的要求。 【详解】 【点睛】解此类题核心是运用乘除法去括号符号变化规律，以增大被除数、缩小除数为原则构造算式，即可求出最大值。 79. A、B、C、D、E、F六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C，那么第五天A与（ ）对阵。 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，六个选手进行单打的循环比赛，每人都与其他选手赛一场。已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，则第二天其他球台是A对D、B对F；因为第三天D对F，第二天C对E，第四天B对C，则第三天其他球台是A对C、B对E；第四天B对C，第三天D对F，第二天A对D，则第四天其他球台是D对E，A对F；已知第一天B对D，第二天C对E，第三天A对C，则第一天其他球台是A对E，C对F，整理以上信息，可知第五天A对阵的对手。 【详解】由以上分析整理可得： 第一天：B对D、A对E、C对F 第二天：C对E、A对D、B对F 第三天：D对F、A对C、B对E 第四天：B对C、D对E、A对F 第五天：A对B、C对D、E对F 【点睛】本题考查的知识点是推理问题，抓住每人只能与其他选手赛一场，已知条件中已经赛过的直接剔除，剩下的选手进行分析，可得到相应结果。 80. 5人站成一排，乐乐愿意在排头，欢欢不愿意在排尾，那么共有（ ）种满足要求的排队方式。 【答案】18 【解析】 【分析】因为乐乐愿意在排头，所以乐乐的位置固定，只有1种排法。总共有5个位置，乐乐占了排头，还剩4个位置，欢欢不愿意在排尾，所以欢欢可以从除排头和排尾外的3个位置中选一个，有3种排法。剩余3个位置排其余3人，排法有3×2×1＝6（种）。根据分步乘法计数原理（分步乘法计数原理是指：完成一件事需要分成多个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，以此类推，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。），将每一步的排法相乘，总排队方式有1×3×6＝18（种）。 【详解】乐乐愿意在排头， 乐乐的位置固定，只有1种排法； 欢欢不愿意在排尾，也不能在排头，欢欢的位置共有3种排法； 剩余3人的排剩余的3个位置，排法有：3×2×1＝6（种） 排队方式共有：1×3×6＝18（种） 81. 有一个三位数，它分别除以1，2，3，4，5，6这6个自然数的余数互不相同，这个三位数最小是（ ）。 【答案】119 【解析】 【分析】因为余数小于除数，且余数互不相同，所以当这个三位数除以1时，余数只能是0；除以2时，余数只能是1；除以3时，余数只能是2；除以4时，余数只能是3；除以5时，余数只能是4；除以6时，余数只能是5。通过分解质因数的方法，可以找到1、2、3、4、5、6的最小公倍数是60。因为余数比除数少1，所以这个数加上1后就是1、2、3、4、5、6的公倍数。要求最小的三位数，先找出60的倍数中最小的三位数，60×2＝120，那么满足条件的最小三位数就是120－1＝119。 【详解】将1、2、3、4、5、6进行因式分解： 1＝1 2＝2 3＝3 4＝2×2 5＝5 6＝2×3 1、2、3、4、5、6的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 60×2＝120 120－1＝119 82. 星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的。 （2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的。 （4）张明说：我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一个人说的是真话。桌凳是（ ）修的。 A. 许兵 B. 李平 C. 刘成 D. 张明 【答案】A 【解析】 【分析】已知四人中只有一人说真话，可以依次假设“桌凳是某个人修的”，然后根据这个结论依次验证四个人中说真话的人数是否为1人。 【详解】1.假设桌凳是许兵修的： 许兵说“不是我修的”→假话； 李平说“是张明修的”→假话； 刘成说“是李平修的”→假话； 张明说“我没修”→真话； 此时只有张明1人说真话，符合“只有一人说真话”的条件。 2.验证其他选项： 若桌凳是李平修的： 许兵（真）、李平（假）、刘成（真）、张明（真），此时有3人说真话，不符合； 若桌凳是刘成修的： 许兵（真）、李平（假）、刘成（假）、张明（真），此时有2人说真话，不符合； 若桌凳是张明修的： 许兵（真）、李平（真）、刘成（假）、张明（假），此时有2人说真话，不符合； 所以只有许兵修桌凳会导致四人中只有一个人说的是真话。 83. 如图，用3种颜色对五个区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色。那么，共有（ ）种涂法。 【答案】6 【解析】 【分析】如图所示，把正方形分成的5个三角形分别用A、B、C、D、E来表示，则A区域和B、C两个区域相邻；B区域和A、C两个区域相邻；C区域和A、B两个区域相邻；D区域和B、C两个区域相邻；E区域和C、D两个区域相邻，已知用3种颜色对五个区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色，先涂A区域，有3种涂法，再涂B区域，不能和A区域同色，有2种涂法，再涂C区域，不能和A、B区域同色，有1种涂法，D区域有1种涂法，E区域有1种涂法，一共有3×2×1×1×1＝6（种） 【详解】3×2×1×1×1＝6（种） 84. 已知x，y满足x[y]2021，{x}y20.21，其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示x的小数部分，即{x}x[x]，那么x＝（ ）。 【答案】2001 【解析】 【分析】由题意，0≤＜1，{}＋＝20.21，可知19.21＜≤20.21，则[]＝19或20。当[]＝19时，由＋[]＝2021得＝2021－19＝2002，此时，{}＝－[]＝2002－2002＝0，代入{}＋＝20.21，得＝20.21，此时[]＝20，与[]＝19矛盾，故此情况不成立。 当[]＝20时，由＋[]＝2021得＝2021－20＝2001，此时，{}＝－[]＝2001－2001＝0，代入{}＋＝20.21，得＝20.21，此时[]＝20。综上可知，＝2001。 【详解】因为0≤＜1，所以19.21＜≤20.21，则[]＝19或20。 当[]＝19时 ＝2021－[]＝2021－19＝2002 {}＝－[]＝2002－2002＝0 ＝20.21－{}＝20.21－0＝20.21 此时[]＝20，与[]＝19矛盾，故此情况不成立。 当[]＝20时 ＝2021－[]＝2021－20＝2001 {}＝－[]＝2001－2001＝0 ＝20.21－{}＝20.21－0＝20.21 此时[]＝20 综上可知，＝2001。 【点睛】解题关键在于利用小数部分的取值范围确定的整数部分可能的取值，进行分类讨论，结合已知等式验证求解。 85. 由1，2，3，4，……，8，9这9个数字可以组成362880个数字各不相同的九位数，这些九位数的最大公因数是（ ）。 【答案】9 【解析】 【分析】在1~9这9个数字组成的九位数中，每个九位数的数字和相同，都是1＋2＋3＋4＋＋9＝45，数字和是9的倍数，则这些数都是9的倍数，因而9是这些数的公因数．又123456789和123456798这两个数只差9，这两个数的最大公因数是它们的差的因数，即是9的因数，所以9是这两个数的最大公因数．从而9是这362880个数的最大公因数． 【详解】1＋2＋3＋4＋＋9＝45，所有九位数都是9的倍数，都有因数9； 123456789＝9×13717421，123456798＝9×13717422， 13717421和13717422是两个相邻的自然数，是互质数，则123456789和123456798的最大公因数为9，这362880个数的最大公因数也是9. 86. 设t为正整数，且不是95的倍数。k是两位有限小数。则k的最大值是（ ）。 【答案】0.81 【解析】 【分析】先根据k是两位有限小数得出100k为正整数，进而得到是整数，设95＋t为9500的因数，再根据t不是95的倍数确定因数，最后求出最大k。 【详解】根据题意可知，100k是正整数，则是正整数。 t不是95的倍数，则95＋t也不是95的倍数，但一定是9500的因数。 满足条件的最大数是500，此时t＝500−95＝405，此时 87. （45）a（54）b，（45）a表示a进制下的45，（54）b表示b进制下的54，其中a，b都是正整数。满足要求的a＋b的最小值为（ ）。 【答案】20 【解析】 【分析】先把两个不同进制的数统一转化为十进制，建立等式关系，再根据进制对各数位上数字大小的限制，确定a、b的取值范围，通过不定方程求解得到满足条件的a和b，最终求a＋b的最小值。 【详解】1. 进制转十进制： （45） a＝4×a＋5，（54） b＝5×b＋4。 根据题意，4a＋5＝5b＋4，整理得：4a＝5b－1。 2. 确定进制的取值范围： 因为a进制下出现了数字“5”，而进制中每一位上的数字必须小于进制本身，所以a＞5； 同理，b进制下出现了数字“5”，所以b＞5。 3. 求解不定方程： 4a＝5b－1，即5b－1必须是4的倍数，也就是5b除以4余1。 因为5除以4余1，所以b除以4也必须余1，又因为 b＞5，从最小的b开始试： b＝9时，5×9－1＝44，44÷4＝11，得到 a＝11，满足a＞5。 4. 求a＋b的最小值： a＝11，b＝9，a＋b＝11＋9＝20。 【点睛】解决这类进制数的问题，关键是利用进制转十进制建立方程，再结合进制对数字大小的限制和整数条件，筛选出最小解。 88. 有9个分数的和为1，它们的分子都是1，其中的五个是，，，，，其余四个数的分母个位数都是5，这4个分数分别是（ ）。 【答案】，，， 【解析】 【分析】先根据9个分数的和与已知的五个分数，求出其余四个分数的和。因为要求的四个分数分母的个位数都是5，所以从四个分数的和中拆出。因为这些分数的分子都是1，那么它们的分母一定是四个分数的和的分母的因数。将四个分数的和的分母分解质因数，在这些质因数中尝试组合出要求的分子即可。 【详解】 693＝3×3×7×11，这几个质因数能组成的数有：3×3＝9、3×7＝21、3×11＝33、7×11＝77、3×3×7＝63、3×7×11＝231，3×3×11＝99，其中231＋77＋9＝317，所以 所以这四个分数是：，，，。 【点睛】本题的关键在于根据“四个分数分母的个位数都是5”，从四个分数的和中拆出，然后再通过将分母分解质因数凑出需要的分子。 89. 修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，修改后的数是（ ）。 【答案】33743 【解析】 【分析】计算 31743÷823＝38……469，即31743＝823×38＋469。原数为31743，万位是3，千位是1，百位是7，十位是4，个位是3。若修改后三位（百位、十位、个位），最大余数为822（除数是823，余数必须小于除数），但当前余数469，改变后三位无法使余数变为0； 若修改千位数字，将千位的1改为3，原数变为33743，计算33743÷ 823 ＝ 41，因为823×41＝33743，能被整除。 【详解】31743÷823＝38……469 31743＝823×38＋469 823×41＝33743 33743÷ 823 ＝ 41 90. 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数。将这24个四位数按从小到大的顺序排列，第二个是5的倍数；按从大到小的顺序排列，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000到4000之间。这24个四位数中最大的那个数是（ ）。 【答案】7543 【解析】 【分析】将四个数字分别设为4个字母，并规定大小关系。根据题中要求把按从小到大的顺序排列的第二个数、第五个数和第二十个数以及按从大到小的顺序排列的第二个数表示出来。再按题中的条件进行推理计算，逐步推算出答案。 【详解】设这四个数字是a、b、c、d且a＞b＞c＞d，因为这四个数字能组成24个不同的四位数，所以这四个数字都不为0。 它们组成的四位数按从小到大排列，第二个数为，是5的倍数，因为b≠0，所以b＝5。 如果从大到小排列，第二个数为，是不能被4整除的偶数，则c可以为2、4、6、8，由于b是5，c＜b，所以c只能是2或4。 从小到大排列第五个数是，第二十个数是，所以－的差在3000~4000之间，由此可以推断a＝d＋4，因为a＞b，所以a至少是6，那么d可以为2或3。 因为c＞d，所以c就只能是4。如果d＝2，那么的后两位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d＝3，从而a＝d＋4＝3＋4＝7。 所以24个四位数中最大的一个是7543。 【点睛】本题的难点在于用具有大小关系的字母表示出四个数字后，如何准确地表示出按从小到大的顺序排列的第二个数、第五个数和第二十个数以及按从大到小的顺序排列的第二个数。其中按从小到大的顺序排列的第二十个数也就是按从大到小的顺序排列的第五个数。 可以先给a、b、c、d设定一个值，如1、2、3、4，用这四个数表示出要求的数，然后反过来对应推算出abcd的表达式。 91. 在7进制中有三位数（）7，化为9进制为（）9，这个三位数在十进制中为（ ）。 【答案】248 【解析】 【分析】先将七进制三位数，和九进制三位数都转换为十进制的数： ＝ ＝＝ 由＝可得：。因为和都是8的倍数，所以也是8的倍数。因为在七进制中最大数字是6，所以为0，此时，整理得，因此是5的倍数（是0或5），是3的倍数。七进制首位不能为0，故为5，为3。将七进制转换为十进制为：＝5×49＋0×7＋3＝245＋3＝248。 【详解】将七进制三位数，和九进制三位数都转换为十进制的数： ＝ ＝＝ ＝ 因为在七进制中最大数字是6，所以，将代入可得： 整理得： 所以是5的倍数，是3的倍数，故是0或5，又0不能在首位，所以＝5，＝3 ＝5×49＋0×7＋3 ＝245＋3 ＝248 【点睛】将不同进制的数转化为十进制，建立等式关系；再根据进制中的数字取值范围，分析、、的取值，最后将确定的七进制数转换为十进制得到结果。 92. 将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘积等于52605，那么，这两个三位数的和等于（ ）。 【答案】606 【解析】 【分析】由题意可知这两个三位数是这个乘积的两个因数，所以把52605分解质因数，写成三位数乘三位数的形式，找出符合两个三位数的十位相同，个位和百位对调的那组再求和即可。52605＝3×3×5×7×167＝315×167＝105×501，其中105×501符合题意，则这两个三位数是105和501，相加求和。 【详解】52605＝105×501 105＋501＝606 93. 用63，90，130除以某一个自然数都有余数，3个余数的和是25。这3个余数中最大的一个是（ ）。 【答案】20 【解析】 【分析】本题的解题思路是：先根据除法中“被除数－余数＝除数×商”的关系，求出三个被除数的和减去余数和的结果，这个结果一定能被这个自然数整除。接着确定这个自然数的取值范围，再找出它的因数并逐一验证，确定这个自然数后，再计算每个除法的余数，找出其中最大的一个。判断除数范围时，必须同时满足“除数大于所有余数”和“除数小于被除数”两个条件。 【详解】计算被除数和减去余数和：63＋90＋130－25＝258 列举258的因数：1，2，3，6，43，86，129，258 确定除数： 除数必须大于每一个余数，已知三个余数的和是25，三个余数的平均数25÷3≈8.3，若除数≤8，则三个余数最大都≤7，总和最多7×3＝21＜25，不满足， 因此除数＞25÷3≈8.3，即除数≥9，同时除数要小于最小的被除数63，因此除数只能是43。 计算各余数： 比较余数：20＞4＞1，最大的余数是20。 94. 已知a，b，c都是质数，并且a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＝133，则abc＝（ ）。 【答案】154 【解析】 【分析】如果a、b、c这三个数都是奇数的话，那么a＋b＋c＋ab＋bc＋ac就是六个奇数相加，和就一定是偶数，而133是奇数，所以矛盾，这就说明这三个质数中必有一个是偶数，而既是偶数又是质数的数只能是2.根据这个再推算出b和c各代表多少。 【详解】假设a＜b＜c 因为133是奇数，所以a＝2 将a＝2代入算式得：2＋b＋c＋2b＋bc＋2c＝133 3b＋3c＋bc＝131 通过尝试，不难得出b＝7，c＝11 所以abc＝2×7×11＝154 故答案为：154 95. 除以10，余数是（ ）。 【答案】8 【解析】 【分析】求一个数除以10的余数，只需要看个位数字。分别求出每一项的个位数字，相加后再取个位即可。 的个位永远是1； 2的次方个位周期：2、4、8、6，周期4，求除以10的余数，就是看算到2022次方时，个位是几，是简单的周期问题。 同理，3的次方个位周期：3、9、7、1，周期4；4的次方个位周期：4、6，周期2。 【详解】根据分析，个位是1； 2022÷4余2，对应个位是4； 2023÷4余3，对应个位是7； 2024是偶数，对应个位是6。 1＋4＋7＋6＝18，个位为8，18除以10，余数是8。 96. 用一个自然数去除另一个自然数，商40，余16，被除数、除数、商与余数的和是933，除数是（ ）。 【答案】21 【解析】 【分析】根据“被除数＝商×除数＋余数”，以及被除数＋除数＋商＋余数＝933，商是40，余数是16即可建立等量关系进而求解除数。 【详解】根据题意可得：被除数＋除数＋商＋余数＝933，而商＝40，余数＝16 所以：被除数＋除数＋40＋16＝933，即被除数＋除数＝877 而被除数＝商×除数＋余数＝40×除数＋16，即40×除数＋16＋除数＝877 所以41×除数＝861，即除数＝861÷41＝21 答：除数是21。 故答案为：21 97. 已知三位数是质数，且a＋b＋c＝14，则三位数的最大值与最小值的和是（ ）。 【答案】1090 【解析】 【分析】由题可知，三位数是质数，则个位上不可能是0、2、4、5、6、8，即只能是1、3、7、9。 ①三位数要是最大值，则考虑a＝9，因为a＋b＋c＝14，则b＋c＝5，b尽可能大，考虑b＝4，c＝1，三位数为941，因为941不能被2、3、5、7、11、13、17、19、23、29整除，确认为质数。 ②因为三位数要是最小值，则考虑a＝1，因为a＋b＋c＝14，则b＋c＝13，b尽可能小，则c＝9，b＝4，三位数为149，因为149不能被2、3、5、7、11、13、17、19、23、29整除，确认为质数。 把两个最值相加，即可得到结果。 【详解】941＋149＝1090 【点睛】本题考查的是质数与最值相结合的知识点，要紧抓质数的特性，来确定每个数位的值，最大值确定首位要最大，最小值确定首位要最小，进而得到结果。 98. 在1～1000这1000个自然数中，既不是6的倍数，又不含有数字6的自然数有（ ）个。 【答案】622 【解析】 【分析】能按数位分类，计算“不含数字 6”的数的总数，再算“不含6且满足是6倍数条件”的数的个数；用减法即可得到“不含6的数且不是6的倍数”的数的个数。 【详解】一、计算1~1000中不含数字6的自然数个数： （1）一位数（1~9）：8个（排除6）。 （2）两位数（10~99）：十位8种选择（1，2，3，4，5，7，8，9，），个位9种选择（0，1，2，3，4，5，7，8，9），共个。 （3）同理三位数（100~999）：百位8种，十位9种，个位9种，共个。 （4）四位数（1000）：1个（不含6） （5）总计：个。 二、计算不含数字6且是6的倍数的自然数个数： 6的倍数必须同时是2和3的倍数，即：个位为偶数（0，2，4，8，不能为6）；各位数字和是3的倍数；不含数字6。 （1）一位数（1~9）： 6本身含数字6，直接排除；1~9中只有6是6的倍数，因此，个数：0个 （2）两位数（10~99）： 条件：个位为偶数：0，2，4，8（不含6），十位不为6，十位＋个位的和是3的倍数。 完整枚举列表： 个位＝0（偶数，不含6）：十位需为3的倍数（不含6）→30、90（2个） 个位＝2（偶数，不含6）：十位需除以3余1（不含6）→12、42、72（3个） 个位＝4（偶数，不含6）：十位需除以3余2（不含6）→24、54、84（3个） 个位＝8（偶数，不含6）：十位需除以3余1（不含6）→18、48、78（3个） 合计：（个），完整数字：12，18，24，30，42，48，54，72，78，84，90。 （3）三位数（100~999）： 条件：个位为偶数：0，2，4，8（不含6）， 百位：1~9，不为6（共8种：1，2，3，4，5，7，8，9）， 十位：0~9，不为6（共9种：0，1，2，3，4，5，7，8，9）， 百位+十位+个位的和是3的倍数。 余数法计算过程： 先统计百位、十位数字除以3的余数分布： 百位（1~9，不含6）： 余0：3，9（2个） 余1：1，4，7（3个） 余2：2，5，8（3个） 十位（0~9，不含6）： 余0：0，3，9（3个） 余1：1，4，7（3个） 余2：2，5，8（3个） 按个位数字分类计算： 个位＝0（除以3余0）百位＋十位的和需除以3余0： 余0＋余0：2×3＝6 余1＋余2：3×3＝9 余2＋余1：3×3＝9 合计：个 个位＝2（除以3余2）百位＋十位的和需除以3余1： 余0＋余1：2×3＝6 余1＋余0：3×3＝9 余2＋余2：3×3＝9 合计：个 个位＝4（除以3余1）百位＋十位的和需除以3余2： 余0＋余2：2×3＝6 余1＋余1：3×3＝9 余2＋余0：3×3＝9 合计：（个） 个位＝8（除以3余2）百位＋十位的和需除以3余1，与个位＝2情况相同： 合计：24（个） 三位数符合条件的总数：（个） 所以不含数字6且是6的倍数的自然数个数：（个）。 所以，既不是6的倍数，又不含有数字6的自然数为：（个）。 99. 如果n是自然数，n，n＋1，n＋2，……，n＋9中所有质数的和是173，则n的最小值是（ ）。 【答案】52 【解析】 【分析】由题可知，所有质数的和是173，将173拆分成几个连续质数的和，得到53、59、61，此时得到n的取值为52，尝试n小于52的值，均无法得到质数和为173，由此可得到结果。 【详解】173÷3＝57……2 接近57的质数为59 与59相邻的质数为：53、61 53＋59＋61＝173 53－1＝52 n为52 100. 从乘法算式1×2×3×4×…×26×27中最少要删掉（ ）个数，才能使得剩下的数的乘积是个完全平方数。 【答案】5 【解析】 【分析】一个自然数如果是完全平方数，分解质因数后，每个质因数的个数都必须是偶数个。本题需要从1到27中去掉最少的数，使剩下所有数的乘积符合完全平方数的特征。解题先逐个统计1到27连乘积中每个质因数出现的总次数，找出次数为奇数的质因数，再合理去掉若干数，把奇数次数都调整为偶数次数，同时让去掉的数数量最少。 【详解】依次统计各质因数在1～27中出现总次数： 质因数2：1～27中2的倍数有13个，4的倍数有6个，8的倍数有3个，16的倍数有1个，累加共23次，次数为奇数。 质因数3：1～27中3的倍数有9个，9的倍数有3个，27的倍数有1个，累加共13次，次数为奇数。 质因数5：1～27中5的倍数有5个，25的倍数有1个，累加共6次，次数为偶数。 质因数7：1～27 中7的倍数共有3个，共出现3次，次数为奇数。 质因数11、13：各出现2次，次数均为偶数。 质因数 17、19、23：在1～27中各只出现1次，次数都是奇数。 次数为奇数的质因数有：2、3、7、17、19、23。 去掉 17、19、23，可将这三个质因数的次数变为偶数；去掉14，它同时含有质因数2和7，可把2和7的次数同时调成偶数；再去掉3，可把质因数3的次数调成偶数。 最少需要去掉：3、14、17、19、23，一共5个。 【点睛】此类题型先利用倍数累加的方法，统计每个质因数出现次数并判断奇偶，再优先选取同时包含多个奇数次数质因数的数去掉，能用最少个数把所有质因数次数调成偶数，满足完全平方数要求。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $