（预习篇）第十四讲 正多边形与圆（暑假培优讲义） -2026-2027学年苏科版数学上册九年级（八升九衔接）

nullnull2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十四讲 正多边形与圆「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+四大考点讲练+难度分层练 共36题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 正多边形及其相关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点二 正多边形的有关计算（重点） 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三 正多边形的性质（重点） 1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点四 正n边形的画法（难点） 1. 用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点一 正多边形和圆的综合 【典例精讲】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA、OB，根据圆内接正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图： ∵是正八边形的外接圆， ∴， 由圆周角定理得：． 【变式训练1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中， ， ， 故选：A． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，正五边形内接于，连接，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了与正多边形有关的知识，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键； 连接，，根据圆内接正五边形的顶点把圆五等分，即可求得的度数； 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练3】（2025·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则的半径是__________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质；根据正多边形的性质求出边长和中心角，然后得到是等边三角形，即可得到圆的半径长． 【详解】解：连接，， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是， 故答案为：． 考点二 求正多边形的中心角 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 【答案】72 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据正多边形的中心角解题即可． 【详解】解：由题意知，． 故答案为：72 ． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，将正五边形绕着它的中心O旋转后，能够与原来的图形完全重合，则n的最小值是______． 【答案】/72度 【分析】本题考查旋转对称图形，正多边形的性质，此图案是正五边形，然后根据正五边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴n的最小值为． 故答案为：． 【变式训练3】（25-26九年级上·河北保定·期末）某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 【答案】10 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，正多边形的中心角的计算，等边对等角，确定是关键，根据题意得到正多边形每个内角，对应外角的度数，由此得到圆心角的度数，由此即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角为， ∴对应的外角的度数为， 如图所示，， ∴， ∴， ∴， ∴总共需要10个正五边形木片． 故答案为：10 ． 考点三 已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用正多边形中心角与边长的关系，当正多边形的边长与外接圆半径相等时，中心角对应的三角形为等边三角形，中心角为，从而边数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正多边形中心为，相邻顶点，（外接圆半径），（边长），且， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正多边形的边数， 故选：． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，圆周角定理，先根据圆周角定理求出，再用除以中心角可得边长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 故选：A． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是______． 【答案】8 【分析】本题考查正多边形的中心角．正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数等于除以中心角． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴边数， 故答案为：8． 【变式训练3】（25-26九年级上·北京·期末）若一个正多边形的中心角的度数为，则这个多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，掌握正多边形的中心角等于除以边数n是解题的关键． 根据正多边形的中心角定义求解即可． 【详解】解：∵正多边形的中心角的度数为， ∴这个多边形的边数为． 故选B． 考点四 尺规作图——正多边形 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． （1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可； （2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 是的直径， ， 四边形是正方形； （2）解：的半径为，四边形是正方形， ，， ． 即正方形的边长为． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，作已知圆的一条直径； (2)如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，等边三角形的判定与性质，度角对的弦是直径，垂径定理，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握对应知识点是解题的关键． （1）法一：在圆中作弦，作弦的垂直平分线交圆于点C和点D，连接即可； 法二：在圆中作弦，过点F作弦的垂线交圆于点G，连接即可； （2）法一：在中作直径，作半径的垂直平分线交圆于点B和点C，连接，即可； 法二：在中作直径，以D为圆心，为半径作交于点B和点C，连接，即可． 【详解】（1）解：直径如图所示； （2）解：如图所示，即为所求． 【变式训练2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 【变式训练3】如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题； （2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：正方形如图所示： （2）解：以为顶角的等腰三角形如图所示： ． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，有一个亭子，它的地基是周长为的正六边形，则地基的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得一个等边三角形的面积即可求得正六边形的面积． 【详解】解：连接，作， ∵地基是周长为的正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴地基的面积为． 3．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·陕西延安·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 【答案】 【分析】连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是． 5．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的弦，若的半径是，弦是圆内接正多边形的一边．则该正多边形的面积是___________． 【答案】 【分析】连接，，过点A作于点D，由圆周角定理得，即可求得的长和正多边形的边数，即可求得面积． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴为正八边形的边， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴正八边形的面积． 6．（25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查圆与正多边形、正多边形的中心角、等边三角形的判定和性质、勾股定理等，作出内切圆是解题的关键． 先作出正六边形的内切圆，确定的位置，连接，再根据垂直平分线的性质推出，，，然后证明为等边三角形，根据等边三角形的性质结合勾股定理，求出，即可求解圆心的坐标． 【详解】解：如图，分别作的垂直平分线，的垂直平分线的交点设为点，的垂直平分线与交于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，即为正六边形的内切圆， ∵正六边形的边长是4， ∴， ∵的垂直平分线与交于点， ∴，，， ∵正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵在中， 根据勾股定理，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为6的正六边形的中心为点，顶点在轴上，则顶点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识． 连接，设交轴于点，由正六边形是轴对称图形知，在中，，再解含的直角三角形即可． 【详解】连接，设交轴于点， 由正六边形是轴对称图形知， 在中，， ， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所求： 作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； （2）如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，是一个正六棱柱，图①，图②是它的两种视图． (1)图①是_________；图②是_________（填“主视图”“左视图”或“俯视图”）； (2)根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积． 【答案】(1)主视图；左视图 (2) 【分析】本题考查简单几何体的三视图以及几何体的体积，解题的关键是掌握三视图所看的位置．也考查了正多边形的计算． （1）找到从正面和左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中； （2）根据题目所给尺寸及棱柱的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：图①是主视图；图②是左视图， 故答案为：主视图；左视图； （2）解：如图，过正六边形的中心点作于点， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， 即这个正六棱柱的体积为． 10．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【答案】，，，，， 【分析】本题考查了正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质、勾股定理、点坐标与轴对称，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．过点作轴于点，连接，先求出，，再根据等边三角形的判定与性质可得，利用勾股定理可得，然后根据点坐标与轴对称变换规律求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ∵正六边形的中心为原点，半径为， ∴，，正六边形关于轴和轴对称， ∴是等边三角形，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称， ∴，，，， 综上，正六边形各个顶点的坐标分别为，，，，，． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，根据正六边形的性质得出，即可证明是等边三角形，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，设正六边形的中心是，， ∴，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）正方形边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，要使这四个等圆能完全覆盖正方形，所作等圆的最小半径是（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质及圆的覆盖问题，要确定能完全覆盖正方形的四个等圆的最小半径，需找到正方形内到四个顶点距离最大的点，该点到顶点的距离即为最小半径，此点为正方形的中心，利用勾股定理计算中心到顶点的距离即可． 【详解】解：设正方形的中心为点O， ∵正方形边长为2， ∴由勾股定理得，对角线的长度为， ∵正方形的中心O是对角线的中点， ∴， ∵要使四个等圆完全覆盖正方形，圆的半径必须大于或等于正方形内任意一点到其最近顶点距离的最大值， ∴正方形内任意一点到四个顶点的距离最大值为中心点O到顶点的距离为， ∴当等圆半径为时，四个等圆可完全覆盖正方形，且此为最小半径， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对的近似估算．如图，的半径为1，则圆的面积为，若将其内接正十二边形的面积作为面积的近似值．据此，可得的估计值为（   ） A． B．3.14 C．3.13 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可． 【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， 即的面积为3， 此时． 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、正多边形和圆、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作于点Q，于点P，连接、，则，，由圆心O和正方形的中心重合，可知和是正方形的边心距，则，可根据“”证明，得，可证明，则，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点Q，于点P，连接、，则，， ∵四边形是正方形，且圆心O和正方形的中心重合， ∴和是正方形的边心距， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，点为正六边形的中心，点为中点，连接，若，则的长度为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，，先推导出 是等边三角形，，求出，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵点为正六边形的中心，点为中点， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，若在正六边形内有一点P，且，，，则正六边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识；将绕点B逆时针旋转得到，过点B作交的延长线于点N，则得P、B、N三点共线，设，则可求得，利用勾股定理建立方程求得a的值，再求得即可求解． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，过点B作交的延长线于点N， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴P、B、N三点共线， 设， 在中，，由勾股定理得， 在中，，， 在中，， 由勾股定理得：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， 在中，， 设正六边形的中心为O，连接，过O作于点H， 则，， ∴， ∴正六边形的面积为， 故答案为：． 7．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）将四个正六边形按如图所示的方式摆放在如图所示的圆中，顶点，，，，，均在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形对应点的距离，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可． 【详解】解：连接交于O，则点O是圆心，过点O作于N，连接，取的中点G，连接，，连接交于， ∵两个大正六边形的边长均为4， ∴由正六边形对称性可知，， 由正六边形的性质可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由正六边形的性质可知，、、都是正三角形， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江西·期末）如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）连接， 交于点，连接并延长交于，结合正六边形的性质可得，关于直线对称，可得为中点． （2）连接交于，连接，由正六边形的性质可得，，可得，，可得，可得，，可得即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 9．（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标中，对于点和，给出如下定义：若存在与的各边都有两个公共点，且每条边上两个公共点之间的距离均为，则称点是的“相关点”． (1)如图，是以为中心，边长为3的等边三角形，点在轴上，在点，，中，点______是的“相关点”，其中的值可以为______（写出一个符合题意的值即可）； (2)已知点，，若点是的“相关点”，则的半径的取值范围是______； (3)已知中，点，，，，边长为8的菱形的对角线交点为，点在轴正半轴上，．是菱形上一点，且存在使得点是的“相关点”，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，（第二空答案不唯一，满足即可） (2) (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内心的性质，圆内接四边形的性质，菱形的性质，一次函数的应用； （1）根据题意可知的“相关点”到三边的距离应相等，则该点应与三角形的内心重合，再根据等边的性质即可求解； （2）由（1）知，点为的内切圆圆心，作出的内切圆，过点作、、的垂线，垂足分别为、、，则，根据直角三角形内切圆半径与周长、面积之间的关系，求出，通过证明四边形是正方形，得到，再根据点是的“相关点”，即可求出的半径的取值范围； （3）根据（2）得到关键数据，由（2）可得当是直角边长分别为和的三角形的内切圆时，的最小半径为，此时，进而分析得出点的轨迹在劣弧，上运动，进而分别画出临界值，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，的“相关点”到三边的距离应相等， 故该点应与三角形的内心重合， ∵是以为中心，边长为3的等边三角形， ∴点是的“相关点”， 当半径为的与相切时，只有1个点， 当有2个公共点时，， 当是的外接圆，交点为顶点， 此时， ∴， ∴的值可以为1； 故答案为：；1（答案不唯一，满足即可）； （2）解：由（1）知，点为的内切圆圆心， 如图，作的内切圆，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 则， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∵，， ∴四边形是正方形， ∴； ∵点是的“相关点”， ∴的半径的取值范围是，即； 故答案为：； （3）解：∵， ∴点的运动轨迹为优弧， 由（2）可得当是直角边长分别为和的三角形的内切圆时，的最小半径为 此时 ∵点，， ∴， ∵ ∴当时，当的最小半径为时， 当，不符合题意， ∴当时，点在之间的优弧上运动，， 则在劣弧，上运动， 如图，设为的外心，当在上方时为的外心， 设为的中点， ∵， ∴，， ∴ ∴，则 ∵边长为8的菱形的对角线交点为，点在轴正半轴上，． ∴， ∴ ∵是菱形上一点， 如图，当经过点时， ∴ ∴ 解得： 当在上或在上时，如图，过点作于点， 由图可得 设直线的解析式为 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵的半径为即， ∴即 代入得， 解得： ∴ 当继续减小，如图，当与点重合时， ∵，即 ∴ 解得： 如图，当在上时， ∵ ∴即 代入得， 解得： ∴ 综上所述，或 10．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．       (1)在图1中画一个的内接正方形； (2)在图2中画一个的内接正八边形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查了圆的性质，正方形和正八边形的性质及网格的应用． （1）连接并延长，与相交于点C，此时为的一条直径，利用网格的特点，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为B，D，依次连接A、B、C、D，四边形即为的内接正方形； （2）圆的内接正八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，连接正方形的对角线交点O，两条对角线与有四个交点，分别为B，D，H，F，连接并延长至交点E，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为C，G，依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，八边形即为的内接正八边形． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十四讲 正多边形与圆「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+四大考点讲练+难度分层练 共36题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 正多边形及其相关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点二 正多边形的有关计算（重点） 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三 正多边形的性质（重点） 1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点四 正n边形的画法（难点） 1. 用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点一 正多边形和圆的综合 【典例精讲】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，正五边形内接于，连接，则___________． 【变式训练3】（2025·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则的半径是__________． 考点二 求正多边形的中心角 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，将正五边形绕着它的中心O旋转后，能够与原来的图形完全重合，则n的最小值是______． 【变式训练3】（25-26九年级上·河北保定·期末）某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 考点三 已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【变式训练2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是______． 【变式训练3】（25-26九年级上·北京·期末）若一个正多边形的中心角的度数为，则这个多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 考点四 尺规作图——正多边形 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，作已知圆的一条直径； (2)如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 【变式训练2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【变式训练3】如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，有一个亭子，它的地基是周长为的正六边形，则地基的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西延安·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 5．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的弦，若的半径是，弦是圆内接正多边形的一边．则该正多边形的面积是___________． 6．（25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是_____． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为6的正六边形的中心为点，顶点在轴上，则顶点的坐标是___________． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 9．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，是一个正六棱柱，图①，图②是它的两种视图． (1)图①是_________；图②是_________（填“主视图”“左视图”或“俯视图”）； (2)根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积． 10．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）正方形边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，要使这四个等圆能完全覆盖正方形，所作等圆的最小半径是（    ）． A．1 B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对的近似估算．如图，的半径为1，则圆的面积为，若将其内接正十二边形的面积作为面积的近似值．据此，可得的估计值为（   ） A． B．3.14 C．3.13 D．3 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，点为正六边形的中心，点为中点，连接，若，则的长度为____________． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，若在正六边形内有一点P，且，，，则正六边形的面积为_______． 7．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）将四个正六边形按如图所示的方式摆放在如图所示的圆中，顶点，，，，，均在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长为_____． 8．（25-26九年级上·江西·期末）如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 9．（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标中，对于点和，给出如下定义：若存在与的各边都有两个公共点，且每条边上两个公共点之间的距离均为，则称点是的“相关点”． (1)如图，是以为中心，边长为3的等边三角形，点在轴上，在点，，中，点______是的“相关点”，其中的值可以为______（写出一个符合题意的值即可）； (2)已知点，，若点是的“相关点”，则的半径的取值范围是______； (3)已知中，点，，，，边长为8的菱形的对角线交点为，点在轴正半轴上，．是菱形上一点，且存在使得点是的“相关点”，，直接写出的取值范围． 10．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．       (1)在图1中画一个的内接正方形； (2)在图2中画一个的内接正八边形． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $