《第1章整式的乘除》期末复习优生辅导训练题2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以“概念-运算-应用-探究”为主线，整合整式乘除核心知识，通过分层题型渗透抽象、推理、几何直观等素养，构建“方法提炼-逻辑迁移-综合应用”的训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选2-5、填空8-9、解答15|幂的运算法则（同底数幂、幂的乘方等）、科学记数法|从概念（幂的定义）到法则推导，形成运算技能链| |公式应用|单选6、填空10-12、解答16-19|完全平方/平方差公式变形、方程思想（系数对应）|公式正向应用到逆向变形，建立“数-式-形”转化逻辑| |规律探究|单选7、填空13、解答20-21|归纳推理（杨辉三角、算式规律）、数形结合（面积法证公式）|从特殊到一般，通过图形直观与代数推理融合，发展创新意识|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第1章整式的乘除》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．中国古代用“毫厘丝忽”表示极微细的事物，其中“毫”“厘”“丝”“忽”均为我国古代一种微小的长度计量单位．秦朝统一度量衡时，丝约为，则丝用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 4．对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（　　） A． B． C．1 D．4 5．若无论取何值时，关于的方程总成立，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图所示，“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）若，请根据上述规律，计算的值等于（    ） A． B．1 C． D．0 二、填空题 8．计算：__________． 9．已知，，则____________． 10．若，，则a与b满足的数量关系是______． 11．已知，则的值为_________． 12．若，，则______．（填“”、“”或“”） 13．已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 14．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 三、解答题 15．计算：(1)； (2)； (3)． (4)； 16．先化简，再求值：，其中． 17．小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： (1)求的值； (2)求证：； 拓展探究： (3)若，求的值． 18．探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题： 【课内回顾】 (1)若，则； 若（c满足条件________），则． 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值． 19．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，，，可得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若满足，求的值． 20．观察下列各式： ； ； ；… (1)根据以上规律，则_____； (2)你能否由此归纳出一般性规律：____； (3)根据（2）求出：的结果． 21．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 参考答案 1．解：∵1丝长度约为 ∴5丝的长度为 将改写为符合要求的科学记数法，得 ． 2．C 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，单项式除以单项式，逐项计算求解，即可判断正误． 【详解】解：A．，该项错误； B．，该项错误； C．，该项正确； D．，该项错误． 3．C 【详解】解：8个相加，即，8个相乘，即， 则，即， ∴， ∴． 4．A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的除法与一元一次方程的求解，根据新运算的定义，结合同底数幂的除法法则将原式转化为关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，又 ∴ ，可得 整理得 ， 解得 ． 5．B 【分析】先展开方程左边，对比同类项系数得到、的关系式，再利用完全平方公式变形计算所求代数式的值． 【详解】解： ， ， 无论取何值时，关于的方程总成立， ，， ，， ， 故选：B． 6．C 【详解】解：设正方形、的边长分别为、， 由图甲得：， ， 即：． 由图乙得：， ， ， ． ，， 故选：． 7．D 【分析】分别令和，求出对应的代数式的值，再进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴. 8．8 【分析】先根据负整数指数幂与零指数幂的运算法则分别计算两项，再做减法运算即可得到结果． 【详解】解: 根据负整数指数幂运算法则，可得， 根据零指数幂运算法则，，可得， 则原式 ． 9． 【分析】利用同底数幂的除法运算法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可. 【详解】解：根据同底数幂的除法法则，可得， 将， 代入得： 原式． 10． 【分析】根据完全平方公式和平方差公式可得，，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 11．2010 【分析】根据得出，对所求式的高次项降次，代入所求多项式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 12． 【分析】先分别展开两个代数式，再作差并判断差的符号，即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 13．②③/③② 【分析】先利用平方差公式化简代数式可得，再根据整数的性质逐个判断即可． 【详解】解： 当时， ，不是正整数，故①错误； 为任意整数， 是偶数，是奇数， 又是奇数，奇数乘奇数为奇数， 一定是奇数，故②正确； ，是整数， 是与整数的乘积，总能被整除，故③正确． 14．19 【分析】根据一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，计算出长为、宽为的长方形的面积，确定面积中的系数即可 【详解】解：根据题意，得一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为， 且， 故需要19张C类纸片 15．（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解：原式 ； 16．解： ， ∵， ∴， ∴． 17．（1）解： （2）证明： （3）解：， ， 18．（1）解：， 当时，则， 因此若，当满足时，则， 故答案为：； （2）解：分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：，此时， 当时，； ②当时，， 由，解得：， 当时，； ③当且为偶数时，， 由，解得：， 此时不是偶数，故不合题意，舍去． 综上所述：若，则x的值为或． 19．（1）解：，， ，， ． （2）解：设，， 则，， ， ， ， ，即， 故 ． 20．（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 21．（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 学科网（北京）股份有限公司 $