《第5章分式》期末综合复习优生辅导训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以分式概念为基础，通过分离常数、倒数法等技巧整合化简运算、方程参数及实际应用，形成“概念-方法-应用”逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1-2题|分式意义/值为零的条件判断|从分式定义出发，结合因式分解辨析分母不为零与分子为零的关系| |化简运算|15题|分式乘除/加减混合运算，因式分解约分|由分式基本性质推导化简法则，体现从整式运算到分式运算的迁移| |求值应用|3、16、19题|分离常数法、倒数法、整体代入|通过代数式变形将复杂求值转化为已知条件的应用，培养推理意识| |方程与参数|5、11、17题|分式方程解的范围讨论，无解分类（增根/整式方程无解）|结合分式分母不为零构建不等式组，体现运算能力与逻辑推理结合| |实际应用|4、7、13、18、20题|工程/行程/经济问题的等量关系建模|从实际情境抽象分式方程，培养模型意识与数据观念|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 2．化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 3．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 5．若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．有一个不透明的盒子中，装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外，其余大小和质地均相同．若从盒子中随机摸出一个球是白球的概率为，则白球的个数是（   ） A．16 B．10 C．8 D．6 7．甲乙两地相距千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了小时．设原来的平均速度为千米/时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若，则的值为________． 9．已知，，其中m、n均为实数，则______． 10．若，且A，B均为常数，则________． 11．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 12．如图所示的电路总电阻为，若（总电阻与，的关系为），则________Ω． 13．奉节脐橙是重庆的特色时令水果．脐橙一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批脐橙，前两天以高于进价的价格共卖出，第三天她发现市场上脐橙数量陡增，而自己的脐橙卖相已不大好，于是果断地将剩余脐橙以低于进价的价格全部售出，前后一共获利750元，则小李所进脐橙的数量是 _____千克． 14．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 三、解答题 15．化简： (1)； (2)； (3)． 16．先化简，再求值：，其中是不等式的最大整数解． 17．已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 18．甲、乙两人两次同时到一家粮油店去买油，两次的油价有变化，但他们两人的购买方式不一样，其中甲每次总是买斤油．而乙每次只拿出元钱来买油．商店也按价计算卖给乙．设前后两次的油价分别是元/斤和元/斤（、，），请问这两种购买方式哪一种合算？请结合计算说明． 19．（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 20．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 参考答案 1．解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 2．解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 4．B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 5．C 【分析】本题考查了分式方程的解与参数范围，掌握先化分式方程为整式方程求，再根据解的符号和分母不为零列不等式求解参数是解题的关键． 先解分式方程，用表示出，再根据解为正数和分式分母不为0两个条件列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵ 方程两边同乘去分母，得 整理得. ∵ 方程的解是正数， ∴ ，即，解得. 又∵ 分式分母不为，即， ∴ ，解得 综上，的取值范围是且 故选：C． 6．D 【分析】设该盒中白球的个数为x个，根据题意得，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设该盒中白球为x个，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， 所以，白球的个数是6． 7．B 【分析】根据“原时间减去现时间等于时间差”的等量关系，分别用路程除以对应速度表示出原时间和现时间，再列出方程． 【详解】解：原来的平均速度为千米/时，则原行驶时间为小时， 高速公路开通后，平均速度是原来的倍，则速度为千米/时，行驶时间为小时， 根据题意可得． 8． 【分析】将原式进行变形，再把代入化简结果即可求出答案． 【详解】解： ； 当时，原式． 9．1 【分析】根据已知条件将底数替换为对应的幂的形式，求出，再将分式通分后代入计算即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ． 10． 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，根据分式的加减运算法则求出，则可得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，且A，B均为常数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．9 【分析】将原方程变形，用含的代数式表示出，根据为整数解，可得为4的因数，求出所有满足条件的整数的值，再根据分式方程的解不能使分母为0进行检验，排除不合题意的值，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为整数解， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 又即， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和为． 12．25 【分析】将，代入，解分式方程即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同时乘以得， ∴． 13．200 【分析】设小李所进脐橙的数量为，根据前后一共获利750元列分式方程，求解后检验即可得到结果. 【详解】解：设小李所进脐橙的数量为，根据题意得： ， 去分母得， 整理计算得， ， 解得， 经检验是原方程的解，且符合实际意义.， 所以，小李所进脐橙的数量是． 14． 优惠 少 【分析】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价，总价，数量之间的关系，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了x个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个， ∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且， ∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元， ∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 16．化简结果，求值结果 【分析】利用分式的运算法则化简分式，并解不等式，根据不等式的解集和分式有意义的条件可得，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵满足不等式，且，，， 解得：，且a是最大整数解， ∴， ∴原式． 17．(1) (2)、1或3 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程求参数是解题的关键， （1）将代入，把分式方程去分母转化为整式方程，计算即可求出方程的解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，由于分式方程无解，得到或，解可求得一个的值，将，代入整式方程即可求出另外两个的值． 【详解】（1）解：当，方程为 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得： ∴是原分式方程的解． （2）解：方程两边同乘得： 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴或， ①当时，； ②当时， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴的值可能为、1或3. 18．乙的购买方式比较合算，理由见解析 【分析】本题考查分式加减运算在实际问题中的应用，根据题意，分别写出甲和乙两次买油的平均单价，然后求差，计算化简，得出差大于，从而得甲和乙的平均单价之间的关系，可得结论．根据题意正确列式及明确分式计算的相关法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 甲两次买油的平均单价为：， 乙两次买油的平均单价为：， ∴ ， ∵、，， ∴，， ∴， ∴， ∴乙的购买方式比较合算． 19．实践探索：；问题解决：6 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 20．(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $