《第6章平行四边形》期末复习优生辅导训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以平行四边形性质判定为核心，通过基础辨析、性质综合、动态探究构建递进式训练，融合推理意识与几何直观，提炼中位线构造、全等转化等可迁移方法。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质与判定|单选1-3、填空8-10|平行四边形对边/对角线性质、判定定理（边/角/对角线）|从性质定义到判定应用，构建“性质→逆用→判定”逻辑链| |性质综合应用|单选4-7、填空11-13|中位线构造、面积转化、折叠对称性质|结合三角形全等、勾股定理，实现平行四边形与三角形知识整合| |动态与探究问题|解答15-20|动点分类讨论、方程思想、模型迁移（如梯形中位线）|从静态证明到动态存在性探究，培养应用意识与推理能力|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第6章平行四边形》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，的对角线、相交于点．点是的中点．若，则的长为（ 　　） A．3 B．6 C．9 D．12 4．已知，如图，在中，是上方任意一点．若的面积为的面积为16，的面积为，则的面积为（　　） A． B．2 C． D．1 5．如图，在平行四边形中，点E为对角线上一点，连接并延长至点F，使得，连接．若，，则的长度为（   ） A． B．2 C． D．3 6．如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 7．如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．在中，于点，连接，则线段的长为____________． 9．如图，在中，，点在线段上一动点，以为对角线的中，则的最小值是__________． 10．如图，在四边形中对角线，E、F分别是的中点．若，，则________． 11．如图，四边形是平行四边形，于点E．设，，则的值为______． 12．如图，在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，若，则的长等于__________． 13．如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 14．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．则以下结论：；；③；④连接，则四边形是平行四边形；．其中正确的是_____． 三、解答题 15．如图，E、F是平行四边形对角线上的两点，若________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 16．如图，在中，，点分别为的中点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长及四边形的面积． 17．如图1，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． (1)求证：=； (2)如图2，已知，，，∠=∠． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，直接写出的周长 ． 18．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 19．我们在研究四边形时，可以把它转化成三角形；同样利用四边形的性质可以研究三角形的有关问题．比如我们探索并证明三角形的中位线定理，就是利用平行四边形的性质解决的．请你按要求填空，并完成证明． (1)【定理探究】定理内容三角形的中位线 ． (2)【定理探究】定理证明 已知：如图1，点D，E分别是的边，的中点． 求证： ． 证明：延长到点M，使得，连接，，．……（请你补充完整） (3)【拓展应用】如图2，梯形中， ，点T，S分别是，的中点，连接．写出与，的关系，并说明理由． 20．如图，在四边形中，，．      (1)求证：四边形是平行四边形 (2)点在上，点在上，连接、，若，，求证： (3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积 参考答案 1．C 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，逐一判断各选项即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形 ，，故选项A、B正确 ，不符合题意； ，故选项D正确 不符合题意； 而与是邻边，一般平行四边形的邻边不一定相等，只有菱形才满足，故C错误，符合题意 ． 2．B 【分析】本题考查了添加一个条件判定四边形是平行四边形．熟练掌握平行四边形的定义和判定定理，是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一判断即得． 【详解】A. ， 添加， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； B. ， 添加， 无法判定， 则无法判定四边形是平行四边形； C. ， 添加， ∵， ∴， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； D. ， 添加， 可得， ∵， ∴， ∴，且， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得是平行四边形． 故选：B． 3．B 【分析】根据平行四边形的性质可知为中点，进而根据中位线定理可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 4．B 【分析】先利用平行四边形设，，得出，，从而可得，，再设，，，，从而可表示出，，再利用三角形面积，得出，，从而可得，，进而得出，再得出，然后根据平行四边形面积为，得到 ，从而可求得的面积． 【详解】解：过点E作于点M，交于点N，过点E作，交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点P，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴设，，，， ∴，， 设，，，， ∴，， ∵的面积为4，的面积为， ，， ，， ∴，， ∴， ∵的面积为， ， ， ∴， ∵平行四边形面积为：， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，等式的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，三角形的面积公式是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定与性质，先连接交于点O，结合平行四边形的性质以及，得，再计算出的长度，即可作答． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点， ∵ ∴是的中位线， ∴ ∴． 6．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， 故选：． 7．C 【分析】延长、交于点M，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：如图，延长、交于点M， 在中，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 由现有条件无法证明，故③不一定正确， 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 8．或 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质. 先根据勾股定理得到，再分两种情况讨论即可. 【详解】解：∵， ∴， 如图，当E在线段上时， ∴ 如图，当D在线段上时， ∴ 故答案为或 9．3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及垂线段最短，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值，由三角形中位线定理求出，即可得出的最小值． 【详解】解：∵， 根据勾股定理得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当取最小值时，线段最短，即时最短， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：3． 10． 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理求出、，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：取的中点，连接、，如图所示：   、分别是、的中点， ，，，， ∵， ， ， 故答案为：． 11．3 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，过作交的延长线于，判定，推出，，由勾股定理得到，因此，求出．关键是由勾股定理得到关于、的等式． 【详解】解：如图，过作交的延长线于， 是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ． 故答案为：3． 12．4 【分析】本题考查了折叠的性质，平行的判定，等边对等角，中位线的性质，勾股定理，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的性质和中位线的性质是解题关键． 连接交于点，由折叠的性质可知，垂直平分，进而推出为的中位线，得到，设，利用勾股定理列方程，解得，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，为对称轴，点为对应点， 连接交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ，点为的中点， 是边的中点， 为的中位线， 设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为：4 13．或5 【分析】此题考查了平行四边形的判定．分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或5． 14．②③④ 【分析】根据可进行判断；②证即可进行判断；③延长交于，证即可进行判断；④证即可进行判断；⑤由“不一定等于”即可进行判断． 【详解】解：①∵ ∴， ∵O为的中点 ∴ ∴ 故①错误； ②∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 故②正确； ③延长交于    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ 同理 ∴ ∴ 故③正确； ④∵是的中位线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 故④正确； ⑤∵，不一定等于 ∴不一定等于 ∵ ∴不一定等于 故⑤错误． 综上所述：②③④正确 故答案为：②③④ 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，角平分线的定义等知识点．掌握相关图形的性质定理是解题关键． 15．①② 【分析】根据平行四边形的性质，全等三角形的判定，选择①，可根据“”证明；选择②，根据“”证明；若选择③，“”无法判断． 【详解】解：若选择①，四边形为平行四边形， ， （两直线平行，内错角相等）， 在和中， ， ； 若选择②，四边形为平行四边形， ， （两直线平行，内错角相等）， 在和中， ， ； 若选择③，， “”无法判断； 故可选择①②． 16．(1)见解析 (2)，四边形的面积为 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）易得为等边三角形，三线合一求出的长，作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵点分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知：，四边形为平行四边形， ∴，， 作，则， ∴四边形的面积． 17．(1)见解析 (2)①当时，；② 【分析】(1)先证明，继而证明，可推导出，即可解答； (2)①先证明，推导出，再由，即可解答； ②先证明垂直平分，则，继而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）解：①∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴垂直平分． ∴． ∵在中，， ∴在中，． ∴的周长． 18．(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 19．(1)平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 (2) ，且；见解析 (3) 且，见解析 【分析】（1）直接根据三角形的中位线定理，进行作答即可； （2）根据三角形的中位线定理补全求证，延长到点M，使得，易证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）连接并延长交的延长线于点N，证明，得到，再根据三角形的中位线定理结合线段的和差关系，即可得出结论. 【详解】（1）解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，且． 证明：延长到点M，使得，连接，，． ∵点E是的中点， 又 ∴四边形是平行四边形 ， ∵点D是的中点， ，且 ∴四边形是平行四边形 ，， 又 ，且． （3）解：且，理由如下： 连接并延长交的延长线于点N， ∵点S是的中点 ； 在和中 ， ∴ 在中，T，S分别为，的中点， ，， ，， 且； 20．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）求证，从而判定平行四边形； （2）如图，作，交于点Ｋ，可求证，，，从而，于是； （3）解：如图，延长，交于点J，连接，可证，进一步求证，于是；过点A作，垂足为M，过点K作,是等腰直角三角形，四边形是平行四边形；由（2）知，得，；过点A作，交于L，连接，可证，于是，；进一步求证，于是．中,运用勾股定理求得，于是．过点F 作，垂足为O，可求得.求证，得．所以． 【详解】（1）证明：∵ ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图，作，交于点Ｋ， ∵， ∴． ∴．   ∴． ∵ ∴ ∴． ∵ ∴ ∴ ∴．    （3）解：如图，延长，交于点J，连接 ∵ ∴. ∵, ∴． ∴．   ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． 过点A作，垂足为M，过点K作，是等腰直角三角形，四边形是平行四边形； 由（2）知， ∴ ∴．   ∴． 过点A作，交于L，连接， ∵ ∴． ∵， ∴． ∴，．   ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． 设，则， ∴，解得，即 ∴． 过点F 作，垂足为O， ∵ ∴. ∴. ∵ ∴ ∴ ∴． ∴． ∴．        学科网（北京）股份有限公司 $