《第2章不等式与不等式组》期末综合复习优生辅导训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组核心内容，通过分层题型构建“性质应用-函数结合-实际建模”的方法体系，强化抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|6题|性质辨析法、解集确定法|以不等式性质为基础，推导解不等式(组)步骤，建立概念与解法的逻辑链| |函数综合|4题|图象分析法、交点坐标法|将一次函数图象与不等式解集关联，实现数与形的转化，培养几何直观| |方程与不等式|3题|参数讨论法、整体代入法|通过方程组与不等式的综合，强化代数推理，构建知识间的横向联系| |实际应用|3题|建模法、临界值分析法|从几何、生活情境中抽象不等关系，发展模型意识，体现数学应用价值|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第2章不等式与不等式组》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．已知，下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 4．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 5．关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有2个整数解，那么a的取值范围是；乙：如果此不等式组无解，那么．其中下列判断正确的是（     ）． A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．不等式组的最小整数解是______． 9．如果关于的不等式的正整数解有3个，那么的取值范围是_____． 10．如图，直线的图象经过点，当时，x的取值范围是______． 11．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应整式的值，则关于的不等式的解集是________． 12．太原站乒乓球赛刚刚落下帷幕，为推广乒乓球运动、普及赛事知识，学校举办了乒乓球知识竞赛，共20道题．竞赛规则为：答对1题得5分，答错或不答1题扣1分．小明同学想要拿到80分及以上的成绩，才能获得赛事纪念品，小明至少要答对________道题． 13．直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 14．按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为______． 三、解答题 15．（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 16．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 17．定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 18．某生产商打算生产上市一款新产品，上市前做了一系列调查研究．新产品上市的第一个月，商品的需求量与供货量关于产品上市的天数（，且为整数）的函数图象如图所示，关于的函数关系式为：． (1)求关于的函数关系式； (2)当供货量超过需求量的时，生产销售该产品面临亏本的风险，则哪几天该产品面临亏本风险？ 19．【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，关于x的方程的解是______，关于x的不等式的解集是______． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______． (4)求图3中的面积（写出计算过程）． 20．综合与实践——爱心饮水站 学校组织爱心活动，在操场设置饮水站．饮水机有温水（）和开水（）两个按钮，出水流速分别为和．志愿者用容量为的水杯为学生接水．接水时，只能先按一种按钮，再按另一种（不能同时按）．为了得到适宜饮用的温水（比如），需要合理分配时间． 设接温水的时间为秒（），接开水的时间为秒（），总接水时间秒．水杯接满时总体积满足（单位：）．根据能量守恒定律，温水和开水的热量变化相等，有其中为混合后的水温（单位：）． 【问题提出】 小明同学想探究如何分配时间使得混合水温恰好为，以及在不同限制下的最优方案． (1)【直观感知】若只接温水（即），水温为多少？若只接开水（即），水温能否直接饮用？说明理由． (2)【初步探究】小明先接了40秒温水，再接开水直到水杯满，求接开水的时间以及混合后的水温． (3)【深入研究】由于开水温度太高，为防止烫伤，规定开水的接取时间不得超过温水时间的2倍．设混合后水温为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． (4)【问题解决】若要求混合后水温恰好为，且水杯刚好接满，求接温水和开水的时间各为多少？并求出总接水的时间． 参考答案 1．C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项，找出不一定成立的结论即可. 【详解】解：A、∵ ， ∴ ，一定正确. B、∵ ，∴ 又∵ ，∴ ∴ ，一定正确. C、举反例验证，令 ，，，，满足 ， 此时 ， 可得 ，即 ，不一定正确. D、∵ ，∴ 又∵ ，同向不等式相加得 即 ，一定正确. 2．D 【分析】利用“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，再代入条件解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位，得到一次函数， ∵平移后，， ∴， 解得． 3．C 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 4．C 【分析】利用加减消元法，整体思想得到关于的表达式，代入不等式即可求解的范围． 【详解】解：， ∴得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 5．C 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴解①得，，解②得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 故选：C． 6．C 【分析】先确定不等式组的解集范围，再分别根据甲，乙给出的条件求出的取值范围，判断两人结论是否正确即可． 【详解】解：解得原不等式组的解集为， 判断甲的结论：不等式组有且仅有个整数解，且， 两个整数解为和， ， 解得，与甲的结论一致，故甲正确； 判断乙的结论： 不等式组无解， ， 解得， 即不等式组无解时的取值范围是，并非，故乙错误， 因此甲对，乙错． 7．A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及坐标与图形性质．作轴于点E，根据全等三角形的性质得到，再根据已知条件求出x的取值范围． 【详解】解：如图，作轴于点E，则， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．0 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，确定不等式组的解集，再找出解集中的最小整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 解得； 解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 因此原不等式组的解集为， 则不等式组的最小整数解为． 9． 【分析】先解出不等式的解集，再根据正整数解的个数确定关于的不等式，进而求出的取值范围． 【详解】解：， 移项得， ∵关于的不等式的正整数解有个， ∴不等式的正整数解为，，， ∴ 解得． 10． 【分析】根据函数图象可知，直线与轴交于点，观察轴上方的图象对应的自变量的取值范围即可； 【详解】解：由图象可知，直线与轴的交点坐标为， 当时，函数图象在轴上方，即， 所以当时，的取值范围是． 11． 【分析】先根据表格数据求出的值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：由表格可知，当时，， ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴， ∴关于的不等式为， 解得． 12． 【分析】设小明要答对道题，则答错或不答道题，根据得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分要大于或等于80分，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设小明要答对道题，则答错或不答道题， 依题意，得：， 解得：， 又∵为整数， ∴可取的最小值为17， ∴小明至少要答对道题． 13． 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 14．33 【分析】根据第一次不停止、第二次停止列不等式组，求出不等式组的解集，然后根据x为整数得出最大值和最小值即可． 【详解】解：根据题意可列不等式组：， 解得， x取整数，输入的x的最大值m是24，最小值n为9， ∴． 15．（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变； （1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式 ， 去括号，得， 移项，得， 即， ∴． 解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得． ∴ 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示为： 16．(1) (2) (3)或或 【分析】（）把两个方程相加可得 ，即得，解方程即可求解； （）用第二个方程减去第一个方程可得 ，即得 ，再解不等式即可求解； （）由不等式可得 ，进而根据解集得到 ，求出的解集再结合（）得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ①②，得， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， ②①，得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴不等式的解集为， ∴， 解得， 又由（）得，， ∴， ∴的整数值为或或． 17．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：； 故答案为：，； （2）根据题意得； 解得： ∵关于的不等式组无解， ∴； （3）根据题意得， 整理得：， 此不等式解集为， ，且， 整理得：， 所求不等式化简得：，即， 把代入得： ，解得：， ∴ 解得：． 18．(1) (2)第到第天面临亏本风险 【分析】（1）由函数图象可知，关于的函数图象由两段组成，当时，关于的函数图象为一次函数，利用待定系数法求出此时的关于的函数关系式，再求出当时，恒为32； （2）根据题意得，当时，会面临亏本的风险，分情况讨论：当或或时列出不等式，结合为整数求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知， 当时，设关于的函数关系式为， 将、代入得： ， 解得：， 此时关于的函数关系式为， 当时，， 综上所述，关于的函数关系式为：； （2）解：根据题意得，当，即时，会面临亏本的风险， 当时，，， ， 解得：， ， 为整数， 可以取18，19，20； 当时，，， ， 解得：， ， 为整数， 可以取21，22； 当时，，， ， ， 当时，不会面临亏本的风险， 综上所述，第到第天该产品面临亏本风险． 19．(1) (2)，， (3) (4) 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）通过观察图象求解即可； （4）先求出两条直线的解析式，再求出A点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是； （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是； （3）解：由题意，直线与x轴交于点， 观察图象可知，当直线在直线上方，且在轴上方时，； 故关于x的不等式组的解集是； （4）解：把代入，得，解得， ∴； 把，代入，得，解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∴． 20．(1)若只接温水，水温为；适宜直接饮用的水温范围是，若只接开水，水温为，超出适宜范围，因此不能直接饮用 (2)接开水的时间为秒，混合后水温为 (3) (4)接温水的时间为秒，接开水的时间为秒，总接水时间为秒 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）先根据水杯接满满足求出，再根据求出时间； （3）先列不等式组求解的取值范围，再把代入热量公式，整理求解即可； （4）由题意得，然后列出方程组求解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，温水本身温度为，只接温水时，因此水温为；若只接开水，不能饮用，理由见答案； （2）解：已知接温水时间秒，水杯接满满足， 代入得， 解得 将代入热量公式， 得， 整理得， 解得 因此接开水时间为秒，混合后水温为； （3）解：由水杯接满条件得， 由题意得， 代入得 ， 解得 将代入热量公式， 整理得，； （4）解：由题意得，可得方程组 ， 解得， 总接水时间（秒） 答：接温水的时间为秒，接开水的时间为秒，总接水时间为秒． 学科网（北京）股份有限公司 $