精品解析：2023年浙江省杭州市文澜中学九年级竞赛数学试卷

2023年浙江省杭州市文澜中学九年级竞赛数学试卷 一、选择题（本大题有15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得0分） 1. 已知为锐角，且，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目． 2. 如图，几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：几何体的俯视图是： ， 故选：D． 3. 在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个红球，共7个， 从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率是； 故选：D． 【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 5. 如图，是外接圆的直径，于点E，连结，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 是外接圆的直径， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互补，掌握以上周知识是解题的关键． 6. 下列命题为假命题的是（　　） A. 若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019 B. 若a＝b，则 C. 若a＞b，则 a2＞ab D. 若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质、不等式的性质进行判断即可． 【详解】A、若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019，是真命题； B、若a＝b，则，是真命题； C、若a＞b，当a＞0时，则 a2＞ab；a＜0时，a2＜ab，是假命题； D、若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c，是真命题； 故选C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等式的性质、不等式的性质. 7. 已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数且a≠0），下列结论正确的是（ ） A. 当a=1时，函数图像过点(-1，1) B. 当a= -2时，函数图像与x轴没有交点 C. 当a，则当x1时，y随x的增大而减小 D. 当a，则当x1时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】y=ax2-2ax-1（a是常数且a≠0） A、当a=1时，y=x2−2x−1，令x=−1，则y=2，此项错误； B、当a=−2时，y=2x2+4x−1，对应的二次方程的根的判别式Δ=42−4×2×(−1)=24>0，则该函数的图象与x轴有两个不同的交点，此项错误； C、当a>0，y=ax2−2ax−1=a(x-1)2-a+1，则x≥1时，y随x的增大而增大，此项错误； D、当a<0时，y=ax2−2ax−1=a(x-1)2-a+1，则x≤1时，y随x的增大而增大，此项正确； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握熟记图象特征与性质是解题关键.错因分析：较难题.失分原因可能是：①不会判断抛物线与x轴的交点情况；②不能画出拋物线的大致图象来判断增减性． 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ） A. AD=BD B. BD=CD C. ∠A=∠BED D. ∠ECD=∠EDC 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目描述的作图方法，可知MN垂直平分AB，由垂直平分线的性质可进行判断． 【详解】∵MN为AB的垂直平分线， ∴AD=BD，∠BDE=90°，故A正确， ∵∠ACB=90°， ∴CD=BD，故B正确， ∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°， ∴∠A=∠BED，故C正确， ∵∠A≠60°，AC≠AD， ∴EC≠ED， ∴∠ECD≠∠EDC．故D错误， 故选D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，熟悉尺规作图，根据题目描述判断MN为AB的垂直平分线是关键． 9. 如图，在中，，，，利的平分线相交于点，过点作交于点F，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点D，作 于点G，作于点H，由可证四边形是矩形，由角平分线可得，从而知四边形是正方形，再证，， 得，，设，则，，由可得，即，再证可得，据此得出． 【详解】解：如图，延长交于点D，作 于点G，作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分，平分， ∴， ∴四边形是正方形， 在和中， ∴， ∴， 同理， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ 故选：Ｃ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则如图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别计算出货车到达乙地的时间、小汽车到达乙地的时间以及小汽车返回甲地的时间，结合y表示离乙地的距离，据此分析图像的起点、终点及转折点即可解答． 【详解】解：∵甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时， ∴出发时，两车离乙地的距离均为180千米，即图像起点为， 小汽车到达乙地所需时间为（小时），此时，小汽车返回甲地所需时间也为2小时，即时，小汽车回到甲地，离乙地的距离； 货车到达乙地所需时间为（小时），此时， ∵， ∴小汽车先到达乙地（图像先触底），货车后到达乙地（图像后触底），最后小汽车返回甲地（图像回到最高点） 观察各选项，只有C选项符合题意． 11. 有甲、乙两个不同的水箱，容量分别为a升和b升，且已各装了一些水．若将甲中的水全倒入乙箱之后，乙箱还可以继续装20升水才会满；若将乙箱中的水倒入甲箱，装满甲箱后，乙箱里还剩10升水，则a，b之间的数量关系是( ) A. b＝a+15 B. b＝a+20 C. b＝a+30 D. b＝a+40 【答案】C 【解析】 【分析】根据将甲中的水全倒入乙后，乙只可再装20公升的水得：b＝m+n+20；将乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩10公升的得：a＝m+n﹣10，两式相减即可求出a,b之间的关系. 【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了m、n公升水， 由“若将甲中的水全倒入乙后，乙只可再装20公升的水”得：b＝m+n+20； 由“若将乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩10公升的水”得：a＝m+n﹣10． 两式相减得：b﹣a＝30， b＝a+30． 故选C． 【点睛】本题考查的是函数关系，正确掌握题意是解题的关键. 12. 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针旋转，得到． 延长交于点，连接，下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识．设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确． 【详解】解：设交于，如图： 四边形是正方形， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ， ， ， ， ，故①正确； 将绕点按顺时针方向旋转， ，，， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形，故②正确； 如图，过点作于， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转， ， 四边形是正方形， ， ， ，故③正确； 正确的有：①②③， 故选：A． 13. 如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H.已知=2，①若AD为BC边上的中线，的值为；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时，＜2sin∠DAC.则（ ） A. ①正确；②不正确 B. ①正确；②正确 C. ①不正确；②正确 D. ①不正确；②正确 【答案】A 【解析】 【分析】①根据相似三角形的判定与性质易证其正确；②利用相似三角形的判定与性质得到，因为BC＞2CD，所以，即BH＞3GH，再根据BH⊥AC，得到sin∠DAC=，利用等量代换即可得解. 【详解】解：①∵EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD， ∵=2， ∴， 同理易证△GHF∽△BHC， ∵D为BC中点， ∴， ∴=，故①正确； ②同理∵=2， ∴，即AD=AG ∵BC＞2CD，即EF＞2GF， ∴EG＞GF， ∴，即BH＞3GH， ∴=2， 又∵BH⊥AC， ∴sin∠DAC=， ∴＞2sin∠DAC，故②不正确. 故选A. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 14. 已知点在直线上，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入直线中,得到m、n的关系式，分别表示代入不等式即可判断的最值； 【详解】解：将点代入直线中， 得，则 将代入中，解得： 将代入中，解得： ∴当，时，=有最大值 故选：A 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，掌握相关知识点并灵活应用是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，下列y关于x的函数中，函数图像可能同时经过点A和点B的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据A、B两点坐标得到横纵坐标的差值，再依次代入各选项函数，判断是否存在符合条件的参数，即可得到结果． 【详解】解：已知，， ∴，． A．将A、B代入，得 两式相减得，等式不成立； B．将A、B代入，得 两式相减得， 解得，满足，存在符合条件的函数，符合要求． C．函数，可得， 因此，代入得， 化简得， 代回得， ，左边为正，右边为负，等式不成立； D．将A、B代入，得， 整理得， ，等式不成立． 二、填空题（本大题有15个小题，每小题4分，共60分） 16. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 17. 分式方程的解是 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 18. 两组数据：3，a，8，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组，用这组新数据的中位为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可． 【详解】∵两组数据：3，a，8，5与a，6，b的平均数都是6， ∴， 解得， 若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8， 一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6． 故答案为6． 【点睛】本题考查平均数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数． 19. 若x，y满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】解题思路为消去参数，整理变形得到的值即可． 【详解】解： 由①得 将代入②得 展开得 移项及合并同类项得 两边同除以得 ． 20. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）． 【答案】m2+1 【解析】 【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】∵2m为偶数， ∴设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2， 解得a=m2-1， ∴弦长为m2+1， 故答案为：m2+1． 【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21. 一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的弧长，扇形的面积，圆的周长，先求出圆锥的底面周长，再根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，进而求出扇形的面积，即可得出答案． 【详解】∵圆锥的底面半径是8cm， ∴圆锥的底面周长为， ∴， 解得． 可知扇形的半径为，扇形的圆心角为， ∴， 所以此圆锥的侧面积为． 故答案为：． 22. 已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是_____． 【答案】1＜x+y＜5 【解析】 【分析】利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵x﹣y=3， ∴x=y+3， 又∵x＞2， ∴y+3＞2， ∴y＞﹣1． 又∵y＜1， ∴﹣1＜y＜1① 同理得：2＜x＜4② 由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4 ∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5 故答案为1＜x+y＜5． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围． 23. 已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是_____． 【答案】2或 【解析】 【详解】试题解析： ∵以点P(1,2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点， ∴⊙P与x轴相切(如图1)或⊙P过原点(如图2)， 当⊙P与x轴相切时，r=2； 当⊙P过原点时， ∴r=2或. 故答案为2或. 24. 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形.已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=10，则它的周长等于_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝5；②Rt△ABC中，AC＝BC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长． 【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝5， 设BC＝a，AC＝b，则 解得a＋b＝10，或a＋b＝−10（舍去）， ∴△ABC的周长为10＋10； 如图所示，Rt△ABC中，AC＝BC， 设BC＝a，AC＝b，则 ， 解得， ∴△ABC的周长为； 综上所述，该三角形的周长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题的关键是利用勾股定理进行推算． 25. 一张直角三角形纸片，，，．将它折叠使直角顶点C与斜边的中点重合，那么折痕的长为___________． 【答案】13 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数、勾股定理、折叠的性质，直角三角形的性质，利用正切三角函数的定义得到线段之间的关系是关键． 设点C的对应点为，折痕为，连接，则，，由直角三角形的性质可得，，由结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设点C的对应点为，折痕为，连接，则，， 由题意可得，，，， ∵顶点C与斜边的中点重合，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ 故答案为：13 26. 如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数和直线的解析式，联立解析式求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点的纵坐标为4，横坐标为， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得， ， ， 当时，， ， ． 27. 在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为______________． 【答案】5.5或0.5． 【解析】 【分析】两种情况：①由矩形的性质得出CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，由菱形的性质得出CF=EF=BE=BC=5，由勾股定理求出DF，得出MF，即可求出AM；②同①得出AE=3，求出ME，即可得出AM的长． 【详解】解：分两种情况：①如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADC=∠CDF=90°， ∵四边形BCFE为菱形， ∴CF=EF=BE=BC=5， ∴DF==3， ∴AF=AD+DF=8， ∵M是EF的中点， ∴MF=EF=2.5， ∴AM=AF﹣DF=8﹣2.5=5.5； ②如图2所示：同①得：AE=3， ∵M是EF的中点， ∴ME=2.5， ∴AM=AE﹣ME=0.5； 综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5； 故答案为5.5或0.5． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质，熟练分运用矩形与菱形的性质解题是关键. 28. 如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点，  ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则，  ∴点C的坐标为，  ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称，  ∴点B的横坐标为，纵坐标为3，  ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交，  ∴满足的x的取值范围是或． 29. 如图，正方形，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， 四边形是正方形，， ，，四边形是矩形， ， 点为中点， ， ， ， ，即， 设，则， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得，， ， 又， ， 解得或， 经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 30. 如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F，连接交于点G，若，，则的长为____________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，由题意易得，则有， 设的半径为r，则，然后根据三角函数可得，则有，进而通过证明及三角函数进行求解即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 由勾股定理得：， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题有1个小题，共15分） 31. 现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0， （1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式． （2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围． （3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围． 【答案】（1）y＝x﹣2，y=x2++1；（2）a＜；（3）m＜﹣2或m＞0． 【解析】 【分析】（1）直接将点代入函数解析式，用待定系数法即可求解函数解析式； （2）点（2，0）代入一次函数解析式，得到n＝−2m，利用m与n的关系能求出二次函数对称轴x＝1，由一次函数经过一、三象限可得m＞0，确定二次函数开口向上，此时当 y1＞y2，只需让a到对称轴的距离比a＋1到对称轴的距离大即可求a的范围． （3）将A（h，k）分别代入两个二次函数解析式，再结合对称抽得h＝，将得到的三个关系联立即可得到，再由题中已知−1＜h＜1，利用h的范围求出m的范围． 【详解】（1）将点（2，0），（3，1），代入一次函数y＝mx+n中， ， 解得， ∴一次函数的解析式是y＝x﹣2， 再将点（2，0），（3，1），代入二次函数y＝mx2+nx+1， ， 解得， ∴二次函数的解析式是． （2）∵一次函数y＝mx+n经过点（2，0）， ∴n＝﹣2m， ∵二次函数y＝mx2+nx+1的对称轴是x＝， ∴对称轴为x＝1， 又∵一次函数y＝mx+n图象经过第一、三象限， ∴m＞0， ∵y1＞y2， ∴1﹣a＞1+a﹣1， ∴a＜． （3）∵y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）， ∴k＝mh2+nh+1，且h＝， 又∵二次函数y＝x2+x+1也经过A点， ∴k＝h2+h+1， ∴mh2+nh+1＝h2+h+1， ∴， 又∵﹣1＜h＜1， ∴m＜﹣2或m＞0． 【点睛】本题考点：点与函数的关系；二次函数的对称轴与函数值关系；待定系数法求函数解析式；不等式的解法；数形结合思想是解决二次函数问题的有效方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年浙江省杭州市文澜中学九年级竞赛数学试卷 一、选择题（本大题有15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得0分） 1. 已知为锐角，且，则 （　　） A. B. C. D. 2. 如图，几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 5. 如图，是外接圆的直径，于点E，连结，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题为假命题的是（　　） A. 若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019 B. 若a＝b，则 C. 若a＞b，则 a2＞ab D. 若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c 7. 已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数且a≠0），下列结论正确的是（ ） A. 当a=1时，函数图像过点(-1，1) B. 当a= -2时，函数图像与x轴没有交点 C. 当a，则当x1时，y随x的增大而减小 D. 当a，则当x1时，y随x的增大而增大 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ） A. AD=BD B. BD=CD C. ∠A=∠BED D. ∠ECD=∠EDC 9. 如图，在中，，，，利的平分线相交于点，过点作交于点F，那么的长为（ ） A. B. C. D. 10. 货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则如图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 11. 有甲、乙两个不同的水箱，容量分别为a升和b升，且已各装了一些水．若将甲中的水全倒入乙箱之后，乙箱还可以继续装20升水才会满；若将乙箱中的水倒入甲箱，装满甲箱后，乙箱里还剩10升水，则a，b之间的数量关系是( ) A. b＝a+15 B. b＝a+20 C. b＝a+30 D. b＝a+40 12. 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针旋转，得到． 延长交于点，连接，下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 13. 如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H.已知=2，①若AD为BC边上的中线，的值为；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时，＜2sin∠DAC.则（ ） A. ①正确；②不正确 B. ①正确；②正确 C. ①不正确；②正确 D. ①不正确；②正确 14. 已知点在直线上，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 15. 在平面直角坐标系中，已知点，下列y关于x的函数中，函数图像可能同时经过点A和点B的是（ 　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有15个小题，每小题4分，共60分） 16. 因式分解：______． 17. 分式方程的解是 ________ ． 18. 两组数据：3，a，8，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组，用这组新数据的中位为_______. 19. 若x，y满足，则的值为_____． 20. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）． 21. 一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为________． 22. 已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是_____． 23. 已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是_____． 24. 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形.已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=10，则它的周长等于_____． 25. 一张直角三角形纸片，，，．将它折叠使直角顶点C与斜边的中点重合，那么折痕的长为___________． 26. 如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 27. 在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为______________． 28. 如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 29. 如图，正方形，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则______． 30. 如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F，连接交于点G，若，，则的长为____________________ ． 三、解答题（本大题有1个小题，共15分） 31. 现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0， （1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式． （2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围． （3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $