精品解析：浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学2023-2024学年上学期12月九年级竞赛数学试卷

浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学2023-2024学年上学期12月九年级竞赛数学试卷 （满分100分 测试时间90分钟） 一、填空题（1－10题每题4分，11－16题每题6分，共76分） 1. 甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的．小荣将乙、丙两箱内的球全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出的球是红球的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是表示出箱子中球的总数，然后表示出每个箱子中红球的个数．首先，设每个箱子中有球个，分别表示出三个箱子中红球的个数，然后求得其和，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设每个箱子中原来有球个， ∵甲箱内的红球占甲箱内小球总数的，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的， ∴甲箱内的红球有个，乙箱内红球为，丙箱内的红球有个， ∴三个箱子中共有红球个， ∴取出的球是红球的概率为， 故答案为：． 2. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1-S2的值． 【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点， ∴BF＝BG＝2， ∴S1＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2， ∴S1﹣S2＝4×3﹣﹣＝12﹣， 故答案为12﹣． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 3. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长． 【详解】解：如图：连接AE、AF、EN， 四边形ABCD是正方形 设AB=BC=CD=AD=a，， 在与中， ， ， 是等腰三角形， 又， 垂直平分EF， ， 又， ， 在中，， ， 解得a=20， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键． 4. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足c=3，a+b=5，则此三角形面积的最大值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出，然后代入到公式中得到关于a的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，即有最大值3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． 5. 如图，的弦，直径于是劣弧上一点，连结并延长交的延长线于点，连结，则的值为___________． 【答案】80 【解析】 【分析】连接，设，则，由勾股定理求得，从而求得k的值，即可得圆的半径及，由勾股定理求得的值；再证明，由相似三角形的性质得，从而求解． 【详解】解：如图，连接，设，则， ∵直径， ∴， 在，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴圆的半径为5，， 在中，， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：80． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，相等的弧对的圆周角相等，勾股定理等知识，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 6. 二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，该函数的最大值为，由题意可解得，根据函数图象可知的值越小，其对称轴越靠左，满足的的值越小，故令即可求得的最大值．本题主要考查了二次函数图象与性质，解题关键是理解题意，借助函数图象的变化分析求解． 【详解】解：函数，且， 该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，该函数有最大值，其最大值为， 若要满足的任意一个的值，都有， 则有，解得， 对于该函数图象的对称轴，的值越小，其对称轴越靠左， 的值越小，满足的的值越小， 当取的最大值，即时，令， 解得，，， 满足的的最大值为， 即的最大值为． 故答案为：． 7. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为，连接C．当点P运动时，点也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段C扫过的区域的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，确定线段扫过的面积是扇形的面积与等边三角形的面积和，依次计算即可． 【详解】如图，当P与点A重合时， BE=BC=， 当P与点D重合时， B=BC=， 当点P运动时，线段C扫过的区域的面积是， 根据对称性，得到B=BC=， 根据勾股定理，得BD==2=2DC， ∴∠CBD=30°，∠CB=60°，CF=， ∴∠CB=60°，∠EB=120°，BF=， ∴线段C扫过的区域的面积是 = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，对称的意义，熟练掌握扇形的面积计算和等边三角形的面积计算是解题的关键． 8. 已知抛物线为常数，经过点，其对称轴在轴左侧．有下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③． 其中，正确结论的序号为___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先根据抛物线经过的点和对称轴位置确定、、的符号及关系，再分别分析三个结论．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵ 抛物线经过点， ∴ ∵ 抛物线经过点， ∴ ，即 ∵ 对称轴在轴左侧， ∴ 又，分情况讨论： 若，则可得，但，时，矛盾， ∴ ，则可得 ∴ ，，， ∴ ，故①正确． 对于方程，即. ， 其判别式 把，代入， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故②正确． 由，且， 解，得， 又. ， ∴ ，故③正确． 故选：①②③． 9. 已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝x2上运动，则AM＋BM的最小值为___． 【答案】5 【解析】 【分析】设点M（m，m2），用含m代数式表示BM＝m2＋1，可得点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等，进而求解． 【详解】解：设点M（m，m2）， 则点M到x轴距离为m2，BM＝＝m2＋1， ∴点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等， ∵点A横坐标为x＝2， ∴点M为直线x＝2与抛物线交点， 如图，设直线x＝2与直线y＝﹣1交点（2，﹣1）， ∴为AM＋BM最小值，AB'＝4﹣（﹣1）＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最短路线和二次函数的问题，做题的关键是利用轴对称解决最短路线． 10. 设的重心为，且．则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的重心，全等三角形的性质，勾股定理的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，延长到，与相交于，使，则，所以，根据重心的性质可求得，则，，故是直角三角形，并可求得其面积，从而得到的面积，即可求得的面积． 【详解】解：延长到，与相交于，使， ∵为的重心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿运动到点停止，过点作交矩形的边于，若线段的中点为，则点从运动到的过程中，点运动的路线长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】分（1）点在边上时，（2）点在边上时，两种情况加以讨论即可 【详解】解：∵BE：EC=2：1，AD=6=BC， ∴BE=4，EC=2， 点可能在边上，也可能在边上， （1）点在边上时， 当与重合时，点与重合，此时点在处， 当点与重合时，点与重合，点在处， ∴点的运动轨迹是线段． ∵线段的中点为， ∴此时HK是△AEG的中位线 ∵，∴， ∴， （2）点在边上时， 当与重合时，点与重合，此时点在处，点的运动轨迹是线段． ∵∠OED=90°， ∴∠OEB+∠DEC=90°， ∵∠DEC+∠EDC=90°， ∴∠EDC=∠OEB， ∵∠B=∠C =90°， ∵， ∴， ∵CE=2，BE=4，CD=4 ∴， ∴， ∵HN是△OAE的中位线 ∴， ∴点的运动路径的长． 故答案为：3． 【点睛】本题考查轨迹，矩形的性质，相似三角形的判定和性质、三角形中位线等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹． 12. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连接交于点，连接．若，则的值为___________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】过作于，判定，即可得到；设，再根据勾股定理以及面积法即可得到与的长，进而得出的长；再根据，即可得到和的长，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，过作于， 由题可得，，， ， ， 设，则，，， 中，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，利用勾股定理或相似三角形的对应边成比例进行计算． 13. 半圆O的直径，两弦、相交于点E，弦，且，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及相似三角形的判定与性质，熟知相关性质定理是正确解决本题的关键． 根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得，根据、的长，即可求出两个三角形的相似比；设，则，然后根据相似比表示出、的长，连接，首先在中，根据勾股定理求得的表达式，然后在中，由勾股定理求得x的值，进而可求出的长． 【详解】解：，， ； ∴； 设，则， ， ； 连接，则； 中，， ，则； 在中，， ； 由勾股定理，得：， 即： ， 整理，得， 解得：（不合题意舍去），， 则． 14. 如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案． 【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值． 15. 如果一个三角形一边上的高与该边相等，我们称这个三角形为“等边高三角形”，这条边就叫做“高边”．若等边高（为锐角三角形）内接于是高边，交于点，交于点，，则的直径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，连接，利用相似三角形可得出的长，再连接并延长，交于点，利用即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， 又， ， ， 又，，， ， 解得， ． 在中，． 在中，． 连接交于点，连接， 是的直径， ， ． 又， ， ， ，即， ， 即的直径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、圆周角定理、垂径定理及勾股定理，能由所给图形构造出相似三角形是解题的关键． 16. 如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点作的垂线交的延长线于点．连结交于点，若的半径为，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵点，是的三等分点， ∴， ∴，， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ， ， 设，则，． 由勾股定理得，即， 解得， ，， ， ， ， ， ， ，． ，， ， ． 即的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定及性质、垂径定理的推论、相似三角形的判定及性质，圆周角定理以及勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答． 二、解答题（每题12分，共24分） 17. 如图，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，∠BCD=∠ECF=60°，已知菱形GECF绕点C旋转的角度为α． （1）如图①，当点G在对角线AC上时，求的值； （2）如图②，当菱形GECF按顺时针方向旋转的角度为α（0°＜α＜60°），探索线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，在菱形GECF旋转的过程中，当点A，G，F在同一条直线上时，连接CG并延长，交AD于点H，若CE=2，GH=，求AH的长． 【答案】（1）； （2） 解：AG=BE．理由如下：如图2中，连接CG． ∵四边形ABCD、四边形ECFG都是菱形，∠ECF=∠DCB=60°， ∴∠ECG=∠EGC=∠BCA=∠BAC=30°， ∴==． ∴△ECG∽△BCA， ∴=， ∴==． ∵∠ECB=∠GCA， ∴△ECB∽△GCA， ∴==， ∴AG=BE． （3）3 【解析】 【分析】（1）如图1中，作EH⊥CG于H．证明EG∥AB，推出，即可解决问题； （2）结论：AG=BE．如图2中，连接CG．证明△ECB∽△GCA，可得=； （3）如图3中，证明△HAG∽△HCA，推出AH2=HG•HC，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，过点E作EH⊥CG于点H． ∵四边形ECFG是菱形，∠ECF=60°， ∴∠ECH=∠ECF=30°，EC=EG， ∵EH⊥CG， ∴GH=CH， ∴=cos30°=， ∴=2•=， ∵EG∥CD，AB∥CD， ∴GE∥AB， ∴==； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中， ∵∠AGH=∠CGF=30°，∠AGH=∠GAC+∠GCA，∠DAC=∠HAG+∠GAC=30°， ∴∠HAG=∠ACH， ∵∠AHG=∠AHC， ∴△HAG∽△HCA， ∴=， ∴AH2=HG•HC． ∵FC=CE=2，CG=CF， ∴GC=2， ∵HG=， ∴CH=3， ∴AH2=HG•HC=•3=9． ∵AH＞0， ∴AH=3． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 18. 如图1，在中，是上一点（不与点重合），过点作于点，连接CD并延长交三角形ABC的外接圆于点，连接EA，EB，AP． （1）若，求证：． （2）如图2，． ①若，求AP的长． ②求的最大值． 【答案】（1） 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①② 【解析】 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，三角函数的定义，圆周角定理，二次函数的性质等相关知识； （1）由比例式可得，所以，所以，则； （2）①由勾股定理可得．由勾股定理可得，求出和的长．证明，得出，求出，则可得出答案； ②证明，得出，则．设证出由二次函数的性质可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① ， ，， ， 解得（负值舍去）， ， ， 设． ， ，则 ， ， ； ②， 四点共圆， ． ， ． 设， ， ， ∴当时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学2023-2024学年上学期12月九年级竞赛数学试卷 （满分100分 测试时间90分钟） 一、填空题（1－10题每题4分，11－16题每题6分，共76分） 1. 甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的．小荣将乙、丙两箱内的球全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出的球是红球的概率为___________． 2. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为_____． 3. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________ 4. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足c=3，a+b=5，则此三角形面积的最大值为_____． 5. 如图，的弦，直径于是劣弧上一点，连结并延长交的延长线于点，连结，则的值为___________． 6. 二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为___________． 7. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为，连接C．当点P运动时，点也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段C扫过的区域的面积是_______． 8. 已知抛物线为常数，经过点，其对称轴在轴左侧．有下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③． 其中，正确结论的序号为___________． 9. 已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝x2上运动，则AM＋BM的最小值为___． 10. 设的重心为，且．则___________． 11. 如图，矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿运动到点停止，过点作交矩形的边于，若线段的中点为，则点从运动到的过程中，点运动的路线长为________． 12. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连接交于点，连接．若，则的值为___________． 13. 半圆O的直径，两弦、相交于点E，弦，且，则_______ 14. 如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是______． 15. 如果一个三角形一边上的高与该边相等，我们称这个三角形为“等边高三角形”，这条边就叫做“高边”．若等边高（为锐角三角形）内接于是高边，交于点，交于点，，则的直径为___________． 16. 如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点作的垂线交的延长线于点．连结交于点，若的半径为，则的周长为___________． 二、解答题（每题12分，共24分） 17. 如图，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，∠BCD=∠ECF=60°，已知菱形GECF绕点C旋转的角度为α． （1）如图①，当点G在对角线AC上时，求的值； （2）如图②，当菱形GECF按顺时针方向旋转的角度为α（0°＜α＜60°），探索线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，在菱形GECF旋转的过程中，当点A，G，F在同一条直线上时，连接CG并延长，交AD于点H，若CE=2，GH=，求AH的长． 18. 如图1，在中，是上一点（不与点重合），过点作于点，连接CD并延长交三角形ABC的外接圆于点，连接EA，EB，AP． （1）若，求证：． （2）如图2，． ①若，求AP的长． ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $