精品解析：浙江省宁波市奉化区2023-2024学年上学期文化素养测评 九年级数学试题卷

2023学年第一学期文化素养测评九年级数学试题卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间90分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 若实数满足，则点所在的象限为（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是掌握不等式的解法及四个象限的点的坐标的特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）． 根据题意可得异号，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征可判断出点所在象限． 【详解】解：∵， ∴异号， ∴当时，点所在的象限为第四象限； 当时，点所在的象限为第二象限； 综上所述，点所在的象限为第二、四象限． 故选：B 2. 某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 3. 已知、是实数，，，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，计算出的表达式，结合完全平方公式进行计算，即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵、是实数，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，在Rt中，为斜边的中点，为上一点，连、，作，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 5. 如图，已知等腰梯形，腰，对角线，且梯形的面积为，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过A作 ，交延长线于M， 作于N，根据等腰梯形的性质可得，可证四边形是平行四边形，进而可证是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，根据三角形的面积可得，根据正弦的定义即可得解． 【详解】解：过A作 ，交延长线于M，作于N， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6. 二次函数，当取值为时，有最大值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值．先把二次函数化为顶点式，然后对函数图像的对称轴位置进行分类讨论，即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为， ∵， ∴该函数的最大值为2， 当时，即时，函数在处取得最大值，最大值为，根据题意，最大值为，则，解得。在范围内，故是符合题意的一个解； 当时，此时当时，函数取得最大值，最大值为，符合题意； 当时，此时当时，函数取得最大值，最大值为，不符合题意； ∴当取值为时，有最大值，的取值范围为． 故选：C 7. 设，我们用符号表示两数中较小的一个，如，按照这个规定：方程的解为（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，新定义，根据题意分当和当列出分式方程，然后解分式方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当，即时， 方程化为：，解得：， 经检验:是分式方程的解； 当，即时， 方程化为：，解得：（不合题意，舍去）； 综上，方程的解为， 故选：． 8. 在中，，且边，分别以三边为边作三个正方形（如图所示放置），顶点恰好在边上，边与边交于点，构造矩形，记其面积为，边与边交于点，构造矩形，记其面积为，则当时的长为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可设，，则，设，则，证，在中可求出，则，再证，在中可求出，进而得，然后证，在中可求出，则，进而得，最后再根据求出，由此可得的长． 【详解】解：∵， ∴设，， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形，四边形，四边形均为正方形， ∴，，， 设， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，理解正方形的性质，灵活运用锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 9. 如图，若随机闭合开关中的两个，则只能让一个灯泡发光的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】考查用树状图或列表法求等可能事件的概率，利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】用树状图表示所有可能出现的结果有： 由图可知一共有6种等可能性的结果数，其中只能让一个灯泡发光的结果数有2种， ∴只能让一个灯泡发光的概率为． 故答案为：． 10. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则将这个扇形做成圆锥的底面半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥底面半径，先求出弧长为，再根据圆的周长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，弧长， ∴这个扇形做成圆锥的底面半径为， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点连接，则的最小值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作轴于点M，轴于N， ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的图象和性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 12. 如果满足的实数恰有4个，则实数的取值范围为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了含绝对值的二次函数，可以根据函数的图像，先画出图像，x轴以下向上翻折得到的图象再向下平移10个单位后，再次将x轴以下反射上去，得到的图像，因为的图像是一条横线，通过图像得a的取值范围． 【详解】解：如图，或时，两函数有4个交点． 故答案为：或． 13. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结，若，则的面积为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，，过点A作轴，过点D作轴，过点D作，由经过原点，则A与B关于原点对称，再由，为的平分线，可得，进而可得，进一步得到，设点，由，，可得，则，证明，得到，即可根据求得，进而可得答案． 【详解】解：连接，，过点A作轴，过点D作轴，过点D作， ∵过原点的直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴A与B关于原点对称， ∴O是的中点， ∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数k的意义，借助直角三角形和角平分线，将的面积转化为的面积是解题的关键． 14. 如图，点是上一点，且半径为2，，，点在上运动，连接交于点，则的值为___________；当的值最大时，___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】画出圆心O，连接，交于点F，根据垂径定理和等腰三角形的性质与判定证明出是等边三角形，即可得出的长；过点D作，过点D作于点N，连接，可得，从而得到，再根据平行的性质和锐角三角函数得到，，当最大时，最从而得到大，此时的长等于半径减去的高，且，此时，即可求解． 【详解】解：如图，画出圆心O，连接，交于点F， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 过点D作，过点D作于点N，连接， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，最大，此时的长等于半径减去的高，且， 此时， ∴，， ∴， ∵， 解得：． 故答案为：； 【点睛】本题考查了圆的几何综合，综合性比较强，难度校大，能够作出合适的辅助线进行作答是解题的关键． 三、解答题（本题有4大题，第15、16题每题12分，第17题14分，第18题12分，共50分） 15. 矩形中，，点在边上，连接，在线段上取一点，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当且时，求的值； （3）如图3，当时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 证明：如图，过点P作于点G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）结合矩形的性质可得，即可求证； （2）过点C作于点F，由（1）得：，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，然后根据为等腰直角三角形，即可求解； （3）过点P作于点G，则，结合，可得到，从而得到，，再证明，可得，然后在中，利用勾股定理可得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点F， 由（1）得：， ∴， 矩形中，∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例． 16. 通过改变的值得到动态函数，并且探索函数图象的相关性质． 规定：当，此时函数解析式为，且记点的坐标分别为． （1）当函数解析式为，且，则___________； （2）若点的坐标分别为，函数的图象与轴有两个交点时的取值范围； （3）若点的坐标为，点在点的右边，且满足，且此时函数的最小值为2，求出此函数的解析式． 【答案】（1）4或0； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点的坐标分别为，再由两点之间的距离得出绝对值方程求解即可； （2）根据题意得出，再由二次函数与坐标轴的交点与一元二次方程的关系求解即可； （3）根据题意得或，代入二次函数关系式，利用最值求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点的坐标分别为． ∵， ∴， 解得：或， 故答案为：4或0； 【小问2详解】 解：∵点的坐标分别为， ∴， ∴函数解析式为， ∵函数的图象与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或； 【小问3详解】 解：∵点的坐标为，点在点的右边， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵函数的最小值为2， ∴或， 解得：或（舍去）或或2（舍去）， ∴函数的解析式为：或． 17. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个不全等的相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”，这条对角线称为“友好线”． （1）如图1，是格点三角形，请在格点中找到点，使以点为顶点的四边形是被分割成的“友好四边形”．（要求画出点的两种不同位置） （2）如图2，四边形是被分割成的“友好四边形”，且，，．求的长． （3）如图3，圆内接三角形中，过点作交于点，与切线交于点， ①求证：四边形是“友好四边形”； ②若的面积为，，，求线段的长． 【答案】（1） 画出点D的2个位置，如图， （2）6 （3） ①证明：连接，并延长交于点F，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“友好四边形”； ② 【解析】 【分析】（1）由题意可找到点D位置； （2）由题意得出，由相似三角形的性质得出，则可得出答案； （3）①连接，并延长交于点F，连接，由相似三角形的判定证明，则可得出结论； ②过点A作，交的延长线于点M，连接，由三角形的面积求出，由①知，得出，求出，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是被分割成的“友好四边形”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①略 ②解：过点A作，交的延长线于点M，连接， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友好四边形”的定义是解题的关键． 18. 整数满足条件：，． （1）若，则___________ （2）求的最小值． 【答案】（1）1011 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意可得到，，，，……，，从而得到，即可求解； （2）根据题意可得到或或2，或，或2，……，或，从而得到的最小值为，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ， ， ， ……， ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即 故答案为：1011 【小问2详解】 解：∵， ∴或或2，或，或2，……，或， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第一学期文化素养测评九年级数学试题卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间90分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 若实数满足，则点所在的象限为（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 2. 某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 已知、是实数，，，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt中，为斜边的中点，为上一点，连、，作，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 如图，已知等腰梯形，腰，对角线，且梯形的面积为，则的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数，当取值为时，有最大值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 7. 设，我们用符号表示两数中较小的一个，如，按照这个规定：方程的解为（　　） A. B. C. 或 D. 8. 在中，，且边，分别以三边为边作三个正方形（如图所示放置），顶点恰好在边上，边与边交于点，构造矩形，记其面积为，边与边交于点，构造矩形，记其面积为，则当时的长为（ ） A. B. 9 C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 9. 如图，若随机闭合开关中的两个，则只能让一个灯泡发光的概率为____________． 10. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则将这个扇形做成圆锥的底面半径为___________． 11. 在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点连接，则的最小值为 ___________． 12. 如果满足的实数恰有4个，则实数的取值范围为___________． 13. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结，若，则的面积为___________． 14. 如图，点是上一点，且半径为2，，，点在上运动，连接交于点，则的值为___________；当的值最大时，___________． 三、解答题（本题有4大题，第15、16题每题12分，第17题14分，第18题12分，共50分） 15. 矩形中，，点在边上，连接，在线段上取一点，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当且时，求的值； （3）如图3，当时，求证：． 16. 通过改变的值得到动态函数，并且探索函数图象的相关性质． 规定：当，此时函数解析式为，且记点的坐标分别为． （1）当函数解析式为，且，则___________； （2）若点的坐标分别为，函数的图象与轴有两个交点时的取值范围； （3）若点的坐标为，点在点的右边，且满足，且此时函数的最小值为2，求出此函数的解析式． 17. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个不全等的相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”，这条对角线称为“友好线”． （1）如图1，是格点三角形，请在格点中找到点，使以点为顶点的四边形是被分割成的“友好四边形”．（要求画出点的两种不同位置） （2）如图2，四边形是被分割成的“友好四边形”，且，，．求的长． （3）如图3，圆内接三角形中，过点作交于点，与切线交于点， ①求证：四边形是“友好四边形”； ②若的面积为，，，求线段的长． 18. 整数满足条件：，． （1）若，则___________ （2）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $