《第4章因式分解》期末综合复习优生辅导训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以因式分解方法体系为主线，整合基础概念、多元方法与跨场景应用，强化逻辑推理与模型意识的优生综合训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选题1|因式分解定义辨析|从整式变形本质切入，建立概念认知| |基本方法|填空题8-10、解答题15|提公因式法、公式法（平方差/完全平方）|遵循“提取公因式→公式分解”递进逻辑| |综合应用|单选题4-5、解答题16-17|分组分解法、换元法、简便计算|关联代数求值与几何面积，体现运算能力| |创新拓展|解答题19-20|新定义“共因多项式”、拼图建模|融合跨学科应用（加密、几何），发展创新意识与模型观念|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则代数式的值为（　　） A．15 B． C．2 D． 5．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成大正方形图案，已知这个大正方形图案的面积为100，小正方形的面积为36，若用、表示小矩形的两边长．观察图案后，甲同学认为：；乙同学认为：．则下列说法正确的是（   ） A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲乙都错 D．甲错乙对 二、填空题 8．关于的代数式分解因式得，则的值为______． 9．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则______． 10．在实数范围内分解因式：__________． 11．已知，，，则代数式______． 12．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为___________平方米． 13．若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 14．为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 三、解答题 15．把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 16．用简便方法计算： (1)； (2)． 17．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 18．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 19．阅读材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：用换元法对多项式进行因式分解． 解：把“”看成一个整体，令， 则． 把代入得，原式． (1)请你用换元法对下列多项式进行因式分解： ①___________．（填空） ②．（写过程） (2)小聪发现也可以用换元法因式分解． 解：原式 … 请帮小聪同学把过程补充完整． (3)请直接写出因式分解的结果： ①___________． ②___________． 20．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 参考答案 1．B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是因式分解，故选项不符合题意； B、是因式分解，故选项符合题意； C、不是因式分解，故选项不符合题意； D、不是因式分解，故选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了因式分解，由得到，进而通过，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 3．C 【分析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵多项式可以因式分解成，，为整数， ∴， ∴，， ∴， 即的值是． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴原式， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了用平方差公式因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式因式分解是解题的关键．利用平方差公式将表达式因式分解为，由于n为自然数，为整数，因此表达式一定能被4整除． 【详解】解： ， 为自然数， 为整数， 能被4整除， 因此，原式一定能被4整除． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查乘法公式与几何图形及因式分解的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得，然后可得，，进而根据因式分解可进行求解． 【详解】解：由大正方形图案的面积为100，小正方形的面积为36，可知：大正方形图案的边长为10，小正方形的边长为6， ∴，即， 根据完全平方公式可知：， ∴，， ∴， ； ∴甲对乙错； 故选：B． 8． 【分析】考查知识点多项式乘法、因式分解与整式乘法的互逆性、代数式求值．展开因式，对比系数求参数．关键：准确展开因式并匹配对应项系数．易错点：展开时符号错误；负指数幂运算出错． 先展开得；再与对比，得，；最后计算． 【详解】解： 因为， 所以对应项系数相等：二次项系数：；一次项系数：． 因此． 故答案为：． 9．5或 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， 或， 故答案为：5或． 10． 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．3 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，先计算出的值，再把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ， ∴ ， 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用整体和换元的思想是解题的关键． 由长方形周8米可得长与宽之和为4米，即。将给定方程展开并整理，利用 和的关系代入化简，得到关于的二次方程，解之得，即长方形面积为2平方米． 【详解】由周长公式得： 设，则，且 ， 代入方程： 故长方形面积为平方米。 故答案为：2． 13．9或12或21 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 14．155763 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解．再代入计算各因式的值，最后将数值按从小到大排列即可． 【详解】解：， 当时，，，， 将得到的三个数15、57、63按从小到大的顺序排列为15、57、63，故加密数据为155763． 故答案为：155763． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解； （2）利用平方差公式，将 和 分别看作 和 ； （3）先将 看作 用平方差公式，再分别对两个因式用完全平方公式继续分解． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）原式 ， ， ， ， ； （3）原式 ． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．(1)提公因式法 (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想． （1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果； （3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ， 同理可得： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 18．(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 19．(1)①；②； (2)解：原式 令， 则原式 ， ∵， ∴原式. (3)①；② 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）先利用多项式乘以多项式的法则进行展开，再利用换元法进行因式分解即可； （3）仿照（2）的思路进行求解即可. 【详解】（1）解：①令， 则 ； ∵， ∴原式； ②令， 则 ； ∵， ∴原式； （2）略 （3）解：① ； ② . 20．(1) (2)（答案不唯一）；见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）结合图形，可知拼成的大长方形面积可表示为：，也可表示为，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $