《第3章图形的平移与旋转》期末辅导训练题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册《图形的平移与旋转》期末优生辅导训练题，覆盖轴对称、中心对称、平移旋转性质及应用，梯度设计合理，注重推理能力与空间观念培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|轴对称与中心对称识别（第1题）、点的旋转变换（第2题）|基础概念辨析，结合几何直观| |填空题|7|平移距离与面积计算（第9题）、旋转中心确定（第10题）|动态几何问题，考查空间观念| |解答题|6|旋转证明（第18题）、费马点应用（第20题）|综合探究与实际应用，渗透创新意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第3章图形的平移与旋转》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 2．将点先关于x轴对称得到点，再将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 4．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 二、填空题 8．已知点和点关于原点中心对称，则的值为______． 9．如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，将其中一个沿直线由点向点方向平移，平移的距离是，若，则图中阴影部分面积为___________（已知：梯形面积（上底+下底）×高）． 10．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 11．如图，在中，，沿方向平移得到，，连接，．则的度数为________． 12．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则________． 13．如图所示，风车图案是由若干等腰直角三角形组成的中心对称图形，．以风车的对称中心为原点建立直角坐标系，将点绕点逆时针旋转得到点；将点绕点逆时针旋转得到点；如此循环进行下去，点的坐标是______． 14．如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 三、解答题 15．如图，已知点P是内一点，作出关于点P成中心对称的． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，B． (1)画出将向下平移5个单位得 (2)请画出，使与关于原点中心对称 (3)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的 17．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，现同时将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，，连接，，． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)是轴上（除去点）的动点． 连接，，使，求符合条件的点坐标； 如图，是线段上一定点，连接，请直接写出与的数量关系． 18．已知在中，，，于D． (1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：； (2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G． ①求证：；②若，，求的长． 19．如图1，在中，，点D是边上一点，过点D作，交于点E． (1)将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接，．求证：； (2)将绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时，过点C作，交的延长线于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 20．【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 参考答案 1．解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 2．解：∵点关于x轴对称得到点， ∴， ∵将点绕原点O顺时针旋转得到点， 如图，过点作轴于点C，过点作轴于点B，过点作轴于点A，， ∴， ∴， ∴， ∴．   故选：A． 3．解：与关于点成中心对称， 故, 根据勾股定理，， 故． 故选：B． 4．解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴； 故选A． 5．解：如图所示，过点作轴于点C， ∵、 ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 6．解：如图，连接， ∵，将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：D． 7．解：A、线段①与线段关于轴对称，正确，该选项不符合题意； B、线段①与线段关于轴对称，不是旋转得到的，原说法错误，，该选项符合题意； C、线段④与线段②关于点成中心对称，正确，该选项不符合题意； D、线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④，正确，该选项不符合题意； 故选：B． 8．解：∵点和点关于原点中心对称， ∴，， ∴，； ∴． 故答案为8． 9．解：∵两个相同的直角三角形重叠在一起，将其中一个沿直线由点向点方向平移，平移的距离是，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即图中阴影部分面积为． 故答案为：． 10．解：根据旋转角相等，得， 故旋转中心可能是点B， 故答案为：B． 11．解：∵沿方向平移得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 12．解：依题得：， 分两种情况考虑： （1）点在线段上，过点作，如下图： ， ， ， ，， ， 又， ； ， ， 又， ； （2）点在外时，过点作，如下图： ， ， ，， ， 又， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 13．解：如图， 根据题意得每次旋转，则旋转一周所需要的次数为（次），即点的坐标每次旋转为一个循环， ∵， ∴的坐标和相同， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 14．解：∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是平行四边形的对称中心， ∴（1）点和点；点和点是关于点的对称点，说法正确； （2）直线必经过点，说法正确； （3）四边形是中心对称图形，说法正确； （4）四边形和四边形的面积相等，说法正确； （5）和成中心对称，说法正确； 综上所述，正确的个数为个， 故答案为：． 15．如图，就是所求作的三角形； 解：分别作点A，B，C关于点P的对称点，，，再顺次连接三个点即可； 16．（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； 17．（1）解：∵点A，的坐标分别为，，将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，， ∴，即． 故答案为：． （2）解：①∵点A，的坐标分别为，， ∴， ∴， 设P点坐标为，则， ∵， ∴，解得：或10． ∴点P点坐标为或． ②或．理由如下： 如图，当点P在点B左侧时，过点Q作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在点B右侧时，过点Q作，则， ∵， ∴， ∴， ∴∠． 综上所述，与的数量关系为或． 18．（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ，，于， ，， ， ， 又， ， ； （2）①证明：过点作交于点，连接， 由（1）知为的中点， ，， 为等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ，， ，， 又， ， ， ， ； ②解：，， ， ， ，， ，， 又， ． 19．（1）证明：∵，且， ∴，，， ∴， ∴， 根据旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 20．解：背景资料：当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故，由两点之间，线段最短可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”， 则，， ∴， ∴， 故答案为：等边；两点之间，线段最短；； 知识生成：（1）由旋转可得，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）在中，∵，， ∴， 如图，将逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题解决：（）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的费马点； （）在中，∵，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵点为的费马点， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的值是， 故答案为：； 学以致用：如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于， 由旋转的性质可得，，，，， ∴和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $