第六章　平面向量及其应用-知能评估卷 2025-2026学年高中数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以“基础巩固-综合应用-拓展探究”为分层逻辑，通过多样化题型与真实情境设计，实现平面向量及解三角形知识从单一到综合的递进，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|向量运算、解三角形基本公式|如第1题外接圆面积、第2题向量模差，直接考查核心概念| |中档|综合应用与推理|如第3题引体向上受力分析、第6题三角形边角关系，融合数学思维| |拔高|拓展探究与跨情境|如第19题费马点问题、附加题锐角三角形存在性，提升创新意识|

第六章　平面向量及其应用 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在△ABC中,A=30°,BC=1,则△ABC外接圆的面积为(　　) A. B. C.π D.2π 2.已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为380 N,则该学生的体重约为(　　)(参考数据:取重力加速度大小为10 m/s2,≈1.732) A.68 kg B.66 kg C.64 kg D.62 kg 4.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=(　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 5.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O,半径为r的球,其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面,且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为α,观测该卫星的仰角为β,则下列关系一定成立的是(　　) A. B. C. D. 6.在△ABC中,sin B=sin 2A,c=2a,则(　　) A.B为直角 B.B为钝角 C.C为直角 D.C为钝角 7.《易经》中记载的几何图形——八卦图如图所示.图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH内的一点,则的取值范围是(　　) A.(4-2,2) B.(-2,2) C.(4-2,4+2) D.(-2,4+2) 8.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若cos2,则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.钝角三角形 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知a=(3,-1),b=(2,1),则下列结论中正确的是(　　) A.(a-b)⊥b B.|a+2b|=5 C.a与b的夹角为 D.a在b上的投影向量是b 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论中正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.当c=6时,△ABC的面积为 D.若c=6,则a+b=9 11.如图,在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O,则下列说法中正确的有(　　) A.恒有AC2+BD2=2(AB2+AD2)成立 B.恒有成立 C.若DO=3,AC=10,则=-16 D.若=(4,0),=(-1,-2),则||= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,(2a+b)·b=1,则|2a+b|=　　　　　.  13.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若向量p与向量q共线,则角C=　　　　　.  14.在△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,BC=,D为BC上一点,AD为∠BAC的平分线,则AD=　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2cos B+abcos A=2c. (1)求a; (2)若A=,且△ABC的周长为2+,求△ABC的面积. 16.(15分)如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且.设=a,=b. (1)试用基底{a,b}表示; (2)若a+b,求证:E,G,F三点共线. 17.(15分)已知不共线的向量a,b满足|a|=3,|b|=2,(2a-3b)·(2a+b)=20. (1)求a·b. (2)是否存在实数λ,使λa+b与a-2b共线?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. (3)若(ka+2b)⊥(a-kb),求实数k的值. 18.(17分)某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点A,C之间的距离,如图,B处为码头入口,D处为码头,BD为通往码头的栈道,且BD=100 m,在B处测得∠ABD=,∠CBD=,在D处测得∠BDC=,∠ADC=. (A,B,C,D均处于同一测量的水平面内) (1)求A,C两处景点之间的距离; (2)栈道BD所在直线与A,C两处景点的连线是否垂直?请说明理由. 19.(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos 2B+cos 2C-cos 2A=1. (1)求A; (2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点,求; (3)设点P为△ABC的费马点,|PB|+|PC|=t|PA|,求实数t的最小值. 附加题 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin C=csin(B+). (1)求角B的大小. (2)若a=c+2,是否存在正整数b,使△ABC是锐角三角形?若存在,求出b的最小值;若不存在,请说明理由. 参考答案 一、单项选择题 1.C 解析:设△ABC外接圆的半径为R,则2R==2,∴R=1,故△ABC外接圆的面积为S=πR2=π. 2.B 解析:向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所以|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1. 3.B 解析:该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反,两只胳膊的拉力的合力大小为=380(N),则该学生的体重约为=38≈66(kg). 4.C 解析:由题意得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>, 所以, 解得t=5. 5.A 解析:如图,B=-α-β,由正弦定理可得,即,化简得. 6.C 解析:由sin B=sin 2A=2sin Acos A,即b=2acos A,cos A=, 又c=2a,所以cos A=,化简得b=a, 则a∶b∶c=1∶∶2,故在△ABC中,A=,B=,C=. 7.D 解析:如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),设点P(x,y),则=(x,y),=(2,0),所以=2x, 又八边形ABCDEFGH为正八边形,内角为=135°,BC边和AH边的外角为45°,即H(-),C(2+), 所以x∈(-,2+),=2x∈(-2,4+2). 8.B 解析:因为cos2,所以,整理得cos A=,又由正弦定理,得cos A=,所以sin Ccos A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=0,又A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos C=0,又C∈(0,π),所以C=. 二、多项选择题 9.AC 解析:因为a=(3,-1),b=(2,1),所以a-b=(1,-2), 则(a-b)·b=1×2+(-2)×1=0,所以(a-b)⊥b,故A正确; 因为a+2b=(7,1),所以|a+2b|==5,故B错误; cos<a,b>=,因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=,故C正确; a在b上的投影向量是|a|cos<a,b>·=|a|·=b,故D错误.故选AC. 10.ACD 解析:由(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,得a∶b∶c=4∶5∶6, 在△ABC中,由正弦定理,得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确; 依题意,角C是最大角,cos C=>0,所以C是锐角,所以△ABC是锐角三角形,故B错误; 当c=6时,a=4,b=5,sin C=,所以S△ABC=absin C=,a+b=9,故C,D正确.故选ACD. 11.ABD 解析:∵, ∴+2-2, ∴=2(),即AC2+BD2=2(AB2+AD2),故A正确; ||2-||2==()·()=,故B正确; ∵DO=OB=3,AO=OC=5,∴=()·()==25-9=16,故C错误; ∵=(5,2), ∴||=,故D正确.故选ABD. 三、填空题 12. 解析:由(2a+b)·b=1,得2a·b+|b|2=1,所以2a·b=1-4=-3,则|2a+b|=. 13. 解析:因为向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a)共线,所以(a+c)×(c-a)-b×(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab,在△ABC中,由余弦定理,得cos C=,又0<C<π,所以C=. 14.2 解析:如图,记AB=c,AC=b,BC=a. (方法一)由余弦定理,得22+b2-2×2×b×cos 60°=6, 解得b=1+(负值舍去),由S△ABC=S△ABD+S△ACD,得×2×b×sin 60°=×2×AD×sin 30°+×AD×b×sin 30°,所以AD==2. (方法二)由余弦定理,得22+b2-2×2×b×cos 60°=6,解得b=1+(负值舍去),由正弦定理可得,解得sin B=,sin C=,因为1+,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°, 又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2. 四、解答题 15.解:(1)由题意,得a(acos B+bcos A)=2c,由正弦定理,得a(sin Acos B+sin Bcos A)=2sin C, 所以asin(A+B)=2sin C,而A+B=π-C,所以asin C=2sin C,又sin C>0,所以a=2. (2)由余弦定理,得cos A==-,所以b2+c2+bc=4,又a+b+c=2+,即b+c=,所以(b+c)2-bc=5-bc=4,所以bc=1,所以S△ABC=bcsin A=. 16.(1)解:=b+a. a-b. (2)证明:因为a+b-b-a=a-b,a-b, 所以,所以. 又直线EG,EF有公共点E,所以E,G,F三点共线. 17.解:(1)由题意知|a|=3,|b|=2, ∴(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=4×32-4a·b-3×22=20, ∴a·b=1. (2)存在.理由如下: 假设存在实数λ,使λa+b与a-2b共线,则设λa+b=t(a-2b),t∈R,即(λ-t)a=(-2t-1)b. ∵a,b不共线,∴ 解得即存在实数λ=-,使λa+b与a-2b共线. (3)∵(ka+2b)⊥(a-kb), ∴(ka+2b)·(a-kb)=0,即ka2+(2-k2)a·b-2kb2=0. 由(1)知a·b=1,∴ka2+(2-k2)a·b-2kb2=9k+2-k2-8k=0, 即k2-k-2=0, 解得k=-1或k=2. 18.解:(1)如图, 由题意可知,在△BCD中,∠CBD=,∠BDC=,BD=100,所以∠BCD=π-,所以△BCD为等腰三角形,所以BD=DC=100. 在△ABD中,∠ABD=,∠ADB=2π-,∠BAD=π-,BD=100, 由正弦定理,得,即,解得AD=100. 连接AC.在△ACD中,AD=100,DC=100,∠ADC=, 由余弦定理,得AC==100. 所以A,C两处景点之间的距离为100 m. (2)不垂直.理由如下: 在△ABD中,因为cos∠ADB=cos=cos()=, 所以·()==100×100×(-)-100×100=10 000×(-)=5 000-10 000≠0.所以栈道BD所在直线与A,C两处景点的连线不垂直. 19.解:(1)在△ABC中,cos 2B+cos 2C-cos 2A=1,即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,所以sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理可得a2=b2+c2, 所以△ABC是直角三角形,即A=. (2)如图,由(1)知A=,所以△ABC的三个角都小于, 则由费马点定义可知∠APB=∠BPC=∠APC=, 设||=x,||=y,||=z,由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC得xy·yz·xz·×2,整理得xy+yz+xz=, 则=xy·(-)+yz·(-)+xz·(-)=-=-. (3)点P为△ABC的费马点,则∠APB=∠BPC=∠CPA=, 设|PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,由(2)知|PA|=x,则m>0,n>0,x>0, 由|PB|+|PC|=t|PA|得m+n=t. 由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-2mx2cos =(m2+m+1)x2, |AC|2=x2+n2x2-2nx2cos =(n2+n+1)x2, |BC|2=m2x2+n2x2-2mnx2cos=(m2+n2+mn)x2, 又|AC|2+|AB|2=|BC|2,所以(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2, 即m+n+2=mn.又m>0,n>0,所以m+n+2=mn≤, 当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,解得m=n=1+时,等号成立, 因为m+n=t,所以t2-4t-8≥0,解得t≥2+2或t≤2-2(舍去), 故实数t的最小值为2+2. 附加题 解:(1)因为bsin C=csin(B+), 由正弦定理,得sin Bsin C=sin Csin(B+).因为sin C>0,所以sin B=sin B+cos B.所以tan B=.因为B是三角形的内角,所以B=. (2)存在.因为a=c+2,B=,所以当且仅当A为锐角时,△ABC是锐角三角形. 由余弦定理,得cos A=>0,所以b2+c2-a2>0.(*) 又b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,代入(*),得b2+c2-a2=2c2-ac>0. 因为c>0,a=c+2,所以c>2. 所以b2>a2-c2=4c+4>12,即b>2. 所以存在正整数b,使△ABC是锐角三角形,且正整数b的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $