第八章 正弦定理与余弦定理能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理的综合应用，通过基础判断、几何综合及最值探究题型，构建从定理应用到几何直观的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|3题|三角形形状判断、边长计算|从定理直接应用到边角关系转化，培养逻辑推理| |几何综合|4题|内心、重心、中线、角平分线结合|融合几何图形性质，强化几何直观与数学运算| |最值探究|3题|边长、面积最值求解|运用函数思想与不等式，发展数学思维| |综合解答|3题|多问递进式证明与计算|整合定理应用与逻辑推理，提升综合解题能力|

第六章 正弦定理与余弦定理·能力提升 1. 在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 所以， 即，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以. 故选：C. 2. 在中，，，点D与点B在直线AC的两侧，且，，则BD长度的最大值是（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】在中，设，推得，，设，以及中，运用余弦定理和三角函数恒等变换，结合正弦函数的值域可得所求最大值. 【详解】在中，令，则，由余弦定理可得： ， 所以，所以有，所以， 所以是，的直角三角形，如图所示． 设，，，则由余弦定理，得， 即， 由正弦定理得，所以． 连接BD，在中，由余弦定理，得． 即 ． 当时，BD的长度取得最大值，为, 故选：C. 3. 中，，设为的内心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、内心 【分析】在和中同时使用正弦定理，得到和的关系，再利用，得到，最后再次运用正弦定理得到. 【详解】因为是的内心，所以， 可设，则有， ，在中，由正弦定理得①， 同理在中，由正弦定理得②，①②相比得， 即，得， 因为，所以，由①可得. 4. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的计算 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 5. 已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.52 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】设，，，利用三角形重心性质、向量线性运算建立关于的方程，可得，可得的面积为， 再利用换元法和对勾函数性质求解最值. 【详解】如图所示，取的中点为， 因为点是正三角形的重心，则，即， 所以，① 设，，，，， 则 ，② 所以结合①和②可得，整理得， 又，，则， 得，且，解得， 又因为是边长为3的正三角形，则，， 则的面积为 ， 令，，则，， ，， 根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为， 所以面积的最大值为． 6. 在中，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形 【分析】由条件等式，先用正弦定理将转化为对边和外接圆半径，得到，再代入余弦定理，化简后得到，然后写出三角形面积，由余弦定理得，于是，代入面积得，最后利用 及均值不等式，求得最大面积为 . 【详解】在 中，设 ，，. 根据正弦定理 ，为三角形外接圆半径. 将条件 转化为边的关系： 左边: ， 右边：， 等式两边相等得： ，化简得. 结合余弦定理 ， 代入上式得:整理得 . 三角形面积 . 由，得， 代入面积公式：， 由基本不等式 ，得 ，即 (当且仅当 时取等号)， 此时 取得最大值 ，故 . 7. （多选）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（   ） A． B． C．是钝角三角形 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦定理判定三角形形状、三角形面积公式及其应用 【分析】A选项，由三角形面积公式得到方程，求出；B选项，由余弦定理得到方程，求出；C选项，中最大角为，，故为锐角，故为锐角三角形；D选项，计算出，，D正确. 【详解】A选项，由面积公式可得，即，解得，A正确； B选项，由余弦定理得，即，解得，B正确； C选项，由于，故中最大角为， ，故为锐角，故为锐角三角形，C错误； D选项，由于，故，故， 又，故， 故，故，D正确. 故选：ABD 8. （多选）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为边上的高，且，则的最大值为 C．若，则有一解 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.51 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理和三角形的内角的性质，化简得到，求得，可判定A正确；利用三角形的面积公式，求得，结合余弦定理和基本不等式，可判定B正确；根据题意，得到，可判定C错误；由余弦定理得到，再列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】对于A，在中，因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即， 因为，所以，所以， 两边平方得， 由，得，解得，即，故A正确； 对于B，由，因为，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故B正确； 对于C，当且时，可得， 满足，所以有两解，故C错误； 对于D，由余弦定理得，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，由余弦定理得，解得或， 所以，故D正确． 9. 在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 【答案】15 【难度】0.64 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】利用等面积法及正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 又由余弦定理可知， 即，则的周长为. 10. 在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 【答案】/ 【难度】0.25 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理，结合两角和差的正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】设， ， 因为，的角平分线交于点， 所以， 由正弦定理，得， 所以可得， 则由， 由正弦定理，得 ，或， 当时，因为，且， 所以解得，，负值舍去， 当时，，因为， 所以方程没有实数解， 综上所述：. 11. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理及和角公式可得，再结合的范围，即可得到； （2）由正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，根据角的范围可得的范围，进而得到答案． 【详解】（1）由正弦定理可得：， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，即； （2）由正弦定理得， 所以， 则 ， 由于为锐角三角形，故，所以， 从而，则，所以， 因此的取值范围是． 12. 的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若点在边上，为的平分线且长度为1，求； (3)若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.47 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到，从而得到； （2）利用为及三角形的面积公式即可得到的关系式，变形得； （3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以， 因为，故． （2）因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． （3）因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 正弦定理与余弦定理·能力提升 1. 在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2. 在中，，，点D与点B在直线AC的两侧，且，，则BD长度的最大值是（    ） A．5 B． C． D．7 3. 中，，设为的内心，，则（    ） A． B． C． D． 4. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5. 已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 6. 在中，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7. （多选）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（   ） A． B． C．是钝角三角形 D． 8. （多选）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为边上的高，且，则的最大值为 C．若，则有一解 D．若，则 9. 在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 10. 在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 11. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 12. 的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若点在边上，为的平分线且长度为1，求； (3)若是边上的一点，且，求的面积的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $