第六章 平面向量及其应用 质量评估-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 质量评估-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题(共8个小题，每小题5分，共40分) 1．下列说法中正确的是 （ ） A．||与线段BA的长度不相等 B．对任一向量a，|a|>0总是成立的 C．||＝|| D．若a∥b，且|a|＝1001，|b|＝1010，则|a＋b|＝2011 2．设e1，e2为一组基底，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是 （ ） A．2 B．－3 C．－2 D．3 3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于 （ ） A．5 B．2 C． D．10 4．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝ （ ） A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 5．在△ABC中，AB＝，AC＝，sin C＝，则cos B＝ （ ） A． B． C． D．± 6．在锐角三角形ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 7．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，a·b＝5，则向量a与a－b的夹角的余弦值为 （ ） A．－ B． C．－ D． 8．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.某折扇的结构简化图是如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OC＝2，OA＝5，点E在上，则·的最小值是 （ ） A．－ B． C．－ D． 二、多项选择题(共3个小题，每小题6分，共18分) 9．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|b－2a|＝，则以下结论正确的是 （ ） A．a⊥b B．|a＋b|＝2 C．|a－b|＝ D．〈a，b〉＝60° 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，b＝6，则 （ ） A．△ABC为钝角三角形 B．C＝ C．△ABC的周长为10＋2 D．△ABC的外接圆的面积为 11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是 （ ） A．若＝＋，则点M是△ABC的重心 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若2＝x＋y，且x＋y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的 D．已知平面向量满足·＝·，＝λ，则△ABC为等腰三角形 三、填空题(共3个小题，每小题5分，共15分) 12．已知向量a，b满足|b|＝5，|a＋b|＝4，|a－b|＝6，则向量a在向量b上的投影向量为__________． 13．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________． 14．某科研小组为测量某塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，如图所示．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝45°，CD＝18 m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则该塔的高度AB为________． 四、解答题(共5个小题，共77分) 15．(13分)已知＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥. （1）求实数n的值； （2）若⊥，求实数m的值． 16．(15分)某货船在航行中遭海盗袭击，发出求救信号．如图，海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向前行驶，海军护航舰立即以10海里/时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 17．(15分)在锐角三角形ABC中，a＝2，(2b－c)cos A＝a cos C. （1）求角A； （2）求△ABC的周长l的范围． 18．(17分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，O为△ABC的外心，且有AB＋BC＝AC，sin C(cos A－)＋cos C sin A＝0. （1）求A，B，C； （2）若＝x＋y，x，y∈R，求x－y. 19．(17分)n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组(a1，a2，…，an)称为一个n维向量，其中ai(i＝1，2，…，n)称为该向量的第i个分量．特别地，对一个n维向量a＝(a1，a2，…，an)，若|ai|＝1(i＝1，2，…，n)，称a为n维信号向量．设a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，则a和b的内积定义为a·b＝ibi，且a⊥b⇔a·b＝0. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （2）证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量． （3）已知k个两两垂直的2024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同的，求证：<45. 第六章 平面向量及其应用 质量评估-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题(共8个小题，每小题5分，共40分) 1．下列说法中正确的是 （ ） A．||与线段BA的长度不相等 B．对任一向量a，|a|>0总是成立的 C．||＝|| D．若a∥b，且|a|＝1001，|b|＝1010，则|a＋b|＝2011 解析：|0|＝0，对任一向量a，|a|≥0总成立，所以B不正确；||，||分别与线段AB，BA的长度相等，且AB＝BA，所以C正确，A不正确；当a与b方向相反时，|a＋b|＝9，故D不正确． 答案：C 2．设e1，e2为一组基底，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是 （ ） A．2 B．－3 C．－2 D．3 解析：易知＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)，又A，B，D三点共线，则∥，则k＝2. 答案：A 3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于 （ ） A．5 B．2 C． D．10 解析：因为向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0⇒x＝2，1×(－4)－2y＝0⇒y＝－2，从而a＋b＝(2，1)＋(1，－2)＝(3，－1)，因此|a＋b|＝＝. 答案：C 4．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝ （ ） A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n. 答案：B 5．在△ABC中，AB＝，AC＝，sin C＝，则cos B＝ （ ） A． B． C． D．± 解析：由＝，可得sin B＝＝.因为AC<AB，所以B<C，所以B为锐角，所以cos B＝＝. 答案：C 6．在锐角三角形ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则c＝1，AB边上的高h＝a sinB＝a.由正弦定理得a＝＝＝＋.由△ABC为锐角三角形，且A＋C＝120°，可知30°<C<90°，则tan C>，所以a＝＋∈，所以h＝a∈. 答案：D 7．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，a·b＝5，则向量a与a－b的夹角的余弦值为 （ ） A．－ B． C．－ D． 解析：∵|a|＝2，|b|＝4，a·b＝5，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝4－5＝－1，|a－b|＝＝＝＝，∴cos 〈a，a－b〉＝＝＝－.故选A. 答案：A 8．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.某折扇的结构简化图是如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OC＝2，OA＝5，点E在上，则·的最小值是 （ ） A．－ B． C．－ D． 解析：如图，连接OE，则·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·.取的中点F，连接OF，则＋＝，因为∠AOB＝120°，所以·＝22＋·＋5×5×＝·－，要使·最小，只需·最小，即和反向共线，此时·＝2×5×cos 180°－＝－10－＝－. 答案：C 二、多项选择题(共3个小题，每小题6分，共18分) 9．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|b－2a|＝，则以下结论正确的是 （ ） A．a⊥b B．|a＋b|＝2 C．|a－b|＝ D．〈a，b〉＝60° 解析：因为|a|＝|b|＝1，将等式|b－2a|＝两边平方可得4a2＋b2－4a·b＝5，可得a·b＝0，故选项A正确，选项D错误；|a＋b|＝＝＝，选项B错误；|a－b|＝＝＝，选项C正确． 答案：AC 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，b＝6，则 （ ） A．△ABC为钝角三角形 B．C＝ C．△ABC的周长为10＋2 D．△ABC的外接圆的面积为 解析：因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，所以a∶b∶c＝2∶3∶.又b＝6，所以a＝4，c＝2. 因为a<c<b，即A<C<B.又a2＋c2＝44>b2＝36，所以B为锐角，故△ABC为锐角三角形，故A错误；由cos C＝＝＝，C∈(0，π)，可得C＝，故B正确；△ABC的周长为a＋b＋c＝10＋2，故C正确；由正弦定理可得△ABC的外接圆的直径为2R＝＝＝，则R＝，可得△ABC的外接圆的面积为πR2＝，故D错误． 答案：BC 11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是 （ ） A．若＝＋，则点M是△ABC的重心 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若2＝x＋y，且x＋y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的 D．已知平面向量满足·＝·，＝λ，则△ABC为等腰三角形 解析：如图，设BC的中点为D，对于A，由＝＋＝(＋)＝×2＝，则点M是△ABC的重心，故A正确；对于B，由＝2－，得－＝－，∴＝，则点M在边CB的延长线上，∴B不正确；对于C， 若2＝x＋y，且x＋y＝1.由图可得M为AN的中点(N为边BC上任一点)，则△MBC的面积是△ABC面积的，C正确；对于D，因为·＝·，所以·(＋)＝·(＋)，即·＝·，所以||||·cos ∠BAM＝||||cos ∠CAM，因为＝λ，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM＝∠CAM，所以cos ∠BAM＝cos ∠CAM，所以||＝||，所以△ABC为等腰三角形，D正确．故选ACD. 答案：ACD 三、填空题(共3个小题，每小题5分，共15分) 12．已知向量a，b满足|b|＝5，|a＋b|＝4，|a－b|＝6，则向量a在向量b上的投影向量为__________． 解析：向量a，b满足|b|＝5，|a＋b|＝4，|a－b|＝6，可得(a＋b)2＝16，(a－b)2＝36，即为a2＋b2＋2a·b＝16，a2＋b2－2a·b＝36，两式相减可得a·b＝－5，则向量a在向量b方向上的投影向量为·b＝·b＝－b. 答案：－b 13．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________． 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则由题意得A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(1，1)，M，所以＝，＝，所以·＝－＝2. 答案：2 14．某科研小组为测量某塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，如图所示．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝45°，CD＝18 m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则该塔的高度AB为________． 解析：设AB＝x m，则BC＝＝＝，由∠BCD＝15°，∠BDC＝45°，得∠DBC＝180°－15°－45°＝120°.在△BCD中，由正弦定理得＝，则＝，解得x＝18. 答案：18 m 四、解答题(共5个小题，共77分) 15．(13分)已知＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥. （1）求实数n的值； （2）若⊥，求实数m的值． 解：（1）因为＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)， 所以＝＋＋＝(3，3＋m＋n)， 因为∥，所以＝λ， 即解得n＝－3. （2）因为＝＋＝(2，3＋m)， ＝＋＝(4，m－3)， 又⊥，所以·＝0， 即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1. 16．(15分)某货船在航行中遭海盗袭击，发出求救信号．如图，海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向前行驶，海军护航舰立即以10海里/时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 解：设所需时间为t小时， 则BC＝10t，AB＝10t. 在△ABC中，∠ACB＝45°＋(180°－105°)＝120°， 根据余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB， 可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos 120°， 整理得2t2－t－1＝0， 解得t＝1或t＝－(舍去). 故护航舰需1小时靠近货船． 此时AB＝10，BC＝10， 又AC＝10，所以∠CAB＝30°， 所以护航舰航行的方位角为75°. 17．(15分)在锐角三角形ABC中，a＝2，(2b－c)cos A＝a cos C. （1）求角A； （2）求△ABC的周长l的范围． 解：（1）因为(2b－c)cos A＝a cos C， 所以2b cos A＝a cos C＋c cos A， 由正弦定理可得2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A， 即2sin B cos A＝sin (A＋C)＝sin B， 又sin B≠0，所以cos A＝， 因为△ABC为锐角三角形，所以A∈，所以A＝. （2）由正弦定理得＝＝＝＝4， 所以b＝4sin B，c＝4sin C＝4sin ， 所以l＝a＋b＋c＝2＋4sin B＋4sin ＝2＋6sin B＋2cos B＝2＋4sin . 因为△ABC是锐角三角形，且A＝， 所以解得<B<， 所以B＋∈， 所以sin ∈， 所以l∈(6＋2，6]. 18．(17分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，O为△ABC的外心，且有AB＋BC＝AC，sin C(cos A－)＋cos C sin A＝0. （1）求A，B，C； （2）若＝x＋y，x，y∈R，求x－y. 解：（1）由sin C(cos A－)＋cos C sin A＝0，可得sin C cos A＋cos C sin A＝sin C， 即sin (C＋A)＝sin C，因为C＋A＝π－B，所以sin (C＋A)＝sin B， 即sin B＝sin C. 由正弦定理可得b＝c，又由AB＋BC＝AC，可得c＋a＝b， 将b＝c代入c＋a＝b，可得a＝c，由余弦定理得cos B＝＝＝－，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝C＝. （2）因为＝x＋y，可得·＝x2＋y·， 所以·＝x||2＋y||·||×cos ＝xc2＋y·c2.因为O为△ABC的外心，在方向上的投影的数量为||，所以·＝||·||＝c2，可得c2＝xc2＋y·c2，整理得2x＋3y＝1. 由题意知·＝x·＋y2＝x||·||×cos ＋y||2＝xc2＋y·3c2，因为O为△ABC的外心，在方向上的投影的数量为||， 所以·＝||·||＝b2＝c2，可得c2＝xc2＋y·3c2，即x＋2y＝1. 联立得方程组解得所以x－y＝－2. 19．(17分)n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组(a1，a2，…，an)称为一个n维向量，其中ai(i＝1，2，…，n)称为该向量的第i个分量．特别地，对一个n维向量a＝(a1，a2，…，an)，若|ai|＝1(i＝1，2，…，n)，称a为n维信号向量．设a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，则a和b的内积定义为a·b＝ibi，且a⊥b⇔a·b＝0. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （2）证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量． （3）已知k个两两垂直的2024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同的，求证：<45. 解：（1）两两垂直的4维信号向量可以为：(1，1，1，1)，(－1，－1，1，1)，(－1，1，－1，1)，(－1，1，1，－1).(答案不唯一) （2）证明：假设存在10个两两垂直的10维信号向量y1，y2，…，y10，因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设y1＝(1，1，…，1)，y2＝(1，1，1，1，1，－1，－1，－1，－1，－1)，因为y1·y3＝0，所以y3有5个分量为－1， 设y3的前5个分量中有r个－1，则后5个分量中有5－r个－1， 所以y2·y3＝r·(－1)＋(5－r)＋(5－r)＋r·(－1)＝0，可得r＝，矛盾，所以不存在10个两两垂直的10维信号向量． （3）证明：任取i，j∈{1，2，…，k}，计算内积xi·xj，将所有这些内积求和得到S，则S＝x＋x＋…＋x＝2024k， 设x1，x2，…，xk的第i个分量之和为ci， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为c， 所以S＝c＋c＋…＋c≥c＋c＋…＋c＝k2m， 令2024k≥k2m，所以km≤2024<2025，所以<45. 学科网（北京）股份有限公司 $