22.锐角三角函数-2026-2027学年初升高衔接数学讲义

第22讲 锐角三角函数 知识点1：锐角三角函数的概念 知识点2：特殊角的三角函数值 知识点3：解直角三角形 知识点4: 解直角三角形的应用 知识点1：锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 知识点2：特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点3：解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 注意：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 知识点4：解直角三角形的应用 （1）坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）方位角问题 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【题型1：锐角三角函数的概念】 【典例1】在中，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴．故选：B 【题型2：特殊角的三角函数】 【典例2】计算：． 【详解】解： ． 【题型3：解直角三角形】 【典例3】如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵，∴， ∴，∴ （2）解：过点作于点， ∵，∴， ∵，∴， ∴点到线段的距离为． 1．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的正弦值为(   ) A． B． C． D． 3．的值等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 5．计算： （1）_______． （2）__________． （3）______． （4） ______． （5）___________． （6）＋(－3)0－|－|－2-1－cos60°＝_______． 6．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA b2＝a2＋c2﹣2accosB c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____． 7．在中，若，则的度数是______． 8．定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 9．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于______ 第22讲 锐角三角函数答案 1、C 【详解】解：由勾股定理，得，∴． 2、A 【详解】解：在中，，，， ， ． 3、D 【详解】解：； 4、A 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 5．（1） 【详解】解： ． （2）． 【详解】解： ． （3）． 【详解】解 ：原式 （4）． 【详解】解： 故答案为：． （5）．  . 【详解】原式 ． 故答案为． （6）． 【详解】原式= . 6． 【详解】解：由题意可得， BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA ＝32＋42﹣2×3×4cos60° ＝13， ∴BC＝， 故答案为：． 7． 【详解】在中，， ，， ，， ， 故答案为． 8． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 9． 【详解】∵OA=OB=AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴cos∠AOB=cos60°=． 故答案是：． 学科网（北京）股份有限公司 $