21.二次函数的最值问题-2026-2027学年初升高衔接数学讲义

第21讲 二次函数的最值问题 知识点1：二次函数的最值问题 知识点2：含参数的二次函数的最值问题 知识点1 二次函数的最值． 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值． 二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【题型1 二次函数的最值问题】 【典例1】 【典例2】 【题型2 含参二次函数的最值问题】 【典例3】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 【详解】解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2； （2）当－2＜a＜0时，由图①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2； （3）当0≤a＜2时，由图②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0； （4）当a≥2时，由图③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0． 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 【典例4】当时，求函数的最小值(其中为常数)． 解：函数的对称轴为．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，； (2) 当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，． 综上所述： 1．函数的顶点坐标是（ ） A.(1，2) B.(1，－2) C.(－1，2) D.(－1，－2) 2．求二次函数在上的最大值、最小值，并求对应的的值． 3．对于函数，当时，求的取值范围． 4．已知关于的函数在上． (1) 当时，求函数的最大值和最小值； (2) 当为实数时，求函数的最大值． 5．已知函数在上的最大值为4，求的值． 6．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)． 第21讲 二次函数的最值问题 1．C 2．当时，；当时，． 3． 4．(1) 当时，；当时，． (2) 当时，；当时，． 5．或． 6．当时，，此时；当时，，此时． 学科网（北京）股份有限公司 $