第九讲 二次函数的图象和性质-2026年初高中数学衔接专题讲义

2025年初高中衔接专题讲义 第九讲 二次函数的图象和性质（解析版） 【知识点透析】 二次函数的图象与解析式 二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 【例题1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． 【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2． 又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）． 设该二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a＝－2． ∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7． 归纳总结：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题． 【例题2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式． 【解法一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)， 展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即． 所以，二次函数的表达式为，或． 【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 【解法二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2． 于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2． ∴．所以，所求的二次函数为或 归纳总结： 上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 【例题3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 【解析】设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8． 所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8． 【知识点透析】 二次函数的最值 二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道： 当时，函数在处取得最小值，无最大值； 当时，函数在处取得最大值，无最小值． 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题． 【例题1】当时，求函数的最大值和最小值． 【分析】：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值． 【解析】：作出函数的图象．当时，，当时，． 方法二：配方法 当时，， 当时，． 【例2】当时，求函数的最大值和最小值． 【解析】：方法一 作出函数的图象．当时，，当时，． 方法二：配方法，， 当时，，当时， 由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 归纳总结： 二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【变式1】．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（　　） A．3．125 B．4 C．2 D．0 【答案】C． 【变式2】．当时，求函数的取值范围． 【解析】：作出函数在内的图象． 可以看出：当时，，无最大值． 所以，当时，函数的取值范围是． 【例题4】当时，求函数的最小值(其中为常数)． 【分析】由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 【解析】函数的对称轴为．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即时： 当时，； (2) 当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即时： 当时，． 综上所述： 【变式】．当时，求函数的最小值(其中为常数)． 【解析】函数的对称轴为．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即时： 当时，； (2) 当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即时： 当时，． 综上所述： 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 【例题5】当时，求函数的最小值(其中为常数)． 【分析】由于对称轴随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 【解析】函数的对称轴为． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，； (2) 当对称轴在所给范围之间．即，即时，当，； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即时，当时， 综上所述：． 【变式1】已知函数在上的最大值为4，求的值． 【答案】．或． 【变式2】．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)． 【答案】．当时，，此时；当时，，此时 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初高中衔接专题讲义 第九讲 二次函数的图象和性质（原卷版） 【知识点透析】 二次函数的图象与解析式 二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 【例题1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． 归纳总结：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题． 【例题2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式． 【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 归纳总结： 上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 【例题3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 【知识点透析】 二次函数的最值 二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道： 当时，函数在处取得最小值，无最大值； 当时，函数在处取得最大值，无最小值． 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题． 【例1】当时，求函数的最大值和最小值． 【分析】：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值． 【例2】当时，求函数的最大值和最小值． 归纳总结： 二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【变式1】．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（　　） A．3．125 B．4 C．2 D．0 【变式2】．当时，求函数的取值范围． 【例题4】当时，求函数的最小值(其中为常数)． 【分析】由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 【变式】．当时，求函数的最小值(其中为常数)． 【例题5】当时，求函数的最小值(其中为常数)． 【分析】由于对称轴随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 【变式1】已知函数在上的最大值为4，求的值． 【变式2】．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)． 学科网（北京）股份有限公司 $