精品解析：吉林省长春市吉林省第二实验学校二高新校区2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题

吉林省第二实验高新学校2022-2023学年度八（2）下 数学第一次月考检测试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】解题关键是掌握四个象限内点的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限. 【详解】解：∵点的坐标为，可得，，符合第三象限点的坐标符号特征， ∴点在第三象限. 2. 下列结论中，不一定成立的是（ ） A. 平行四边形对边平行 B. 平行四边形对角相等 C. 平行四边形对角线互相平分 D. 平行四边形对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：因为平行四边形的对边平行，对角相等，对角线互相平分， 但是对角线不一定相等，矩形的对角线相等． 所以不一定成立的是D选项． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 3. 如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的对边平行，对边相等，对角相等等性质分别判断可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABDC，AB＝DC，∠BAD＝∠BCD， ∵ABDC， ∴∠1＝∠2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，理解平行四边形的所有性质是解题的关键． 4. 若方程有增根，则它的增根是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路是先根据增根定义找出所有可能的增根，再代入去分母后的整式方程验证，得到符合条件的增根. 【详解】解：∵原方程的分母为 ，分式方程的增根使原方程分母为0, ∴，可得可能的增根为 或 ， 给原方程两边同乘 去分母得：， 当时，代入得 ，解得 ，存在，符合增根定义， 当时，代入得 ，即 ，等式不成立，因此不是增根 ∴原方程的增根为. 5. 供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人小王骑摩托车先走15分钟后，抢修车装载着所需材料才出发，结果他们同时到达．已知抢修车的速度是摩托车的倍，若设摩托车的速度为x千米/小时，则根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．根据题意可表示出抢修车的速度是千米/小时，等量关系为：摩托车行驶30千米的时间分钟=抢修车行驶30千米的时间，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度是千米/小时，由题意得： ， 故选：D． 6. 如图,在同一直角坐标系中,一次函数y=kx+3与反比例函数的图象位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】当k＞0时，有y=kx+3过一、二、三象限，反比例函数的过一、三象限，A正确，符合题意； 由函数y=kx+3过点（0，3），可排除B、C，不符合题意； 当k＜0时，y=kx+3过一、二、四象限，反比例函数的过一、三象限，排除D，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 7. 如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 8. 若关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵分式有意义时分母不为0，即， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围为且． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是__________． 【答案】s． 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】∵， ∴=20×10-9s， 用科学记数法表示得s， 故答案为：s． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 10. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≥－1且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件可知，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围． 【详解】根据题意得：x+1≥0且x-1≠0， 解得：x≥-1且x≠1． 故答案为：x≥-1且x≠1 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 11. 如图，平行四边形的对角线相交于点，且，过作交于点．若的周长为10，则平行四边形的周长为_______． 【答案】 20 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得，，，又由，即可得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得，又由的周长为10，即可求得平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，且， ， 的周长为 10，即， 平行四边形的周长为：  ． 12. 正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1，则x的取值范围是____． 【答案】x＜-3或0＜x＜3 【解析】 【分析】根据两函数的一个交点得出另一个交点为（3，-2），再找出正比例函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是M（-3，2）， ∴另一个交点是（3，-2）， 当y2＜y1时，即正比例函数图象在反比例图象上方， ∴x的取值范围是x＜-3或0＜x＜3， 故答案为：x＜-3或0＜x＜3． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称． 13. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为______． 【答案】120° 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ； 故答案为：． 【点睛】题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；解题的关键是：熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 三、解答题（15、16各题6分，17、18题每题8分，19题8分，20、21每题9分，22、23每题12分） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解： 当时，， ∴是分式方程的解． 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 17. 先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式除法，化简后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，直线经过点O，分别与的延长线交于点E，F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形是平行四边形，可证，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【详解】略 19. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）当反比例函数的值小于一次函数的值时，请直接写出实数的取值范围； （3）求△OAB的面积． 【答案】（1）；；（2）x＜0或；（3）S△OAB=4 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数求出即可；把的纵坐标y=1代入求出，再把AB两点坐标代入一次函数的解析式求出a、b即可； （2）根据、的两点的坐标和图象得出即可； （3）过A作AM⊥y轴于M，过B作BG⊥x轴于G，交AM于N，根据三角形的面积可以直接求得结果． 【详解】解：（1）∵反比例函数图象经过， ∴． ∴反比例函数的表达式是． ∵反比例函数的图象过点， ∴． ∴． ∵一次函数图象相交于，． ∴，解得． ∴一次函数的表达式是． （2）由图像可知，当反比例函数的值小于一次函数的值时，实数x的取值范围是x＜0或． （3）过A作AM⊥y轴于M，过B作BG⊥x轴于G，交AM于N． ∴四边形OMNG是矩形． ∵A、B的坐标分别是（1，3）、（3，1）． ∴N的坐标是（3，3）． ∴S△OAB=S四边形OMNG-S△OAM-S△OBG-S△ABN=3×3-×3×1-×3×1-×2×2=4． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式。反比例函数与不等式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 20. 已知、两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）乙车的速度为　 　千米/时，　 　，　 　． （2）求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式． （3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 【答案】（1）75；3.6；4.5；（2）；（3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米． 【解析】 【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定的值； （2）运用待定系数法解得即可； （3）求出甲车到达距地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）乙车的速度为：千米/时， ，． 故答案为75；3.6；4.5； （2）（千米）， 当时，设，根据题意得： ，解得， ∴； 当时，设， ∴； （3）甲车到达距地70千米处时行驶的时间为：（小时）， 此时甲、乙两车之间的路程为：（千米）． 答：当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米． 【点睛】考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键. 21. 在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC； （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）； （3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？ 【答案】（1）见解析；（2）图②中，DE﹣DF＝AC；图③中，DF﹣DE＝AC；（3）17或3 【解析】 【分析】（1）证明四边形AEDF是平行四边形，且△BED和△DFC是等腰三角形即可证得； （2）与（1）的证明方法相同； （3）根据（1）（2）中的结论直接求解． 【详解】解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF，∠FDC＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C ∴∠FDC＝∠C， ∴DF＝FC， ∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC； （2）如图②，当点D在边BC的延长线上时， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF，∠FDC＝∠B， 又∵ＺAB＝AC， ∴∠B＝∠ACB=∠DCF， ∴∠FDC＝∠DCF， ∴DF＝FC， ∴DE=AF=AC+CF＝AC＋DF； 即DE﹣DF＝AC； 当点D在边BC的反向延长线上时，在图③， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF，∠FDC＝∠ABC， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠FDC＝∠C， ∴DF＝FC， ∴DF=FC=FA+AC=DE+AC； ∴DF﹣DE＝AC． （3）当点D在边BC上时， 如图①所示， DE＋DF＝AC， ∴DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3； 当点D在边BC的反向延长线上时，如图③所示，DF﹣DE＝AC． ∴DF＝AC＋DE＝10＋7＝17. ∴DF的长为17或3， 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题，解决本题的关键是进行分类讨论． 22. 如图，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线相交于点，若． （1）求直线的解析式； （2）求出四边形的面积； （3）若为轴上一点，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）四边形的面积为 （3）点的坐标为、、、 【解析】 【分析】（1）先把点坐标代入得到，则，再利用可得到点坐标为，则把点坐标代入可得到，即可求得直线的解析式； （2）通过解方程组得到点坐标，确定点坐标为，然后利用四边形的面积进行计算即可； （3）先根据、两点的坐标求出，然后分类讨论：当时，以点为圆心，画弧交轴于点和点，再写出它们的坐标；当时，点与点关于轴对称，即可得到它的坐标；当时，点为坐标原点． 【小问1详解】 解：把代入得，解得， ， ，， 点坐标为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：解方程组， 得， 点坐标为， 当时，， 点坐标为， 四边形的面积 ； 【小问3详解】 解：，， ， 当时，点的坐标为，点的坐标为； 当时，点的坐标为， 当时，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为、、、． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行的问题，解题的关键是掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同． 23. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． （1）边的长度为_______，的取值范围为_______． （2）从运动开始，当取何值时，？ （3）从运动开始，当取何值时，？ （4）从运动开始，当取何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）10， （2）当时，． （3）当或时，． （4）当取6或5或时，是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围； （2）先说明四边形是平行四边形，即，据此列方程求解即可； （3）由，根据，可得，再结合（2）即可解答； （4）分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点D作于E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：； ∵点P从点A出发，以的速度向点D运动，， ∴点P运动到D的时间为， 同理得：点Q运动到点B的时间为：， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴当时，． 【小问3详解】 解：如图3，过点P作于F，过点D作于E，则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，解得：； 由（2）可知：当时，． 综合，当或时，． 【小问4详解】 解：①如图：当时，过点D作于E，由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，是等腰三角形； ②如图：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，是等腰三角形； ③如图：当时，过点D作于E，由（1）可知：，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，是等腰三角形； 综上，当取6或5或时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验高新学校2022-2023学年度八（2）下 数学第一次月考检测试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列结论中，不一定成立的是（ ） A. 平行四边形对边平行 B. 平行四边形对角相等 C. 平行四边形对角线互相平分 D. 平行四边形对角线相等 3. 如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程有增根，则它的增根是（ ） A. 0 B. C. D. 1 5. 供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人小王骑摩托车先走15分钟后，抢修车装载着所需材料才出发，结果他们同时到达．已知抢修车的速度是摩托车的倍，若设摩托车的速度为x千米/小时，则根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图,在同一直角坐标系中,一次函数y=kx+3与反比例函数的图象位置可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是__________． 10. 函数中，自变量x的取值范围是________． 11. 如图，平行四边形的对角线相交于点，且，过作交于点．若的周长为10，则平行四边形的周长为_______． 12. 正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1，则x的取值范围是____． 13. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 三、解答题（15、16各题6分，17、18题每题8分，19题8分，20、21每题9分，22、23每题12分） 15. 解方程： 16. 计算：； 17. 先化简，再求值：．其中，． 18. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，直线经过点O，分别与的延长线交于点E，F．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）当反比例函数的值小于一次函数的值时，请直接写出实数的取值范围； （3）求△OAB的面积． 20. 已知、两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）乙车的速度为　 　千米/时，　 　，　 　． （2）求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式． （3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 21. 在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC； （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）； （3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？ 22. 如图，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线相交于点，若． （1）求直线的解析式； （2）求出四边形的面积； （3）若为轴上一点，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 23. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． （1）边的长度为_______，的取值范围为_______． （2）从运动开始，当取何值时，？ （3）从运动开始，当取何值时，？ （4）从运动开始，当取何值时，是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $