江苏盐城市大丰区2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试题

**基本信息** 高二期末数学试卷通过统计概率、立体几何等知识梯度设计，考查数学思维与应用，如扇形花园喷泉设计题体现建模能力，导数综合题考查逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|统计（众数）、概率（独立事件）、圆锥曲线（双曲线）|基础巩固，如单选1考众数，多选9考双曲线性质| |填空题|3/15|概率（正态分布）、函数零点、二项式定理|能力提升，如13题函数零点考查数形结合| |解答题|5/77|立体几何（线面平行）、数列（等比证明）、概率（赛制分析）、椭圆（面积与最值）、导数（切线与恒成立）|创新应用，如17题象棋比赛概率分析现实问题，19题导数综合考查逻辑推理与创新意识|

2025/2026学年第二学期高二年级期终考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据1，2，2，4，4，4，5的众数为 A．1 B．2 C．4 D．5 2．已知随机变量，则 A． B． C．1 D．2 3．在中，，，为的中点，则 A． B． C． D． 4．2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的不同排法种数为 A．72 B．144 C．240 D．480 5．已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果经验回归方程为，则表格中数据的值为 0 1 3 4 4.3 4.8 6.7 A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 6．在平面直角坐标系中，抛物线（）的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 7．已知随机事件，相互独立，，，则 A． B． C． D． 8．如图，计划建造一个半径为且圆心角不超过的扇形花园，再建造一个圆形花坛，使其与扇形的两条半径边以及圆弧边都相切，最后再建造一个圆形喷泉，使其与两条半径边相切，并且与花坛外切．要使喷泉的效果最好（即圆形喷泉半径最大），则建造扇形花园圆心角的正弦值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的 A．焦距为6 B．实轴长为 C．离心率为 D．渐近线方程为 10．已知函数的导函数为，则下列说法正确的是 A． B．函数的极大值为1 C． D．若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为 11．三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，记二面角的大小为，则 A． B．不存在，使三棱锥的体积为 C．存在钝角，使得 D．当，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，若，则________． 13．若函数有三个零点，则实数的取值范围为____________． 14．若（，）的展开式中的系数为，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点满足． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分）设数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 17．（15分）甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛的结果相互独立且没有平局．若每局比赛甲获胜的概率为（）．记为结束时比赛的局数． （1）当时，比赛采用三局两胜制． （i）求甲最终2∶0获胜的概率； （ii）求的分布列． （2）比赛有两种赛制供选择． 赛制一：比赛采取三局两胜制； 赛制二：比赛采取五局三胜制． 判断哪种赛制对甲最终获胜有利？请说明理由． 18．（17分）已知椭圆：（）经过，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 19．（本小题满分17分）已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）证明：有且仅有两条直线与曲线，均相切； （3）若，恒有，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $该文档是极速PDF编细遥生成， 如果想去掉该提示，请访问井下载 ttp://www.jlsupdfedltor.com 2025/2026学年度第二学期高二年级期终考试 参考答案 一、选择题： 1.C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D 二、选择题： 9.ACD 10.AB 11.ABD 三、填空题 12.0.3 13.(-16,16) 14.(n-1)2-2 四、解答题 15.解：(1)因为PA⊥平面ABCD,CDCc平面ABCD,所以PA⊥CD 因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD. .3分 又PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD. ..5分 (2)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 故以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A- 如图所示. .6分 D 易得B(2,0,0),E(0,1,0),P(0,0,2),所以BE=(-2,1,0),BP=(-2,0,2). 设平面PBE的法向量为n=(x,y,), 则由 n.BE=0 -2x+y=0 得 n.Bp=0’-2x+2:=0 令x=1,得y=2,二=1， 故平面PBE的一个法向量为n=Q,2,1) .9分 又易得平面ABCD的一个法向量为m=(O,0,1). 记平面PBE与平面ABCD的夹角为O, 于是cos0=cos<m,n> m.n 1 √6 6x1 6 第1页，共6页 故平面PBE与平面ABCD夹角的余弦值为V5 6 13分 16.解：(1)因为a+1=2a+n-1,所以at1+n+1=2(a+) 3分 因为a+1=240,所以+m+1=2, an+n 所以数列{a,+n仍是等比数列. 6分 (2)由(1)可知，a+n=2·2-1,所以a,=2”-n, .9分 8200-22--2g 2 .15分 2.24 17.解：(1)(i)记事件A:甲最终2：0获胜，则P(A)=二× 339 …2分 (ⅱ)随机变量X可能取2,3， Px=2-号号x=-1-号号 随机变量X的分布列为： X 2 3 P J 4 9 9 ….6分 (2)赛制一：比赛采取三局两胜制； 甲有2：0、2：1两种获胜情形， 甲获胜概率p,=p2+p1-p)p+Q-p)p2=-2p3+3p .9分 赛制二：比赛采取五局三胜制： 甲有3：0、3：1、3：2三种获胜情形， 甲获胜概率p2=p3+C3p1-p)p+C4p1-p)p=6p-15p4+10p3 .11分 因为p-B=6p5-15p+12p3-3p2, =3p(2p3-5p°+4p-1) =3p1-p)(2p-1), 雪0<p<)时，P-P<0,此时赛制一对甲最终获胜有利秒 当 P<1时，P-A>≥0，此时赛制二对甲最终获胜有利.15分 18.解：1)设椭圆C的半焦距为c,依题意得b=1,S-5 a 2' 两给合d=+c可架得d=2,所以箱圆C的方程为芳+y2-1. 第2页，共6页 3分 (2)(i)依题意知椭圆C的右焦点F1,0): 若直线1经过F,则直线1的方程为y=x-1. y=x-1 4 联立直线1和椭圆C的方程，得 2+y2=11 解得0 x= 3 y=-1 或{ y=3 ..6分 不妨记M, N(0,-1), 所△Aav的面积为-（←子 7分 (i)依题意可设直线l的方程为y=x+,M(:,x+m),N(s,53+m). y=x+m 联立直线1和椭圆C的方程，得 2+y=1 消去y,得3x2+4x+2m2-2=0…（*), 3’55=22-2 所以A>0,+=-4 3 .10分 解得-√3<m<V3. 因为AM=(x,x+m-1),N=(x2,x2+m-1), 故由AM.AN=x+(G+m-1c,+m-) =2553+(0m-10(:+x2)+0m-1)2 -2.2m-2+0m-0-(4”)+0m-) 3 2 =m221 ...15分 当m=专时，M的最小值为 0 ..17分 19.解：(1)依题意得()=2血x-,且x∈0，+），所以h)=22x=2-2x 令(x)>0,得0<x<1;令(x)<0,得x>1. 所以函数h(x)=2nx-x2的单调增区间为(0,1)，单调减区间为1，+o). .4分 (2)设直线1与曲线y=f(x)的图像切于点(m,2nm,与曲线y=g(x)的图像切于 点(nm). 因为1网=2m,860=,所以到=至8四=2， 第3页，共6页 该文档是极速PDF编细器生成， 如果想去掉该提示，请访问井下载 ttp://www.jlsupdfedltor.com 于是可求得切线1的方程即为y=2K-m+2nm,也为y=2n(x-m+, 所以2=2n且2nm-2=-m, 于是2hn-m+2=0…(*). 记F(x)=2nx-x2+2, 由(1)知F(x)在(0,1)递增，在1，+o)上递减， 所以F(x)在(0，+∞)上的最大值为F)=1>0. 又哈=-是<0，g=4e<0, 所以F(x)在(0,1)及1，+)上各仅有一个零点，则(*)式有且仅有两个不同 的实数根。 所以有且仅有两条直线与曲线y=f(x)与y=g(x)均相切.9分 (3) 记400'四2，) xm 则A)=2-四r2-2x”+m 记B(x)=(2-mx2-2xm+m. 则B'(x)=[4-21-2xm-2]. 1.当m=0时，此时A(x)=x2-1-2lnx,由(1)知A(x)在1，+o)上递增， 所以当x∈1，+∞)时，A(x)>A(①)=0，符合题意 2.当m=2时，此时A)=22，易得当x∈Q+0)时，4)<0 故A(,)在1+)上递减，于是当x∈1，+m)时，A)<4)=0,不符合题意. 3.当m>2时，易得当x∈L,+m)时，B'(x)<0,所以B(x)在L+m)上递减， 所以当x∈A,+m)时，B(x)<B)=0,即A'(x)<0, 故A(x)在(1，+∞)上递减，于是当x∈，+o)时，A(x)<A)=0,不符合题意. 4.当m<0时，易得当x∈1，+∞)时，B'(x)>0,所以B(x)在(1，+o)上递增， 所以当x∈A,+m)时，B(x)>B(①)=0，即A'(x)>0, 所以当x∈A,+∞)时，A(x)>A(①)=0，符合题意 5.当0<m<2时，易得y=4-2-2xm2在4，+∞)上递增， 5.1.若4-2m-2m≥0，即0<m≤1， 此时当x∈1，+o)时，4-2L-2xm2>0,即B'(x)>0, 所以B(x)在A,+D)上递增，所以B(x)>B①)=0，即A(x)>0, 所以当x∈1，+w)时，A(x)>AI)=0,符合题意. 5.2.若4-2m-2m<0,即1<m<2, 第4页，共6页 该文档是极速PDF编细器生成， 如果想去掉该提示，请访问井下载 ttp://www.jlsupdfedltor.com 此时当x∈Q,(2码可)时，B)<0, 所以（在a,(2-可）上递减， 所以当x∈1，(2-吗)时，B()<B0=0,即A()<0, 所以当x∈4，(2))时，4)在x∈Q,2-")上递减， 此时Ax)<A①)=0，不符合题意。 综上，m的取值范围是(o,】. ..17分 第5页，共6页