23.2 一次函数的图象和性质（第1课时）教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

23.2　一次函数的图象和性质（第1课时） 教学目标 1．经历正比例函数图象的探究过程，能画正比例函数的图象并掌握图象特征（形状、位置、经过的特殊点等），发展几何直观． 2．能根据正比例函数的图象和解析式y＝kx探索其性质，理解当k＞0和k＜0时图象的变化情况，体会数形结合的思想，发展几何直观和推理能力． 教学重点 　　正比例函数的图象和性质． 教学难点 正比例函数的性质． 教学过程 新课导入 【引导语】同学们，上节课我们已经认识了一次函数与正比例函数，也掌握了它们对应的函数解析式．如果想要更深入地研究这两种函数，你们觉得接下来应该从哪些方面展开研究？你们会选择先研究哪一种函数？ 【师生活动】结合前面的学习经验，学生能够自然联想到：可以先画出函数图象，再借助直观的图象，进一步探究、归纳函数的性质．由于正比例函数是特殊的一次函数，结构形式更为简洁，因此可以先从正比例函数入手展开研究． 【引导语】我们学习函数，是为了用它刻画现实世界的运动变化规律，而研究函数性质，正是为了更好地描述这些变化特征．在探究函数性质的过程中，函数图象凭借其直观形象的特点，是我们重要的研究工具．接下来，我们就从特殊的一次函数——正比例函数入手，借助图象探究它的性质，然后拓展到一般的一次函数． 【设计意图】通过问题唤醒学生已有学习经验，引导学生自主思考函数的研究方向与探究顺序，渗透从特殊到一般的数学思想，明确由正比例函数到一次函数的研究路径，为本节课探究正比例函数的图象和性质作好铺垫． 新知探究 【问题1】画出正比例函数y＝2x的图象． 【师生活动】教师带领学生回忆用描点法画函数图象的三个步骤（列表、描点、连线），并提醒学生，一般地，正比例函数中的自变量可以是任意实数，列表时建议选取几个简单的x的值，最好包含负数，0和正数．学生独立在学习任务单上进行列表和描点，完成后教师在黑板上进行示范． 【追问1】观察图象上点的位置，你能发现什么？ 【师生活动】学生发现图象上的五个点在同一条直线上，教师将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线，即函数y＝2x的图象．教师强调：列出的点是有限个，函数y＝2x的自变量可以是任意实数，所以这条直线应该向两端无限延伸，表示所有满足函数解析式的点都在这条直线上． 【答案】 【追问2】你能说一说函数y＝2x的图象有哪些特征吗？ 　　【师生活动】教师引导学生从形状、位置（所在象限）、过原点、从左向右上升等角度观察、表述图象的特征，得出：y＝2x的图象是一条经过原点和第三、第一象限的直线，图象从左向右上升． 【问题2】请你继续画出正比例函数的图象，并描述图象特征． 【师生活动】学生独立在学习任务单上绘制的图象并归纳其特征，教师巡视指导，学生代表分享作法，教师点评． 【答案】 的图象特征：的图象是一条经过原点和第三、第一象限的直线，图象从左向右上升． 【追问3】比较函数与函数y＝2x的图象，你有什么发现？ 【师生活动】师生共同从形状、位置（所在象限）、过原点、从左向右上升等角度，归纳两个函数图象的共同特征，得出一般性结论：一般地，正比例函数y＝kx（k＞0）的图象是一条经过原点和第三、第一象限的直线，从左向右上升． 【追问4】这两个函数的图象都具有“从左往右上升”的特点，想一想，当图象上的点从左往右移动时，点的横、纵坐标分别会发生怎样的变化？由此你能归纳出函数值y是如何随自变量x的变化而变化的规律吗？ 【师生活动】学生结合图象，思考后发现：横坐标越来越大，相应的纵坐标也越来越大，即函数值y随自变量x的增大而增大． 【归纳】一般地，正比例函数y＝kx（k＞0）的图象是一条经过原点和第三、第一象限的直线，从左向右上升，即y随x的增大而增大． 【设计意图】引导学生运用描点法绘制函数图象，学会从多角度观察图象，掌握描述图象特征的一般维度，深化对图象特征的认识，并借助特征探究得出函数的性质，渗透数形结合的数学思想，培养学生的归纳概括能力． 【问题3】请你仿照上面的学习过程，分别画出下列正比例函数的图象，并研究它们的图象特征和性质． （1）y＝－1.5x；（2）y＝－4x． 【师生活动】学生独立在学习任务单上列表、描点、连线，画出两个函数的图象，自主观察并归纳出图象特征及性质，教师巡视指导，组织学生分享交流，同时，在黑板上示范画图，板书结论． 【答案】 【归纳】一般地，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象是一条经过原点和第二、第四象限的直线，从左向右下降，即y随x的增大而减小． 【设计意图】让学生迁移前面的学习经验，再次经历自主画图、观察归纳的探究过程，为后续归纳概括正比例函数的增减性与k的关系提供基础． 【问题4】将上述4个函数的图象分成两组分别进行观察．第一组函数是y＝2x，y＝（k＞0），第二组函数是y＝－1.5x，y＝－4x（k＜0）．你能发现什么规律？ 【师生活动】师生共同总结出正比例函数的图象特征及性质，明确系数k对图象特征和性质的影响． 【新知】一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小． 【追问5】通过观察图象，我们得到了当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．那么，你能借助正比例函数的解析式，说明其中的道理吗？ 【师生活动】学生观察正比例函数y＝kx的解析式，教师提示可以结合k的正负来分类讨论，学生思考交流，教师归纳补充并总结：当k＞0时，kx是x乘了一个正数，自变量的值越大，函数值就越大，即当x增大时，kx也增大；当k＜0时，kx是x乘了一个负数，自变量的值越大，函数值反而越小，即当x增大时，kx减小． 对于这个性质，教师在黑板作出如下证明： 设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，考虑正比例函数y＝kx在x1，x2处函数值的大小． （1）若k＞0，则kx2－kx1＝k(x2－x1)＞0； （2）若k＜0，则kx2－kx1＝k(x2－x1)＜0． 因此，若k＞0，正比例函数y＝kx随自变量x的增大而增大； 若k＜0，正比例函数y＝kx随自变量x的增大而减小． 【注意】正比例函数的增减性由比例系数k的正负决定． 【设计意图】通过几何直观和代数推理，帮助学生从“数”和“形”两方面加深对正比例函数增减性的理解，进一步感受比例系数k对正比例函数性质的影响。 【问题5】我们现在知道，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，由此，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？ 【师生活动】学生独立思考，如果有困难，教师可适时提醒，通过提问：几个点能确定一条直线？不论正比例函数的解析式是什么，它的图象一定经过哪一个点？启发学生思考，明确只要过原点和图象上的另一点即可画出这条直线． 【归纳】因为两点确定一条直线，而正比例函数y＝kx（k≠0）的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象．一般地，这一点可以取点（1，k）这个特殊点． 【设计意图】让学生理解并掌握用“两点法”画正比例函数的图象，简化画图方法，强化数形结合思想． 课堂练习 1．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： （1）（2）y＝－6x． 【师生活动】学生独立在学习任务单上完成练习，教师讲评． 【答案】解：（1）过原点和点（1，）作直线； （2）过原点和点（1，－6）作直线． 2． 若点（2，m）和点（－3，n）都在函数y＝kx（k＜0）的图象上，比较m，n的大小． 【师生活动】教师提示学生结合正比例函数的性质考虑，学生独立完成学习任务单上的练习，教师点评． 【答案】解：∵ k＜0， ∴ 函数y＝kx的图象经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小． 又 2＞－3， ∴ m＜n． 【设计意图】通过练习，帮助学生加深对正比例函数的图象特征和性质的理解，并在解决问题中，加强知识迁移与画图能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．正比例函数的图象形状和性质由什么决定？ 2．说一说正比例函数的图象特征和性质. 【思维导图】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第124页习题23.2第1，2，3（1）题． 学科网（北京）股份有限公司 $