专题 23.12 一次函数复习专题——一次函数与存在性问题（方法梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.12 一次函数复习专题——一次函数与存在性问题（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识与方法梳理 1 【一：知识储备】 1 【二：解题思路】 1 二.题型精析 2 【题型 1】等腰三角形存在性 2 【题型 2】直角三角形存在性 3 【题型 3】平行四边形存在性 5 【题型 4】矩形、菱形存在性综合 6 【题型 5】等腰直角三角形存在性 8 【题型 6】特殊点位置存在性 10 【题型 7】面积定值或面积比例存在性 12 三.同步检测 14 （三）解答题（12题） 14 一.知识与方法梳理 【一：知识储备】 1、两点间距离公式：已知，则 2、平行的判定：两直线斜率相等：； 3、垂直的判定：两直线斜率乘积：； 4、中点坐标公式：. 【二：解题思路】 （1）先假设存在；（2）设动点坐标；（3）列等量关系；（3）解方程求点坐标；（3）检验是否符合题意、是否在取值范围内；（5）写出结论（存在或不存在）。 二.题型精析 【题型 1】等腰三角形存在性 一次函数直线上是否存在点P，使P与两定点构成等腰三角形。 解法：（1）三分类讨论；（2）距离公式列方程；（3）求参数；（4）得坐标。 【例题1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且与交于点． （1）求点和点的坐标 （2）求直线的表达式； （3）在线段上是否存在一点使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，直线（）与x轴、y轴分别交于点B，C，且OB=2． （1）求k的值． （2）若点A是直线y=kx-1上一动点，且点A在第一象限，当△AOB的面积为2时，求点A的坐标． （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）点A的坐标为_________，点B的坐标为__________； （2）直线上是否存在一点C（C与B不重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）x轴上是否存在一点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． （1）求线段的长． （2）求点的坐标． （3）如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型 2】直角三角形存在性 坐标轴上或一次函数上是否存在动点，与已知两点组成直角三角形。 解法：分三个顶点为直角顶点，勾股定理或斜率垂直列式求解。 【例题2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． （1）求点，的坐标． （2）若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． （3）若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B． （1）求该直线的函数表达式和点B的坐标； （2）在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与直线交于点． （1）求k的值及点A的坐标； （2）在x轴上是否存在一点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点，点的坐标为． （1）关于的方程组的解为_______． （2）求四边形的面积； （3）在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 3】平行四边形存在性 已知两个或三个定点，在一次函数上找第四点，使四点构成平行四边形。 解法：利用对角线中点坐标相等，分三种位置情况求解。 【例题3】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点P． （1）求P点的坐标． （2）设直线与直线在第一象限内的图象为G，若直线与图象G只有两个交点，请写出m的取值范围． （3）在平面内是否存在一点Q，使得以点O，A，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA=8，OB=6，AD=12，E是线段OD的中点． （1）直接写出点C，D的坐标； （2）求直线AE的关系式； （3）平面内是否存在一点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数的图象交于点M，点M的横坐标为5．在x轴上有一动点（其中），过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点C、D． （1）________，的长用含a的代数式可以表示为________； （2）是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 4】矩形、菱形存在性综合 在一次函数背景下，探究是否存在点构成矩形、菱形。解法：先按平行四边形求点，再加垂直或邻边相等条件筛选。 【例题4】（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． （1）请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； （2）当四边形为平行四边形时，求b的值； （3）若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）综合与探究． 如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在x轴、y轴上，． （1）点A的坐标为： ，点C的坐标为：___________ （2）把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与的交点分别为D，F，E，求直线的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）． （3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线：与矩形的边和都有交点，交点分别是点与点． （1）请用含的代数式分别表示点和点的坐标：______，______； （2）当四边形为平行四边形时，求的值； （3）若要使在平面内存在点，使以点、、、这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的的值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线． （1）求两点的坐标． （2）把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求直线的函数解析式． （3）若点在直线上，平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 5】等腰直角三角形存在性 一次函数上找点，与定点构成等腰直角三角形。 解法：分类直角顶点 + 边长相等 + 垂直关系，联立方程求解。 【例题5】（24-25八年级上·山东济南·期末）综合与探究： 如图，已知直线l：过点． （1）求直线l的表达式． （2）若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积； ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的一半，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）好奇心强的小李同学深入思考后发现，直线上存在一点M．使为等腰直角三角形，富有热心肠的你帮小李同学直接写出点M的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，经过点作垂直于x轴的直线l，点与点B关于直线l对称． （1）点C是直线l上一点，连接得到． ①当时，点B的坐标为_________； ②当且直线经过原点O时，点C的坐标为_________； ③若上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是_________． （2）在下方以为斜边作等腰直角三角形，直线m过点且与x轴平行，若直线m上存在点P，上存在点K，满足，直接写出b的取值范围． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，如图1，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象，直线与y轴相交于点C． （1）求新函数的图象的表达式． （2）在射线上有一动点，连接，试求的面积S关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）如图2，过点作平行于y轴的直线． ①求证：是等腰直角三角形． ②将直线沿y轴方向平移，若直线与x轴相交于点，与y轴相交于点，其中点在右侧，点在左侧，则在直线上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． （1）求正比例函数的表达式： （2）将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； （3）在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 【题型 6】特殊点位置存在性 探究是否存在点在 x 轴、y 轴、一次函数上，满足：距离相等、面积定值、角度特殊等条件。 【例题6】（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点D． （1）求点D的坐标； （2）将沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t． ①当点G在直线上时，求的面积； ②在移动过程中，是否存在某一时刻，点G刚好在第二象限的角平分线上？若存在，求出平移的距离，若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·湖北·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线m的解析式为，交x、y轴于A、B点． （1）直接写出A、B点坐标； （2）一条过定点的直线n分别交直线m和x轴于P、Q点，如图2； ①是否存在Q点，使D正好为PQ中点，若存在，请求Q点坐标； ②若，则求直线PQ的解析式； （3）若直线m上有点，则当E点到过定点的直线PQ的距离最大时，直接写出直线PQ的解析式． 【变式2】（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，将直线向上平移后经过点，分别交x轴y轴于点B、C． （1）求直线的函数表达式； （2）点P为直线上一动点，连接．问：线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线∶与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点． （1）求直线的表达式； （2）点D是直线上一动点． ①是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由． ②当点D恰好在的角平分线上时，求直线的表达式； 【题型 7】面积定值或面积比例存在性 是否存在动点在一次函数上，使围成三角形面积为定值、或面积成指定比例。 【例题7】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4． （1）求b的值和点D的坐标； （2）已知P是坐标平面内一点，连接，，，所得的，的面积分别为，设； ①若点P的坐标为，求k的值； ②如图（2），点P的坐标为，且位于四边形BODE内，若k为定值，请求出这个定值，若不是请说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 （1）若直线与直线有交点，求的面积； （2）在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级下·山东淄博·月考）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数图象与交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）求的表达式； （3）在上是否存在一点使得的面积是的面积的倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 三.同步检测 （三）解答题（12题） 1．（24-25八年级上·甘肃白银·月考）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． （1）求一次函数的表达式； （2）一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．（24-25八年级下·山东济宁·月考）已知一次函数的解析式为，其图象过点． （1）求m、n的值，并画出此一次函数的图象： （2）在y轴上是否存在点C，使得的值最小?若存在，标出点C的位置，并求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线上的动点，过点B作直线的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连接． （1）当点P在线段上时， ①求证：； ②若点P为的中点，求的面积． （2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，四边形是菱形，点在轴的负半轴上，直线交轴于点．； （1）求菱形的周长； （2）动点从点出发，沿线段方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动．设的面积为，点的运动时间为秒，求关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）； （3）平面直角坐标系内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值与一次函数解析式； （2）在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H． （1）请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________． （2）平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积． （3）点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25八年级下·广东梅州·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接并延长交于点，设运动时间为（）． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）设四边形的面积为（），求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． （1）求折痕所在直线解析式． （2）将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． （3）点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 9．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； （3）当的面积为时，求的值； （4）是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为． （1）当直线l经过原点O时，求它的表达式； （2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； （3）在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段的长度为_____； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）求点E的坐标； （4）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且． （1）求直线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.12 一次函数复习专题——一次函数与存在性问题（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识与方法梳理 1 【一：知识储备】 1 【二：解题思路】 1 二.题型精析 2 【题型 1】等腰三角形存在性 2 【题型 2】直角三角形存在性 9 【题型 3】平行四边形存在性 17 【题型 4】矩形、菱形存在性综合 24 【题型 5】等腰直角三角形存在性 33 【题型 6】特殊点位置存在性 44 【题型 7】面积定值或面积比例存在性 53 三.同步检测 62 （三）解答题（12题） 62 一.知识与方法梳理 【一：知识储备】 1、两点间距离公式：已知，则 2、平行的判定：两直线斜率相等：； 3、垂直的判定：两直线斜率乘积：； 4、中点坐标公式：. 【二：解题思路】 （1）先假设存在；（2）设动点坐标；（3）列等量关系；（3）解方程求点坐标；（3）检验是否符合题意、是否在取值范围内；（5）写出结论（存在或不存在）。 二.题型精析 【题型 1】等腰三角形存在性 一次函数直线上是否存在点P，使P与两定点构成等腰三角形。 解法：（1）三分类讨论；（2）距离公式列方程；（3）求参数；（4）得坐标。 【例题1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且与交于点． （1）求点和点的坐标 （2）求直线的表达式； （3）在线段上是否存在一点使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）,；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解题关键． （1）令，，即可求解； （2）将、代入即可求解； （3）设点，分类讨论，三种情况即可求解； 解：（1）解：令，则； ∴ 令，则，得； ∴ （2）解：∵ ∴ 将、代入得： ， 解得： ∴直线的表达式为： （3）解：∵直线的表达式为： ∴ 设点 则： ： ， 解得： ∴ ： ， 解得：（舍）或 ∴ ： ， 解得：（舍）或（舍） ∴综上所述：或 【变式1】（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，直线（）与x轴、y轴分别交于点B，C，且OB=2． （1）求k的值． （2）若点A是直线y=kx-1上一动点，且点A在第一象限，当△AOB的面积为2时，求点A的坐标． （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k的值为；（2）点A的坐标为（6，2）；（3）0，） 0，-） 0，） 0，） 【分析】（1）需根据OB=2求出B点坐标，再利用待定系数法求出k值； （2）把△AOB的面积表示出来，根据△AOB的面积为2，即可得出点A的坐标； （3）设P（0，m），分三种情况讨论计算即可． 解：（1）解∶∵OB=2． ∴点B（2，0）， 把点B代入，得： 解得：； （2）解：由（1）得：直线的解析式为， ∵△AOB的面积为2，点A在第一象限， ∴，OB=2， ∴， ∴当yA=2时，， ∴A（6，2）； （3）解：存在，理由如下： ∵A（6，2）， ∴， 设点P（0，m）， 当时，如图， 点P的坐标为或（0，-）； 当AP=OP时，AP2=OP2， ∴，解得：m=10， ∴此时点的坐标为（0，10）； 当AP=OA时，AP2=OA2， ∴，解得：m=4或0（舍去）； ∴此时点的坐标为（0，4）； 综上所述，存在点P的坐标为或（0，-）或（0，10）或（0，4）． 【点拨】本题是一次函数综合题型，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，用方程的思想和分类思想解决问题是解本题的关键．难点在于（3）根据等腰三角形的腰长的不同分情况讨论． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）点A的坐标为_________，点B的坐标为__________； （2）直线上是否存在一点C（C与B不重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）x轴上是否存在一点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，；（3）存在，或或或 【分析】本题考查了一次函数性质，掌握用取特殊值的方法求定点坐标，设C点坐标根据面积相等求出未知数是解题关键． （1）令，，列出一元一次方程，解出即可； （2）先求出，设点C的坐标为，再根据的面积等于的面积，列方程求解即可； （3）设点，则，，，在根据，，分别列方程求解即可． 解：（1）解：令，则，解得， 令，则， ∴A点的坐标为，B点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：存在，理由： ∵A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，， ∴， ∵直线上一点C， ∴设点C的坐标为， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得，（与点B重合，舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：存在，理由： 设点， ∵A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，，， 当时，即，则，解得：，此时点或； 当时，即，则，解得：，此时点； 当时，即，则，解得：，时与重合，此时点； 综上，或或或． 【变式3】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． （1）求线段的长． （2）求点的坐标． （3）如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出当时，，当时，，再利用勾股定理即可得到答案； （2）由中点坐标公式可得答案； （3）设，而，，可得，，，结合是以为腰的等腰三角形，可得或，进一步利用勾股定理建立方程求解即可得到答案． 解：（1）解：在中，当时，，当时，， ∴； ∴． （2）解：∵，，设， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：设，而，， ∴，，， ∵在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴， ∴， ∴或， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上所述，点D的坐标为或或． 【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的定义，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 【题型 2】直角三角形存在性 坐标轴上或一次函数上是否存在动点，与已知两点组成直角三角形。 解法：分三个顶点为直角顶点，勾股定理或斜率垂直列式求解。 【例题2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． （1）求点，的坐标． （2）若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． （3）若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），的坐标分别为、；（2）；（3）存在．点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，勾股定理的应用，直角三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，直线分别交轴，轴于，两点，当时，求出点，当时，求出点，即可； （2）根据第一象限内的点到轴的距离为，则点的纵坐标为，根据点在直线上，求出点的坐标，设直线的解析式为，即可； （3）根据是直角三角形，分类讨论：当边为斜边，；当边为直角边，；当边为直角边，；进行解答，即可． 解：（1）解：∵直线分别交轴，轴于，两点, ∴当时，, ∴点； ∵当时，, ∴点． （2）解：∵第一象限内的点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 当边为斜边，； ∵， ∴点与点重合， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵线段在第一象限， ∴点在的负半轴， ∴设点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵点在上，点是轴上一动点， ∴； 综上所述，当点，时，是直角三角形． 【变式1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B． （1）求该直线的函数表达式和点B的坐标； （2）在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）该直线的函数表达式为，；（2）在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了解析式的求解、勾股定理等知识点，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点、代入即可求解； （2）由题意得，分类讨论当点C为直角顶点时和当点A为直角顶点时两种情况即可求解． 解：（1）解：∵直线经过点、， ∴ 解得 ∴该直线的函数表达式为． 在中，令，得， ∴． （2）解：∵点C在y轴上， ∴， ∴点B不能成为直角顶点． ①当点C为直角顶点时，点C在的位置，如图． ∵点A在x轴上，点B在y轴上， ∴， ∴点与点O重合， ∴点的坐标为； ②当点A为直角顶点时，点C在的位置，如图． 设，则，，，， ∴，，． ∵， ∴， 解得， ∴． 综上可知，在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与直线交于点． （1）求k的值及点A的坐标； （2）在x轴上是否存在一点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）把代入，求出的值，待定系数法求出k的值，令，求出点A的坐标即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 解：（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：存在； ①当时，则：轴， ∵， ∴； ②当，作轴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴， ∴； 综上：或． 【变式3】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点，点的坐标为． （1）关于的方程组的解为_______． （2）求四边形的面积； （3）在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）4；（3）存在，或 【分析】（1）根据题目中的两个函数解析式可以求得点D的坐标、从而可以得到关于x、y的方程组的解； （2）根据点D在一次函数上，可以求得b的值，然后即可求得点C和点B的坐标，再根据图形可知四边形的面积的面积的面积，代入数据即可解答本题； （3）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题． 解：（1）解：∵点在一次函数上， ， ∴点D的坐标为， ∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D， 的解是， ∴关于x、y的方程组的解为； （2）解：∵一次函数， ∴当时，， ∴点A的坐标为， ∵点D在一次函数上， ，得， ∴一次函数， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为， ， ， 即四边形的面积是4； （3）解：存在， 如图，当点E为直角顶点时，过点D作轴于， ， ； 当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E； 当点D为直角顶点时，过点D作交x轴于点， 设， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ． 解得． ； 由上可得，点E坐标为或． 【题型 3】平行四边形存在性 已知两个或三个定点，在一次函数上找第四点，使四点构成平行四边形。 解法：利用对角线中点坐标相等，分三种位置情况求解。 【例题3】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点P． （1）求P点的坐标． （2）设直线与直线在第一象限内的图象为G，若直线与图象G只有两个交点，请写出m的取值范围． （3）在平面内是否存在一点Q，使得以点O，A，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）点P的坐标为；（2）或．（且）；（3）存在，；； 【分析】（1）联立二元一次方程组求解即可； （2）根据图像判断即可； （3）如图，分别过点A，B，O点作轴，轴，直线的平行线，交点分别为，则点即为所求作的点． 解：（1）解：根据题意，得 解得 ∴点P的坐标为． （2）解：如图，把y=0代入得，， 解得，， 点A的坐标为（3，0）， 由点P的坐标为， 或．（且） （3）解：存在Q，使得以点O，A，B，Q为顶点的四边形是平行四边形， 如图，分别过点A，B，O点作轴，轴，直线的平行线，交点分别为，则点即为所求作的点， 点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3）， ，， 【点拨】本题考查了一次函数与几何的综合题，一次函数的交点坐标，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，正确理解一次函数的相关性质是解本题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、以及平行四边形的性质，关键是利用平行四边形对角线互相平分求点的坐标；分别以为对角线这三种情况，求出点的坐标． 解：对于直线，当时，， ∴， 解方程组得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∴，，． 设， 若使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论： ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【变式2】（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA=8，OB=6，AD=12，E是线段OD的中点． （1）直接写出点C，D的坐标； （2）求直线AE的关系式； （3）平面内是否存在一点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C（6，0），D（12，8）；（2）；（3）存在，F坐标为：（-6，4）或（18，4）或（6，12） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，根据题意可得OC=6，点A的坐标为（0，8），点D的坐标为（12，8），即可得点C的坐标为（6，0）； （2）根据E是线段OD的中点得E（6，4），设直线AE的关系式为：，根据直线AE经过点A,点E，即可得，进行计算即可得； （3）分情况讨论：①当EF为平行四边形的边时，根据对边相等即可得；②当EF为平行四边形的对角线时，根据对角线互相平分即可得． 解：（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点B、C都在x轴上，点A在y轴上，，， ∴，点A的坐标为（0，8），点D的坐标为（12，8）， ∴点C的坐标为（6，0）； （2）解：∵E是线段OD的中点， ∴E（6，4）， 设直线AE的关系式为：， ∵直线AE经过点A,点E， ∴ 解得，， ∴直线AE的关系式：； （3）存在，F坐标为（-6，4）或（18，4）或（6，12） 解：①如图所示，当EF为平行四边形的边时， ， ∴点F的坐标为：（-6，4）或（18，4）， ②如图所示，当EF为平行四边形的对角线时， 则， 即点F的坐标为：（6，12）， 综上，点F的坐标为：（-6，4）或（18，4）或（6，12）． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 【变式3】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数的图象交于点M，点M的横坐标为5．在x轴上有一动点（其中），过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点C、D． （1）________，的长用含a的代数式可以表示为________； （2）是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）可先求得M点坐标，代入，即可求出的值，分别将代入函数，函数，求出两点的坐标，即可求出； （2）当四边形为平行四边形时则可得，由（1）知的长，再求出点的坐标，得到，可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得P点坐标． 解：（1）解：将代入，则， ∴， 将代入， 则，解得； 由题意得，点的横坐标都为，且点在点上方， 分别将代入函数，函数， 则， ∴； （2）解：将代入，则， ∴，即， ∵轴，轴， ∴， ∵以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得， ∴， 即存在满足条件的点P的坐标为． 【题型 4】矩形、菱形存在性综合 在一次函数背景下，探究是否存在点构成矩形、菱形。解法：先按平行四边形求点，再加垂直或邻边相等条件筛选。 【例题4】（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． （1）请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； （2）当四边形为平行四边形时，求b的值； （3）若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）存在，或0或 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 解：（1）解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）解： 由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）综合与探究． 如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在x轴、y轴上，． （1）点A的坐标为： ，点C的坐标为：___________ （2）把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与的交点分别为D，F，E，求直线的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）． （3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）存在点或使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）根据矩形的性质解答即可； （2）连接，由折叠的性质可得，，然后由中点坐标公式可得点F的坐标，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，可得点D的坐标，然后利用待定系数法解答即可； （3）由（2）得：，点D的坐标为，设点M的坐标为，点N的坐标为，可得，，然后分三种情况：若为边；若为边；若为边，解答即可． 解：（1）解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为； 故答案为：；； （2）解：如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点F的中点为，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：存在， 由（2）得：，点D的坐标为， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∴，， 若为边，， ∴， 解得：或9， 当时，此时点M在点A的上方，则点N在x轴的上方，不符合题意； 当时，点M的坐标为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为； 若为边，， 此时， ∴或4， 当时，此时点M在点A的上方，则点N在x轴的上方，不符合题意； 当时，点M的坐标为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为； 若为边，， 此时， ∴， 此时点M在点A的上方，则点N在x轴的上方，不符合题意； 综上所述，点N的坐标为或． 【点拨】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线：与矩形的边和都有交点，交点分别是点与点． （1）请用含的代数式分别表示点和点的坐标：______，______； （2）当四边形为平行四边形时，求的值； （3）若要使在平面内存在点，使以点、、、这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的的值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）或0或． 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 解：（1）∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【变式3】（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线． （1）求两点的坐标． （2）把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求直线的函数解析式． （3）若点在直线上，平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）直线的解析式为；（3）存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质即可求解及； （2）根据折叠，可知直线是的垂直平分线，利用待定系数法，垂直平分线的性质即可求解； （3）分类讨论，①如图所示，为边；②如图所示，以为边，为对角线；③如图所示，以为边，为对角线；图形结合，由此即可求解． 解：（1）解：矩形的对角线， ∴，， ∴在中，，， ∴，． （2）解：根据折叠的性质得，如图所示，    ∴，设，则， 在中，，即，解得，， ∴， 同理得，，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为． （3）解：①如图所示，为边，    ∵是的中点， ∴， ∵直线的解析式为，存在菱形， ∴， ∴直线的解析式为，设， ∴，解得，， ∴或； ②如图所示，以为边，为对角线，    ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与重合，即，设， ∵与互相平分， ∴，， ∴， ∴； ③如图所示，以为边，为对角线，    ∵直线的解析式为， ∴直线与轴的交点为， ∵， ∴， 存在菱形， ∴， ∴是直线与轴的交点， ∴； 综上所示，存在以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 【点拨】本题主要考查一次函数与几何图形的变换的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形的特点，勾股定理，垂直平分线的性质，中点坐标等知识是解题的关键． 【题型 5】等腰直角三角形存在性 一次函数上找点，与定点构成等腰直角三角形。 解法：分类直角顶点 + 边长相等 + 垂直关系，联立方程求解。 【例题5】（24-25八年级上·山东济南·期末）综合与探究： 如图，已知直线l：过点． （1）求直线l的表达式． （2）若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积； ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的一半，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）好奇心强的小李同学深入思考后发现，直线上存在一点M．使为等腰直角三角形，富有热心肠的你帮小李同学直接写出点M的坐标． 【答案】（1）；（2）①6；②存在，或；（3）或 【分析】本题考查了两条直线平行或相交问题，应用的知识点有：待定系数法求解析式，三角形的面积等． （1）根据待定系数法即可求得； （2）①联立方程求得C点的坐标，根据三角形面积公式求得即可；②根据已知设点P为，根据的面积是面积的一半列出方程式，解方程即可求得P的坐标． （3）根据等腰直角三角形的性质求解即可，注意分两种情况． 解：（1）解：由题意得： 解得， ∴直线l的解析式为． （2）解：∵， 令，则， ∴， ∵直线与x轴交于点B， ∴ 联立方程组可得：， 解得， ∴， ∴． ②存在， 设， 由题意得，， 整理得， ∴或， ∴或． （3）解：如图所示： 当时， ∴， 解得 ∴， 当， ∴点在的中垂线上， ∴点的横坐标为1， ， ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或 【变式1】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，经过点作垂直于x轴的直线l，点与点B关于直线l对称． （1）点C是直线l上一点，连接得到． ①当时，点B的坐标为_________； ②当且直线经过原点O时，点C的坐标为_________； ③若上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是_________． （2）在下方以为斜边作等腰直角三角形，直线m过点且与x轴平行，若直线m上存在点P，上存在点K，满足，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①②③或；（2） 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题． （1）①根据A，B关于直线对称解决问题即可． ②求出直线与直线的交点C的坐标即可判断． ③由题意，，根据上所有点到y轴的距离都不小于1，构建不等式即可解决问题． （2）由题意，由是以为斜边的等腰直角三角形，推出点D到的距离为2，分情况讨论直线m与的位置关系求解即可解决问题． 解：（1）解：①如图所示 由题意，A，B关于直线对称， ∴． 故答案为． ②解：如图所示 由题意，直线l：， 因为经过原点O， ∴直线AC的解析式为， 故答案为 ③由题意，， ∵上所有点到y轴的距离都不小于1， ∴或， 解得或． 故答案为或． （2）解：如图所示，为AB的中点， ∵，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴点D到的距离， 当点D在下方时，若直线m上存在点P，上存在点K，满足， 则 ∴ 故答案为． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，如图1，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象，直线与y轴相交于点C． （1）求新函数的图象的表达式． （2）在射线上有一动点，连接，试求的面积S关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）如图2，过点作平行于y轴的直线． ①求证：是等腰直角三角形． ②将直线沿y轴方向平移，若直线与x轴相交于点，与y轴相交于点，其中点在右侧，点在左侧，则在直线上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①证明见分析；②存在；满足条件的点P为或 【分析】（1）求出的坐标，根据对称性，求出点坐标，待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可； ②分点，点，点分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． （1）解：∵，当时，，当时，， ∴， ∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C， ∴与关于轴对称，过点， ∴， 设，将，代入得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ①当点在线段上：即：时， ； ②当点在线段的延长线上，即：时， ， 综上：； （3）①∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②存在， 当点为直角顶点时，设，如图： ∵平移， 设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴，， 过点作，设交轴于点， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时：此时在轴正半轴上，在轴负半轴上， 设平移后的解析式为：，当时，，当时，， ∴，， 同法可得：， ∴， ∴，解得： 当时，与点重合，不符合题意； 综上：或． 【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，难度大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． （1）求正比例函数的表达式： （2）将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； （3）在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】（1）；（2）见分析；（3）或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的长，由折叠的性质可得，则可证明，据此可证明结论； （3）分三种情况：点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点P的坐标即可． 解：（1）解：∵点为正比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴正比例函数的表达式； （2）证明：∵， ∴； ∵点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：①如图，当点为直角顶点时，    ，， 过作轴于点，过作轴于点， ， ， ∵， ， 在和中 ， ， ，， 四边形是菱形， ，即轴， ∴点C的横坐标为4， ∵， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， ， ， ， ； ②如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴，， ， ； ③如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴， 设，则，， 又∵， ∴， ∴， ； 综上所述：点坐标为或或． 【题型 6】特殊点位置存在性 探究是否存在点在 x 轴、y 轴、一次函数上，满足：距离相等、面积定值、角度特殊等条件。 【例题6】（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点D． （1）求点D的坐标； （2）将沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t． ①当点G在直线上时，求的面积； ②在移动过程中，是否存在某一时刻，点G刚好在第二象限的角平分线上？若存在，求出平移的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点D的坐标为；（2）①；②存在，t=3 【分析】（1）联立两条直线的解析式，解方程组即可求得； （2）①先通过解析与轴的交点求得的坐标，由平移的距离为知，点G在直线上求得，继而求得的面积； ②设G刚好在第二象限的角平分线上，由①的结论即可求得 解：（1）∵直线与直线交于点D， 由，得； ∴点D的坐标为； （2）当时， ， ； 当时， ，； 解得，； 点，，，； 由平移的距离为知，点，点，点； ①当点G在直线上时， 得， 解得； ∴点G坐标为； ∴； ； ②存在，理由如下： 当点G刚好在第二象限的角平分线上 即点G在上 由①可知点 【点拨】本题考查了平移的性质，一次函数交点问题，求出平移后的各点的坐标是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·湖北·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线m的解析式为，交x、y轴于A、B点． （1）直接写出A、B点坐标； （2）一条过定点的直线n分别交直线m和x轴于P、Q点，如图2； ①是否存在Q点，使D正好为PQ中点，若存在，请求Q点坐标； ②若，则求直线PQ的解析式； （3）若直线m上有点，则当E点到过定点的直线PQ的距离最大时，直接写出直线PQ的解析式． 【答案】（1）， ；（2）①存在， ，②；（3） 【分析】（1）分别令，，代入到直线的解析式，求出对应的值，值从而求出点，的坐标； （2）①设点的坐标为，由为中点，可得点的坐标为，令求出值即可求解；②先构造等腰三角形，使，分别过点作轴的平行线与过点作轴的平行线交于点，易证，设，用表示点的坐标，求出直线的斜率，再将点的坐标代入所设直线的解析式即可求解； （3）过点作于点，连接，根据可知，当时，E点到过定点的直线PQ的距离最大，由直线的斜率求得直线的斜率，最后利用待定系数法求解即可. 解：（1）解：令，代入中 ，解，得， 令，代入到，， 点的坐标为，点的坐标为. （2）解：①存在，理由： 设点的坐标为， 正好为中点， 点的坐标为， 点在轴上， ，解得； 点的坐标为， 存在Q点，使D为PQ中点； ②如图，分别过点作轴的平行线与过点作轴的平行线交于点， ， ， 则， ， 设，则点的坐标分别为， ， 设直线的解析式为：， 把点代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 将点代入，得 ，整理，得， 点， 设直线的解析式为，则， 直线的解析式为 把点代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为.    （3）解：如图，过点作于点，连接， 在中，， 当点与点重合时，最大， 当时，E点到过定点的直线PQ的距离最大， 点， 直线的解析式为：, 设直线的解析式为， 将点代入直线，得， 解得，， 直线的解析式为：,   【点拨】 本题综合考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两直线垂直时斜率之间的关系，正确构造辅助线是解本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，将直线向上平移后经过点，分别交x轴y轴于点B、C． （1）求直线的函数表达式； （2）点P为直线上一动点，连接．问：线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，线段的最小值为4.8． 【分析】（1）设平移后的直线的解析式为，代入A点坐标即可求解； （2）根据OP⊥BC时，线段最小，再根据等面积法即可求解． 解：（1）设平移后的直线的解析式为， 代入得 解得 ∴直线的解析式为； （2）存在，理由如下： 令x=0，得y=6，∴C（0，6），故OC=6 令y=0，得x=8，∴B（8，0）故OB=8 ∴BC= ∵OP⊥BC时，线段最小， ∵S△ABC== ∴= 即线段的最小值为4.8． 【点拨】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质、三角形的面积公式． 【变式3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线∶与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点． （1）求直线的表达式； （2）点D是直线上一动点． ①是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由． ②当点D恰好在的角平分线上时，求直线的表达式； 【答案】（1）直线的表达式为：；（2）①存在，点D的横坐标为或② 【分析】（1）将点代入直线∶求出b的值，即可得直线的表达式； （2）①设点，根据，即可求解； ②当点D恰好在的角平分线上时，根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，可得，根据角平分线的定义以及三角形外角的性质得出，则，由两点的距离公式可得关于n的方程，解方程求出n，可得点D的坐标，即可得直线的表达式． 解：（1）解：∵直线∶与直线交于点， ∴将点代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：①存在， ∵直线：与x轴交于点A， 令得， 解得， 令得， ， 设点， ， ，， ， 解得或， ∴存在点D，使得，点D的横坐标为或； ②如图， ，点， ，， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 当点D恰好在的角平分线上时， ， ， ， 设点， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点， 设直线的表达式为， ， 解得， ∴直线的表达式为． 【点拨】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，注意由三角形面积求点坐标要分情况讨论是解题的关键． 【题型 7】面积定值或面积比例存在性 是否存在动点在一次函数上，使围成三角形面积为定值、或面积成指定比例。 【例题7】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 【答案】（1）；（2）存在，或；（3） 【分析】（1）先求出点，可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）当点D在y轴上时，根据题意可得垂直平分，从而得到点D与点B关于x轴对称，可求出点D的坐标；当时，过点D作轴于点H，设，则，根据勾股定理求出s的值，即可求出点D的坐标； （3）先求出点M的坐标为，可设直线的解析式为，从而得到点，，继而得到，设（其中A为定值），，即可求解． 解：（1）解：对于直线， 当时，，当时，， ∴点， ∵直线关于轴对称的直线与轴交于点． ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在， 如图， 当点D在y轴上时， ∵，， ∴垂直平分， ∴点D与点B关于x轴对称， ∴点D的坐标为， 此时均为等腰三角形，符合题意； 当时，过点D作轴于点H，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：对于直线， 当时，， ∴点M的坐标为， 可设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴点，， ∴，， ∴， 设（其中A为定值）， ∴， 即， ∴且， 解得：． 【点拨】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到新定义、一次函数的性质、待定系数法求函数表达式，数据处理是本题的难点． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4． （1）求b的值和点D的坐标； （2）已知P是坐标平面内一点，连接，，，所得的，的面积分别为，设； ①若点P的坐标为，求k的值； ②如图（2），点P的坐标为，且位于四边形BODE内，若k为定值，请求出这个定值，若不是请说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②存在， 【分析】本题考查了一次函数—几何综合问题，求函数解析式，解题关键是过动点向x轴，y轴作垂线． （1）将点E代入中即可得点E的坐标，将点E代入即可求解； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴，求出,,则，，即可得到 ，求出，则，即可得到答案； ②过点P作轴交直线于点M，作轴交直线于点N，过点E作轴，可得，由此即可得 ，，将， ，代入即可求解； 解：（1）解：点E在直线上，点E的横坐标为4， ∴， ， 点E在直线上， ∴， ， ∴， 直线与x轴交于点D， 当时，， 解得， ； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴，如图： ∵点P的坐标为， ， 直线与x轴，y轴分别交于两点， ， ,, ，， , ，， ， ， ，， ， ； ②过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴如图： ， 直线与x轴，y轴分别交于两点， ， ,, , ，， ， ， ，， ， ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 （1）若直线与直线有交点，求的面积； （2）在（1）的条件下，y轴上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点P的坐标为或 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点C作于点E，于点D，将点代入得，则直线的表达式为，进而可求出点，点，则，，再根据点得，，据此可得的面积； 先求出，设点P的坐标为，则，进而得，进而得，由此解出或，则点P的坐标为或 解：（1）解：过点C作于点E，于点D，如图所示： 线与直线有交点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 对于，当时，， 当时，，解得：， 点，点， ，， 点， ， ； （2）存在． ，， ， 点P在y轴上， 设点P的坐标为， ， ， 当的面积与的面积相等时， ， ， 或， 点P的坐标为或， 即当点的坐标为或时，的面积与的面积相等． 【变式3】（25-26八年级下·山东淄博·月考）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数图象与交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）求的表达式； （3）在上是否存在一点使得的面积是的面积的倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）或． 【分析】（）将点代入直线的解析式求出，再令中，求出与轴的交点； （）设正比例函数的解析式为，将点代入求出，得到的表达式为； （）先求出与轴交点，算出，进而得到；分析可知点D在上方或点D在下方，然后分情况讨论，即可获得答案． 解：（1）解：∵ 点在直线上， 将代入得：， 解得， ∵是与轴的交点， 将代入，得：，解得， ∴； （2）解：∵是正比例函数，设解析式为， 将代入得：，解得， ∴的表达式为； （3）解：∵是与轴交点， 令得，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D在上方或点D在下方， ∵在上，可设， 当点D在上方时，， 即，解得， ∴， 当点D在下方时，， 即，解得或（舍去）， ∴， 综上，存在符合条件的点，坐标为或． 三.同步检测 （三）解答题（12题） 1．（24-25八年级上·甘肃白银·月考）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． （1）求一次函数的表达式； （2）一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点的坐标或． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数交点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法计算一次函数解析式即可； （2）设点，再确定点坐标，易知，然后根据三角形面积公式求解即可． 解：（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴可有，解得， ∴点的坐标； ∵一次函数的图像过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）存在，理由如下： 设点， ∵点P在一次函数的图象上 ∴ 对于一次函数，令， 则有，解得， ∴点，故， 根据题意可知：， ∴ 解得， 当时，，解得 当时，，解得 ∴点的坐标或． 2．（24-25八年级下·山东济宁·月考）已知一次函数的解析式为，其图象过点． （1）求m、n的值，并画出此一次函数的图象： （2）在y轴上是否存在点C，使得的值最小?若存在，标出点C的位置，并求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，最短路径问题，将点代入函数解析式是解题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数解析式即可求出m、n的值，再通过两点确定一条直线画出函数图象。 （2）利用轴对称的性质找到点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交点即为C点，再通过求直线的解析式来确定C点坐标． 解：（1）解：一次函数，图象过点，， ，解得，， ，解得， 如图，过两点画直线； （2）如图，点关于y轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为，将代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令，， 点C的坐标为． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线上的动点，过点B作直线的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连接． （1）当点P在线段上时， ①求证：； ②若点P为的中点，求的面积． （2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见分析，②；（2）或或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定，坐标与图形是解题的关键． （1）①根据一次函数解析式得出，根据垂直关系以及等角的余角相等，得出，进而证明； ②由①知：，则，直线的解析式为：，同理可得：直线的解析式为：，联立得出，进而根据三角形面积公式即可求解； （2）分当点在线段上时，当点在的延长线上时，根据等腰三角形的定义，即可求解． 解：（1）①证明：当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：，点是 的中点， ， 由①知：， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， 同理可得：直线的解析式为：， 由得， ， ， ； （2）解：如图1，    当点在线段上时， 若，由于，则有， 即当时，是等腰三角形；， 若，由于，则有， 过点C作轴于点H，显然， 即不可能， 当是等腰三角形时，只有， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，    当点在的延长线上时， 同理可得：， 综上所述：或或． 4．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，四边形是菱形，点在轴的负半轴上，直线交轴于点．； （1）求菱形的周长； （2）动点从点出发，沿线段方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动．设的面积为，点的运动时间为秒，求关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）； （3）平面直角坐标系内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）菱形的周长为；（2）；（3）存在，点的坐标有或或，理由见详解 【分析】（1）如图所示，过点作轴于点，在中，可求出的长，根据菱形的性质即可求解； （2）用含的式子表示出的长，运用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标，根据三角形的面积即可求解； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①如图所示，以为对角线，四边形为平四边形；②如图所示，以为对角线，四边形为平四边形；③如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形；根据平行四边形的性质，图形结合，即可求解． 解：（1）解：如图所示，过点作轴于点，    ∵， ∴，， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， ∴菱形的周长为． （2）解：点的速度为个单位/秒，时间为秒， ∴，， ∵点在线段上， ∴， ∴，解得，， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴，则， ∵，即， ∴． （3）解：存在，点的坐标有或或，理由如下： 根据题意，设， ①如图所示，以为对角线，四边形为平四边形，    ∴，，且，， ∴； ②如图所示，以为对角线，四边形为平四边形，    ∴，，且，， ∴； ③如图所示，以为对角线，四边形是平行四边形，    ∴，，且，， ∴； 综上所示，点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标有或或． 【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，一次函数图像的性质的综合，掌握菱形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质等知识的综合运用是解题的关键． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值与一次函数解析式； （2）在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，，， 【分析】（1）根据正比例函数过，可得，设一次函数解析式为（k≠0）．把，代入，即可求解； （2）先求出AB=5，然后分两种情况：或，即可求解． 解：（1）解：∵正比例函数过， ， ， ∴点， 设一次函数解析式为（k≠0）． 将，代入，得 ， ， ∴一次函数解析式为． （2）（2），， ， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若， 设，则， 解得：或-1， ，； ②若，则， ， 综上，，，． 【点拨】本题主要考查了一次函数的性质和图象，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图象，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键． 6．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H． （1）请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________． （2）平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积． （3）点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】（1）由平移的性质即可求得点N，M的坐标，根据待定系数法即可求得直线的表达式； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；对于直线的解析式为，令，求出，则，过点M作轴于F，则，，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 解：（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 故答案为：， （2）解：过点M作轴于F， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平移的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 7．（24-25八年级下·广东梅州·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接并延长交于点，设运动时间为（）． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）设四边形的面积为（），求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，． 【分析】（）证明得，由时，四边形是平行四边形，得到，解方程即可求解； （）由勾股定理得，进而得，得到，又可得，即可由求解； （）过点作于，取中点，连接，则，，由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线可得，由可得，进而得，即可得到为的中位线，即得，据此即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形中位线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 解：（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：存在，理由如下： 过点作于，取中点，连接，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴． 8．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． （1）求折痕所在直线解析式． （2）将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． （3）点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】（1）求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形；当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形；当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积； （3）分两种情况讨论：当时，此时，；当时，此时，． 解：（1）解：， 解得，， ∵的长分别是方程的两个根（）， ∴，， 由折叠可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，即； 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为； （3）当时，，此时， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴M点与P点关于对称， ∴； 综上所述：或． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，正方形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键． 9．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； （3）当的面积为时，求的值； （4）是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）存在， 【分析】（）根据三角形的面积公式及题意即可求解； （）分， 和解答即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式解答即可求解； （）求出矩形的面积，可得当的面积等于矩形面积的时，，进而即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：（1）解：∵矩形中， ∴，， 当点在上运动时，， ∴ ， ∵点在上运动， ∴自变量的取值范围为， ∴； （2）解：当时，； 当时，； 当时，， ∴； 综上，； （3）解：当时，由，解得； 由，解得， ∴的值为或； （4）解：存在，理由如下： ∵， ∴当的面积等于矩形面积的时，， ∵时，， ∴存在，使得的面积等于矩形面积的． 10．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为． （1）当直线l经过原点O时，求它的表达式； （2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； （3）在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）说明见分析；（3）存在；或 【分析】（1）将原点坐标代入解析式可k的值，即可求解； （2）由题意可得点，当时，，则可得不论k为何值，直线l总经过点C； （3）由的面积等于矩形的面积的一半，即，即可求解． 解：（1）解：∵直线l经过原点， ∴把点代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）由题意可知，点C的坐标为， 当时，， ∴不论k为何值，直线l总经过点C； （3）存在，理由： 设点，由点A、B、C、D的坐标知，，，， ∵的面积等于矩形的面积的一半，即， 即，则， 则点或． 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段的长度为_____； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）求点E的坐标； （4）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10；（2）；（3）；（4）存在， 【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式； （3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标； （4）根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可． 解：（1）解：由题意，得：点的坐标为，，， ， 故答案为：10； （2）解：设，则，，， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 设直线所对应的函数表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线所对应的函数表达式为； （3）解：过点E作轴于点F，如图所示． ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． （4）解：存在， 如图所示，由，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ∴存在，点P的坐标为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题． 12．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且． （1）求直线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在；或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，菱形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）由一元二次方程，求出，，再用待定系数法可得直线解析式为； （2）根据把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，可证明，设，则，有，解得，即得，直线解析式为，设，可得，即可解得； （3）设，，分三种情况：当为对角线时，的中点即为的中点，且，即得，当，为对角线时，的中点即为的中点，且，，当为对角线时，的中点重合，且，，分别解方程组可得答案． 解：（1）解：由一元二次方程， 得或， ，， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为； （2）解：把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处， ， 在矩形中，与平行， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 由，， 同（1）得：直线解析式为， 设， 由折叠可知， ， 解得（不符合题意，舍去）或， ； （3）解：在坐标平面内存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，， 而，， 当为对角线时，的中点即为的中点，且， ， 解得， ； 当，为对角线时，的中点即为的中点，且， ， 解得或， 或（此时M和C重合，舍去）； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 综上所述，P的坐标为或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $