23.2 一次函数的图象和性质（第2课时）教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该教案聚焦一次函数的图象和性质，通过回顾正比例函数的图象、性质及研究方法导入，搭建从特殊到一般的学习支架，明确“画图象—观特征—归纳性质”的探究路径。 资料亮点在于以具体函数（如y=-3x与y=-3x+1）为载体，通过画图、观察表格与图象培养几何直观，代数推理证明增减性发展推理意识，归纳平移规律与性质形成模型意识，如用两点法和平移法画图，助力学生理解数形结合，提升教师教学针对性与学生学习效率。

23.2　一次函数的图象和性质（第2课时） 教学目标 　　1．经历一次函数图象的探究过程，理解一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与正比例函数y＝kx（k≠0）图象之间的平移关系，能使用“两点法”或“平移法”画一次函数的图象，发展几何直观． 2．类比正比例函数的研究方法，探究一次函数的图象特征及性质，理解k＞0和k＜0时图象的变化情况，体会数形结合的思想，感受从特殊到一般的学习方法． 教学重点 　　一次函数的图象和性质． 教学难点 一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝kx图象的平移关系． 教学过程 新课导入 【问题】上节课我们学习了正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质．请同学们回忆一下：正比例函数的图象是什么形状？正比例函数的增减性由什么决定？ 【师生活动】学生回顾上节课所学，集体口答：正比例函数的图象是一条过原点的直线；当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 【追问1】我们知道正比例函数是特殊的一次函数，那么对于一般的一次函数y＝kx＋b（k≠0），你想从哪些方面研究它？ 【师生活动】师生交流，教师在黑板上梳理并列出探究问题：一次函数的图象是什么形状？和正比例函数的图象有什么关系？一次函数具有哪些性质？ 【追问2】依据上节课的经验，你认为应该如何研究一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象和性质呢? 【师生活动】教师引导学生类比之前的学习，确定一次函数的研究路径：画函数图象一观察图象特征一归纳概括函数性质． 【设计意图】通过回顾正比例函数的图象、性质与研究方法，激活学生已有知识经验，为一次函数的学习作好铺垫． 新知探究 【问题1】画出函数y＝－3x与y＝－3x＋1的图象． 【师生活动】学生计算并填写学习任务单上的表格，在同一个平面直角坐标系中描点，连线，画出两个函数的图象． 【答案】解：函数y＝－3x与y＝－3x＋1中的自变量x可为任意实数，列表表示几组对应值． 描点、连线，画出函数y＝－3x与y＝－3x＋1的图象． 【追问1】观察表格中每一列的两个函数值，你有什么发现？ 【师生活动】学生自主观察表格，发现：对于任意一个自变量x的值，两个函数的函数值总是相差1． 【追问2】为什么会相差1？你能用解析式来解释吗？ 【师生活动】学生容易发现：因为两个函数的解析式其他部分完全一样，仅在常数项相差1，所以不管x取什么值，y＝－3x＋1比y＝－3x总是大1． 【追问3】这个特点反映在图象上，又会呈现出怎样的位置关系和变化规律呢？ 【师生活动】学生容易发现：不论横坐标取什么值，两个函数图象上相应点的纵坐标总是相差1． 【追问4】观察你画出的两个函数的图象，完成下列填空： （1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ． （2）函数y＝－3x的图象经过原点，函数y＝－3x＋1的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y＝－3x向 平移 个单位长度而得到． 【师生活动】学生思考后在学习任务单上填写，填写后小组交流，小组代表汇报结果． 【答案】（1）这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同； （2）函数y＝－3x＋1的图象与y轴交于点（0，1），即它可以看作由直线y＝－3x向上平移1个单位长度得到． 【追问5】比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？ 【师生活动】师生共同明确：两个函数的解析式仅在常数项相差1，因此，当自变量取相同数值时，对应的函数值始终相差1．体现在图象上，无论横坐标取何值，两个函数对应点的纵坐标总相差1，说明两直线形状、倾斜程度完全相同，其中一条直线整体向上平移1个单位长度，就能得到另一条直线． 【追问6】联系上面结果，考虑一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是什么形状，它与直线y＝kx（k≠0）有什么关系． 【师生活动】教师提醒学生注意的k正负产生的影响，学生独立思考，组内交流讨论，小组代表发言，教师点评完善． 【归纳】一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象可以由直线y＝kx平移｜b｜个单位长度得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）． 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b． 【设计意图】遵循“由特殊到一般”的研究路径，通过具体函数探究平移规律，再推广到一般的一次函数，帮助学生理解其图象特征及与正比例函数的位置关系，渗透数形结合的数学思想． 例题精讲 【例1】画出函数y＝2x－1与y＝－0.5x＋1的图象． 【师生活动】学生在学习任务单上自主完成画图，教师巡视指导，注意收集学生的不同画法（如描多个点，描两个点，平移相应正比例函数的图象）进行展示．教师对各类画法均予以肯定，并顺势引导学生明确：和正比例函数一样，一次函数的图象是直线，只需确定两个点即可画出图象． 【答案】解：（方法一）用两点法画图． 列表表示当x＝0，x＝1时两个函数的对应值． 过点（0，－1）与（1，1）画出直线y＝2x－1； 过点（0，1）与（1，0.5）画出直线y＝－0.5x＋1． （方法二）用平移法画图． 先画出正比例函数y＝2x和y＝－0.5x的图象，由y＝2x的图象向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，由y＝－0.5x的图象向上平移1个单位长度，得到y＝－0.5x＋1的图象． 【归纳】1.直线y＝kx＋b（k≠0）与y轴交点的坐标是（0，b）． 2.画一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象时，通常取两个特殊点，如（0，b）和（1，k＋b）． 用两点法画具体的一次函数时，应结合它的解析式进行选点． 【设计意图】通过例题，帮助学生进一步理解一次函数与正比例函数图象之间的平移关系，同时培养学生多角度思考问题的习惯，提高灵活选择画图方法的能力． 新知探究 【引导语】我们已经明确一次函数的图象是一条直线，也掌握了它和正比例函数图象的平移关系．那么，这条直线的走势，也就是函数的增减性，由什么决定呢？ 【问题2】画出函数y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律． 【师生活动】学生在同一平面直角坐标系中画出上述函数图象．教师巡视，指导学生合理取点，规范作图． 教师引导学生观察这四个图象从左向右的变化趋势，发现：y＝2x＋1和y＝x＋1的图象从左向右上升，y＝－2x＋1和y＝－x＋1的图象从左向右下降． 【追问1】猜想对于一般的一次函数y＝kx＋b（k≠0），k的正负对函数图象有什么影响？你能进而归纳出一次函数的性质吗？ 【师生活动】学生组内交流讨论，小组代表发言：当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降，y随x的增大而减小． 【追问2】请你利用不等式的性质，从代数角度证明一次函数的增减性． 【师生活动】教师引导学生回顾上节课证明正比例函数增减性的方法，学生尝试在学习任务单上完成证明，教师在黑板上规范板书证明过程． 设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b． x2－x1＞0，y2－y1＝kx2＋b－（kx1＋b）＝kx2－kx1＝k（x2－x1）． 若k＞0，y2－y1＞0，y2＞y1； 若k＜0，y2－y1＜0，y2＜y1． 因此，若k＞0，一次函数y＝kx＋b随自变量x的增大而增大； 若k＜0，一次函数y＝kx＋b随自变量x的增大而减小． 【设计意图】类比正比例函数的研究思路，通过几何直观和代数推理，帮助学生从“数”和“形”两方面加深对一次函数增减性的理解，感受比例系数k对一次函数性质的影响． 例题精讲 【例2】直线y＝2x－3与x轴交点坐标为_____，与y轴交点坐标为______，经过_____象限，y随x的增大而______． 【师生活动】教师首先引导学生回顾坐标轴上点的特征：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0．学生自主求出直线y＝2x－3分别与x轴和y轴的交点坐标，并借助这两点画出y＝2x－3的图象，明确直线经过的象限，以及它的增减性． 【答案】（，0）；（0，－3），第一、三、四；增大． 【归纳】一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与性质． 课堂练习 1．分别在同一平面直角坐标系中画出（1）（2）中各函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系． （1）y＝x－1，y＝x，y＝x＋1； （2）y＝，y＝－x－1，y＝－2x－1． 【师生活动】学生在学习任务单上完成练习，教师讲评． 【答案】解：（1）中各函数图象如图所示． 三条直线互相平行． （2）中各函数图象如图所示． 三条直线都经过（0，－1）． 【归纳】（1）对于函数y＝kx＋b1与y＝kx＋b2（k≠0，b1≠b2），两函数图象是互相平行的两条直线． （2）对于函数y＝k1x＋b（k1≠0）与y＝k2x＋b（k2≠0），两函数图象都过点（0，b）． 2．已知一次函数y＝4x＋7，当x＞2时，利用函数的性质，求函数值y的取值范围． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师讲评． 【答案】当x＝2时，y＝4×2＋7＝15． 在一次函数y＝4x＋7中，k＝4＞0， ∴ y随x的增大而增大， ∴ 当 x＞2时，y＞15． 【设计意图】通过练习，帮助学生加深对一次函数图象和性质的理解，并在解决问题中，加强知识迁移与画图能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．如何画一次函数的图象？ 2．一次函数的图象与正比例函数的图象有什么关系？ 3．一次函数有什么性质？ 【思维导图】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第124页习题23.2第3，6，7，8题． 学科网（北京）股份有限公司 $