23.2 一次函数的图象和性质（第2课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数的图象和性质，通过回顾正比例函数图象与增减性，引导学生提出一般一次函数的研究方向，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是采用画图探究与对比分析，如通过y=-3x与y=-3x+1的图象观察平移关系，结合代数证明增减性，培养几何直观与推理能力，表格总结性质清晰，助力学生理解，方便教师教学。

一次函数的图象和性质（第2课时） 数学人教版八年级下册 1 上节课我们学习了正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象和性质．请同学们回忆一下：正比例函数的图象是什么形状？正比例函数的增减性由什么决定？ 正比例函数的图象是一条过原点的直线． 当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小． y x O k＞0 k＜0 问题 我们知道正比例函数是特殊的一次函数，那么对于一般的一次函数 y＝kx＋b（k≠0），你想从哪些方面研究它？ 正比例函数的图象 一条直线 一次函数的图象 两者之间有什么联系？ 猜想 一条直线 一次函数的性质 怎么研究？ 画函数图象—观察图象特征—概括函数性质 问题 x ... －1 －0.5 0 0.5 1 ... y＝－3x ... 0 －3 ... y＝－3x＋1 ... 1 －2 ... －0.5 －1.5 画出函数 y＝－3x 与 y＝－3x＋1 的图象． 解：函数 y＝－3x 与 y＝－3x＋1 中的自变量 x 可为任意实数，列表表示几组对应值． 3 4 1.5 2.5 问题1 描点、连线，画出函数 y＝－3x 与 y＝－3x＋1 的图象． 画出函数 y＝－3x 与 y＝－3x＋1 的图象． 问题1 y＝－3x －2 1 2 3 4 x O －1 －3 －4 5 －5 y 3 2 1 4 5 －1 －2 －3 －4 －5 y＝－3x＋1 画出函数 y＝－3x 与 y＝－3x＋1 的图象． 思考：观察表格中每一列的两个函数值，你有什么发现？ ＋1 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1 对于任一 x，两个函数的函数值总是差 1． 为什么差1？能用解析式解释吗？ 其他部分完全一样，仅在常数项差1 问题1 画出函数 y＝－3x 与 y＝－3x＋1 的图象． 思考：这个特点反映在图象上，又会呈现出怎样的位置关系和变化规律？ ＋1 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1 其他部分完全一样，仅在常数项差1 不论横坐标取什么值，两个函数图象上相应点的纵坐标总是相差1． 问题1 观察你画出的两个函数的图象，填空： （1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ． （2）函数 y＝－3x 的图象经过原点，函数 y＝－3x＋1的图象与 y 轴交于点 ，它可以看作由直线 y＝－3x 向 平移 个单位长度而得到． 直线 相同 （0，1） 上 1 问题1 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？ y＝－3x＋1 y＝－3x 两个解析式仅在常数项上差1，其余部分完全相同 自变量 x 取相同值 无论横坐标取何值 对应的函数值始终差1 对应点的纵坐标总差1 两直线形状、倾斜程度完全相同,一条直线整体向上平移1个单位长度，就能得到另一条直线． 问题1 联系上面结果，考虑一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的图象是什么形状，它与直线 y＝kx（k≠0）有什么关系． 一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的图象可以由直线 y＝kx（k≠0）平移｜b｜个单位长度得到，当 b＞0 时，向上平移；当 b＜0 时，向下平移． 一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线 y＝kx＋b． 问题1 例1　画出函数 y＝2x－1 与 y＝－0.5x＋1 的图象． 分析：和正比例函数一样，一次函数的图象是直线，只需确定两个点即可画出图象． 解：（方法一）用两点法画图 列表表示当 x＝0，x＝1 时两个函数的对应值． x 0 1 y＝2x－1 －1 1 y＝－0.5x＋1 1 0.5 例1　画出函数 y＝2x－1 与 y＝－0.5x＋1 的图象． 解：（方法一）用两点法画图 列表表示当 x＝0，x＝1 时两个函数的对应值． x y O －1 1 －2 2 －1 1 －2 2 y＝2x－1 y＝－0.5x＋1 －1 1 －2 2 例1　画出函数 y＝2x－1 与 y＝－0.5x＋1 的图象． 先画正比例函数 y＝2x 的图象，再向下平移 1 个单位长度，得到 y＝2x－1 的图象． 先画正比例函数 y＝－0.5x 的图象，再向上平移 1 个单位长度，得到 y＝－0.5x＋1 的图象． 解：（方法二）用平移法画图 x y O －1 1 －2 2 y＝2x y＝－0.5x y＝2x－1 y＝－0.5x＋1 1. 直线 y＝kx＋b（k≠0）与 y 轴交点的坐标是（0，b）． 2. 画一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的图象时，通常取两个特殊点，如（0，b）和（1，k＋b）． 用两点法画具体一次函数图象时，应结合解析式进行选点． 归纳 我们已经明确一次函数的图象是一条直线，也掌握了它和正比例函数图象的平移关系．那么，这条直线的走势，也就是函数的增减性，由什么决定呢？ 画出函数 y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1 的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律． 解：列表表示当 x＝0，x＝1时函数的对应值． x 0 1 y＝x＋1 1 2 y＝－x＋1 1 0 y＝2x＋1 1 3 y＝－2x＋1 1 －1 －2 1 2 3 4 y x O 1 2 3 －1 －2 －3 －1 －3 －4 y＝x＋1 y＝－x＋1 y＝－2x＋1 y＝2x＋1 问题2 －2 1 2 3 4 y x O 1 2 3 －1 －2 －3 －1 －3 －4 y＝x＋1 y＝－2x＋1 y＝2x＋1 画出函数 y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1 的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律． y＝x＋1 和 y＝2x＋1 的图象从左向右上升 y＝－x＋1 和 y＝－2x＋1的图象从左向右下降 一次项系数k分别是多少？ y＝－x＋1 问题2 －2 1 2 3 4 y x O 1 2 3 －1 －2 －3 －1 －3 －4 y＝x＋1 y＝－x＋1 y＝－2x＋1 y＝2x＋1 画出函数 y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1 的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律． y＝x＋1 k＝1 y＝2x＋1 k＝2 y＝－x＋1 k＝－1 y＝－2x＋1 k＝－2 k＞0 k＜0 k的正负与图象的升降有什么关系？ 问题2 －2 1 2 3 4 y x O 1 2 3 －1 －2 －3 －1 －3 －4 y＝x＋1 y＝－x＋1 y＝－2x＋1 y＝2x＋1 画出函数 y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1 的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律． 当 k＞0 时，直线 y＝kx＋b 从左向右上升，y 随 x 的增大而增大 当 k＜0 时，直线 y＝kx＋b从左向右下降，y 随 x 的增大而减小 问题2 请你利用不等式的性质，从代数角度证明一次函数的增减性． 证明：设 x1，x2 为任意两个实数，且 x1＜x2， 则 y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b． x2－x1＞0， y2－ y1＝kx2＋b－（kx1＋b）＝kx2－kx1＝k（x2－x1）． 若 k＞0，y2－ y1 ＞0，y2＞y1 ； 若 k＜0，y2－ y1＜0 ，y2＜y1 ． 因此，若 k＞0，一次函数 y＝kx＋b 随自变量 x 的增大而增大； 若 k＜0，一次函数 y＝kx＋b 随自变量 x 的增大而减小． 问题2 例2　直线 y＝2x－3 与 x 轴交点坐标为______，与 y 轴交点坐标为________，经过 象限，y 随 x 的增大而______． 分析： x 轴上点的纵坐标为0 y 轴上点的横坐标为0 由 k 值决定 令 y＝0，则 x＝ 令 x＝0，则 y＝－3． （0，－3） －2 －3 y O －1 1 x －1 1 2 －2 第一、三、四 增大 直线 y＝2x－3 的图象如图所示． 归纳 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与性质 k 的符号 k＞0 k＜0 b 的符号 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图象 图象经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 图象形状 从左向右上升的直线 从左向右下降的直线 增减性 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 y x O y x O y x O y x O y x O y x O （0，b） （0，b） （0，b） （0，b） －2 1 2 3 4 y x O 1 2 3 －1 －2 －3 －1 －3 －4 　　1．分别在同一平面直角坐标系中画出（1）（2）中各函数的图象． 并指出每小题中三个函数的图象有什么关系． （1）y＝x－1，y＝x，y＝x＋1； 解：列表表示当 x＝0，x＝1 时函数的对应值． y = x y = x－1 y = x + 1 x 0 1 y＝x－1 －1 0 y＝x 0 1 y＝x＋1 1 2 三条直线互相平行 解：图象如图所示． 　　1．分别在同一平面直角坐标系中画出（1）（2）中各函数的图象． 并指出每小题中三个函数的图象有什么关系． （2） y＝－x－1，y＝－2x－1． y = －x － 1 y = －2x － 1 三条直线都经过点（0，－1） －1 －2 －2 －1 1 2 3 4 y x O 1 2 3 －3 －3 －4 　　2．已知一次函数 y＝4x＋7，当 x＞2 时，利用函数的性质，求函数值 y 的取值范围． 解： 当 x＝2 时，y＝4×2＋7＝15． 在一次函数 y＝4x＋7 中，k＝4＞0， ∴ y 随 x 的增大而增大， ∴ 当 x ＞ 2 时，y ＞ 15. 一次函数 y＝kx＋b（k≠0） 图象形状 当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大 当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小 性质 一条直线，称为直线 y＝kx＋b 画图方法 两点法 平移法 $