第3章 圆的基本性质考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练 2026-2027学年九年级数学上册（浙教版）

**基本信息** 以圆的定义为起点，构建“概念-性质-定理-应用”四层逻辑体系，通过基础到优质三级题型实现方法迁移与综合能力提升。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|10类（点与圆位置关系等）|概念辨析与判定（d与r关系）|从圆的定义衍生弦、弧等概念，形成点与圆位置关系判定逻辑| |性质定理|8类（垂径定理等）|五条件互推（垂径定理）、三类情况证明（圆周角定理）|通过对称性推导垂径定理，由圆心角延伸至圆周角关系| |计算应用|8类（弧长扇形面积等）|勾股定理（r²=d²+(a/2)²）、公式互化（S扇形=1/2lR）|结合几何性质与代数运算，实现长度、面积计算| |综合拓展|3类（月考/期中/期末）|模型应用（阿基米德折弦定理）、跨知识整合（圆与正多边形）|融合实际问题与创新题型，体现数学眼光与思维的综合运用|

第3章 圆的基本性质 思维导图 3.1 圆的有关概念 1. 圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径。圆也可以看作是平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周所形成的封闭曲线。 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。 2. 与圆有关的基本概念 · 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径长度等于半径的2倍。 · 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧（优弧一般用三个字母表示，如）。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 · 等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 · 点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP=d，则：点P在圆内 ⇔ d<r；点P在圆上 ⇔ d=r；点P在圆外 ⇔ d>r。 3.2 圆心角 1. 圆心角的定义 顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的两边与圆相交，圆心角的度数等于它所对弧的度数。 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 · 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 · 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：该定理的前提条件是“同圆或等圆”，脱离这个前提条件，结论不成立；相等的圆心角所对的弧相等，这里的弧指的是同类型的弧（同为劣弧或同为优弧）。 3.3 垂径定理 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合。 2. 垂径定理及其推论 · 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 总结：对于一个圆和一条直线来说，如果满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，这五个条件中任意两个，就可以推出另外三个结论。 垂径定理的常用计算：圆的半径r，圆心到弦的距离d，弦长a，三者满足关系：()² + d² = r²，知道其中任意两个量就可以求出第三个量。 3.4 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角需要满足两个条件：顶点在圆上；两边都与圆相交。 2. 圆周角定理及其推论 · 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，即同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半。 · 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 · 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3. 圆周角定理的证明思路 分三种情况讨论：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部，后两种情况都可以转化为第一种情况证明。 3.5 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角（即四边形的一个外角等于和它不相邻的内对角）。 性质推论：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.6 正多边形 1. 正多边形与圆的关系 把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 n边形的中心角计算公式为：αₙ=。 2. 正多边形的性质 · 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 · 边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 · 正多边形的各边相等，各角相等。 3.7 弧长及扇形面积 1. 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l = 。 说明：公式中n表示圆心角的度数，n和180都不带单位，当n=180°时，弧长l=πR，也就是半圆的弧长，和圆周长公式一致；已知l、n、R中任意两个量，就可以求出第三个量。 2. 扇形面积公式 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形的计算公式为：S扇形=；结合弧长公式，扇形面积还可以表示为：S扇形= l R，其中l是扇形的弧长，R是圆的半径。 两个公式的联系与区别：第一个公式用圆心角度数和半径计算面积，第二个公式用弧长和半径计算面积，二者可以互相推导。 3. 弓形面积的计算 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形面积可以通过扇形面积减去三角形面积（劣弧弓形）或扇形面积加上三角形面积（优弧弓形）计算： · 当弓形所对的弧是劣弧时：S弓形=S扇形-S三角形 · 当弓形所对的弧是优弧时：S弓形=S圆-S劣弧弓形=S扇形（优弧）+S三角形 【类型一】点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 【答案】C 【详解】解：∵点到圆心的距离大于半径， ∴该点在圆外． 2．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 3．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 【类型二】确定圆的条件 1．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 2．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 3．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 【类型三】三角形的外接圆 1．下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点， 2．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 3．是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 【分析】直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 【类型四】垂径定理求值 1．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 2．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 3．如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 【答案】4 【分析】利用垂径定理平分弦，算出；利用直角三角形内角和、等边对等角逐步推导；依托直角三角形性质和勾股定理列方程，求解半径． 【详解】解：连接，设直径与弦交于垂足． 是直径，， 垂直平分， ． ， ， 在中，， ． ， ， ． 在中，，， ． 设半径，则． 由勾股定理：， 代入得： ， ． 的半径长为4． 【类型五】圆心角的认识及求解 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 3．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 【类型六】圆周角的认识 1．判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 2．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【类型七】圆内接四边形求解 1．如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 2．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 3．如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 【类型八】正多边形的中心角及边数 1．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 2．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 3．已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于____________． 【答案】/度 【分析】先根据已知外角度数求出正多边形的边数，再代入中心角公式计算即可． 【详解】解：任意正多边形的外角和为，该正多边形的一个外角等于， 该正多边形的边数为 ． 又正边形的中心角为， 该正多边形的中心角为． 【类型九】求弧长、扇形半径、圆心角 1．如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，在圆上取点，连接，，由圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算得到答案． 【详解】解：如图，在圆上取点，连接，， ，四边形是的内接四边形， ， ， 的长为：． 2．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 3．已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】 /30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 【类型十】求扇形面积、弓形面积 1．如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，， ， ， 扇形的面积． 2．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 3．如图，等边三角形内接于⊙O，，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】根据内接于圆O的等边三角形的性质可得，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解． 【详解】解：∵等边三角形内接于， ∴点O为等边三角形的中心， ∴， ∵， ∴． 【类型一】垂径定理中的平行弦问题 1．已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． 2．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 3．的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：当两条平行弦在的同侧时和当两条平行弦在的异侧时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当两条平行弦在的同侧时，如图，过点作于点，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当两条平行弦在的异侧时，如图，过点作于点，于，连接， ∵，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴共线， ∴， 综上，这两条平行弦之间的距离为或， 故答案为：或． 【类型二】圆弧的度数 1．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 2．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 3．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 【类型三】圆周角定理 1．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 2．如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 3．如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【答案】 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 【类型四】正多边形与圆综合 1．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 2．在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 3．如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________． 【答案】/45度 【分析】根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得，从而求解． 【详解】解：四边形是的内接正方形， ， 与都是所对的圆周角， ． 【类型五】垂径定理的应用 1．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【答案】D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 2．如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 【答案】 【分析】连接，由为中点，为最高点可得，，设圆半径为，则，，在中，由勾股定理得，代入数据整理即可得到与的关系 【详解】解：连接， ∵为中点，为月亮门最高点， ∴，， ∴， 设圆的半径长为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∵为月亮门底部的宽度， ∴， ∴， ∴． 3．某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动． 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 (1)请求出抛物线 的解析式； (2)求出圆弧 所在圆的半径； 【应用模型】 (3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1) (2)圆弧 所在圆的半径为 (3)锅盖能正常盖上 【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径； （3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上． 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴圆弧 所在圆的半径为； （3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接， 由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称， ∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴锅盖能正常盖上． 【类型六】弧、弦、圆心角的求解与证明 1．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 2．如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 【答案】 【分析】连接，由得到，根据，得到，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 3．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 【类型七】尺规作图—确定圆心 1．如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 2．如图，在中，，以为直径的圆经过，，三点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的中点为，直线与交于点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点A，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点F，M，则直线是的垂直平分线，交于点O，则点即为所求； （2）连接，，，先说明，即可得出，可得进而求出，再说明为等边三角形，即可得出，然后求出，最后解直角三角形可得答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，连接，，， ∵是的直径， ∴． 在与中， ． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ． 的中点为 ∴直线垂直平分 ∴， 在中， ． 3．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 【答案】(1) (2) (3)外 (4) 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； （4）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，圆锥的侧面展开图的扇形圆心角，再根据圆锥底面底面周长等于侧面展开图扇形弧长即可求出半径． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示：， （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 设圆锥底面的半径为，可得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 【类型八】尺规作图一正多边形与圆 1．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】略 2．如图，在正五边形中，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作一条与边平行的线段． (2)在图2中作出线段，使得． 【答案】(1) 解：如图所示， 即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求， 【分析】（1）连接即为所求； （2）延长交于点，连接交于点，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 3．按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求； (2) 如图所示： 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）略 （2）略 【类型一】圆的折叠问题 1．将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案． 【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图， ∵C为折叠后的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，, ∴， ∵沿折叠得到，， ∴点C和点D关于对称， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，为半圆O的直径，C为半圆弧上一动点，将弧沿弦折叠，折叠后的弧与交于点D，E为折叠后的弧的中点，连接，若，则线段CE的长为（　　）    A． B． C． D．点C、O、E共线时，CE的长最大 【答案】B 【分析】设的弧度为，可得的弧度为：，于是的弧度为：，求得的弧度为，由中点，得的弧度为，从而的弧度为，根据勾股定理，求得． 【详解】解：设的弧度为， ∴的弧度为：， ∵， ∴的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， ∴的弧度为：， ∵点E为弧中点， ∴的弧度为：， ∴的弧度为：， 即所对圆心角为90°， ∵， ∴⊙O半径为2， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，圆心角的计算，勾股定理；由圆周角定理及其推论求得等圆中等弧的度数是解题的关键． 3．某数学兴趣小组的同学用圆形纸片进行折纸操作：如图，先作出一个半径为4的，再沿弦折叠，折叠后恰好经过圆心，连接并延长交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积公式．由折叠可得，则是等边三角形，再根据计算即可． 【详解】解：如图，作于点，连接． 由折叠，可得， 是等边三角形． ，，， ， ， ， ， ． 【类型二】求不规则图形的面积 1．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 2．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设与相交于点，由圆周角定理得，即得，得到，即得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理得，得，，得，最后根据图形求出面积即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 3．如图，中，，，，以A为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点E，以B为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】求解，，利用阴影部分的面积等于两个扇形面积之和减去三角形面积的倍即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 设，， ∴，，， ∴图中阴影部分的面积为 ． 【类型三】圆锥侧面展开图最短路径 1．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 2．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，是母线的中点，则在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长为_______． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， 即展开后，，， 则在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3．综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查了求曲面上两点之间的最短距离问题和勾股定理，关键是化曲为直，把空间问题转化为平面问题是解题的关键． （1）两点之间线段最短；（2）把圆柱的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，利用勾股定理求解；（3）把圆锥的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，先利用弧长公式求圆心角度数，再用中位线定理和勾股定理求解． 【详解】解：（1）两点之间线段最短； （2）剪开后，，， 最短路线的长为； （3）圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角度数为， ，解得， 如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， 点为中点， 是的中位线， 蚂蚁爬行的最短距离为． 【类型四】阿基米德折弦定理 1．请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的中点， ， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，数形结合，合理作出辅助线是关键． （1）根据题意可证，可得，由垂直平分线得到，由即可求解； （2）如图，过点作于点，于点，连接，，，由（1）可知，可证四边形是矩形，，则，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知， 过圆心且， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务：    阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，． ∵是弧的中点， ∴．…       任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．    【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据圆的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，则，根据全等三角形的判定和性质，则，得，。再根据直角三角形的全等和判定，得，推出，即可； （2）根据等边三角形的性质，则，，根据，于点，，得；由题意得，，则折弦的长为：，即可． 【详解】（1）∵是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∵和所对的弧是， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴折弦的长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆，全等三角形，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，掌握折弦定理的运用． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家． 阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD． 小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下： 证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC，… (1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________； (3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)8+8 【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案； （2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，证明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE=EF，由此得到AE； （3）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． 又∵BA=GC，∠A=∠C， ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB=MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD=GD， ∴DC=GC+GD=AB+BD； （2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF， ∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA， ∴△DCF≌△DBA（SAS）， ∴DF=AD， 又∵DE⊥AC， ∴AE=EF， ∵CF=AB=4，AC=10， ∴AE=3； （3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD， 由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD， ∴△ABF≌ACD（SAS）， ∴AF=AD， ∵AE⊥BD， ∴FE=DE，则CD+DE=BE， ∵∠ABD=45°， ∴BE=AB=4， 则△BDC的周长=2BE+BC=8+8． 故答案为：8+8． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键． 【类型五】婆罗摩笈多定理 1．请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1) 证明：， ，即， ， ， 在中，， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； (2) 证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； (3) 【分析】（1）利用圆周角定理及直角三角形的性质得到进而推出，同理得到，根据等边对等角即可得出结论； （2）根据题意得到，进而得到，利用圆周角定理结合对顶角推出，从而得到，即可证明； （3）连接，设交于点M，先利用等腰三角形的性质结合题意易证，再利用三角形内角和定理推出，从而证明，由（1）中结论易得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到，再根据勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，设交于点M， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 由（1）中结论可得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练运用等腰三角形等角对等边的性质是解题的关键． 2．阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N． 求证：． 证明：∵，， ∴， ∴． …… 任务： (1)请完成该证明的剩余部分； (2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先根据垂直的定义和三角形内角和定理证明，再由对顶角相等和圆周角定理证明，得到，同理可证，即可证明； （2）根据圆内接四边形对角互补得到，即，再由平行线的性质得到，即可利用题中定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴； （2）解：∵四边形 为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即点N为的中点， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证明题中所给定理是解题的关键． 3．阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 【答案】(1)勾股定理；直径所对的圆周角是直角 (2)证明：于点， ， ， 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则， ， 又， ， ， ． ， ， ， ， 即等于⊙O半径平方的4倍； (3) 【分析】（1）根据勾股定理和直径所对的圆周角是直角即可解答； （2）根据圆周角定理进行线段的转换，再利用勾股定理即可解答； （3）直接利用（2）中原理即可解答． 【详解】（1）解：材料中的依据1是指勾股定理，依据2是指直径所对的圆周角是直角， 故答案为：勾股定理；直径所对的圆周角是直角； （2）略 （3）解：根据（2）中结论可得， ， 故答案为：． 【类型六】新定义圆—几何 1．定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”； 定义：如图，在中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数； (2)如图4，在中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为的光线三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）说明，可得结论； （2）①连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，，推出，再分别证明，，，可得结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和关于满足“光学性质”， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，关于满足“光学性质”， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，关于满足“光学性质”，，关于满足“光学性质”， ∴是为的光线三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，平行线的判定和性质，光线三角形的定义等知识．解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题． 2．定义1  如图1，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足将沿直线翻折后与完全重合，且，则称和关于直线满足“对称反射性质”； 定义2  如图2，在中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“对称反射性质”，和关于满足“对称反射性质”，和关于满足“对称反射性质”，则称为的光线三角形． 在中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)基础探究：如图3，若，和关于满足“对称反射性质”，求度数； (2)深化证明：如图4，在中，作于，以为直径的圆分别交于点．证明：为的光线三角形； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）说明，可得结论； （2）连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，，推出，再分别证明，，，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和关于满足“对称反射性质”， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，关于满足“对称反射性质”， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，关于满足“对称反射性质”，，关于满足“对称反射性质”， ∴为的光线三角形． 3．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【类型七】新定义圆—圆 1．对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或；③ (2)①或；② (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握函数的图象及性质，正方形性质，圆的性质，根据定义确定点在正方形边界上是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可； ②根据定义可得方程，求出的值即可； ③由定义可得，分类讨论求值即可； （2）①设，由题意可得，整理得，分别讨论当时和当时求解即可； ②点在以，，，的正方形上，再结合图象即可求解； （3）由题可知点在以为中心，边长为的正方形上，根据题意得出，讨论当时，满足即可；当时，只需即可；再利用对称性得出的情况． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由题意得：， ， 解得：或， 故答案为：或； ③点是直线上的一个动点， ， ， 当时，， 解得：， 则； 当时，恒成立， 当时，， 解得：， 则； 综上，当时，； （2）解：①点在图象上， 设， ， ， ， ，即， 当时，，解得或， 当时，，解得（舍)或（舍)； 或； ②由，， 可知点在以，，，的正方形上， 如图1，当点为时，有最小值， 当点为时，有最大值， ； （3）解：， 点在以为中心，边长为的正方形上， ，圆的半径为1， ， ， ， 当时，如图2，， ， ； 当时，如图3，只需即可， ， ； 由对称性，同理可得； 综上所述：或． 2．【阅读】 定义：以线段l的一个端点为旋转中心，将这条线段顺时针旋转，再沿水平向右的方向平移m个单位后得到线段（若，则表示沿水平向左的方向平移个单位），称线段l到线段的变换为．图1中的变换就表示线段绕点A顺时针旋转，再沿水平向右的方向平移3个单位后得到线段的过程．平移前后对应点所连线段平行且相等． 【理解】根据上述定义，线段绕点A顺时针旋转，再沿水平向右的方向平移10个单位后得到线段，则称线段到线段的变换为______． 【操作】 图2是边长为1的正方形网格，线段的端点在格点上，以A为旋转中心，在图中画出线段经过变换后的对应线段． 【应用1】 在平面的坐标系中，点A坐标为，经变换后所得的图形是线段，点B在x轴上（如图3），其中点O为旋转中心，求直线的函数关系式． 【应用2】 若将与水平方向垂直的线段经变换后所得的图形是线段（如图4），其中点A为旋转中心，，，则_____． 【答案】【理解】；【操作】见解析；【应用1】直线解析式为；【应用2】． 【分析】理解：根据题干中的定义求解即可； 操作：根据题意得到将线段顺时针旋转，再沿水平向左的方向平移2个单位后得到线段，然后画图即可； 应用1：如图所示，根据题意得，将绕点O顺时针旋转得到线段，然后向右平移2个单位得到线段，过点作轴于点D，作直线，根据题意得到，勾股定理求出，然后得到，然后利用待定系数法求解即可； 应用2：如图所示，根据题意得，绕点A顺时针旋转得到，向右平移m个单位得到线段，连接，，首先证明出四边形是平行四边形，求和求出，证明出是等边三角形，求出，得到，进而求解即可． 【详解】理解：根据题意得， ∵线段绕点A顺时针旋转，再沿水平向右的方向平移10个单位后得到线段， ∴称线段到线段的变换为； 操作：∵线段经过变换后的对应线段 ∴将线段以A为旋转中心，顺时针旋转，再沿水平向左的方向平移2个单位后得到线段 ∴如图所示， 应用1：如图所示，根据题意得，将绕点O顺时针旋转得到线段，然后向右平移2个单位得到线段，过点作轴于点D，作直线 ∵点A坐标为， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴设所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线表达式为； 应用2：如图所示，根据题意得，绕点A顺时针旋转得到，向右平移m个单位得到线段，连接， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质，平移的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，求一次函数解析式等知识，解题的关键是正确理解题意． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点为图形上任意一点，将点到原点的最大距离与最小距离之差定义为图形的“全距”．特别地，点到原点的最大距离与最小距离相等时，规定图形的“全距”为． (1)如图，点，． ①原点到线段上一点的最大距离为______，最小距离为______； ②当点的坐标为时，且的“全距”为，求的取值范围； (2)已知，等边的三个顶点均在半径为的上．请直接写出的“全距”的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题是新定义类题目，涉及两点间距离公式、点与线段的位置关系、点与圆的位置关系，准确理解新定义是解题的关键． （1）①根据新定义，可得原点到线段上一点的最大距离为原点到点或点的距离，由两点间公式求得即可，最小的距离是原点到线段中点的距离；②当点的坐标为时，且的“全距”为时，有两种情况讨论如下：当点在线段上方时，当点在线段下方时，分别表示出“全距”，求解即可； （2）由题意得，当以圆绕圆心点旋转，当时，全距最小，当，，三点共线时，全距最大，即可求出的“全距”的取值范围． 【详解】（1）解：①∵点，， 原点到线段上一点的最大距离为原点到点或点的距离， ∴， 最小的距离是原点到线段中点的距离， ∴， 故答案为：，． ②∵当点的坐标为时，且的“全距”为， 点到线段上一点的最大距离为2，最小距离为1， 线段的全距为1， 又的“全距”为， 到原点的最大距离为2、最小距离为1， ∴， 解得，， ∴有两种情况讨论如下： 第一种：当点在线段上方时： 点到原点的距离满足， 又时不构成三角形， 故， 第二种情况：当点在线段下方时， 点满足到原点的最大距离为2、最小距离为1， 即， 注意到此时线段到原点的距离，且时，， 故， 综上所述，的取值范围是或． （2） 解：在直角坐标系上以为圆心，半径为作圆， 连接，如图， ∵等边的三个顶点均在半径为的上， ∴， 连接，过点作， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴原点到的最大距离为：， ∴原点到的最小距离为：， ∴， 当，，三点共线时，原点到等边三角形上一点的最大距离为，原点到等边三角形上一点的最小距离为，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，“全距”的取值范围为． 【类型八】无刻度尺作图 1．解决以下问题 (1)如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； (3)如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 【答案】(1)正六边形为 (2)点即为所求 (3)点即为所求， 【分析】(1) 由已知条件可证为等边三角形，利用等边三角形外心的性质，结合对顶角相等，将圆周三等分后再将每段弧二等分，得到六段相等的弧，对应弦长构成正六边形； (2) 利用等腰三角形外接圆的性质，所在直线为的垂直平分线，延长交圆于点，则为的中点，再利用等弧所对圆周角相等，可得平分； (3) 利用网格构造全等三角形，通过对应角相等得到圆周角相等，进而得到所对弧相等，确定点的位置． 【详解】（1）解：，， 为等边三角形， ， 的延长线交于点， 为的直径， ， ， 分别连接、并延长，交于点、， 、、三点共线， ， ， 、、三点共线， ， ， 圆上相邻两点间的圆心角均为， 弦， 顺次连接点、、、、、，所得六边形即为正六边形． （2）解：连接并延长，交于点，点即为所求。 ， 点在的垂直平分线上， 为外接圆的圆心， 点在的垂直平分线上， 直线为的垂直平分线， 直线平分， 点为的中点， ， ， 平分． （3）解：在点上方个单位处取格点，在点右侧个单位处取格点，连接交于点（不与重合），点即为所求。 ，，， ，，， ，，， ， ， 点在直线上， ， ， ． 2．如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． (3)除了尺规作图外，还有一种有趣的作图方式就是：只用无刻度的直尺作图．请按要求完成下列作图．如图，在中，点为边的中点．试仅用一把无刻度的直尺确定边的中点；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆心的位置的确定，勾股定理，平行四边形的性质，三角形的重心的定义； （1）作的垂直平分线交的延长线于点O，即可； （2）连接，设圆的半径为r，则，，再由垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可； （3）根据三角形的中线交于一点，连接，交于点，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求； 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，连接， 设圆的半径为r，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即圆的半径为 （3）解：如图，连接，交于点，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求； 3．图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺；在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心O． (2)在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． (3)在图③中，正方形网格中的圆经过格点A、B，画出该圆的圆心O． (4)如图④，是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）根据轴对称的性质和平行四边形的性质找出格点、或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得； （3）借助正方形网格，网格中通过特殊点连线可找到弦的垂直平分线的交点，即圆心，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O，，得到和均为圆的直径，点O为该圆的圆心； （4）取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，点即为所求（画出一个即可）． （3）解：如图，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O， （4）解：如图，取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G，则即为所求． 证明：∵为直径， , ∴和为的高， ∵三角形的三条高相交于一点， ∴为边上的高． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作三角形边上的高以及找圆的圆心，及轴对称的性质，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质和几何图形的基本特征，并巧妙利用网格或半圆等条件来完成作图． 1．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，点、、、在上，，，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质得出，进而根据以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点、、、在上，， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·云南·阶段检测）如图，用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据题意，运用弧长公式（是扇形弧长，是扇形的圆心角的度数，是扇形半径），由此即可求解． 【详解】解：半径为，圆心角为的扇形纸板， ∴弧长为， ∴这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是， 故选：D ． 4．（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，点在的延长线上，与相切，切点为，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先根据圆内接四边形对角互补求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由切线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴． 5．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 6．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则的度数是___________． 【答案】 【分析】根据直角三角形可知，进而根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴, ∵， ∴, ∴． 7．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，是的直径，点在同一半圆上，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质解答即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 9．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形与圆的面积计算，扇形弧长的计算，割补法求面积，以及扇形所围成的圆锥与扇形之间的关系，掌握扇形与圆的面积，弧长公式是解决本题的关键． （1）由图可知当扇形圆心角为时，的连线过圆心O，连接，，进而可证为等腰直角三角形，通过勾股定理可计算出扇形半径，进而计算出扇形面积，用圆形铁皮面积减扇形面积即为所求； （2）根据扇形半径可求出扇形上弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】（1）解： 如图所示，连接，， 当扇形圆心角为时，的连线过圆心O， ∵（为同圆的半径），， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 所以扇形面积为：， 圆形铁皮面积为：， ∴减掉部分面积为：； （2）解：由剪下来的扇形的半径为， ∴扇形弧长为：， ∴围成圆锥的底面半径为：． 10．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质可知，在上任取一点G，连接，把放到圆内接四边形中求解即可； （2）由点D为AC的中点可证为等边三角形，进而确定出所在的扇形的圆心角度数，代入公式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在上任取一点G，连接． ，是的中点， ， ． , 在圆内接四边形中， ， ； （2）解：如图2，连接． ，D为的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长为 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖铺贴房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（     ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】密铺的核心条件是围绕一点拼接的多边形内角和恰好等于，即正多边形的单个内角度数能整除时，才可单独密铺，计算各选项内角度数即可判断． 【详解】解：A. 正三角形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； B. 正四边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； C. 正六边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； D. 正八边形每个内角为 ， ，不是整数，不能整除， 不能单独密铺，符合题意． 2．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图所示的是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，其中四边形的最小内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面镶嵌，正五边形的性质，解题的关键是能够理解题意，将实际问题转化为平面镶嵌问题来求解． 先求出正五边形每个内角的度数，设对角相等的四边形的最小内角为，根据题意，列出关系式，求解即可． 【详解】解：正五边形的内角和为， 则每个内角为， 设对角相等的四边形的最小内角为，则 因为正五边形与四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分， 则，为正整数， 当时，，舍去， 当时，， 当时，， 当时，，舍去， 则对角相等的四边形的最小内角为，A选项符合． 4．（25-26九年级下·广东汕头·期中）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】过作于，交延长线于，过作于，连接，，由角平分线的性质推出，判定四边形是正方形，得到，由圆周角定理得到，推出，即可证明，得到，推出，即可求出．判定△是等腰直角三角形，可求出长度，由，根据圆内接四边形和圆周角定理得到，则，设，在中根据勾股定理列方程即可求得，进而求得半径． 【详解】解：过作于，交延长线于，过作于，连接，， ，， 四边形是矩形， ， 平分，，， ∴， 矩形是正方形， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ，， △是等腰直角三角形， ， ∵， ， ， ∴， 设，则， ， 在中， 解得（负值舍掉）， ， 的半径是． 5．（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 【答案】 /126度 【分析】连接，由直径所对的圆周角为直角得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 7．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 9．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． (1)发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； (2)探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据周角为进行解答即可； （2）根据正六边形的一个内角为，可求出正六边形密铺时中间的正多边形的内角，继而可求出n的值． 【详解】（1）解：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于； （2）解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为， 如果要密铺，则中间需要一个内角为的正多边形， ∴中间正多边形的每个外角为：， ∴． 10．（25-26九年级下·陕西西安·期中）根据题目条件，解答下列问题 (1)如图，在中，C是上任意一点，若的半径为2，点O到的距离为5，则C到直线距离的最小值为________． (2)如图，在矩形 中， ，，P为 上一点，，求长； (3)如图，某城市有一块四边形空地 ，经测量， ， 米， 米， 米．城市规划部门准备把它建造成一个城市花园，为开放型入口，为了保证安全，设计师想在边上安装一个摄像头P，摄像头的观测角度为（即 ），同时，计划在花园内划定景观用地 ，其中，E是步道 上一点，F是步道上一点，连接，且 米，Q是线段的中点，连接、 ，为了控制建设成本，请帮助规划部门求出景观用地 面积的最小值． 【答案】(1)3 (2)或 (3) 的面积最小值为（平方米） 【分析】 （1）过点O作 于点D．由题意知， ，当与的交点为点C，即O，C，D三点共线时，C到直线距离的最小，结合已知条件“的半径为2”，求得C到直线距离的最小值； （2）由可知，点P为以为直径的圆与线段 的交点．作出该圆，则符合题意的点P有两个，分别为，，连接 ， ，过点作 于点F，过点作 于点G．先在 中，运用勾股定理求出的长度，从而求得的长；再证 ，求得，再求出的长； （3）过点B作 于点G．运用勾股定理，求出．以为斜边，作 ，以I为圆心，为半径作圆，该圆与交于点P，则 ．取的中点H，连接 ， ，过点I作 交于点L，交于点K， 交于点R．运用相似三角形的判定与性质，结合勾股定理，求出，点Q在以D为圆心，100为半径的圆上运动．过点D作 于点M．当D，Q，M三点共线时， Q到的距离的最小，最小值为 的长度，即此时 的面积最小．运用等面积法求出，从而求得 ，最后求出 的面积最小值． 【详解】（1）解：如图1，过点O作 于点D． ∵点O到的距离为5， ， ∴ ． 由垂线段最短可知： C到直线的距离， 当与的交点为点C，即O，C，D三点共线时， C到直线的距离最小，最小值为 ， 即C到直线距离的最小值为3． （2）解：∵，P为 上一点， ∴点P为以为直径的圆与线段 的交点． 如图2，取的中点E，以点E为圆心， 为半径作圆，该圆交线段 于两点，分别记这两点为，，则 ，即符合题意的点P有两个，分别为，，连接 ， ，过点作 于点F，过点作 于点G． ∵矩形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∵ ，E为的中点， ∴ ， ∵以点E为圆心， 为半径作圆，该圆交线段 于点， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴； ∵矩形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵矩形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 由题意可知： ， 又∵ ， ， ∴ ， 在 与 中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上所述，或． （3）解：如图3，过点B作 于点G． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ （米）， ∵ （米）， ∴ （米）， ∵ （米）， ， ∴ （米）， ∵四边形 是矩形， ∴ （米）． ∵ ，点P在上， （米）， ∴点P在圆上． 如图4，以为斜边，作 ，以I为圆心，为半径作圆，该圆与交于点P，则 ．取的中点H，连接 ， ，过点I作 交于点L，交于点K， 交于点R． ∵ （米），点H为的中点， ∴ （米）， ∵ 为等腰直角三角形，点H为斜边的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴ （米）． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 解得：（米），（米）， ∵ （米）， ∴（米）． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， 即（米）， （米）， ∴ （米）． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ （米）， ∴ （米）． ∵ 为等腰直角三角形，为斜边， （米）， ∴（米）， ∵ ，（米）， ∴ （米）． ∵ （米）， ∵矩形 ， ∴ （米）， ∴ （米）， 在 中， ∵ ， （米）， （米）， ∴（米）． ∵ ， （米），Q是线段的中点， ∴ （米）， ∴点Q在以D为圆心，100为半径的圆上运动． 如图5，过点D作 于点M． 当D，Q，M三点共线时， Q到的距离的最小，最小值为 的长度，即此时 的面积最小． ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴（米）， ∴（米）， ∴（平方米）， 即 的面积最小值为（平方米）． 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 2．（25-26七年级下·全国·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的密铺，或称为平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则下列选项中不能密铺的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正多边形的每个内角的度数若能整除，则此多边形能密铺，据此解答即可． 【详解】解：A、正三角形每个内角是，能整除，∴能密铺，故此选项不符合题意； B、正五边形每个内角是，不能整除，∴不能密铺，故此选项符合题意； C、正方形的每个内角是，能整除，∴能密铺，故此选项不符合题意； D、正六边形的每个内角是，能整除，∴能密铺，故选项不符合题意； 3．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得到，再由弧长公式求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于B，C两点，的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 连接，，，先证是等边三角形，进而推导出，得到为等腰直角三角形，且，则，得到，即可解答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某同学发现路边的路障可以近似看作一个圆锥，测量得底面半径为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为______． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长即是圆锥底面圆的周长，根据已知条件，结合圆的周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵底面半径为， ∴底面圆的周长为， 即这个圆锥的侧面展开图的弧长为． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为______．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】利用割补法，对正方形中阴影和空白部分的面积进行比较． 【详解】解：如图所示，连接，交于， 由题意得，、、、分别是正方形四条边的中点， ∴点为正方形的中心， ∴， 根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积， ∴， ∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半， ∴． 7．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，弦心距的计算，线段最大值的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据垂径定理和勾股定理计算得出的长度，由此判断点的运动轨迹，故可得出的最小值． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵为直径， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∵为的中点， ∴，， 在中，由勾股定理可得， ∴点在以为圆心，半径为的圆上， ∴的最小值为． 8．（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 9．（25-26七年级下·上海普陀·期末）投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 【答案】(1)3.5 (2)；；两点之间，线段最短；；偏大 【分析】（1）根据题意得，米，米，然后相减求解即可； （2）根据半径相等得到，然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，米，米 ∴（米） ∴投掷区所在圆的半径长为3.5米； （2）解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴． 在中，（两点之间，线段最短）， ． ∴． 即这个成绩相较于实际成绩偏大． 10．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）【研究主题】探究正多边形的密铺 素材1：在数学中用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 素材2：密铺的条件：拼接在同一个点的各个角的和恰好是360度，且相邻的多边形边长相等． 如图1所示，把六个形状、大小完全相同的正三角形不重叠摆放，彼此之间不留空隙，并把平面的一部分完全覆盖，所以正三角形能密铺平面．图2中正五边形就不能进行平面密铺． (1)【探究一】仅用一种正多边形密铺平面，可选择 （填写下列所有可选择的序号）； ①正四边形；②正六边形；③正七边形；④正八边形． (2)【探究二】学校图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．现打算购买两种形状不同，但边长相等的正多边形地砖进行共顶点组合密铺． 小红认为可以用正方形、正八边形两种正多边形进行密铺． 小明认为可以用正方形、正六边形两种正多边形进行密铺． 你觉得谁的方案可行，并说明理由． (3)【探究三】从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正十二边形中选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出你的一种设计方案，并说明理由．（写出选取的三种不同多边形及对应的个数） 【答案】(1)①② (2)解：小红的方案可行，理由如下： ∵正方形的一个内角的度数为，正八边形的一个内角的度数为，正六边形的一个内角的度数为， 设个正方形和个正八边形可以密铺，则， 当时，满足题意， 故可以用正方形、正八边形两种正多边形进行密铺，小红的方案可行； 设个正方形和个正六边形可以密铺，则， 不存在正整数，使， 故不可以用正方形、正六边形两种正多边形进行密铺，小明的方案不可行； (3)解：方案一：可以用1个正三角形，2个正四边形和1个正六边形进行密铺，理由如下： 正三角形的一个内角的度数为，正四边形的一个内角的度数为，正六边形的一个内角的度数为， ∵， ∴可以用1个正三角形，2个正四边形和1个正六边形进行密铺. 方案二：2个正三角形、1个正四边形、1个正十二边形，理由如下： 正三角形的一个内角的度数为，正四边形的一个内角的度数为，正十二边形的一个内角的度数为， ∵， ∴可以用2个正三角形、1个正四边形、1个正十二边形进行密铺. 【分析】（1）根据密铺的条件，逐一进行判断即可； （2）根据密铺的条件，进行判断即可； （3）根据密铺的条件，进行判断即可. 【详解】（1）解：①正四边形的一个内角的度数为，， 故正四边形能密铺平面； ②正六边形的一个内角的度数为，， 故正六边形能密铺平面； ③正七边形的一个内角的度数为，不能被整除， 故正七边形不能密铺平面； ④正八边形的一个内角的度数为，不能被整除， 故正八边形不能密铺平面； 综上：可选择①②； （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 思维导图 3.1 圆的有关概念 1. 圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径。圆也可以看作是平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周所形成的封闭曲线。 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。 2. 与圆有关的基本概念 · 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径长度等于半径的2倍。 · 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧（优弧一般用三个字母表示，如）。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 · 等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 · 点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP=d，则：点P在圆内 ⇔ d<r；点P在圆上 ⇔ d=r；点P在圆外 ⇔ d>r。 3.2 圆心角 1. 圆心角的定义 顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的两边与圆相交，圆心角的度数等于它所对弧的度数。 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 · 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 · 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：该定理的前提条件是“同圆或等圆”，脱离这个前提条件，结论不成立；相等的圆心角所对的弧相等，这里的弧指的是同类型的弧（同为劣弧或同为优弧）。 3.3 垂径定理 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合。 2. 垂径定理及其推论 · 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 总结：对于一个圆和一条直线来说，如果满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，这五个条件中任意两个，就可以推出另外三个结论。 垂径定理的常用计算：圆的半径r，圆心到弦的距离d，弦长a，三者满足关系：()² + d² = r²，知道其中任意两个量就可以求出第三个量。 3.4 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角需要满足两个条件：顶点在圆上；两边都与圆相交。 2. 圆周角定理及其推论 · 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，即同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半。 · 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 · 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3. 圆周角定理的证明思路 分三种情况讨论：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部，后两种情况都可以转化为第一种情况证明。 3.5 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角（即四边形的一个外角等于和它不相邻的内对角）。 性质推论：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.6 正多边形 1. 正多边形与圆的关系 把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 n边形的中心角计算公式为：αₙ=。 2. 正多边形的性质 · 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 · 边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 · 正多边形的各边相等，各角相等。 3.7 弧长及扇形面积 1. 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l = 。 说明：公式中n表示圆心角的度数，n和180都不带单位，当n=180°时，弧长l=πR，也就是半圆的弧长，和圆周长公式一致；已知l、n、R中任意两个量，就可以求出第三个量。 2. 扇形面积公式 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形的计算公式为：S扇形=；结合弧长公式，扇形面积还可以表示为：S扇形= l R，其中l是扇形的弧长，R是圆的半径。 两个公式的联系与区别：第一个公式用圆心角度数和半径计算面积，第二个公式用弧长和半径计算面积，二者可以互相推导。 3. 弓形面积的计算 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形面积可以通过扇形面积减去三角形面积（劣弧弓形）或扇形面积加上三角形面积（优弧弓形）计算： · 当弓形所对的弧是劣弧时：S弓形=S扇形-S三角形 · 当弓形所对的弧是优弧时：S弓形=S圆-S劣弧弓形=S扇形（优弧）+S三角形 【类型一】点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 2．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【类型二】确定圆的条件 1．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 2．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 3．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________． 【类型三】三角形的外接圆 1．下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 2．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 3．是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【类型四】垂径定理求值 1．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 2．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 3．如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 【类型五】圆心角的认识及求解 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【类型六】圆周角的认识 1．判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【类型七】圆内接四边形求解 1．如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【类型八】正多边形的中心角及边数 1．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 3．已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于____________． 【类型九】求弧长、扇形半径、圆心角 1．如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 3．已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【类型十】求扇形面积、弓形面积 1．如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，等边三角形内接于⊙O，，则图中阴影部分的面积是___________． 【类型一】垂径定理中的平行弦问题 1．已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 2．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 3．的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【类型二】圆弧的度数 1．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【类型三】圆周角定理 1．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【类型四】正多边形与圆综合 1．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 3．如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________． 【类型五】垂径定理的应用 1．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 2．如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 3．某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动． 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 (1)请求出抛物线 的解析式； (2)求出圆弧 所在圆的半径； 【应用模型】 (3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【类型六】弧、弦、圆心角的求解与证明 1．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 3．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【类型七】尺规作图—确定圆心 1．如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，在中，，以为直径的圆经过，，三点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的中点为，直线与交于点，，求线段的长． 3．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 【类型八】尺规作图一正多边形与圆 1．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 2．如图，在正五边形中，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作一条与边平行的线段． (2)在图2中作出线段，使得． 3．按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【类型一】圆的折叠问题 1．将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 2．如图，为半圆O的直径，C为半圆弧上一动点，将弧沿弦折叠，折叠后的弧与交于点D，E为折叠后的弧的中点，连接，若，则线段CE的长为（　　）    A． B． C． D．点C、O、E共线时，CE的长最大 3．某数学兴趣小组的同学用圆形纸片进行折纸操作：如图，先作出一个半径为4的，再沿弦折叠，折叠后恰好经过圆心，连接并延长交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【类型二】求不规则图形的面积 1．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 2．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，以A为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点E，以B为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【类型三】圆锥侧面展开图最短路径 1．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 2．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，是母线的中点，则在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长为_______． 3．综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【类型四】阿基米德折弦定理 1．请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务：    阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，． ∵是弧的中点， ∴．…       任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．    3．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家． 阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD． 小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下： 证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC，… (1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________； (3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长． 【类型五】婆罗摩笈多定理 1．请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 2．阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N． 求证：． 证明：∵，， ∴， ∴． …… 任务： (1)请完成该证明的剩余部分； (2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 3．阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 【类型六】新定义圆—几何 1．定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”； 定义：如图，在中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数； (2)如图4，在中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为的光线三角形． 2．定义1  如图1，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足将沿直线翻折后与完全重合，且，则称和关于直线满足“对称反射性质”； 定义2  如图2，在中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“对称反射性质”，和关于满足“对称反射性质”，和关于满足“对称反射性质”，则称为的光线三角形． 在中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)基础探究：如图3，若，和关于满足“对称反射性质”，求度数； (2)深化证明：如图4，在中，作于，以为直径的圆分别交于点．证明：为的光线三角形； 3．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【类型七】新定义圆—圆 1．对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 2．【阅读】 定义：以线段l的一个端点为旋转中心，将这条线段顺时针旋转，再沿水平向右的方向平移m个单位后得到线段（若，则表示沿水平向左的方向平移个单位），称线段l到线段的变换为．图1中的变换就表示线段绕点A顺时针旋转，再沿水平向右的方向平移3个单位后得到线段的过程．平移前后对应点所连线段平行且相等． 【理解】根据上述定义，线段绕点A顺时针旋转，再沿水平向右的方向平移10个单位后得到线段，则称线段到线段的变换为______． 【操作】 图2是边长为1的正方形网格，线段的端点在格点上，以A为旋转中心，在图中画出线段经过变换后的对应线段． 【应用1】 在平面的坐标系中，点A坐标为，经变换后所得的图形是线段，点B在x轴上（如图3），其中点O为旋转中心，求直线的函数关系式． 【应用2】 若将与水平方向垂直的线段经变换后所得的图形是线段（如图4），其中点A为旋转中心，，，则_____． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点为图形上任意一点，将点到原点的最大距离与最小距离之差定义为图形的“全距”．特别地，点到原点的最大距离与最小距离相等时，规定图形的“全距”为． (1)如图，点，． ①原点到线段上一点的最大距离为______，最小距离为______； ②当点的坐标为时，且的“全距”为，求的取值范围； (2)已知，等边的三个顶点均在半径为的上．请直接写出的“全距”的取值范围． 【类型八】无刻度尺作图 1．解决以下问题 (1)如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； (3)如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 2．如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． (3)除了尺规作图外，还有一种有趣的作图方式就是：只用无刻度的直尺作图．请按要求完成下列作图．如图，在中，点为边的中点．试仅用一把无刻度的直尺确定边的中点；（保留作图痕迹，不写作法） 3．图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺；在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心O． (2)在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． (3)在图③中，正方形网格中的圆经过格点A、B，画出该圆的圆心O． (4)如图④，是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高． 1．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，点、、、在上，，，则等于(　　) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南·阶段检测）如图，用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，点在的延长线上，与相切，切点为，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 6．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则的度数是___________． 7．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，是的直径，点在同一半圆上，，则的度数为______． 8．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 9．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 10．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求的长． 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖铺贴房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（     ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 2．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图所示的是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，其中四边形的最小内角为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·广东汕头·期中）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A．4 B． C．3 D． 5．（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 7．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 9．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． (1)发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； (2)探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 10．（25-26九年级下·陕西西安·期中）根据题目条件，解答下列问题 (1)如图，在中，C是上任意一点，若的半径为2，点O到的距离为5，则C到直线距离的最小值为________． (2)如图，在矩形 中， ，，P为 上一点，，求长； (3)如图，某城市有一块四边形空地 ，经测量， ， 米， 米， 米．城市规划部门准备把它建造成一个城市花园，为开放型入口，为了保证安全，设计师想在边上安装一个摄像头P，摄像头的观测角度为（即 ），同时，计划在花园内划定景观用地 ，其中，E是步道 上一点，F是步道上一点，连接，且 米，Q是线段的中点，连接、 ，为了控制建设成本，请帮助规划部门求出景观用地 面积的最小值． 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（25-26七年级下·全国·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的密铺，或称为平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则下列选项中不能密铺的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于B，C两点，的值为（    ） A． B． C． D．1 5．（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某同学发现路边的路障可以近似看作一个圆锥，测量得底面半径为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为______． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为______．（填“”或“”或“”） 7．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为_________． 8．（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 9．（25-26七年级下·上海普陀·期末）投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 10．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）【研究主题】探究正多边形的密铺 素材1：在数学中用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 素材2：密铺的条件：拼接在同一个点的各个角的和恰好是360度，且相邻的多边形边长相等． 如图1所示，把六个形状、大小完全相同的正三角形不重叠摆放，彼此之间不留空隙，并把平面的一部分完全覆盖，所以正三角形能密铺平面．图2中正五边形就不能进行平面密铺． (1)【探究一】仅用一种正多边形密铺平面，可选择 （填写下列所有可选择的序号）； ①正四边形；②正六边形；③正七边形；④正八边形． (2)【探究二】学校图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．现打算购买两种形状不同，但边长相等的正多边形地砖进行共顶点组合密铺． 小红认为可以用正方形、正八边形两种正多边形进行密铺． 小明认为可以用正方形、正六边形两种正多边形进行密铺． 你觉得谁的方案可行，并说明理由． (3)【探究三】从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正十二边形中选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出你的一种设计方案，并说明理由．（写出选取的三种不同多边形及对应的个数） 学科网（北京）股份有限公司 $