第一章 特殊平行四边形（举一反三单元测试·培优卷）数学北师大版九年级上册

第一章 特殊平行四边形·培优卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，四边形是矩形，、相交于，垂直平分，若，则（  ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握知识点是解决问题的关键． 由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，根据垂直平分，得到，由勾股定理求即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴． 故选B． 2．（3分）（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，故C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， 故不能判定平行四边形为菱形，故D符合题意； 故选：D． 3．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长交于M，连接，由正方形推出，，，证明，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出即可得到． 【详解】解：连接，延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴ ∵F为的中点， ∴ ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出是解决问题的关键． 4．（3分）（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，连接．证明，则是直角三角形，利用是斜边上的中线，可得，利用勾股定理求出的长即可得，再由勾股定理求出即可得出结论． 【详解】解：设，则，， 连接．如图所示， ∵四边形是边长为的正方形． ∴，且平分． ∴． ∵． ∴． ∴是等腰直角三角形． 四边形，是矩形， ∴，，， ∴， ∴； 在中， ∵P为中点． ∴． ∴是直角三角形． ∵点H为的中点， 四边形是矩形， ∴过点H．且点H为的中点． 在中，． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等，添加辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题的关键． 5．（3分）（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，是边上的一点，作垂直垂直，垂足分别为，则的最小值是（   ） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 【答案】C 【分析】先判断四边形是矩形，连接，如图所示，由矩形性质得到，求的最小值就是求的最小值，由垂线段最短得到当时，线段最小，在中，由勾股定理求出，再由等面积法列式求线段长即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ， 则四边形是矩形， 连接，如图所示： ， 则求的最小值就是求的最小值， 是定点、是线段上的一个动点， 垂线段最短可知，当时，线段最小， 在中，，则由勾股定理可得， 则由可得，，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查求线段长，涉及矩形的判定与性质、垂线段最短求最值、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、垂线段最短求最值、勾股定理、等面积法求线段长是解决问题的关键． 6．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 7．（3分）（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解本题的关键． 由矩形的性质得，则，由垂直平分得，而，即可证明，得，因为，所以，可证明四边形是菱形；由勾股定理得，而，，所以，求得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴四边形的面积为． 故选：C 8．（3分）（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，点、，将线段平移到线段，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解： ，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又 ， ， 又 ，， ， ，， ， 点的坐标是， 故选A． 9．（3分）（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意，分放五种特殊位置分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，平行四边形，菱形即可求解. 【详解】如图中， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵对称， ，, , , 同理 , , ∴四边形是平行四边形， 如图所示, 当三点重合时, ,即 ∴四边形是菱形； 如图所示, 当分别为的中点时, 设则 在中，连接, ， 是等边三角形， ∵为中点， ， ， 根据对称性可得， ， ， 是直角三角形， 且 四边形是矩形. 当分别与重合时, 都是等边三角形，则四边形 是菱形， ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选:D. 10．（3分）（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作于，于，证明得到，即可判断①；当时，点与点重合，不一定等于，即可判断②；根据正方形性质得，，推出，得到，，即可判断④；进而得到，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：如图，过作于，于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 综上，结论正确的序号有①③④， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是 ． 【答案】2 【分析】根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，可判断出四边形是矩形；由菱形的面积和勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及完全平方式等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键． 12．（3分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查菱形的性质，勾股定理，理解题意，作出相应图形是解题关键． 根据题意，作出图形，延长交y轴于点E，确定，结合图形即可求解． 【详解】解：∵以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限， ∴如图所示，只有一种情况， 延长交y轴于点E， ∴轴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B在第二象限， ∴， 故答案为： ． 13．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图：连接，由矩形的性质得，由翻折得，则，所以，求得，则，可证明四边形是正方形，则，再证明，求，则，可证明，则，然后求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为 ； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为 ． 【答案】 3 或 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明 ，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 15．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，过点作于，则，证明，可得 ，由折叠可得，从而求得，再由勾股定理求出，设，由勾股定理列方程可求出． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于， 则，如图： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠可得， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 16．（3分）（24-25八年级下·山东临沂·期末）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中、为折痕，若正方形与五边形的面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，直线与交于P点，由题意设正方形的面积为，五边形的面积为，则可得，由折叠可得正方形面积为，则可求得，最后即可求得结果． 【详解】解：如图，连接，直线与交于P点， 正方形与五边形的面积之比为， 设正方形的面积为，五边形的面积为， ， ， 由勾股定理得，， 由折叠得，正方形面积为，四边形是长方形， ， ∴， 即， ， 即， ． 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，由，推导出，则，即可证明四边形是矩形； （2）连接，由，，推导出，则，所以，因为四边形是矩形，所以． 【详解】（1）解：∵过点A作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：连接， ∵， ， ∴， ∵ ∴． 18．（6分）（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，是正方形对角线上一点，连接、，点在上，且．    (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1))见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质四条边都相等可得，对角线平分一组对角线可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后等量代换即可得证； （2）根据全等三角形对应角相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据，求出，然后根据四边形的内角和定理求出， 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴．    19．（8分）（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)求证：； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)96 【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，，推出平行四边形是矩形，得到，即可证明； （2）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出，再结合菱形的性质求出，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为：． 20．（8分）（24-25八年级下·重庆忠县·期末）在如图所示的正方形中，点E在不含端点的对角线上，F为线段上的点，，连接．    (1)若，，求正方形的周长； (2)若，求的面积的最小值； (3)若点D关于直线的对称点为G，写出三线段的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）过作于点，则为等腰直角三角形，进而求得，在中，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理确定的值，进而可得的长度，即可获得答案； （2）过作于点于点，易知四边形是正方形，证明，易得，再证明，可知是等腰直角三角形，设，则的面积为，确定的最小值，即可获得答案； （3）延长使，则是点关于直线的对称点，连接，过作交的延长线于点，由题意得，证明，结合全等三角形的性质可得，易知为等腰直角三角形，可得，进而证明结论． 【详解】（1）解：如图，过作于点，    ∵四边形为正方形， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ， ， ∵在中，， ， ， ∴正方形的周长； （2）如下图，过作于点于点，    ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， ∵， ∴， ，即， ∴是等腰直角三角形， 设，则的面积为， ， 当时，取最小值，此时， 则的面积的最小值为； （3），证明如下： 由（2）得是等腰直角三角形， 如图，延长使得，则是点关于直线的对称点，连接， 过作交的延长线于点， 由轴对称的性质可得，， ∴， 在与中， ，， ， 又∵， ， ，即， 为等腰直角三角形， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 21．（10分）（24-25八年级下·广西钦州·期末）综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点为的边上一点，连接，，请探究的面积与平行四边形面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：平行四边形的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点为边上一点，点为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，平行四边形中，点为边上一点，点为边上一点，连接，交于点，连接，若，证明：平分． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查的是平行四边形性质、矩形的判定与性质及勾股定理的应用， （1）如图，过点作于点，根据，得出结论； （2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论； （3）连接，，过点作于点，作于点，证明即可证明结论． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ，． ； （2）如图，过点作于点，连接， ， 四边形是矩形． ． ，， ． ． ． 四边形是矩形， ，，． 设，则， ． ． ． ． ． ； （3）如图，连接，，过点作于点，作于点， 由（1）知， ，即． ． 点在的平分线上，即平分． 22．（10分）（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，则可证明，再证明，即可证明，得到． （2）连接交于点O，由全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得，则可证明平行四边形是菱形； （3）①由等边对等角得到，导角证明，得到，再证明，得到，证明，得到，则可证明； ②连接交于点O， 则，，设，则，由菱形的性质得到，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ②连接交于点O， 则，， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴菱形的边长为． 23．（12分）（24-25八年级下·河南信阳·期末）在物理学中，测量是科学研究和日常生活中获取物理量信息的重要手段．数学与物理联系紧密，在数学社团课上，老师让同学们以测量的方式来研究“三角板的平移” (1)【操作探究】 操作一：将两个全等的等腰直角三角板的两条斜边重合，按如图①所示的方式放置； 操作二：将三角板沿方向平移至图②的位置．此时点与点不重合，且． 操作三：测量图②中与的长度． 根据以上操作，填空： 图②中与的数量关系是________．四边形的形状是_______． (2)【类比探究】 小安将两个等腰直角三角板换成两个的直角三角板继续探究（如图③），已知三角板的直角边的长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图③，在平移过程中，四边形的形状是否能为菱形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的长． (3)【拓展探究】 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)，平行四边形 (2) (3)的长为或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，平移的性质，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． （1）由平移的性质可得，可得结论； （2）先证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将三角板沿方向平移， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，平行四边形； （2）能．连接， ∵， ∴， ∵将三角板沿方向平移， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是菱形， ∵， ∴此时是等边三角形． ∴， ∴； （3）当时，为等腰三角形，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形， 如图，过点B作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不合题意舍去， 综上所述：的长为或． 24．（12分）如图，四边形是正方形，点、分别是边、的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：． 【类比探究】如图，四边形是正方形，点是边上的任意一点，，且交正方形外角的平分线于点求证：． 【知识迁移】如图，在问的条件下，连接，过点作交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】证明：四边形是正方形， ，， 点、分别是边、的中点， ， 是等腰直角三角形， ， 平分， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ； 证明：在上截取，连接， 同理可得：，，， ≌， ； 解：若，， ， 过点作于点，过点作于点， ，四边形是矩形， ，， ≌， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，即， ， ， ， ， ，， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又，， ≌， ．  2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形·培优卷 【北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，四边形是矩形，、相交于，垂直平分，若，则（  ） A．3 B． C．4 D． 2．（3分）（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，是边上的一点，作垂直垂直，垂足分别为，则的最小值是（   ） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 6．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 8．（3分）（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，点、，将线段平移到线段，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 10．（3分）（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是 ． 12．（3分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为 ． 13．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 14．（3分）（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为 ； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为 ． 15．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，，把沿折叠，点A恰好落在边上的点G处，连接，，延长交的延长线于点H，若，则的长为 ． 16．（3分）（24-25八年级下·山东临沂·期末）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中、为折痕，若正方形与五边形的面积之比为，则的值为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 18．（6分）（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，是正方形对角线上一点，连接、，点在上，且．    (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并证明你的结论． 19．（8分）（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)求证：； (2)若，求菱形的面积． 20．（8分）（24-25八年级下·重庆忠县·期末）在如图所示的正方形中，点E在不含端点的对角线上，F为线段上的点，，连接．    (1)若，，求正方形的周长； (2)若，求的面积的最小值； (3)若点D关于直线的对称点为G，写出三线段的数量关系，并给出证明． 21．（10分）（24-25八年级下·广西钦州·期末）综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点为的边上一点，连接，，请探究的面积与平行四边形面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：平行四边形的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点为边上一点，点为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，平行四边形中，点为边上一点，点为边上一点，连接，交于点，连接，若，证明：平分． 22．（10分）（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 23．（12分）（24-25八年级下·河南信阳·期末）在物理学中，测量是科学研究和日常生活中获取物理量信息的重要手段．数学与物理联系紧密，在数学社团课上，老师让同学们以测量的方式来研究“三角板的平移” (1)【操作探究】 操作一：将两个全等的等腰直角三角板的两条斜边重合，按如图①所示的方式放置； 操作二：将三角板沿方向平移至图②的位置．此时点与点不重合，且． 操作三：测量图②中与的长度． 根据以上操作，填空： 图②中与的数量关系是________．四边形的形状是_______． (2)【类比探究】 小安将两个等腰直角三角板换成两个的直角三角板继续探究（如图③），已知三角板的直角边的长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图③，在平移过程中，四边形的形状是否能为菱形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的长． (3)【拓展探究】 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 24．（12分）如图，四边形是正方形，点、分别是边、的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：． 【类比探究】如图，四边形是正方形，点是边上的任意一点，，且交正方形外角的平分线于点求证：． 【知识迁移】如图，在问的条件下，连接，过点作交于点，连接，若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$