第10.5节 带电粒子在电场中的运动（高效培优·讲义）物理人教版必修第三册

本讲义聚焦高中物理“带电粒子在电场中的运动”核心知识点，系统梳理从加速（动能定理与牛顿定律应用）、偏转到圆周运动（等效重力法）及示波管原理的递进脉络，搭建从基础运动模型到周期性、径向电场等复杂情景的学习支架。 该资料通过“避坑指南”分8个解题角度强化科学思维，结合真题闯关与分层练习培养科学探究能力，知识导图助力构建物理观念。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升分析解决问题的综合素养。

第10.5节 带电粒子在电场中的运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 带电粒子在电场中的加速与偏转 考点02 带电粒子在电场做圆周运动与示波管 03 避坑指南·解题通法 角度01 带电粒子在匀强电场中做直线运动 角度02 带电粒子在周期性变化电场中运动 角度03 带电物体在匀强电场中的圆周运动 角度04 带电物体在匀强电场中的一般运动 角度05 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算 角度06 带电粒子在径向电场中的运动 角度07 带电物体在非匀强电场中的运动 角度08 与图像 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.掌握带电粒子在匀强电场中的加速模型，能用动能定理求解加速末速度。 2.理解带电粒子垂直进入匀强电场的类平抛运动，会分解运动分析偏转。 3.熟记偏转位移、偏转角正切值推导公式，能完成定量计算。 4.了解示波管的原理，会分析其图像形成逻辑。 1.类比平抛运动，建立 “水平匀速、竖直匀加速” 的运动分解思维。 2.分加速、偏转两步拆解综合计算题，规范分步列式计算。 3.结合示波管结构，梳理电子加速、偏转、荧光成像完整过程。 知识导图 考点01 带电粒子在电场中的加速与偏转 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v02＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv02，解得v＝ 3、带电粒子在电场中的两种偏转的情形 情形 进入电场的方式 受力特点 运动特点 图示 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类似平抛运动。 电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。 做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。 先加速后偏转 静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v0，然后垂直场强方向射入匀强电场。 加速阶段：电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段：电场力大小恒定，且方向与速度v0的方向垂直。 加速阶段：匀加速直线运动；偏转阶段：做类平抛运动。 4、带电粒子在电场中的偏转基本规律 （1）初速度方向：粒子做匀速直线运动，通过电场的时间t＝。 （2）静电力方向：做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝＝。 （3）离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝。 （4）速度方向与初速度方向夹角的正切值tanθ＝＝。 （5）离开电场时沿静电力方向的偏移量y＝at2＝。 4、带电粒子在电场中的偏转几个常用推论 （1）粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点，如图所示。 （2）位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的，即tanα＝tanθ。 （3）不同的带电粒子(电性相同，初速度为零)，经过同一电场加速后，又进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合。 （4）分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。 【深化点拨】 1．求带电粒子的速度两种分析思路 （1）利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式，适用于匀强电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 （2）利用静电力做功结合动能定理，当问题只涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时适合该思路。 2．带电粒子在电场中运动问题的处理方法：带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看，带电粒子与一般物体相比多受到一个静电力；从处理方法上看，仍可利用力学中的规律分析，如选用平衡条件、牛顿运动定律、动能定理、功能关系，能量守恒等。 3．分析带电粒子在静电力作用下加速运动的两种方法 （1）利用牛顿第二定律F=ma和运动学公式，只能分析带电粒子的匀变速运动。 （2）利用动能定理：qU=。若初速度为0，则qU=，对于匀变速运动和非匀变速运动都适用。 1．在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场使带电粒子加速。其原理如图，给真空中的两平行金属板M、N加电压U，一带正电的粒子（不计重力）从靠近M板的O点静止释放，粒子将沿直线加速运动到N板，到N板时的速度为v。下列说法正确的是（　　） A．M板带正电、N板带负电 B．M板带负电、N板带正电 C．若增大U、则v减小 D．若增大U、则v不变 【答案】A 【详解】AB．带正电的粒子从做加速运动，说明电场力的方向向右，而正电荷所受电场力的方向与场强方向相同，故M板带正电、N板带负电，故A正确,B错误； CD．由动能定理有 解得 若增大U、则v增大，故CD错误。 故选A。 2．（多选）如图所示，质量为，带电荷量为的带电粒子，由静止开始经电压为的电场加速后，水平射入右侧电场强度为、方向竖直向上的匀强电场中，曲线为粒子在偏转电场中的运动径迹，不计粒子重力，则（　　） A．粒子带正电 B．粒子带负电 C．粒子离开加速电场时的速度大小为 D．粒子在偏转电场中的加速度，方向竖直向下 【答案】AC 【详解】AB．由图可知，粒子进入右侧水平匀强电场中，粒子运动轨迹向上偏转，故受到竖直向上的电场力，而电场强度方向也竖直向上，故粒子带正电，故A正确，B错误； C．粒子在加速电场中，电场力做正功，动能增加，根据动能定理有 解得，故C正确； D．粒子在偏转电场中，根据牛顿第二定律有 解得 粒子所受电场力方向竖直向上，故粒子的加速度方向也竖直向上，故D错误。 故选AC。 3．如图所示，一个静止的电子经过电压为的加速电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的偏转电场，两极板的长度为，相距为，极板间的电压为。已知电子紧靠负极板，电荷量大小为，质量为，偏转电场可看作匀强电场。求： (1)电子进入偏转电场的速度大小； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为； (3)电子离开偏转电场时的动能大小。 【详解】（1）电子在加速电场中，根据动能定理有 解得 （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，沿平行于板面方向有，沿垂直于板面方向有 根据牛顿第二定律有 解得 （3）对电子运动的全程，根据动能定理有 解得 考点02 带电粒子在电场做圆周运动与示波管 1、带电粒子在电场做圆周运动类型 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力（或者库仑力），电场力（或者库仑力）提供向心力。 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷。 速度方向与库仑力力的方向垂直。 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力（匀强电场）和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力。 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力。 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直。 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力。 电子偏转器的剖面图。 速度方向与电场力的方向垂直。 2、重要方法：利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动 （1）“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示 ①F合为“等效重力场”中的“等效重力”。 ②g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”。 ③F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。 （2）等效最“高”点与最“低”点的确定方法 ①如图，当电场力和重力方向相反时，若qE＝mg，则小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，则a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，则a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点。 ②如下图，电场力和重力成一定角度时，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。 3、示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由偏转电极XX′、偏转电极YY′组成)和荧光屏组成，如图所示。 4、示波管的原理 （1）扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 （2）灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个信号电压，在XX′偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 【深化点拨】 1．等效思维：等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。 2．带电粒子在匀强电场中做圆周运动的情况可以分为几种类型 （1）电场力与重力等大反向，带电粒子（物体）在外力（如轻绳）的作用下做匀速圆周运动。 （2）带电粒子（物体）在外力（轻绳）的作用下，在电场中做变速圆周运动。 （3）带电粒子沿着圆形轨道上在电场中做圆周运动。 （4）“等效重力法”解决带电体在电场、重力场中的运动问题：带电体在匀强电场和重力场构成的复合场中的运动问题，常常采用“等效重力场”的方法，即将静电力和重力的合力视为一个“等效重力”，将视为“等效重力加速度”，可起到化繁为简、化难为易和化新为旧的解题效果。处理这类问题要注意区分“几何最高点”和“物理最高点”。“几何最高点”指的是圆相对于水平面的最高点，“物理最高点”指圆周在合力方向的最高点，两者不一定重合。 3、示波器的工作原理解题思路点拨：示波器的工作原理从本质上来说是利用了带电粒子在电场中的运动，因为电子带负电，电子总是会逆着电场线方向运动，所以在解决这类问题时可以把握一个技巧“哪边正，朝哪偏”。 1．示波器是一种电子仪器，可以用它观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件示波管由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，其原理图如图甲所示。如图乙是从右向左看到的荧光屏的平面图。在偏转电极上都不加电压时，电子束将打在荧光屏的中心点；若亮点很快移动，由于视觉暂留效应，能在荧光屏上看到一条亮线。若在上加如图丙所示的扫描电压，在上加如图丁所示的信号电压，则在示波管荧光屏上看到的图形是选项图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因丙图偏转电极接入的是锯齿形电压，即扫描电压，且周期与偏转电压上加的是待显示的信号电压相同，所以在荧光屏上得到的信号在一个周期内的稳定图像。则显示的图像与所载入的图像形状是一样的，如图C所示。 故选C。 2．（多选）示波器可以用来观察电信号随时间变化的情况，其核心部件是示波管，其原理图如下，XX′为水平偏转电极，YY′为竖直偏转电极。（已知T很小），以下说法正确的是（　　） A．XX′加图3波形电压、YY′不加信号电压，屏上出现一个亮点 B．XX′加图2波形电压、YY′加图1波形电压，屏上将出现一条竖直亮线 C．XX′加图4波形电压，YY′如图2波形电压，屏上将出现一条竖直亮线 D．XX′加图4波形电压，YY′加图1波形电压，屏上将出现图1所示图线 【答案】BD 【详解】A．XX′加图3波形电压、YY′不加信号电压，据示波管的工作原理可知会使电子枪发射的电子在水平电场的作用下，左右周期性的打在屏上，所以出现屏上在两个位置出现亮点，故A错误； B．XX′加图2波形电压、YY′加图1波形电压，屏上将出现一条竖直亮线，故B正确； C．XX′加图4波形电压、YY′加图2波形电压，屏上将出现一条水平亮线，故C错误； D．XX′加图4波形电压、电子会在水平方向上水平匀速扫描，YY′加图1波形电压，会使电子在竖直方向上按简谐振动的方式扫描，所以屏上将出现图1所示图线，故D正确。 故选BD。 3．如图所示，长的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角。已知小球所带电荷量，匀强电场的场强，取重力加速度，，。求： (1)小球所受电场力F的大小； (2)小球的质量m； (3)保持细线伸直状态，沿纸面向右，把小球拉到与悬点等高处，由静止释放，当小球运动到细线竖直时，求细线张力的大小。 【详解】（1）小球所受电场力的大小为 （2）小球处于静止状态，受力如图所示 根据平衡条件可得 解得小球的质量为 （3）对小球，从释放到最低点，由动能定理 解得 在最低点，根据牛顿第二定律，有 解得 【等效重力场中的几个重要概念】 等效重力场 重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力 重力、静电力的合力 等效重力加速度 等效重力与带电粒子质量的比值 等效“最低点” 带电粒子做圆周运动时，由圆心沿合力方向与圆周交点的位置 等效“最高点” 带电粒子做圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能 等效重力大小与带电粒子沿等效重力场方向“高度”的乘积 带电粒子在电场中的运动的综合应用及解题步骤 1.两个核心分析视角：处理这类问题，就像处理力学问题一样，只有两条路：动力学观点（牛顿定律+运动学）和能量观点（动能定理）。 （1）加速问题（直线运动）：首选动能定理 公式：​。 优势：不管电场是匀强还是非匀强，不管路径是直的还是弯的，只要知道初末位置的电势差 U，就能求速度。不需要管中间过程的时间。 注意：如果是电子、质子等微观粒子，通常忽略重力；如果是带电小球、液滴、油滴，通常要考虑重力。 （2）偏转问题（类平抛运动）：运动的合成与分解 模型：垂直射入匀强电场。 水平方向（垂直电场线）：匀速直线运动。 L=v0t（L为极板长度） 竖直方向（沿电场线）：初速度为0的匀加速直线运动。 加速度：a＝＝＝（ d为极板间距）。 侧移量： y=1/2at2。 偏转角正切：tanθ＝。 2.重要的推论：记住这些结论，做选择题能秒杀，做大题能省时间。 （1）“中点射出”推论：粒子从偏转电场射出时，速度的反向延长线交于水平位移的中点（即 L/2处）。 应用：如果题目问粒子好像是从哪里射出来的，答案永远是极板中心。 （2）比荷与轨迹的关系：若不同粒子（如质子、氘核、 α粒子）由静止经同一电场加速（电压 U1），再垂直进入同一偏转电场（电压 U2，长 L，间距 d）。 结论：它们的运动轨迹完全重合！ 3.示波器原理：示波器本质上就是上述“加速+偏转”模型的放大版。 （1）XX' 偏转电极：控制水平扫描（让光点从左往右跑）。 （2）YY' 偏转电极：控制信号显示（让光点上下跑）。 （3）图像合成：如果 XX' 加锯齿波（扫描电压），YY' 加正弦波（信号电压），且周期相同，屏幕上就会显示出一个完整的正弦波形。 避坑：如果扫描周期是信号周期的2倍，屏幕上会显示两个波形；如果是0.5倍，只能显示半个。 4.易错陷阱 （1）重力是否忽略？ 题目说“电子”、“质子”、“离子” →一般不计重力。 题目说“带电小球”、“尘埃”、“液滴” →一般计重力。 特例：如果题目明确说了“忽略重力”，那就必须忽略；或者算出电场力远大于重力（ mg≪qE），也可以忽略。 （2）圆周运动模型：如果粒子绕着固定点电荷做圆周运动（类似卫星绕地球），库仑力提供向心力：；此时电势能不变，动能不变。 （3）周期性变化电场：这类题目通常画 v−t图像或 a−t图像来辅助分析；重点看一个周期结束时的速度是否为0。如果每个周期末速度都归零，粒子就是“进两步退一步”或者“一直向前但快慢交替”。 角度01 带电粒子在匀强电场中做直线运动 1．在电场强度方向沿轴的某电场中，在区域的电势分布如图所示。一电子以初速度大小沿轴正方向从位置进入该区域，只考虑电场力作用，取沿方向为速度的正方向。关于该电子在区域内运动的速度随时间的变化图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．图像的斜率满足：本题中，电势随增大逐渐降低，因此电场强度方向沿方向；同时曲线斜率的绝对值先增大后减小，说明的大小先增大后减小。电子带负电，受到的电场力，电场力方向沿方向，由牛顿第二定律可得 图像的斜率表示加速度，大小变化规律符合电场变化规律，但电子做减速运动，通过前半段位移的平均速度大于后半段位移的平均速度，因此前半段用时短，后半段用时长，不是2倍的关系，故A错误； BC．直线型图像为加速度恒定的运动，而在区域内不存在图像斜率恒定的区域，故BC错误； D．D项图像说明电子先减速到0再反向加速，并且减速到0的点在的区域，减速和加速的图像对称，故D正确。 故选D。 2．（多选）如图所示，某静电喷雾装置在和之间产生水平向右的匀强电场，带电雾滴从边沿水平方向以不同的初速度进入电场，达到边。若雾滴均带正电且比荷相同，忽略空气阻力及重力，用表示速度的增加量，用表示速率平方的增加量。下列说法正确的是（ 　　） A．不同雾滴受到的电场力都相同 B．不同雾滴的加速度都相同 C．不同雾滴从到达过程中相同 D．不同雾滴从到达过程中相同 【答案】BC 【详解】A．电场力 匀强电场相同，雾滴比荷相同，但不同雾滴电荷量不一定相同，因此电场力不一定相同，故A错误； B．由牛顿第二定律得 可得雾滴加速度 雾滴比荷相同，相同，因此所有雾滴加速度都相同，故B正确； C．AB到CD沿电场方向的距离固定，根据动能定理有 可得 均为定值，因此不同雾滴的相同，故C正确； D．从到达过程，雾滴的位移 不同雾滴初速度不同，因此运动时间不同，则速度增加量 故不同雾滴的不同，故D错误。 故选BC。 3．一个初速度为零的电子在经的电压加速后，垂直于平行板间的匀强电场从距两极板等距处射入，如图所示，若两板间距，板长，两板间的电压；已知电子的带电量为，质量为，只考虑两板间的电场，不计重力，求： (1)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离y； (2)电子射出偏转电场后经过下极板所在平面上的P点，如图所示，P点到下极板右端的距离x。 【详解】（1）电子在加速电场中加速，由动能定理有 电子在偏转电场中，水平方向有 竖直方向上有， 整理可得 （2）电子出电场后做匀速直线运动，将电子出电场时的速度反向延长，延长线与板间中心线相交于板的中点，设速度反向延长线与水平方向的夹角为，则有 由几何关系有 解得 角度02 带电粒子在周期性变化电场中运动 4．如图甲，多级直线加速器由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数和偶数的圆筒分别与图乙所示交变电源两极相连。时，位于金属圆板（序号为0）中央的电子，由静止开始加速。若已知电子的质量为、电荷量为、交流电周期为，电子通过圆筒间隙的时间不计，忽略相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．电子在圆筒内做匀加速直线运动 B．电子在第2个与第4个圆筒中的速度之比为1∶2 C．电子在各圆筒中的运动时间均为 D．图甲中各圆筒的长度之比为1∶∶…… 【答案】D 【详解】A．金属圆筒中电场为零，电子不受电场力，做匀速运动，故A错误； BD．电子进入第n个圆筒时，经过n次加速，根据动能定理 解得 所以，电子在第2个与第4个圆筒中的速度之比为； 第n个圆筒长度 则各圆筒的长度之比为1∶∶……，故B错误，D正确； C．只有电子在每个圆筒中匀速运动时间为时，才能保证每次在缝隙中被电场加速，故C错误。 故选D。 5．（多选）平行金属板与交变电源连接，板间电压波形如图所示，一带电粒子质量为，电量，在时刻从板附近由静止释放，不计重力，设平行金属板间距离为，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能始终在板间运动，无法到达板 B．若粒子在时刻到达板（），则粒子到达板的速度大小为 C．若，粒子到达板的速度为零 D．若，为正整数，粒子到达板的速度最大 【答案】BCD 【详解】A．带正电粒子，内，，电场方向，加速度大小，方向向； 内，，电场方向，加速度大小仍为，方向反向。 则粒子先加速半个周期，后减速半个周期，由对称可知，一个周期末速度刚好减为0。 粒子速度方向始终向不会反向，一直向运动，只要时间足够，一定可以到达板，故A错误； B．若，粒子全程在电压为的电场中运动，从到电势差为，由动能定理 得，故B正确； C．粒子的位移 代入和，得 即时粒子走了一半距离，剩下在做匀减速运动，由对称可得粒子到达板速度为零，故C正确； D．粒子速度最大的情况是刚好在加速阶段结束到达板，即运动时间，为非负整数。此时总位移 代入 整理得，该式符合题意，故D正确。 故选BCD。 6．如图甲所示，真空中的电极连续不断均匀地发出电子（设电子的初速度为零），经加速电场加速，由小孔穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A、B间的中线射入偏转电场，A、B板长为2L，AB两板间加周期性变化的电场，UAB如图乙所示，周期为T，加速电压为，其中m为电子质量、e为电子电量，不计电子的重力，不计电子间的相互作用力，t=0时刻电子射入偏转电场，图中U0、T已 知。 (1)求电子从加速电场U1飞出后的水平速度v0的大小； (2)若k=1时，电子恰从A板右端边缘飞出，求两极板的间距d； (3)若该电子恰能从极板右端正中间飞出，求图乙中k的值。 【详解】（1）粒子在电场中做加速运动，根据动能定理，有 解得 （2）电子在偏转电场中水平方向做匀速直线运动，运动时间为 0- 时间内，电子的加速度为 竖直方向的位移为 竖直方向的速度为 偏转电压-U0，加速电压为 竖直方向的位移为 竖直方向总位移为 电子从A板右边缘飞出，则有 联立解得 （3）电子从极板右端正中间飞出，说明竖直方向位移为零。0-时间内，电子的加速度为 竖直方向的位移为 竖直方向的速度为 偏转电压为-kU0，加速度为 竖直方向的位移为零，则有 联立解得k=3 角度03 带电物体在匀强电场中的圆周运动 7．如图所示，倾角θ=30°的足够大的光滑绝缘斜面ABCD固定于水平地面上，空间中存在平行于斜面的匀强电场（图中未画出），长为L的绝缘轻绳一端固定于斜面上的O点，另一端连接一质量为m的带正电小球。现给小球一个初速度，使其恰好能够在斜面上做完整的圆周运动，EF为小球运动轨迹的一条直径，其与底边AB的夹角为α=45°，小球经过F点时速度最小，经过E、F两点时机械能相等。小球电荷量为q，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．电场的方向沿EF斜向上 B．电场强度大小为 C．小球经过F点时的速度大小为 D．小球运动过程中机械能守恒 【答案】C 【详解】A．小球经过、两点时机械能相等，根据功能关系，除重力外其他力做的功等于机械能的变化量，可知从到电场力做功为零，即电场力方向垂直于。又因为点速度最小，说明点为等效重力场的“最高点”，合力方向沿方向。重力沿斜面向下的分力 方向垂直向下。根据力的合成，电场力必须抵消垂直于的分量，故电场力方向垂直斜向上，电场方向垂直斜向上，故A错误； B．由几何关系可知，与夹角为。电场力 解得，故B错误； C．小球恰好做完整圆周运动，在点绳子拉力为零，合力提供向心力。合力 由牛顿第二定律 解得，故C正确； D．小球运动过程中，除重力外还有电场力做功，机械能不守恒，故D错误。 故选C。 8．（多选）如图甲所示，在竖直平面内，存在方向平行于该平面的匀强电场。长度为的绝缘轻杆一端固定一个可视为质点的带电小球，另一端套在光滑水平轴上O点，小球绕O点沿逆时针方向做圆周运动，经过M点时速度为，MO与竖直方向夹角为。若以M点为起始点，小球受到轻杆作用力的大小与小球绕O点转过角度的正弦值关系如图乙所示，图线纵截距为a，P、Q两点的纵坐标差值为小球重力的6倍，重力加速度为。则（     ） A．小球受到的电场力大小为 B．小球受到的重力大小为 C．时，应满足 D．从M点运动到速度最大的位置，电场力做功为 【答案】BC 【详解】设小球在等效重力场中运动，等效重力加速度为，等效重力 初始位置M点处轻杆与等效重力方向的夹角为，小球转过角度时，由动能定理得 沿着杆方向，根据牛顿第二定律有 联立解得 题意中F为力的大小，即取绝对值。由于图乙中F展开后是关于的一次函数，必有 若，则 此时内部函数为（随着增加，区域斜率为正，且零点在负半轴，符合图乙特征） B．由图乙纵截距可知时，，即 解得 故小球重力，故B正确； C．当时对应Q点， 当时对应P点，由于F存在零点发生绝对值折叠，图像纵坐标均为正，故 题干已知Q、P两点的纵坐标差值为，即 解得 图乙表明能够取到，说明小球能到达等效圆周运动的最高点，即在该点速度满足，将代入速度表达式得到 当时， 由 可得 代入得 解得 当时 因此，故C正确； AD．由于的大小不能唯一确定，且电场力方向未完全限定，故电场力大小及电场力做功均无法得到确定的唯一值，故AD错误。 故选BC。 9．如图所示，真空中存在水平向右的匀强电场，电荷量均为q（q＞0），电性相反的A、B两质量相同的小球，用长均为的绝缘细线悬挂于同一点O，处于静止状态。细线与竖直方向的夹角，两小球受到匀强电场的电场力大小与重力大小相等，静电力常量为k，重力加速度为g，两小球可视为点电荷，， (1)求两小球间库仑力的大小F； (2)求小球的质量m； (3)若撤去小球B，求小球A从图示位置摆到最高点的过程中，电势能的变化量。 【详解】（1）两球之间的距离为 由图可得，A、B小球分别带负电和正电，由库仑定律，得 （2）以A为研究对象，竖直方向 水平方向 又 联立得 （3）撤去小球B，小球A向左摆动，设在最高点时，细线与竖直方向的夹角为，则摆到最高点过程中，由能量守恒得 解得 摆到最高点过程中，电势能的变化量 角度04 带电物体在匀强电场中的一般运动 10．竖直平面内有一圆形区域PQNK，PN、KQ分别是圆的水平和竖直直径，M是圆弧QN的中点。匀强电场平行于该平面，方向如图所示，电场强度大小为 一个电荷量为q（q>0）、质量为m的小球多次从圆周上的P点以相同的速率向各个方向发射，小球能到达圆周上的所有位置，下列说法正确的是（     ） A．小球到达圆周上N点时动能最小 B．小球在M点的电势能最小、机械能最大 C．小球在K点的电势能与动能之和最小 D．小球从P点到达圆周各个位置的时间均不同 【答案】B 【详解】A．对小球受力分析：重力竖直向下，电场力 方向斜向右上。将电场力分解，水平分量 水平向右；竖直分量 竖直向上，与竖直向下的重力抵消。因此总合力为水平向右的恒力 加速度 水平向右。根据动能定理，初动能相同，合外力水平向右，点是圆周最右端，从到合外力做正功最多，动能最大，故A错误； B．正电荷电势能，沿电场线方向电势降低，电场方向斜向右上，点沿电场方向最远，电势最低，因此正电荷在点电势能最小；机械能变化等于电场力做功，电场力对运动到点的小球做功最多，因此小球在点机械能最大，故B正确； C．小球在运动过程中，只有重力和电场力做功，所以小球的动能、重力势能和电势能之和不变，小球在点时，重力势能最小，所以小球在点的电势能和动能之和最大，故C错误； D．小球在水平方向受恒力，做匀加速直线运动 对于圆周上关于水平直径PN对称的两个点，其竖直坐标y互为相反数，水平坐标x相同。若小球以关于水平方向对称的角度发射（即互为相反数，相同），则到达这两个对称点的时间t相同，故D错误。 故选B。 11．（多选）如图所示，竖直平面内存在足够宽广的匀强电场（大小、方向未知）。一带电量为（），质量为的小球从点以水平速度向左抛出，经过一段时间后，小球以与水平方向成的速度（大小未知）通过点正下方的点，距离为，重力加速度为，不计空气阻力。则（　　） A．小球过点时的水平速度大于 B．之间的电势差为 C．小球所受的电场力大小为 D．小球在运动过程中的最小速度为 【答案】BCD 【详解】A．小球初速度水平向左，末速度水平分速度水平向右，竖直分速度竖直向下，受匀强电场作用，因此小球在水平、竖直方向均受恒定外力，做匀变速曲线运动，设向左、向下为正。 初速度， 加速度， 由点正下方为点，距离为，则水平位移，竖直位移，设运动时间为，有，结合 解得，故A错误； BC．点速度与水平成斜向下，则解得 由解得，则由解得 由解得，则由，解得 因此电场力大小 粒子从到水平位移为零，只有竖直电场力做功 电势差，故BC正确； D．小球加速度恒定，大小，方向斜向右下。 对初速度与加速度夹角进行矢量计算，满足， 最小速度出现在速度与加速度垂直的时刻，大小等于初速度垂直于加速度的分量，即，故D正确； 故选BCD。 12．如图，水平边界M下方足够大的空间内存在水平向左的匀强电场，场强大小未知。两个质量相等的带正电小球A、B电荷量之比为1:3，在M上方等高处分别以大小为v0和3v0的初速度同时水平反向抛出，A球进入电场时速度方向与边界M成60°角，在电场中做直线运动。不计空气阻力、小球大小和电荷间的作用力，重力加速度为g，在两球碰撞前，求： (1)刚开始时小球距水平边界M的高度； (2)B球在电场中运动过程中的最小速度； (3)从进入电场开始，经多长时间两球相距最远。 【详解】（1）小球在进入电场前做平抛运动，将进入电场时的速度分解 竖直方向速度 小球距水平边界M的高度 （2）A球在电场中做直线运动，说明合力方向与速度方向共线。A球受重力和电场力，设A球电荷量为q，质量为m，则 B球电荷量为3q，则电场力 设B球所受电场力和重力的合力与电场边界夹角为α，， 设B球进入电场时速度与电场边界夹角为β，，   速度大小 将速度分解为沿合力方向和垂直合力方向，则最小速度 （3）两球在竖直分运动相同，水平速度相同时相距最远，则有，即   对A球，根据牛顿第二定律，有，解得   对B球，根据牛顿第二定律，有，解得   联立解得 角度05 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算 13．如图，匀强电场的方向与直角△ABC所在平面平行，，AB=L。O点为AC边的中点。在B点以不同方向发射动能为、电荷量为q（q>0），质量为m的粒子，经过A点的粒子动能为，经过C点的粒子动能为，不计粒子的重力。则（     ） A．电场强度的大小为 B．沿BO方向发射的粒子能沿直线到达O点 C．到达O点的粒子的动能为 D．沿C指向B的方向发射的动能为的粒子在运动过程中最小动能为 【答案】B 【详解】A．粒子由B运动到A，电场力做功为 粒子由B运动到C，电场力做功为 设电场沿BA方向的分场强为，沿BC方向的分场强为，如图 根据动能定理有， 联立解得 根据平行四边形定则，合场强大小 方向沿B指向O的方向，故A错误； B．沿BO方向发射的粒子能沿直线做匀加速直线运动到达O点，故B正确； C．根据动能定理可得 则到达O点的粒子的动能为，故C错误； D．沿C指向B的方向发射的粒子的速度为 其速度沿BO方向的分量为0时，其动能最小，动能为，故D错误。 故选B。 14．（多选）如图，平行板电容器上下两极板长L，两板之间的距离也是L，存在竖直向下的匀强电场，两个质量均为m电荷量为q（q>0）的粒子甲和乙从电场的右边界射入电场，其中甲粒子从右边界的中点射入，速度的大小为，乙粒子从右边界的最下方射入，速度的大小为。两粒子都恰能从上极板的左端水平飞出，飞出的速度大小对应为和。那么（     ） A．粒子进入电场时 B．粒子进入电场时 C．粒子离开电场时 D．粒子离开电场时 【答案】BC 【详解】CD．根据牛顿第二定律可知 可见粒子在电场中的加速度相等，粒子在电场中做类似斜抛物体运动，把它看成自左向右的类平抛运动，有， 解得 将，代入解得， 则粒子离开电场时，故C正确，D错误； AB．根据速度的合成有， 竖直方向有， 解得， 则粒子进入电场时，故B正确，A错误。 故选BC。 15．如图所示，倾角为的固定光滑绝缘斜面体，其边长为。以斜面的顶点为坐标原点，沿水平和竖直方向分别建立轴和轴。开始时空间内存在匀强电场Ⅰ，电场强度的方向沿斜面向上，大小为。一质量为、带电量的小球，从点由静止释放沿斜面向上运动。当小球由点进入第一象限时，撤去匀强电场Ⅰ，在此空间加上匀强电场Ⅱ，电场强度的方向与轴正方向夹角为斜向下。小球运动过程中经过轴上与点距离为的点，不计空气阻力，重力加速度为，。求 (1)小球刚进入第一象限时的速度大小； (2)小球从点运动到点的时间； (3)匀强电场Ⅱ的电场强度大小。 【详解】（1）小球沿斜面上运动，根据牛顿第二定律有 根据运动学规律有 解得 （2）将小球在O点速度沿x、y方向分解，有， 设电场Ⅱ大小为E，则沿x方向有， 小球到达Q点时y=0，有， 解得或 （3）根据（2）中式子解得或 角度06 带电粒子在径向电场中的运动 16．如图所示，一电荷量为的点电荷固定于点，且在整个空间中存在竖直方向的匀强电场（图中未画出）。一个质量为、电荷量为的带电粒子在水平面内绕做速率为的匀速圆周运动，两点电荷之间的距离为，。若在某一时刻撤掉匀强电场，并从此时开始计时，经过时间速度方向第一次变化，紧接着又经过时间速度方向又变化了，此时带电粒子的速率为。已知静电力常量为，不计粒子重力。则（　　） A．匀强电场方向竖直向下 B．匀强电场的电场强度大小为 C． D． 【答案】D 【详解】A．点的正电荷对负粒子的库仑力是吸引力，方向斜向上指向，因此库仑力的竖直分量向上；粒子在水平面内做匀速圆周运动，竖直方向合力为零，因此电场力必须向下平衡该分量。负电荷受力方向与电场方向相反，电场力向下说明电场方向竖直向上，故A错误； B．带电粒子受到的库仑力的大小为 由几何关系可知库仑力与竖直方向的夹角满足 负粒子竖直方向受力平衡，有 故匀强电场的电场强度大小，故B错误； C．撤去匀强电场后，粒子仅受库仑力作用，粒子会向点靠近，做椭圆运动，速度方向第一次变化的过程中，库仑力做正功，动能增大，因此，故C错误； D．由于库仑力与万有引力表达式具有相似性，撤去匀强电场后，粒子绕正电荷做椭圆运动，相同时间内粒子与连线扫过的面积相等；粒子速度方向第二次变化过程中，粒子扫过的面积比速度方向第一次变化过程中扫过的面积小，可知，故D正确。 故选D。 17．（多选）如图所示，某静电分析器的两电极之间存在指向圆心O的辐向电场。三个带电粒子有相同的动能从A点垂直端面射入，仅在静电力作用下，甲粒子从B射出，乙粒子做圆周运动从C射出，丙粒子从D射出。已知甲、乙、丙的电荷量大小分别为、、，，。下列说法正确的是（     ） A．甲、乙、丙粒子均带正电 B． C．乙粒子经过的位置电场强度大小均为 D．甲粒子动能变化的绝对值大于丙粒子动能变化的绝对值 【答案】AD 【详解】ABC．三个带电粒子都做近似圆周运动,所受电场力(向心力)与场强方向相同，故三个粒子都带正电，因，故易知乙粒子做匀速圆周运动从C射出，根据牛顿第二定律 乙粒子经过的位置电场强度大小均为 甲粒子做向心运动 丙粒子离心运动 则，故BC错误， A正确； D．因为BC间平均场强比CD平均场强大，又 故 则 故甲粒子动能的增加量大于丙粒子动能的变化量的绝对值，故D正确。 故选AD。 18．如图所示，在xOy坐标系中，在第Ⅱ象限放置了粒子射线管，粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成。细管C到两板的距离相等，且开口在y轴上（图中细管C与两板绝缘）。粒子源P靠近在A极板下方的最左端，可以斜向下沿某一方向发射初速度为的带电粒子。A、B板长为L，当A、B板加上某一电压时，带电粒子刚好能以的速度水平进入细管C且保持速度水平射出。然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做半径为的匀速圆周运动，静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，且粒子经过处的电场强度大小均为。已知带电粒子的质量为m，电子电量为e，重力不计。忽略电场的边缘效应，求： (1)金属板A、B间的电势差； (2)粒子从A板最左边到C点入口处所用时间t。 【详解】（1）带电粒子从P点运动到C入口的过程中，由动能定理可得 带电粒子在分析器中做匀速圆周运动，电场力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得， 则金属板A、B间的电势差 （2）根据上述分析可知，粒子带正电，粒子在A、B间做类平抛运动，粒子在水平方向做匀速直线运动，结合题意可得 解得粒子从A板最左边到C点入口处所用时间 角度07 带电物体在非匀强电场中的运动 19．如图所示，在竖直放置的光滑半圆形绝缘细管的圆心O处放一点电荷。现将质量为m、电荷量为q的小球从半圆形管的水平直径端点A静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力。若小球所带电量很小，不影响O点处的点电荷的电场，则置于圆心处的点电荷在B点处的电场强度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知小球从A运动到B的过程中根据动能定理 在B点，根据向心力公式 联立可得B点的电场强度 故选C。 20．（多选）如图甲所示，两平行板、水平正对放置，在其右侧有汇聚形的电场，电场线的延长线的交点在点（的中点），在两平行板间加上周期为的交变电场（如图乙所示），两板间电势差的绝对值为。时刻一质量为、带电量为的粒子（不计重力）从点以水平向右的速度射入匀强电场，时刻到达、的交点，接着从点垂直进入辐射状电场做匀速圆周运动，经过半个圆周到达点，到达点时的速度水平向左，最后从点离开电场，下列说法正确的是（　　） A．两平行板的长度为 B．粒子在点的速度大小为 C．两平行板间的距离为 D．粒子从到受到的电场力的大小为 【答案】BD 【详解】A．由于粒子在水平方向做匀速直线运动，从A到M沿初速度方向的位移 由对称性可知，粒子在T时刻到达B点，两平行板的长度，故A错误； BC．时间内，粒子在水平方向做匀速直线运动，则有 竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得 竖直方向的速度 竖直方向上的位移 粒子在水平方向依然做匀速直线运动，竖直方向做加速度大小不变的减速运动，根据运动的对称性可知，粒子到达B点时竖直方向速度为零，竖直方向的位移大小依然为 故有 解得两平行板间的距离 时刻竖直方向的速度 故0.5T时刻，粒子在点的速度大小为，故B正确，C错误； D．由题可知，粒子在电场中做匀速圆周运动的半径 电场力为粒子圆周运动提供向心力，根据牛顿第二定律则有 联立解得，粒子圆周运动时所受电场力的大小为，故D正确。 故选BD。 21．如图所示，在O点处固定一个正点电荷，在过O点的竖直平面内的A点，由静止释放一个带正电的小球，小球下落的轨迹如图中虚线所示，它与以O点为圆心、R为半径的圆相交于B、C两点，O、C两点在同一水平线上，∠BOC= 30° ，A点距离OC的高度h=1.5R，若小球的质量为m，电荷量为q，小球通过B点时的速度大小，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求： (1)小球通过C点时的速度大小vC； (2)A、C两点之间的电势差UAC。 【详解】（1）由于B、C两点处于同一等势面上，小球由B到C过程中，根据动能定理得 解得 （2）小球由A到C过程中，根据动能定理得 解得 角度08 与图像 22．加速电场、偏转电场与荧光屏组成的示波管结构示意图如图所示。忽略电子重力，下列说法错误的是（    ） A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场仅改变速度的方向但不改变速度的大小 B．荧光屏上可以产生倾斜亮线 C．若、的电势均低于Y、X的电势，则电子打在XOY区域 D．水平偏转电场可使电子做匀变速曲线运动 【答案】A 【详解】A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场不但改变速度的方向且能改变速度的大小，故A错误，符合题意； B．当电子枪源源不断的发出电子，在两偏转极板上加上合适的周期性电压，荧光屏上就可产生倾斜亮线，故B项正确，不符合题意； C．若、的电势均低于Y、X的电势，则偏向低电势极板，电子会打在XOY区域，故C正确，不符合题意； D．水平偏转电场提供的加速度不变，可使电子做类平抛运动即匀变速曲线运动，故D项正确，不符合题意。 本题选择错误选项，故选A。 23．（多选）在示波管中，电子通过电子枪加速，进入偏转电极，然后射到荧光屏上。如图所示，电子的质量为m（不考虑所受重力），电荷量为e，电子从静止开始，经过电压为的加速电场水平加速后进入偏转电场，偏转电场中两板之间的距离为d，板长为L，偏转电压为，下列说法正确的是（　　） A．电子离开加速电场时速度大小为 B．电子离开偏转电场时速度方向和水平方向夹角的正切值为 C．电子离开偏转电场时速度大小为 D．电子射到荧光屏上的动能为 【答案】BD 【详解】A．电子离开加速电场时速度大小为，由动能定理得 解得，A错误； B．电子在偏转电场中做类平抛运动，有 其中， 代入解得 设电子离开偏转电场时速度方向和水平方向夹角为，则，B正确； C．电子离开偏转电场时速度大小 代入解得，C错误； D．电子离开偏转电场时竖直方向上的位移 解得 电子在加速电场和偏转电场中，电场力做正功，离开偏转电场后，做匀速直线运动，所以由动量定理可得，射到荧光屏上的动能 解得，D正确。 故选BD。 24．炮瞄雷达的示波管用于显示其雷达信号，如图1为封装于真空玻璃壳中示波管的核心部分XXʹ两极间加锯齿形扫描电压，YYʹ两极接雷达电压信号，电子从电子枪以初速度为零逸出，经电压U0的电场加速后，进入偏转电极XXʹ和YYʹ偏转，最后打在荧光屏上形成一个亮斑，当两偏转电极都不加电压时，电子射到荧光屏中央O点。已知电子的电量为e，质量为m，电子所受重力及电子之间的相互作用力均可忽略不计，偏转电极XXʹ和YYʹ沿轴线方向的长度和极板间的间距均为L，YYʹ右边缘到荧光屏的距离为D。某次测量中在示波管荧光屏显示了一个“V”形信号如图2，已知“V”形信号的两个顶点在荧光屏上关于y轴对称，左边顶点在荧光屏上的坐标为（-X0，Y0），单个电子穿过极板时间极短，视为电压不变。求： (1)电子离开加速电场时的速度多大？ (2)示波管电极YYʹ接收到的雷达信号电压Uy的变化范围。 【详解】（1）电子在加速电场中，根据动能定理可得 所以电子离开加速电场时的速度大小为 （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，则，， 所以 电子打在荧光屏上，有 所以 所以示波管电极YYʹ接收到的雷达信号电压的变化范围为。 【例1】（2026·河南·高考真题）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 【详解】（1）设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 由于则粒子在反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 （2）在加速电场中，根据位移时间关系 其中 可得加速电场中运动时间 无场区运动时间 离子从到射出反射电场所用时间 可知，即 可得 【深化点拨】 1、动能定理电场加速模型：初速度为零的带电离子经匀强电场加速，电场力做功全部转化为离子动能，出射速度只和加速电压、离子比荷相关，是质谱类装置通用基础模型。 2、运动的正交分解思想：离子斜向进入反射匀强电场，将速度拆分为平行电场、垂直电场两个独立分量，两分运动互不干扰，分开分析往复减速、匀速侧移两类运动。 3、匀变速往复直线运动规律：平行电场方向离子受恒定电场力，先减速到零再反向加速原路返回，往返总时长仅由初分速度与加速度决定；垂直电场不受力，全程保持匀速直线运动。 4、无关量推导的证明逻辑：通过推导垂直电场侧移位移，发现最终侧移距离仅由装置固定参数决定，和离子电荷量、质量无关，以此证明所有离子出射点重合，训练定量推导定性结论的证明思路。 5、多阶段分段运动拆解：完整运动分为三段：加速电场匀加速、无场区匀速直线、反射电场类抛体往复运动，总飞行时间为三段时长之和，整体时间与比荷存在固定比例关联。 6、比例法简化运算：总运动时间和比荷的平方根存在正比关系，利用时间比值反向推导两种离子比荷之比，规避复杂分步计算，掌握比例快速求解的解题技巧。 【变式1-1】（2026·云南·高考真题）如图所示，在大小、方向均未知的匀强电场中，O、M、N三点处于同一竖直面内，将一质量为0.1kg、电荷量为1.0×10－6C的带正电的小球（视为质点）从O点抛出，小球1s后到达O点正上方3m处的M点，再经1s到达N点，O、N两点在同一水平线上且相距3m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，设电场强度大小为E，O、N两点的电势分别为φO和φN，则（   ） A．E = 6.7×105V/m，φO > φN B．E = 6.7×105V/m，φO < φN C．E = 5.0×105V/m，φO > φN D．E = 5.0×105V/m，φO < φN 【答案】C 【详解】根据题意0 ~ 1s水平位移为0，可得v0x＋0.5ax = 0 竖直位移为3m，可得vy0＋0.5ay = 3 0 ~ 2s水平位移为3m，可得2v0x＋2ax = 3 竖直位移为0，可得2vy0＋2ay = 0 解得ax = 3m/s2，ay = －6m/s2 对小球受力分析有 代入数据得Ex = 3.0×105V/m，Ey = 4.0×105V/m 故电场强度大小 电场方向斜向上偏N侧，Ex > 0表明沿x轴正方向电势降低，故φO > φN。 故选C。 【变式1-2】（2026·山东·高考真题）（多选）融合新型功能材料的传感器在智能感知领域得到广泛应用。如图所示，光滑、绝缘椭圆轨道竖直放置，长轴、短轴，AC与 交于 点，为最低点， 点处内置可感知轨道压力的传感器。空间内充满平行轨道平面、斜向上的匀强电场（图中未画出）。质量为、电荷量为的小球置于 点时恰好静止，此时传感器示数等于，g为重力加速度的大小。下列说法正确的是（     ） A．电场强度的大小为 B．电场强度方向与的夹角为 C． 、两点间的电势差 D．若小球在点的速度水平向右、大小为，则到达点时速度大小仍为 【答案】BCD 【详解】AB．作出小球在点时的受力分析图如图1所示 由力的平衡条件结合几何关系有 所以电场强度的大小，且其方向与的夹角满足，则，故A错误，B正确； C．分别作出、两点在经过点的电场线上的两等势点、，如图2所示 则由几何关系可知，、两点间沿电场方向的距离为 所以、两点间的电势差为，故C正确； D．小球所受支持力对其始终不做功，根据题意可知，小球所受电场力与重力的合力水平向右，连线沿竖直方向，所以从B到的过程，小球所受合外力做的总功为0，由动能定理可知其动能变化量为0，故小球在、两点的速度大小均为，故D正确。 故选BCD。 【变式1-3】（2026·广东·高考真题）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 【详解】（1）当小球刚好到金属板时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 （2）小球从金属板到金属板过程，根据动能定理 小球第一次碰撞前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 （3）如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 【例2】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 【详解】（1）根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，由对球，根据牛顿第二定律有 a运动到最高点的时间，由运动学公式有 联立解得 （2）方法一、根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为 斜下抛的小球竖直方向上运动位移为 则小球a到达最高点时与小球b之间的距离 方法二、两个小球均受到相同电场力，以a球为参考系，球以的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离 【深化点拨】 1、匀强电场中牛顿第二定律应用：带电粒子在匀强电场仅受电场力，电场力提供恒定加速度，加速度大小由电场强度、粒子比荷决定，是类抛体运动的受力基础。 2、运动的正交分解法：将斜向初速度拆分为水平、竖直两个独立分运动；水平方向不受力做匀速直线运动，竖直方向受恒定电场力做匀变速直线运动，两分运动互不干扰。 3、类竖直上抛最高点判定规律：竖直向上的分速度减为零时粒子到达轨迹最高点，可通过竖直分速度与加速度求解上升至最高点的时间。 4、同步运动相对运动分析技巧：两粒子加速度完全相同，存在相对匀速运动的简便分析思路，不用分别计算两段位移再求和，简化间距计算过程。 5、同起点反向斜抛位移差求解：两粒子水平分速度一致，全程横向位置始终对齐，间距仅由竖直方向位移差值决定；一者竖直上抛、一者竖直下抛，竖直位移相加得到二者间距。 6、电场与曲线运动综合模型：把重力场斜抛运动模型迁移到匀强电场，去掉重力替换为电场力，考查模型迁移、分运动拆解、相对运动两种解题思路。 【变式2-1】（2025·广东·高考真题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处，由静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板瞬间，颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间的k倍（）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B点与左平板的距离为l，电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求： (1)颗粒碰撞前的电荷量q。 (2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q。 (3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。 【详解】（1）根据题意可知，颗粒在竖直方向上做自由落体，则有 水平方向上做匀加速直线运动，则有， 解得 （2）根据题意可知，颗粒与绝缘板第一次碰撞时，竖直分速度为 水平分速度为 则第一次碰撞后竖直分速度为 设第一次碰撞后颗粒速度方向与水平方向夹角为，则有 由于第一次碰撞后瞬间颗粒所受合力与速度方向垂直，则有 联立解得 （3）根据题意可知，由于，则第一次碰撞后颗粒不能返回上绝缘板，若颗粒第二次碰撞是和下绝缘板碰撞，设从第一碰撞后到第二次碰撞前的运动时间为，则有 水平方向上做匀加速直线运动，加速度为 水平方向运动的距离为 则电场对颗粒做的功为 若，则颗粒第二次碰撞是和右侧金属板碰撞，则颗粒从第一次碰撞到第二次碰撞过程中水平方向位移为，颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中，电场对颗粒做的功为 【变式2-2】（2026·贵州·高考真题）在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： (1)小球的质量和电场强度大小； (2)小球的最大加速度大小； (3)施加电场后，、两点间的电势差。 【详解】（1）小球第一次达到最大速率时，受力平衡，根据平衡条件有 解得小球的质量为 小球再次到达最大速率时，受力平衡，小球到达M点上方N点，速度方向竖直向上，则空气阻力竖直向下，根据力的平衡条件有 解得电场强度大小为 （2）对小球从P点运动到M点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，从M点运动到最低点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的减速运动，小球从最低点运动到N点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，小球从静止释放时加速度为g，小球运动到M点加恒定匀强电场时有 解得 则小球的最大加速度大小为。 （3）对小球从M点运动到N点的过程，由动能定理有 其中 联立解得M、N两点间的电势差为 【变式2-3】（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为。随后，液滴以的速度竖直进入长度为的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求： (1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离； (2)A、B细胞收集管的间距。 【详解】（1）由题意可知含A细胞的液滴在电场中做类平抛运动，垂直于电场方向则 沿电场方向 由牛顿第二定律 解得含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离为 （2）含A细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则 则 联立解得 有对称性可知则A、B细胞收集管的间距 ⚡基础速刷 1．如图所示，带电小球A用绝缘支架固定，小球B用绝缘细线悬挂，平衡时它们处于同一高度，此时绝缘细线与竖直方向的夹角为θ。若只增加小球A的电荷量，则θ的变化情况是（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法确定 【答案】C 【详解】对B球分析可知，其中 若只增加小球A的电荷量，则两球之间的库仑力变大，则θ变大。 故选C。 2．如图所示，电荷量为的均匀带电圆盘B，固定在竖直面内，绝缘细线一端固定在A点，另一端连接电荷量为、质量为m的金属小球C。小球静止于圆盘的轴线上，到圆心O的距离为d，OC之间的电势差为U，细线与水平面的夹角为，重力加速度为g。则小球静止处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据平衡条件可知，小球受到的电场力为 则小球静止处的电场强度大小为 故选B。 3．示波管是示波器的核心部件，由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，其原理图如图1所示。当UYY'=0且UXX'=0时，荧光屏中央O处会出现一个亮斑。若UYY'-t图像和UXX'-t图像分别如图2、3所示，则此时荧光屏上出现的亮斑位置可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】电极接入如图3所示电压，且电压大小不变，则电子向方向偏转，且位置不变，电极接入如图2所示电压，且电压大小不变，则电子向Y方向偏转，且位置不变，根据运动的合成，所以在荧光屏上得到的信号在一个周期内的稳定图像，如图B所示。 故选B。 4．（多选）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有均匀分布的辐向电场，电场线沿半径方向指向圆心。粒子从点射入后，恰好能沿圆弧虚线运动，并从点射出。粒子仅受电场力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．圆弧虚线是等势线 C．粒子射出时的速度大于射入时的速度 D．增大电场强度，可使粒子转向半径减小 【答案】BD 【详解】ABC．粒子仅受电场力作用，恰好能沿圆弧虚线运动，则粒子做匀速圆周运动,由电场力提供向心力，所受电场力指向圆心，电场力方向与电场强度的方向相同，故粒子带正电，粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，运动过程中电场力不做功，则圆弧虚线是等势线，AC错误，B正确； D．由电场力提供向心力有 可知增大电场强度，粒子所受电场力增大，速度大小不变，则粒子转向半径减小，D正确。 故选BD。 5．（多选）如图甲，、为两竖直的间距为的平行金属板，两板间的电势差随时间变化的图像如图乙所示。一群相同的带电粒子在时间内的不同时刻从板附近的点由静止释放，仅在电场力作用下运动，其中在时刻释放的粒子恰好在时运动到板且速度为。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．这些粒子带正电 B．粒子运动的加速度大小均为 C．不同时刻从出发的粒子向右运动的时间都相同 D．时从出发的粒子，在板间向右运动后返回 【答案】ABD 【详解】A．在时刻释放的粒子恰好在时运动到板且速度为，粒子先向右加速后向右减速，根据图像可知，时间内，电场场强水平向右，且粒子受电场力向右，所以粒子带正电，故A正确； B．在时刻释放的粒子恰好在时运动到板且速度为，根据位移关系 解得，故B正确； C．位移相同，不同时刻从出发的粒子向右加速时间不同，则运动的时间不一定相同，故C错误； D．时从出发的粒子，在板间向右加速后加速度反向，仍向右减速后返回，位移为，故D正确。 故选ABD。 6．如图所示，MN是一对彼此绝缘，相距为的平行金属带电极板组成的电容器，N板接地（电势为0），在两极板MN间的A点有一带电荷量为的小液滴，其质量为，恰好处于静止状态，M板带电荷量的绝对值为。重力加速度为。求： (1)两板间电势差； (2)电容器的电容； (3)上极板M的电势。 【详解】（1）对小液滴分析可知 其中 解得 （2）根据 可得电容器的电容 （3）因小液滴受电场力向上，可知场强向下，则 因可得 7．如图所示，用一条绝缘细线悬挂一个质量m=0.4kg的带电小球P，小球处于水平向右的匀强电场中，静止时细线与竖直方向的夹角为37°。已知电场强度大小，，，求： (1)判断小球带正电荷还是带负电荷； (2)细线的拉力大小F； (3)小球所带电荷量q。 【详解】（1）小球受到的电场力方向向右，与场强方向相同，所以小球带正电； （2）对小球在如图所示力的作用下处于平衡状态 由平衡条件得 解得细绳的拉力为 （3）继续由平衡条件可知 小球的电荷量 🚀能力跃升 8．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为，则初速度之比为，沿电场方向的位移大小相等，由可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有 可得 可知，带电粒子具有相同比荷，故A错误； B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误； C．沿电场方向，由公式可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误； D．由图可知，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为，则所用时间之比为，故D正确。 故选D。 9．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入电压为的电场（为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距极板L处，样品中心位于点。假设单个离子在通过区域的极短时间内，电压可视为不变，当时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．的最大值 B．当且时，离子恰好能打到样品边缘 C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大 D．在和时刻射入的离子，有可能分别打在A和B点 【答案】B 【详解】A．粒子在加速电场中被加速时 在偏转电场中做类平抛运动，则， 解得 选项A错误； B．当时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则 解得 选项B正确； C．根据 若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C错误； D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻射入的粒子打到A点时的竖直位移小于打到B点时的竖直位移，则选项D错误。 故选B。 10．（2025·福建·高考真题）角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器，其核心装置中有两个同心半球极板。垂直半球底面儿且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场，其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子A以初动能，从入口M点垂直半球底面入射，从N点射出，电子b也从M点垂直半球底面入射，经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示，已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆，与OP交于H点，H、P两点间的电势差为U，，，电子电荷量大小为，重力不计。则（　　） A．P点的电场强度 B．电子a在H点儿受到的电场力大小为 C．电子b在P点动能小于在Q点动能 D．电子b从M点运动到Q点的过程中，克服电场力所做的功小于2eU 【答案】D 【详解】AB．a粒子入射动能为Ek，根据动能的表达式有 粒子恰好做圆周运动，则 联立解得 根据电场强度的分布可知P点的电场强度小于，故AB错误； C．已知|NQ|=2|HP|，因为HN在同一等势线上，且沿电场方向电势降低，则Q点电势小于P点，电子在电势低处电势能大，则b粒子在Q点电势能大，根据能量守恒可知，b粒子在Q点动能较小，故C错误； D．由电场线密度分布情况可知，沿径向向外电场强度减小，则HP之间平均电场强度大小大于NQ之间的平均电场强度大小，根据 可知 则b粒子全程的克服电场力做功，故D正确。 故选 D。 11．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得A点弹簧伸长量为，B点和C点弹簧压缩量为，即三个位置弹簧弹性势能相等，则由A到B过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加， 同理B到C过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小， 由A到C全过程则有 因此 故选C。 12．（多选）如图是加速电场与偏转电场的组合。当加速电压为、偏转电压为、偏转极板长为、板间距离为时，电子打在荧光屏上形成光斑，则（    ） A．只增大，偏转电场的电场强度增大 B．只增大，荧光屏上光斑的位置不变 C．只增大，电子穿越偏转电场的时间变短 D．只增大，能使荧光屏上光斑向上移动 【答案】CD 【详解】A．两偏转极板间的电场强度，所以只增大，偏转电场的电场强度将减小，故A错误； BD．根据动能定理，在加速电场中有 所以电子进入偏转电场的速度 而电子在偏转电场中做类平抛运动的时间 所以偏移量 所以只增大或，电子的偏转量都将增大，荧光屏上光斑的位置也会向上移动，故B错误，D正确； C．电子在偏转电场中做类平抛运动的时间 所以增大时，电子穿越偏转电场的时间变短，故C正确。 故选CD。 13．（多选）如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为L=0.4m的绝缘线把质量为m=0.20kg，带有q=6.0×10-4C正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止于B点时细线与竖直方向的夹角为θ=37°，将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，已知A、C两点分别为细线悬挂小球的水平和竖直位置（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求（　　） A．该匀强电场的场强为2.5×103N/C B．小球通过最低点C时的速度v0大小为2 C．小球通过最低点C时，细线对小球拉力F的大小为3N D．小球从位置A到位置C的过程中电势能增大 【答案】ACD 【详解】A．小球静止于B点时，根据平衡条件有 解得E=2.5×103N/C，故A正确； B．小球从A运动到C过程，根据动能定理有 结合上述解得，故B错误； C．小球在C点时，由小球所受重力和细线的合力提供向心力，则有 结合上述解得，故C正确； D．小球从A运动到C过程中电场力做负功，则电势能增大，故D正确。 故选ACD。 14．如图所示，水平地面上方加上一个场强方向水平向左的匀强电场，质量为m=1kg、带电量为q=0.1C的正电小球从距地面高度为35m处以10m/s的初速度水平向右抛出。在抛出点右下方有一根管口比小球直径略大的粗糙程度均匀的竖直吸管，管的上口距小球抛出点的高度差5m，下口恰好接触地面，带电小球抛出后恰好可以无碰撞地进入吸管，g=10m/s2。求： (1)带电小球刚进入吸管的速度大小； (2)电场强度的大小； (3)小球从抛出到落地的时间为3s，求小球与吸管摩擦产生的内能 【详解】（1）依题意，带电小球抛出后恰好可以无碰撞地进入吸管，则此刻，小球水平方向的速度减为零，即带电小球刚进入吸管的速度大小 小球竖直方向做自由落体，由位移与速度关系 有，其中 得 （2）竖直方向，由速度与时间关系 有 得 小球水平方向做匀减速直线运动，由牛顿第二定律有 由速度与时间关系有，其中 得 （3）依题意，小球从抛出到落地的时间为，则在吸管中运动时间，由图可知，吸管的长度，小球在吸管中运动时，在竖直方向受重力和摩擦力作用，设小球落地时的速度为，若，则小球向下做匀速直线运动，内只能下滑，而，不符合题意，故小球在竖直方向一定做匀加速直线运动，由平均速度与位移的关系式有 得 由动能定理有 根据功能关系有小球与吸管摩擦产生的内能 得 15．如图甲所示，质量为、带电量为的初速度为零的带电粒子，经A、B间的电场加速后，沿水平放置的平行极板、的中心线进入偏转电场。已知极板A、B间电压为，极板、的板长为 ，板间距离为。、板间加上周期性变化的电压，如图乙所示，，。粒子的重力忽略不计，两板间电场看作匀强电场。 (1)求粒子射入偏转电场时的速度大小； (2)若粒子在 时刻进入、间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于极板方向的偏转距离： (3)若粒子在时刻进入、间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于极板方向的偏转距离。 【详解】（1）带电粒子经电场加速由动能定理 粒子射入偏转电场时的速度大小 （2）粒子在时刻进入偏转电场，水平方向做匀速直线运动有 解得 竖直方向做匀加速直线运动 粒子离开偏转电场时沿垂直于板面方向的偏转距离 （3）粒子在时刻进入偏转电场，粒子离开偏转电场所用时间 时间内，竖直方向做匀加速直线运动，加速度 位移 时间内，竖直方向做匀减速直线运动，加速度 位移 粒子离开偏转电场时沿垂直于板面方向的偏转距离 🌟思维挑战 16．如图所示，两带等量正电荷的小球分别固定在M、N两点，O点为其连线中点，A'和A、B'和B分别为竖直中垂线上对称的点。现将另一质量为m、电荷量为q的小球从O点由静止释放，小球经过A、B两点时的加速度大小均为2g。已知O、A、B三点的电势分别为φO、φA和φB。O、A两点间距为h1，O、B两点间距为h2。小球均可视为质点。重力加速度为g。不计空气阻力。若该小球从B'点以某一初动能竖直下落，则（　　） A．小球从B'点运动到A'点的过程中所受静电力逐渐增大 B．小球从B'点运动到A'点的过程中速度先减小后增大 C．若小球能从B'点运动到O点，其初动能至少大于 D．小球从B'点运动到O点的过程中机械能的变化量为 【答案】C 【详解】A．等量正电荷中垂线的电场特点：O点（连线中点）场强为0，沿中垂线向两侧，场强先增大后减小，方向为沿中垂线背离O点；结合题意分析得小球带正电，对称点场强大小相等，且、处 解得、处 处电场力向上，大小也为 从到（向O靠近），场强先增大后减小（因为处场强大小均为，中间场强更大），因此静电力先增大后减小，不是逐渐增大，故A错误； B．从到过程中，电场力一直向上，且（起点、终点，中间） 合力一直向上，速度方向向下，因此小球一直做减速运动，不是先减小后增大，故B错误； C．小球从到O过程中，点是速度最小点：点以上合力向上（减速），点到O合力向下（加速），因此只要小球能到达点，就能运动到O点。对过程，刚好到达时末动能为0，由动能定理可得 整理得最小初动能)，因此初动能至少大于该值，故C正确； D．机械能变化量等于除重力外其他力做功，即等于电场力做功，故D错误。 故选C。 17．如图所示，竖直平面内固定一圆心为O的圆弧细管道GH，绝缘且内壁光滑，管道底端H与水平地面相切。在圆弧轨道所处的平面内，质量为m的带电小球a由绝缘细线OM和ON悬挂在O点处于静止状态，OM水平，ON与水平方向夹角为。质量为m可视为质点的带电小球b从G端口由静止释放，当小球b运动到H端时对管道壁恰好无压力。已知重力加速度为g，，小球b由G滑到H过程中，OM绳上拉力的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球b所受库仑力和管道弹力始终与速度垂直，只有重力做功，小球b机械能守恒，从G滑到H的过程中有 只有当小球a和小球b存在相互吸引的库伦力时，小球b运动到H端时对管道壁才有可能恰好无压力，此时有 设小球b与O的连线与水平方向的夹角为，对小球a受力分析，在竖直方向 在水平方向其中 联立解得 当取时，OM绳上拉力最大，。 故选B。 18．（多选）如图所示，竖直平面内光滑绝缘杆与半径为的圆周交于、两点，点为的中点，点为圆周与水平面的切点，圆心处固定一正点电荷。一质量为、电荷量为的小球套在杆上，从点由静止开始下滑。已知点距水平面的竖直高度为，小球滑到点时的速度大小为，小球可视为质点，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小球下滑过程中电势能先增大后减小 B．小球滑至BC中点时动能最大 C．、两点间的电势差 D．小球滑至点时的速度大小为 【答案】CD 【详解】A．小球下滑过程中电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，A错误； B．小球动能最大时，电场力和重力沿AC方向的分量相等，则该位置在BC中点下方位置，B错误； C．BC两点电势相等，则AC两点间的电势差等于AB两点的电势差，由A到B根据动能定理 解得，C正确； D．从A到C由动能定理 解得小球滑至点时的速度大小为，D正确。 故选CD。 19．（多选）某实验小组设计了一个装置，左边由1块金属板和5个中间开有小孔的金属筒组成，彼此间存在很窄的狭缝，右侧有一个接收屏，距离右侧出口上方处固定一个电荷量为的点电荷。现让带电量大小为q，质量的粒子从紧挨金属板右侧虚线处静止释放，同时接通如图所示交流电，且初始时奇数筒电势高。粒子在每个狭缝中都能一直加速，最后从右侧射出后，最终打在接收屏上。已知点电荷周围电势为，不计点电荷对接收屏左侧区域的影响，忽略粒子的重力，则（     ） A．粒子带负电 B．粒子在接收屏左侧区域，一直做加速运动 C．接收屏接收粒子位置在出口上方处 D．粒子在接收屏右侧区域飞行的时间为 【答案】AD 【详解】A．初始时奇数筒电势高，场强方向向左，而带电粒子能够向右加速，所以粒子带负电，故A正确； B．在金属筒内，由于静电屏蔽内部场强为0，此时为匀速直线运动，故B错误； C．从5号筒飞出后动能为 解得速度为 电势能为，设飞至接收屏时离Q的距离为b，则有 类比天体运动特点还应存在 联立可得 则接收粒子位置应为出口上方处，故C错误； D．类比天体运动，飞行周期应与半径为的圆周运动周期一致。则有 可得 则飞行时间为，故D正确。 故选AD。 20．如图所示，两正对平行金属板水平放置，板长为L，板间距为d，上极板与电源负极相连，下极板与电源正极相连，电源电压为U，虚线为平行金属板的中心轴线。闭合开关后，从两平行板间上半区域的左侧沿中心轴线的方向以相同的速度射入宽度为的电子束，恰好无电子从板间射出。已知电子的电荷量为，忽略电子间的相互作用，不考虑电场的边缘效应，求： (1)电子束击中下极板沿中心轴线方向的长度； (2)若将下极板向下平移的距离，靠近上极板边缘的电子从进入到离开电场过程中，电场力所做的功； 【详解】（1）由于恰好无电子从板间射出，则从上极板边缘入射的电子恰好打在下极板右端，电子做类平抛运动，则有， 沿中轴线入射的粒子， 解得 则电子束击中下极板沿中心轴线方向的长度 （2）靠近上极板边缘的电子离开电场过程， 根据牛顿第二定律有， 解得 则电场力做功 解得 21．如图1所示，两块足够大的平行金属板水平放置，O、分别为两极板中心位置，且处于同一竖直线，将两极板接入电路，带电小球通过绝缘细线悬挂于上极板O点。已知绳长为，小球质量为m，两极板初始间距为，电源电压均为U，小球可视为质点，空气阻力忽略不计，重力加速度为。 (1)将开关K打到1，小球静止，细线拉力恰好为零，求小球所带电荷的电性与电荷量q； (2)将开关K打到2，令小球做圆锥摆运动，如图2所示，若细线与竖直方向的夹角为，求角速度； (3)在（2）的基础上断开开关，沿竖直方向调节下极板，若两板调至不同间距d时断开细绳，小球最终均落在下极板上，请分析小球落点与下极板中心的距离s与两极板间距d的关系。 【详解】（1）将开关K打到1，小球静止，细线拉力恰好为零，则小球受到的重力与电场力平衡，电场力方向竖直向上，与场强方向相同，故小球带正电；由平衡条件可得 又 解得 （2）开关打到2，电场力大小不变，方向相反，则电场力与重力的合力方向竖直向下，大小为；令小球做圆锥摆运动，若细线与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 解得 （3）经分析，断开开关，电容器所带电荷量不变，由 可知两极板间距d变化时两板间电场强度不变； 带电小球在水平面圆周运动的线速度大小为 解得 绳子断裂后，小球做类平抛运动。竖直方向有 水平方向有 联立解得 落点到的距离 解得（） 22．如图所示，足够长的粗糙绝缘水平轨道与竖直光滑绝缘的半圆轨道在点平滑连接，半圆轨道半径，过半圆轨道圆心的水平界面的下方和竖直直径的左侧空间分布有水平向右的匀强电场，电场强度，竖直直径及其右侧空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度，质量为，带电量的小滑块从水平轨道上点由静止释放，当滑块运动到半圆轨道最高点时对轨道的压力大小为。已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度，整个运动过程中滑块电荷量保持不变，不计空气阻力，求： (1)小滑块运动到半圆轨道最高点时的速度大小； (2)释放点到半圆轨道最低点的距离； (3)小滑块再次到达水平轨道时的速度大小以及距的距离。 【详解】（1）根据牛顿第三定律可知在点轨道对小滑块的支持力为9N，根据牛顿第二定律，在点有 解得 （2）从到过程，由动能定理得 解得 从到过程，由动能定理得 解得 （3）从到边界的过程，竖直方向有 解得 从到水平面上 解得 则在以下运动的时间为 在以下运动时，可得小滑块落回水平面时的水平速度 根据牛顿第二定律 解得 联立可得 竖直方向速度为 解得 则 解得 小滑块的水平位移：从到边界的过程有 从边界以下到落回水平面的过程 解得 则小滑块再次到达水平轨道时距的距离为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10.5节 带电粒子在电场中的运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 带电粒子在电场中的加速与偏转 考点02 带电粒子在电场做圆周运动与示波管 03 避坑指南·解题通法 角度01 带电粒子在匀强电场中做直线运动 角度02 带电粒子在周期性变化电场中运动 角度03 带电物体在匀强电场中的圆周运动 角度04 带电物体在匀强电场中的一般运动 角度05 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算 角度06 带电粒子在径向电场中的运动 角度07 带电物体在非匀强电场中的运动 角度08 与图像 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.掌握带电粒子在匀强电场中的加速模型，能用动能定理求解加速末速度。 2.理解带电粒子垂直进入匀强电场的类平抛运动，会分解运动分析偏转。 3.熟记偏转位移、偏转角正切值推导公式，能完成定量计算。 4.了解示波管的原理，会分析其图像形成逻辑。 1.类比平抛运动，建立 “水平匀速、竖直匀加速” 的运动分解思维。 2.分加速、偏转两步拆解综合计算题，规范分步列式计算。 3.结合示波管结构，梳理电子加速、偏转、荧光成像完整过程。 知识导图 考点01 带电粒子在电场中的加速与偏转 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都 重力，但 忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v02＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv02，解得v＝ 3、带电粒子在电场中的两种偏转的情形 情形 进入电场的方式 受力特点 运动特点 图示 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类似平抛运动。 电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。 做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。 先加速后偏转 静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v0，然后垂直场强方向射入匀强电场。 加速阶段：电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段：电场力大小恒定，且方向与速度v0的方向垂直。 加速阶段：匀加速直线运动；偏转阶段：做类平抛运动。 4、带电粒子在电场中的偏转基本规律 （1）初速度方向：粒子做匀速直线运动，通过电场的时间t＝。 （2）静电力方向：做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝＝。 （3）离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝。 （4）速度方向与初速度方向夹角的正切值tanθ＝＝。 （5）离开电场时沿静电力方向的偏移量y＝at2＝。 4、带电粒子在电场中的偏转几个常用推论 （1）粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点，如图所示。 （2）位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的，即tanα＝tanθ。 （3）不同的带电粒子(电性相同，初速度为零)，经过同一电场加速后，又进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合。 （4）分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。 【深化点拨】 1．求带电粒子的速度两种分析思路 （1）利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式，适用于匀强电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 （2）利用静电力做功结合动能定理，当问题只涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时适合该思路。 2．带电粒子在电场中运动问题的处理方法：带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看，带电粒子与一般物体相比多受到一个静电力；从处理方法上看，仍可利用力学中的规律分析，如选用平衡条件、牛顿运动定律、动能定理、功能关系，能量守恒等。 3．分析带电粒子在静电力作用下加速运动的两种方法 （1）利用牛顿第二定律F=ma和运动学公式，只能分析带电粒子的匀变速运动。 （2）利用动能定理：qU=。若初速度为0，则qU=，对于匀变速运动和非匀变速运动都适用。 1．在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场使带电粒子加速。其原理如图，给真空中的两平行金属板M、N加电压U，一带正电的粒子（不计重力）从靠近M板的O点静止释放，粒子将沿直线加速运动到N板，到N板时的速度为v。下列说法正确的是（　　） A．M板带正电、N板带负电 B．M板带负电、N板带正电 C．若增大U、则v减小 D．若增大U、则v不变 2．（多选）如图所示，质量为，带电荷量为的带电粒子，由静止开始经电压为的电场加速后，水平射入右侧电场强度为、方向竖直向上的匀强电场中，曲线为粒子在偏转电场中的运动径迹，不计粒子重力，则（　　） A．粒子带正电 B．粒子带负电 C．粒子离开加速电场时的速度大小为 D．粒子在偏转电场中的加速度，方向竖直向下 3．如图所示，一个静止的电子经过电压为的加速电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的偏转电场，两极板的长度为，相距为，极板间的电压为。已知电子紧靠负极板，电荷量大小为，质量为，偏转电场可看作匀强电场。求： (1)电子进入偏转电场的速度大小； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为； (3)电子离开偏转电场时的动能大小。 考点02 带电粒子在电场做圆周运动与示波管 1、带电粒子在电场做圆周运动类型 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力（或者库仑力），电场力（或者库仑力）提供向心力。 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷。 速度方向与库仑力力的方向垂直。 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力（匀强电场）和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力。 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力。 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直。 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力。 电子偏转器的剖面图。 速度方向与电场力的方向垂直。 2、重要方法：利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动 （1）“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示 ①F合为“等效重力场”中的“等效重力”。 ②g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”。 ③F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。 （2）等效最“高”点与最“低”点的确定方法 ①如图，当电场力和重力方向相反时，若qE＝mg，则小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，则a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，则a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点。 ②如下图，电场力和重力成一定角度时，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。 3、示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由 (由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由偏转电极XX′、偏转电极YY′组成)和 组成，如图所示。 4、示波管的原理 （1）扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 （2）灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个 ，在XX′偏转电极上加一 ，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 【深化点拨】 1．等效思维：等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。 2．带电粒子在匀强电场中做圆周运动的情况可以分为几种类型 （1）电场力与重力等大反向，带电粒子（物体）在外力（如轻绳）的作用下做匀速圆周运动。 （2）带电粒子（物体）在外力（轻绳）的作用下，在电场中做变速圆周运动。 （3）带电粒子沿着圆形轨道上在电场中做圆周运动。 （4）“等效重力法”解决带电体在电场、重力场中的运动问题：带电体在匀强电场和重力场构成的复合场中的运动问题，常常采用“等效重力场”的方法，即将静电力和重力的合力视为一个“等效重力”，将视为“等效重力加速度”，可起到化繁为简、化难为易和化新为旧的解题效果。处理这类问题要注意区分“几何最高点”和“物理最高点”。“几何最高点”指的是圆相对于水平面的最高点，“物理最高点”指圆周在合力方向的最高点，两者不一定重合。 3、示波器的工作原理解题思路点拨：示波器的工作原理从本质上来说是利用了带电粒子在电场中的运动，因为电子带负电，电子总是会逆着电场线方向运动，所以在解决这类问题时可以把握一个技巧“哪边正，朝哪偏”。 1．示波器是一种电子仪器，可以用它观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件示波管由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，其原理图如图甲所示。如图乙是从右向左看到的荧光屏的平面图。在偏转电极上都不加电压时，电子束将打在荧光屏的中心点；若亮点很快移动，由于视觉暂留效应，能在荧光屏上看到一条亮线。若在上加如图丙所示的扫描电压，在上加如图丁所示的信号电压，则在示波管荧光屏上看到的图形是选项图中的（　　） A． B． C． D． 2．（多选）示波器可以用来观察电信号随时间变化的情况，其核心部件是示波管，其原理图如下，XX′为水平偏转电极，YY′为竖直偏转电极。（已知T很小），以下说法正确的是（　　） A．XX′加图3波形电压、YY′不加信号电压，屏上出现一个亮点 B．XX′加图2波形电压、YY′加图1波形电压，屏上将出现一条竖直亮线 C．XX′加图4波形电压，YY′如图2波形电压，屏上将出现一条竖直亮线 D．XX′加图4波形电压，YY′加图1波形电压，屏上将出现图1所示图线 3．如图所示，长的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角。已知小球所带电荷量，匀强电场的场强，取重力加速度，，。求： (1)小球所受电场力F的大小； (2)小球的质量m； (3)保持细线伸直状态，沿纸面向右，把小球拉到与悬点等高处，由静止释放，当小球运动到细线竖直时，求细线张力的大小。 【等效重力场中的几个重要概念】 等效重力场 重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力 重力、静电力的合力 等效重力加速度 等效重力与带电粒子质量的比值 等效“最低点” 带电粒子做圆周运动时，由圆心沿合力方向与圆周交点的位置 等效“最高点” 带电粒子做圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能 等效重力大小与带电粒子沿等效重力场方向“高度”的乘积 带电粒子在电场中的运动的综合应用及解题步骤 1.两个核心分析视角：处理这类问题，就像处理力学问题一样，只有两条路：动力学观点（牛顿定律+运动学）和能量观点（动能定理）。 （1）加速问题（直线运动）：首选动能定理 公式：​。 优势：不管电场是匀强还是非匀强，不管路径是直的还是弯的，只要知道初末位置的电势差 U，就能求速度。不需要管中间过程的时间。 注意：如果是电子、质子等微观粒子，通常忽略重力；如果是带电小球、液滴、油滴，通常要考虑重力。 （2）偏转问题（类平抛运动）：运动的合成与分解 模型：垂直射入匀强电场。 水平方向（垂直电场线）：匀速直线运动。 L=v0t（L为极板长度） 竖直方向（沿电场线）：初速度为0的匀加速直线运动。 加速度：a＝＝＝（ d为极板间距）。 侧移量： y=1/2at2。 偏转角正切：tanθ＝。 2.重要的推论：记住这些结论，做选择题能秒杀，做大题能省时间。 （1）“中点射出”推论：粒子从偏转电场射出时，速度的反向延长线交于水平位移的中点（即 L/2处）。 应用：如果题目问粒子好像是从哪里射出来的，答案永远是极板中心。 （2）比荷与轨迹的关系：若不同粒子（如质子、氘核、 α粒子）由静止经同一电场加速（电压 U1），再垂直进入同一偏转电场（电压 U2，长 L，间距 d）。 结论：它们的运动轨迹完全重合！ 3.示波器原理：示波器本质上就是上述“加速+偏转”模型的放大版。 （1）XX' 偏转电极：控制水平扫描（让光点从左往右跑）。 （2）YY' 偏转电极：控制信号显示（让光点上下跑）。 （3）图像合成：如果 XX' 加锯齿波（扫描电压），YY' 加正弦波（信号电压），且周期相同，屏幕上就会显示出一个完整的正弦波形。 避坑：如果扫描周期是信号周期的2倍，屏幕上会显示两个波形；如果是0.5倍，只能显示半个。 4.易错陷阱 （1）重力是否忽略？ 题目说“电子”、“质子”、“离子” →一般不计重力。 题目说“带电小球”、“尘埃”、“液滴” →一般计重力。 特例：如果题目明确说了“忽略重力”，那就必须忽略；或者算出电场力远大于重力（ mg≪qE），也可以忽略。 （2）圆周运动模型：如果粒子绕着固定点电荷做圆周运动（类似卫星绕地球），库仑力提供向心力：；此时电势能不变，动能不变。 （3）周期性变化电场：这类题目通常画 v−t图像或 a−t图像来辅助分析；重点看一个周期结束时的速度是否为0。如果每个周期末速度都归零，粒子就是“进两步退一步”或者“一直向前但快慢交替”。 角度01 带电粒子在匀强电场中做直线运动 1．在电场强度方向沿轴的某电场中，在区域的电势分布如图所示。一电子以初速度大小沿轴正方向从位置进入该区域，只考虑电场力作用，取沿方向为速度的正方向。关于该电子在区域内运动的速度随时间的变化图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）如图所示，某静电喷雾装置在和之间产生水平向右的匀强电场，带电雾滴从边沿水平方向以不同的初速度进入电场，达到边。若雾滴均带正电且比荷相同，忽略空气阻力及重力，用表示速度的增加量，用表示速率平方的增加量。下列说法正确的是（ 　　） A．不同雾滴受到的电场力都相同 B．不同雾滴的加速度都相同 C．不同雾滴从到达过程中相同 D．不同雾滴从到达过程中相同 3．一个初速度为零的电子在经的电压加速后，垂直于平行板间的匀强电场从距两极板等距处射入，如图所示，若两板间距，板长，两板间的电压；已知电子的带电量为，质量为，只考虑两板间的电场，不计重力，求： (1)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离y； (2)电子射出偏转电场后经过下极板所在平面上的P点，如图所示，P点到下极板右端的距离x。 角度02 带电粒子在周期性变化电场中运动 4．如图甲，多级直线加速器由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数和偶数的圆筒分别与图乙所示交变电源两极相连。时，位于金属圆板（序号为0）中央的电子，由静止开始加速。若已知电子的质量为、电荷量为、交流电周期为，电子通过圆筒间隙的时间不计，忽略相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．电子在圆筒内做匀加速直线运动 B．电子在第2个与第4个圆筒中的速度之比为1∶2 C．电子在各圆筒中的运动时间均为 D．图甲中各圆筒的长度之比为1∶∶…… 5．（多选）平行金属板与交变电源连接，板间电压波形如图所示，一带电粒子质量为，电量，在时刻从板附近由静止释放，不计重力，设平行金属板间距离为，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能始终在板间运动，无法到达板 B．若粒子在时刻到达板（），则粒子到达板的速度大小为 C．若，粒子到达板的速度为零 D．若，为正整数，粒子到达板的速度最大 6．如图甲所示，真空中的电极连续不断均匀地发出电子（设电子的初速度为零），经加速电场加速，由小孔穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A、B间的中线射入偏转电场，A、B板长为2L，AB两板间加周期性变化的电场，UAB如图乙所示，周期为T，加速电压为，其中m为电子质量、e为电子电量，不计电子的重力，不计电子间的相互作用力，t=0时刻电子射入偏转电场，图中U0、T已 知。 (1)求电子从加速电场U1飞出后的水平速度v0的大小； (2)若k=1时，电子恰从A板右端边缘飞出，求两极板的间距d； (3)若该电子恰能从极板右端正中间飞出，求图乙中k的值。 角度03 带电物体在匀强电场中的圆周运动 7．如图所示，倾角θ=30°的足够大的光滑绝缘斜面ABCD固定于水平地面上，空间中存在平行于斜面的匀强电场（图中未画出），长为L的绝缘轻绳一端固定于斜面上的O点，另一端连接一质量为m的带正电小球。现给小球一个初速度，使其恰好能够在斜面上做完整的圆周运动，EF为小球运动轨迹的一条直径，其与底边AB的夹角为α=45°，小球经过F点时速度最小，经过E、F两点时机械能相等。小球电荷量为q，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．电场的方向沿EF斜向上 B．电场强度大小为 C．小球经过F点时的速度大小为 D．小球运动过程中机械能守恒 8．（多选）如图甲所示，在竖直平面内，存在方向平行于该平面的匀强电场。长度为的绝缘轻杆一端固定一个可视为质点的带电小球，另一端套在光滑水平轴上O点，小球绕O点沿逆时针方向做圆周运动，经过M点时速度为，MO与竖直方向夹角为。若以M点为起始点，小球受到轻杆作用力的大小与小球绕O点转过角度的正弦值关系如图乙所示，图线纵截距为a，P、Q两点的纵坐标差值为小球重力的6倍，重力加速度为。则（     ） A．小球受到的电场力大小为 B．小球受到的重力大小为 C．时，应满足 D．从M点运动到速度最大的位置，电场力做功为 9．如图所示，真空中存在水平向右的匀强电场，电荷量均为q（q＞0），电性相反的A、B两质量相同的小球，用长均为的绝缘细线悬挂于同一点O，处于静止状态。细线与竖直方向的夹角，两小球受到匀强电场的电场力大小与重力大小相等，静电力常量为k，重力加速度为g，两小球可视为点电荷，， (1)求两小球间库仑力的大小F； (2)求小球的质量m； (3)若撤去小球B，求小球A从图示位置摆到最高点的过程中，电势能的变化量。 角度04 带电物体在匀强电场中的一般运动 10．竖直平面内有一圆形区域PQNK，PN、KQ分别是圆的水平和竖直直径，M是圆弧QN的中点。匀强电场平行于该平面，方向如图所示，电场强度大小为 一个电荷量为q（q>0）、质量为m的小球多次从圆周上的P点以相同的速率向各个方向发射，小球能到达圆周上的所有位置，下列说法正确的是（     ） A．小球到达圆周上N点时动能最小 B．小球在M点的电势能最小、机械能最大 C．小球在K点的电势能与动能之和最小 D．小球从P点到达圆周各个位置的时间均不同 11．（多选）如图所示，竖直平面内存在足够宽广的匀强电场（大小、方向未知）。一带电量为（），质量为的小球从点以水平速度向左抛出，经过一段时间后，小球以与水平方向成的速度（大小未知）通过点正下方的点，距离为，重力加速度为，不计空气阻力。则（　　） A．小球过点时的水平速度大于 B．之间的电势差为 C．小球所受的电场力大小为 D．小球在运动过程中的最小速度为 12．如图，水平边界M下方足够大的空间内存在水平向左的匀强电场，场强大小未知。两个质量相等的带正电小球A、B电荷量之比为1:3，在M上方等高处分别以大小为v0和3v0的初速度同时水平反向抛出，A球进入电场时速度方向与边界M成60°角，在电场中做直线运动。不计空气阻力、小球大小和电荷间的作用力，重力加速度为g，在两球碰撞前，求： (1)刚开始时小球距水平边界M的高度； (2)B球在电场中运动过程中的最小速度； (3)从进入电场开始，经多长时间两球相距最远。 角度05 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算 13．如图，匀强电场的方向与直角△ABC所在平面平行，，AB=L。O点为AC边的中点。在B点以不同方向发射动能为、电荷量为q（q>0），质量为m的粒子，经过A点的粒子动能为，经过C点的粒子动能为，不计粒子的重力。则（     ） A．电场强度的大小为 B．沿BO方向发射的粒子能沿直线到达O点 C．到达O点的粒子的动能为 D．沿C指向B的方向发射的动能为的粒子在运动过程中最小动能为 14．（多选）如图，平行板电容器上下两极板长L，两板之间的距离也是L，存在竖直向下的匀强电场，两个质量均为m电荷量为q（q>0）的粒子甲和乙从电场的右边界射入电场，其中甲粒子从右边界的中点射入，速度的大小为，乙粒子从右边界的最下方射入，速度的大小为。两粒子都恰能从上极板的左端水平飞出，飞出的速度大小对应为和。那么（     ） A．粒子进入电场时 B．粒子进入电场时 C．粒子离开电场时 D．粒子离开电场时 15．如图所示，倾角为的固定光滑绝缘斜面体，其边长为。以斜面的顶点为坐标原点，沿水平和竖直方向分别建立轴和轴。开始时空间内存在匀强电场Ⅰ，电场强度的方向沿斜面向上，大小为。一质量为、带电量的小球，从点由静止释放沿斜面向上运动。当小球由点进入第一象限时，撤去匀强电场Ⅰ，在此空间加上匀强电场Ⅱ，电场强度的方向与轴正方向夹角为斜向下。小球运动过程中经过轴上与点距离为的点，不计空气阻力，重力加速度为，。求 (1)小球刚进入第一象限时的速度大小； (2)小球从点运动到点的时间； (3)匀强电场Ⅱ的电场强度大小。 角度06 带电粒子在径向电场中的运动 16．如图所示，一电荷量为的点电荷固定于点，且在整个空间中存在竖直方向的匀强电场（图中未画出）。一个质量为、电荷量为的带电粒子在水平面内绕做速率为的匀速圆周运动，两点电荷之间的距离为，。若在某一时刻撤掉匀强电场，并从此时开始计时，经过时间速度方向第一次变化，紧接着又经过时间速度方向又变化了，此时带电粒子的速率为。已知静电力常量为，不计粒子重力。则（　　） A．匀强电场方向竖直向下 B．匀强电场的电场强度大小为 C． D． 17．（多选）如图所示，某静电分析器的两电极之间存在指向圆心O的辐向电场。三个带电粒子有相同的动能从A点垂直端面射入，仅在静电力作用下，甲粒子从B射出，乙粒子做圆周运动从C射出，丙粒子从D射出。已知甲、乙、丙的电荷量大小分别为、、，，。下列说法正确的是（     ） A．甲、乙、丙粒子均带正电 B． C．乙粒子经过的位置电场强度大小均为 D．甲粒子动能变化的绝对值大于丙粒子动能变化的绝对值 18．如图所示，在xOy坐标系中，在第Ⅱ象限放置了粒子射线管，粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成。细管C到两板的距离相等，且开口在y轴上（图中细管C与两板绝缘）。粒子源P靠近在A极板下方的最左端，可以斜向下沿某一方向发射初速度为的带电粒子。A、B板长为L，当A、B板加上某一电压时，带电粒子刚好能以的速度水平进入细管C且保持速度水平射出。然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做半径为的匀速圆周运动，静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，且粒子经过处的电场强度大小均为。已知带电粒子的质量为m，电子电量为e，重力不计。忽略电场的边缘效应，求： (1)金属板A、B间的电势差； (2)粒子从A板最左边到C点入口处所用时间t。 角度07 带电物体在非匀强电场中的运动 19．如图所示，在竖直放置的光滑半圆形绝缘细管的圆心O处放一点电荷。现将质量为m、电荷量为q的小球从半圆形管的水平直径端点A静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力。若小球所带电量很小，不影响O点处的点电荷的电场，则置于圆心处的点电荷在B点处的电场强度的大小为（　　） A． B． C． D． 20．（多选）如图甲所示，两平行板、水平正对放置，在其右侧有汇聚形的电场，电场线的延长线的交点在点（的中点），在两平行板间加上周期为的交变电场（如图乙所示），两板间电势差的绝对值为。时刻一质量为、带电量为的粒子（不计重力）从点以水平向右的速度射入匀强电场，时刻到达、的交点，接着从点垂直进入辐射状电场做匀速圆周运动，经过半个圆周到达点，到达点时的速度水平向左，最后从点离开电场，下列说法正确的是（　　） A．两平行板的长度为 B．粒子在点的速度大小为 C．两平行板间的距离为 D．粒子从到受到的电场力的大小为 21．如图所示，在O点处固定一个正点电荷，在过O点的竖直平面内的A点，由静止释放一个带正电的小球，小球下落的轨迹如图中虚线所示，它与以O点为圆心、R为半径的圆相交于B、C两点，O、C两点在同一水平线上，∠BOC= 30° ，A点距离OC的高度h=1.5R，若小球的质量为m，电荷量为q，小球通过B点时的速度大小，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求： (1)小球通过C点时的速度大小vC； (2)A、C两点之间的电势差UAC。 角度08 与图像 22．加速电场、偏转电场与荧光屏组成的示波管结构示意图如图所示。忽略电子重力，下列说法错误的是（    ） A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场仅改变速度的方向但不改变速度的大小 B．荧光屏上可以产生倾斜亮线 C．若、的电势均低于Y、X的电势，则电子打在XOY区域 D．水平偏转电场可使电子做匀变速曲线运动 23．（多选）在示波管中，电子通过电子枪加速，进入偏转电极，然后射到荧光屏上。如图所示，电子的质量为m（不考虑所受重力），电荷量为e，电子从静止开始，经过电压为的加速电场水平加速后进入偏转电场，偏转电场中两板之间的距离为d，板长为L，偏转电压为，下列说法正确的是（　　） A．电子离开加速电场时速度大小为 B．电子离开偏转电场时速度方向和水平方向夹角的正切值为 C．电子离开偏转电场时速度大小为 D．电子射到荧光屏上的动能为 24．炮瞄雷达的示波管用于显示其雷达信号，如图1为封装于真空玻璃壳中示波管的核心部分XXʹ两极间加锯齿形扫描电压，YYʹ两极接雷达电压信号，电子从电子枪以初速度为零逸出，经电压U0的电场加速后，进入偏转电极XXʹ和YYʹ偏转，最后打在荧光屏上形成一个亮斑，当两偏转电极都不加电压时，电子射到荧光屏中央O点。已知电子的电量为e，质量为m，电子所受重力及电子之间的相互作用力均可忽略不计，偏转电极XXʹ和YYʹ沿轴线方向的长度和极板间的间距均为L，YYʹ右边缘到荧光屏的距离为D。某次测量中在示波管荧光屏显示了一个“V”形信号如图2，已知“V”形信号的两个顶点在荧光屏上关于y轴对称，左边顶点在荧光屏上的坐标为（-X0，Y0），单个电子穿过极板时间极短，视为电压不变。求： (1)电子离开加速电场时的速度多大？ (2)示波管电极YYʹ接收到的雷达信号电压Uy的变化范围。 【例1】（2026·河南·高考真题）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 【深化点拨】 1、动能定理电场加速模型：初速度为零的带电离子经匀强电场加速，电场力做功全部转化为离子动能，出射速度只和加速电压、离子比荷相关，是质谱类装置通用基础模型。 2、运动的正交分解思想：离子斜向进入反射匀强电场，将速度拆分为平行电场、垂直电场两个独立分量，两分运动互不干扰，分开分析往复减速、匀速侧移两类运动。 3、匀变速往复直线运动规律：平行电场方向离子受恒定电场力，先减速到零再反向加速原路返回，往返总时长仅由初分速度与加速度决定；垂直电场不受力，全程保持匀速直线运动。 4、无关量推导的证明逻辑：通过推导垂直电场侧移位移，发现最终侧移距离仅由装置固定参数决定，和离子电荷量、质量无关，以此证明所有离子出射点重合，训练定量推导定性结论的证明思路。 5、多阶段分段运动拆解：完整运动分为三段：加速电场匀加速、无场区匀速直线、反射电场类抛体往复运动，总飞行时间为三段时长之和，整体时间与比荷存在固定比例关联。 6、比例法简化运算：总运动时间和比荷的平方根存在正比关系，利用时间比值反向推导两种离子比荷之比，规避复杂分步计算，掌握比例快速求解的解题技巧。 【变式1-1】（2026·云南·高考真题）如图所示，在大小、方向均未知的匀强电场中，O、M、N三点处于同一竖直面内，将一质量为0.1kg、电荷量为1.0×10－6C的带正电的小球（视为质点）从O点抛出，小球1s后到达O点正上方3m处的M点，再经1s到达N点，O、N两点在同一水平线上且相距3m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，设电场强度大小为E，O、N两点的电势分别为φO和φN，则（   ） A．E = 6.7×105V/m，φO > φN B．E = 6.7×105V/m，φO < φN C．E = 5.0×105V/m，φO > φN D．E = 5.0×105V/m，φO < φN 【变式1-2】（2026·山东·高考真题）（多选）融合新型功能材料的传感器在智能感知领域得到广泛应用。如图所示，光滑、绝缘椭圆轨道竖直放置，长轴、短轴，AC与 交于 点，为最低点， 点处内置可感知轨道压力的传感器。空间内充满平行轨道平面、斜向上的匀强电场（图中未画出）。质量为、电荷量为的小球置于 点时恰好静止，此时传感器示数等于，g为重力加速度的大小。下列说法正确的是（     ） A．电场强度的大小为 B．电场强度方向与的夹角为 C． 、两点间的电势差 D．若小球在点的速度水平向右、大小为，则到达点时速度大小仍为 【变式1-3】（2026·广东·高考真题）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 【例2】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 【深化点拨】 1、匀强电场中牛顿第二定律应用：带电粒子在匀强电场仅受电场力，电场力提供恒定加速度，加速度大小由电场强度、粒子比荷决定，是类抛体运动的受力基础。 2、运动的正交分解法：将斜向初速度拆分为水平、竖直两个独立分运动；水平方向不受力做匀速直线运动，竖直方向受恒定电场力做匀变速直线运动，两分运动互不干扰。 3、类竖直上抛最高点判定规律：竖直向上的分速度减为零时粒子到达轨迹最高点，可通过竖直分速度与加速度求解上升至最高点的时间。 4、同步运动相对运动分析技巧：两粒子加速度完全相同，存在相对匀速运动的简便分析思路，不用分别计算两段位移再求和，简化间距计算过程。 5、同起点反向斜抛位移差求解：两粒子水平分速度一致，全程横向位置始终对齐，间距仅由竖直方向位移差值决定；一者竖直上抛、一者竖直下抛，竖直位移相加得到二者间距。 6、电场与曲线运动综合模型：把重力场斜抛运动模型迁移到匀强电场，去掉重力替换为电场力，考查模型迁移、分运动拆解、相对运动两种解题思路。 【变式2-1】（2025·广东·高考真题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处，由静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板瞬间，颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间的k倍（）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B点与左平板的距离为l，电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求： (1)颗粒碰撞前的电荷量q。 (2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q。 (3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。 【变式2-2】（2026·贵州·高考真题）在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： (1)小球的质量和电场强度大小； (2)小球的最大加速度大小； (3)施加电场后，、两点间的电势差。 【变式2-3】（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为。随后，液滴以的速度竖直进入长度为的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求： (1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离； (2)A、B细胞收集管的间距。 ⚡基础速刷 1．如图所示，带电小球A用绝缘支架固定，小球B用绝缘细线悬挂，平衡时它们处于同一高度，此时绝缘细线与竖直方向的夹角为θ。若只增加小球A的电荷量，则θ的变化情况是（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法确定 2．如图所示，电荷量为的均匀带电圆盘B，固定在竖直面内，绝缘细线一端固定在A点，另一端连接电荷量为、质量为m的金属小球C。小球静止于圆盘的轴线上，到圆心O的距离为d，OC之间的电势差为U，细线与水平面的夹角为，重力加速度为g。则小球静止处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 3．示波管是示波器的核心部件，由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，其原理图如图1所示。当UYY'=0且UXX'=0时，荧光屏中央O处会出现一个亮斑。若UYY'-t图像和UXX'-t图像分别如图2、3所示，则此时荧光屏上出现的亮斑位置可能为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有均匀分布的辐向电场，电场线沿半径方向指向圆心。粒子从点射入后，恰好能沿圆弧虚线运动，并从点射出。粒子仅受电场力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．圆弧虚线是等势线 C．粒子射出时的速度大于射入时的速度 D．增大电场强度，可使粒子转向半径减小 5．（多选）如图甲，、为两竖直的间距为的平行金属板，两板间的电势差随时间变化的图像如图乙所示。一群相同的带电粒子在时间内的不同时刻从板附近的点由静止释放，仅在电场力作用下运动，其中在时刻释放的粒子恰好在时运动到板且速度为。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．这些粒子带正电 B．粒子运动的加速度大小均为 C．不同时刻从出发的粒子向右运动的时间都相同 D．时从出发的粒子，在板间向右运动后返回 6．如图所示，MN是一对彼此绝缘，相距为的平行金属带电极板组成的电容器，N板接地（电势为0），在两极板MN间的A点有一带电荷量为的小液滴，其质量为，恰好处于静止状态，M板带电荷量的绝对值为。重力加速度为。求： (1)两板间电势差； (2)电容器的电容； (3)上极板M的电势。 7．如图所示，用一条绝缘细线悬挂一个质量m=0.4kg的带电小球P，小球处于水平向右的匀强电场中，静止时细线与竖直方向的夹角为37°。已知电场强度大小，，，求： (1)判断小球带正电荷还是带负电荷； (2)细线的拉力大小F； (3)小球所带电荷量q。 🚀能力跃升 8．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 9．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入电压为的电场（为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距极板L处，样品中心位于点。假设单个离子在通过区域的极短时间内，电压可视为不变，当时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．的最大值 B．当且时，离子恰好能打到样品边缘 C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大 D．在和时刻射入的离子，有可能分别打在A和B点 10．（2025·福建·高考真题）角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器，其核心装置中有两个同心半球极板。垂直半球底面儿且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场，其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子A以初动能，从入口M点垂直半球底面入射，从N点射出，电子b也从M点垂直半球底面入射，经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示，已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆，与OP交于H点，H、P两点间的电势差为U，，，电子电荷量大小为，重力不计。则（　　） A．P点的电场强度 B．电子a在H点儿受到的电场力大小为 C．电子b在P点动能小于在Q点动能 D．电子b从M点运动到Q点的过程中，克服电场力所做的功小于2eU 11．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）如图是加速电场与偏转电场的组合。当加速电压为、偏转电压为、偏转极板长为、板间距离为时，电子打在荧光屏上形成光斑，则（    ） A．只增大，偏转电场的电场强度增大 B．只增大，荧光屏上光斑的位置不变 C．只增大，电子穿越偏转电场的时间变短 D．只增大，能使荧光屏上光斑向上移动 13．（多选）如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为L=0.4m的绝缘线把质量为m=0.20kg，带有q=6.0×10-4C正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止于B点时细线与竖直方向的夹角为θ=37°，将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，已知A、C两点分别为细线悬挂小球的水平和竖直位置（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求（　　） A．该匀强电场的场强为2.5×103N/C B．小球通过最低点C时的速度v0大小为2 C．小球通过最低点C时，细线对小球拉力F的大小为3N D．小球从位置A到位置C的过程中电势能增大 14．如图所示，水平地面上方加上一个场强方向水平向左的匀强电场，质量为m=1kg、带电量为q=0.1C的正电小球从距地面高度为35m处以10m/s的初速度水平向右抛出。在抛出点右下方有一根管口比小球直径略大的粗糙程度均匀的竖直吸管，管的上口距小球抛出点的高度差5m，下口恰好接触地面，带电小球抛出后恰好可以无碰撞地进入吸管，g=10m/s2。求： (1)带电小球刚进入吸管的速度大小； (2)电场强度的大小； (3)小球从抛出到落地的时间为3s，求小球与吸管摩擦产生的内能 15．如图甲所示，质量为、带电量为的初速度为零的带电粒子，经A、B间的电场加速后，沿水平放置的平行极板、的中心线进入偏转电场。已知极板A、B间电压为，极板、的板长为 ，板间距离为。、板间加上周期性变化的电压，如图乙所示，，。粒子的重力忽略不计，两板间电场看作匀强电场。 (1)求粒子射入偏转电场时的速度大小； (2)若粒子在 时刻进入、间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于极板方向的偏转距离： (3)若粒子在时刻进入、间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于极板方向的偏转距离。 🌟思维挑战 16．如图所示，两带等量正电荷的小球分别固定在M、N两点，O点为其连线中点，A'和A、B'和B分别为竖直中垂线上对称的点。现将另一质量为m、电荷量为q的小球从O点由静止释放，小球经过A、B两点时的加速度大小均为2g。已知O、A、B三点的电势分别为φO、φA和φB。O、A两点间距为h1，O、B两点间距为h2。小球均可视为质点。重力加速度为g。不计空气阻力。若该小球从B'点以某一初动能竖直下落，则（　　） A．小球从B'点运动到A'点的过程中所受静电力逐渐增大 B．小球从B'点运动到A'点的过程中速度先减小后增大 C．若小球能从B'点运动到O点，其初动能至少大于 D．小球从B'点运动到O点的过程中机械能的变化量为 17．如图所示，竖直平面内固定一圆心为O的圆弧细管道GH，绝缘且内壁光滑，管道底端H与水平地面相切。在圆弧轨道所处的平面内，质量为m的带电小球a由绝缘细线OM和ON悬挂在O点处于静止状态，OM水平，ON与水平方向夹角为。质量为m可视为质点的带电小球b从G端口由静止释放，当小球b运动到H端时对管道壁恰好无压力。已知重力加速度为g，，小球b由G滑到H过程中，OM绳上拉力的最大值为（　　） A． B． C． D． 18．（多选）如图所示，竖直平面内光滑绝缘杆与半径为的圆周交于、两点，点为的中点，点为圆周与水平面的切点，圆心处固定一正点电荷。一质量为、电荷量为的小球套在杆上，从点由静止开始下滑。已知点距水平面的竖直高度为，小球滑到点时的速度大小为，小球可视为质点，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小球下滑过程中电势能先增大后减小 B．小球滑至BC中点时动能最大 C．、两点间的电势差 D．小球滑至点时的速度大小为 19．（多选）某实验小组设计了一个装置，左边由1块金属板和5个中间开有小孔的金属筒组成，彼此间存在很窄的狭缝，右侧有一个接收屏，距离右侧出口上方处固定一个电荷量为的点电荷。现让带电量大小为q，质量的粒子从紧挨金属板右侧虚线处静止释放，同时接通如图所示交流电，且初始时奇数筒电势高。粒子在每个狭缝中都能一直加速，最后从右侧射出后，最终打在接收屏上。已知点电荷周围电势为，不计点电荷对接收屏左侧区域的影响，忽略粒子的重力，则（     ） A．粒子带负电 B．粒子在接收屏左侧区域，一直做加速运动 C．接收屏接收粒子位置在出口上方处 D．粒子在接收屏右侧区域飞行的时间为 20．如图所示，两正对平行金属板水平放置，板长为L，板间距为d，上极板与电源负极相连，下极板与电源正极相连，电源电压为U，虚线为平行金属板的中心轴线。闭合开关后，从两平行板间上半区域的左侧沿中心轴线的方向以相同的速度射入宽度为的电子束，恰好无电子从板间射出。已知电子的电荷量为，忽略电子间的相互作用，不考虑电场的边缘效应，求： (1)电子束击中下极板沿中心轴线方向的长度； (2)若将下极板向下平移的距离，靠近上极板边缘的电子从进入到离开电场过程中，电场力所做的功； 21．如图1所示，两块足够大的平行金属板水平放置，O、分别为两极板中心位置，且处于同一竖直线，将两极板接入电路，带电小球通过绝缘细线悬挂于上极板O点。已知绳长为，小球质量为m，两极板初始间距为，电源电压均为U，小球可视为质点，空气阻力忽略不计，重力加速度为。 (1)将开关K打到1，小球静止，细线拉力恰好为零，求小球所带电荷的电性与电荷量q； (2)将开关K打到2，令小球做圆锥摆运动，如图2所示，若细线与竖直方向的夹角为，求角速度； (3)在（2）的基础上断开开关，沿竖直方向调节下极板，若两板调至不同间距d时断开细绳，小球最终均落在下极板上，请分析小球落点与下极板中心的距离s与两极板间距d的关系。 22．如图所示，足够长的粗糙绝缘水平轨道与竖直光滑绝缘的半圆轨道在点平滑连接，半圆轨道半径，过半圆轨道圆心的水平界面的下方和竖直直径的左侧空间分布有水平向右的匀强电场，电场强度，竖直直径及其右侧空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度，质量为，带电量的小滑块从水平轨道上点由静止释放，当滑块运动到半圆轨道最高点时对轨道的压力大小为。已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度，整个运动过程中滑块电荷量保持不变，不计空气阻力，求： (1)小滑块运动到半圆轨道最高点时的速度大小； (2)释放点到半圆轨道最低点的距离； (3)小滑块再次到达水平轨道时的速度大小以及距的距离。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $