第20讲 垂直于弦的直径（9类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第20讲 垂直于弦的直径 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用垂径定理判断正误 题型2 利用垂径定理求角度 题型3 利用垂径定理求线段长度 题型4 利用垂径定理求坐标 题型5 利用垂径定理求平行弦问题 题型6 利用垂径定理求同心圆问题 题型7 垂径定理推论 题型8 垂径定理的实际应用 题型9 利用垂径定理求最值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 垂径定理、平分弦、平分弧、直径、弦心距、计算、推理。 1. 理解垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 掌握垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. 能运用垂径定理及推论进行简单的证明和计算（如求弦长、半径、拱高等）。 4. 经历垂径定理的探索与证明过程，体会从特殊到一般、转化等数学思想，培养逻辑推理能力。 学习重点：垂径定理及其推论的理解与应用，特别是利用定理解决与弦、半径、弦心距相关的计算问题。 学习难点：垂径定理的证明（通过构造等腰三角形和直角三角形），以及根据具体问题准确作出辅助线（连半径或作弦心距），构造直角三角形求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 垂径定理及推论 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 2）知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④=；⑤= 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 3）重要公式：设半径为r，，=d，根据勾股定理： 圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。 【易错提醒】垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对两条弧；平分非直径弦的直径垂直该弦。 易错：忽略弦是直径时，平分弦不一定垂直弦 即时即练1．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 2．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 3．如图，是的直径，弦于点，若，，则的直径为_________． 【答案】 20 【分析】连接，在中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的直径为. 题型1 利用垂径定理判断正误 【例1】（25-26九年级上·辽宁营口·期中）下列命题正确的是（    ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、等弧和确定圆的条件，熟练掌握是解题关键．根据圆的基本概念和性质判断：直径是弦但弦不一定是直径；半圆是弧；平分弦的直径需弦非直径才垂直；等弧需能重合而非仅长度相等． 【详解】解：∵ 直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径弦）， ∴ A错误； ∵ 半圆是圆的一部分，是弧的一种， ∴ B正确； ∵ 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦是直径则不一定垂直， ∴ C错误； ∵ 等弧指能完全重合的弧，它要求弧的长度和所在圆的半径都相等，故仅长度相等不一定是等弧， ∴ D错误． 故选：B． 【例2】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理可得：，，，，无法得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的直径，为弦，于点E， ，，， ∴，， B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，不符合题意， ∵无法判断， D选项结论不成立，不符合题意， 故选：B． 【技巧归纳】 紧扣垂径定理前提，看清弦是否为直径，辨析平分弦、垂直弦、平分弧的逻辑关系，逐条比对条件判断命题对错 【变式1-1】（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，正确的是 ． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②③④ 【分析】此题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键，根据垂径定理，圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可以得到，故①正确； ∵是的直径， ∴，故②正确； ∵， ， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ， 不能判断，故⑤错误； 故答案为：①②③④． 【变式1-2】（2025·吉林长春·一模）如图，是的直径，弦于点G，点F是上一点，且满足，连接并延长交于点E，连接，给出下列结论： ①； ②； ③当时，； ④当时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据圆周角定理及垂径定理推出AC弧等于AD弧，即可判断①；证明，即可判断②；设，则，结合，得到，求出，，由，利用余弦的定义即可判断③；由已知先求出，再求出，，进而求出，利用三角形相似的性质即可求出，根据，即可判断④． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 题型2 利用垂径定理求角度 【例3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，半径垂直弦，D为上的点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理．连接，根据圆周角定理可得，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵半径垂直弦， ∴， ∴． 故选：B 【例4】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，弦垂直平分半径，点C是圆上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，连接、，由垂直平分线的性质得，，再证、都是等边三角形，得出，求出，然后由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦垂直平分半径， ∴，， ∵， ∴， ∴、都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【技巧归纳】 借助垂径定理得到等弧、等弦，利用等弧对应等圆心角、等圆周角，结合直角、三角形内角关系推导所求角度大小 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，连接，由垂径定理和圆周角定理可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，的度数是，的度数是，且，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，如图所示： 根据垂径定理得：，的度数的度数， 是线段的垂直平分线， ， 根据等腰三角形性质得：， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上， 同理：的度数的度数，点在同一条直线上， 的度数为的度数的度数）， 根据圆周角定理得：的度数． 故答案为：． 题型3 利用垂径定理求线段长度 【例5】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 由可得，，进而利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵圆心到弦的距离， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 【例6】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．由题意易得，，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 【技巧归纳】 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用垂径定理平分弦，结合勾股定理列式，求解半径、弦长、弦心距等线段长度 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形的中位线等知识点． 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：2． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，掌握数形结合、分类讨论的方法是解题关键．根据题意画出图形，分两种情况讨论，由垂径定理和勾股定理先求出的长，从而得到的长，再结合勾股定理即可求出的长． 【详解】解：分两种情况讨论， 第一种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 第二种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上，线段的长为或． 故答案为：或． 题型4 利用垂径定理求坐标 【例7】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合是解答此题的关键．根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图，线段的垂直平分线即， 线段的垂直平分线的交点即为弧的圆心． 即圆心的坐标是， 故选：B． 【例8】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，过作轴交于，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；掌握定理，构建是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作轴交于， ，， ，， ，， ， ， ， ； 故选：D． 【技巧归纳】 过圆心向弦作垂线，用垂径定理得线段等量，构造直角三角形借助勾股算水平、竖直距离，结合已知点推算对应坐标 【变式4-1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图所示，与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，，，过作于，于，判定四边形是矩形，得到，，由，，得到，由垂径定理得到，求出，得到，由等腰直角三角形的性质求出，，得到，由勾股定理求出，得到，于是得到的坐标． 【详解】解：连接，，，过作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是中点， ， ， ， ， 的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形，坐标与图形的性质，关键是由圆周角定理判定是等腰直角三角形，从而求出、的长，由勾股定理求出的长． 【变式4-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，坐标与图形的性质，连接，过点作于点，根据已知可得，根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 题型5 利用垂径定理求平行弦问题 【例9】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 【例10】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 【技巧归纳】 先分两弦在圆心同侧、异侧分类讨论，用垂径定理求出弦心距，再相加或相减得到两条平行弦间的距离 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 【变式5-2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握相关知识是解题的关键．需分两弦在圆心同侧和异侧两种情况计算距离，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可． 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ，, ，， ； 如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ， ，， ； 综上所述，两弦之间的距离为或， 故答案为：或． 题型6 利用垂径定理求同心圆问题 【例11】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 【例12】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 【技巧归纳】过圆心作公共弦垂线，用垂径定理平分弦，分别在大小圆构造直角三角形，借助勾股定理列式求解线段差值或长度 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【变式6-2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 题型7 垂径定理的推论 【例13】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，的直径平分弦．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，同弧所对的圆周角相等， 先根据垂径定理的推论得，进而得出，然后根据“同弧所对的圆周角相等”得出答案． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴，交于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【例14】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，为的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【技巧归纳】 先明确推论成立前提，平分弦时弦不能是直径，由垂直、平分弦、平分弧中任意两个条件，推导剩余结论，据此判断或计算 【变式7-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质，熟练掌握垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，交于点F，如图所示： ∵点D是弧的中点，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：，负值舍去， ∴． 故答案为：2． 【变式7-2】（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 题型8 垂径定理的实际应用 【例15】（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 【例16】（25-26九年级上·河北唐山·月考）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 根据垂径定理的推论，可得此圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心是O，连接．根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，是圆心，设半径为，即， 依题意得：，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得： 答：圆弧门所在圆的半径为． 故选D． 【技巧归纳】 将实际拱形、桥洞等模型转化为圆和弦，作弦心距构造直角三角形，用垂径定理搭配勾股定理列式求解相关尺寸 【变式8-1】（25-26九年级上·全国·期末）云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口宽为，这个竹筒所能装食物的最大深度是，则竹筒截面的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，求出，设半径为，在中利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示： ∵，最大深度是，即， ∴， 设半径为，则， 在中， 即 解得 ∴， 故答案为：5． 【变式8-2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ， 由条件可知， 由勾股定理得：， ． 截面圆中弦的长为． 故答案为：． 题型9 利用垂径定理求最值 【例17】（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵是上的一动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为， 故选：A 【例18】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．2.5 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理，添加辅助线，构造中位线，是解题的关键. 延长交于点，连接，根据垂径定理得，结合，可得，进而即可得到答案. 【详解】延长交于点，连接， ∵， ∴. ∵点是弦的中点， ∴， ∴， ∴当为的直径时，的值最大，此时的值取最大值，最大值为. 故选D． 【技巧归纳】 定点与圆上动点连线最值依托圆心分析，结合垂径定理得最短弦为过定点垂直于连心线的弦，最长弦为直径，据此列式求值 【变式9-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由两个正方形组成的轴对称图案，测得正方形的边长分别为和．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的综合以及勾股定理，得出圆形纸片半径最小时是图形的外接圆是解题的关键． 作图形的对称轴交于E，交于F，作图形的外接圆，由题意可知，点O在上，垂直平分和，连接、，设，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出半径即可得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线交于E，交于F，作的垂直平分线交于O，连接、， 由题意可知：，， ∴，，， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴， ∴r的最小值是， 故选：D． 【变式9-2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，，点A在上， ，B为弧的中点，P是直径上一动点， 则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． ∵ ∴此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·广东广州·二模）如图，的直径，是弦，，垂足为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径求出半径和的长，利用比例关系求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：的直径， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 2．（2026·四川泸州·二模）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个小孔的直径是（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设钢珠的圆心为，过作于，交优弧于，连，则，，，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理可计算出，即可得到这个小孔的直径． 【详解】解：如图，设钢珠的圆心为，过作于，交优弧于，连， 直径是 在中， ． 3．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 4．（2026·陕西咸阳·二模）如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为C是弧的最高点且垂直，所以根据垂径定理所在直线必然经过弧对应圆的圆心，且D为的中点．设圆的半径为r，那么圆心到弦的距离可表示为()，的长度为的一半即．连接圆心与点A，得到直角三角形，直角边分别为弦长的一半和圆心到弦的距离，斜边为半径，因此可根据勾股定理建立关于r的一元二次方程，求解得到半径． 【详解】 解：设圆心为O，连接， ∵是弧的最高点到的距离， ∴，， ∴， ∴O、D、C三点共线， 设圆的半径为， ∵，为， ∴，． 在中，由勾股定理得： ， 代入得： ， 解得． ∴所在圆的半径为． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，令的交点为，先求出，再利用垂径定理及三角形内角和定理得到，最后求出等腰三角形的底角的度数即可. 【详解】解：连接， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴即：， ∴， ∵， ∴. 二、填空题 6．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 7．（2026·广东佛山·三模）如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 【答案】4 【分析】过点作于点，延长交于点，利用垂径定理求出，再结合勾股定理求出，进而即可求出排水管内水的最大深度． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ， ， ， ， ， 即排水管内水的最大深度为4． 8．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是半径为的的弦，于点，交于点，若弦为，则______． 【答案】5 【分析】连接，根据垂径定理求得，进而在中，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴ 10．（2026·安徽阜阳·三模）已知是的直径，弦，垂足为点E，连接，，，则弦的长为________． 【答案】 【分析】利用垂径定理得到，再结合勾股定理建立等式求解的长度，即可得到的长． 【详解】解：连接， 是的直径，， ， ，垂足为， 由垂径定理得，， 设，，， 在中，， 由勾股定理得， 在中，， 由勾股定理得， 展开整理得，即， 将代入得， 解得， 把代入得， ， ， ． 三、解答题 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，，求出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 13．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，是的直径，是半圆的三等分点，请仅用无刻度的直尺，按要求作图．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作的中点； (2)在图2中，作的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形中位线定理，平行线分线段成比例． （1）连接、相交于点，作射线交于点，此时点为的中点； （2）连接、相交于点，连接、相交于点，连接并延长交于点，作射线交于点，此时点为的中点． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； ； （2）解：如图，点即为所作； ． ∵是半圆的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴是的中位线， ∴， ∴，即， ∴点为的中点． 14．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； (2)的半径是． 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 15．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）． (1)如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米，求半径． (2)如图3，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，且的半径为5，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到0.1，） 【答案】(1)半径为5米； (2)弦的长为米． 【分析】（1）连接交于点H，证明，得到米，，，设半径为r米，则，在中，由勾股定理，得，代入求解即可． （2）连接，证明为的垂直平分线，为的垂直平分线，推导出是等边三角形，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点H，如图 ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴米，米，， 设半径为r米，则． 在中，由勾股定理，得 ， 即， 解得． 答：半径为5米； （2）解：连接，如图 由题意知半径米， ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴，，为的垂直平分线， ∴， ∵，点O为圆心， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）． 答：弦的长为米． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第20讲垂直于弦的直径 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1利用垂径定理判断正误 题型2利用垂径定理求角度 题型3利用垂径定理求线段长度 题型4利用垂径定理求坐标 题型5利用垂径定理求平行弦问题 题型6利用垂径定理求同心圆问题 题型7垂径定理推论 题型8垂径定理的实际应用 题型9利用垂径定理求最值 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.掌握垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 垂径定理、平分弦、 所对的两条弧。 平分弧、直径、弦心 3.能运用垂径定理及推论进行简单的证明和计算（如求弦长、半径、拱高 距、计算、推理。 等)。 4.经历垂径定理的探索与证明过程，体会从特殊到一般、转化等数学思想， 培养逻辑推理能力。 学习重点：垂径定理及其推论的理解与应用，特别是利用定理解决与弦、半径、弦心距相关的计算问 题。 学习难点：垂径定理的证明（通过构造等腰三角形和直角三角形），以及根据具体问题准确作出辅助 线（连半径或作弦心距），构造直角三角形求解。 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知识1框架 推论中忽略被平分的弦不是直径的前提 高频易错点 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 定理中孤的理解错误 任何一条直径所在直线都是对称轴 垂径定理证明与计算 高频考点 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 弦心距与半径弦长关系 垂直于弦的直径 井且平分弦所对的两条弧 利用勾股定理求弦长或半径 垂径定理的应用 垂径定理的推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦 构造直角三角形 且平分弦所对的两条孤 作垂直于弦的直径解决实际问题 知1识I精I讲 知识点01垂径定理及推论 1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ,CD⊥AB .'.∠AEC∠CEB-909 又，'OE-OB,OFOB∴.△OAE≌△OBE(HL) ∴.AEEB,.ADBD AC-CB 2)知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB,③CD平分AB④AC-CB:⑤ADBD 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 AB-a,oE-a根据勾股定理：7 3)重要公式：设半径为 圆中常用的辅助线：连OB,作OE垂直弦AB,构造出直角三角形。 2/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对两条弧；平分非直径弦的直径垂直该弦。 易错：忽略弦是直径时，平分弦不一定垂直弦 即时即练1.如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P,若CD=8,则△ACD 的面积是() P D B A.16 B.24 C.32 D.48 2.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工 件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点C,测出 AB=16cm,CD=4cm,则圆形工件的半径为() D A.14cm B.12cm C.10cm D.8cm 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,若BE=18,CE=6,则⊙O的直径为 D 3/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 03 题型突破 题型1利用垂径定理判断正误 【例1】(25-26九年级上辽宁营口期中)下列命题正确的是() A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧 C.平分弦的直径垂直于弦 D.长度相等的弧是等弧 【例2】(2024湖南模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,连接AC,AD, 则下列结论正确的是() B A.AC=BC B.BC=BD C.OE=BE D.∠CAD=∠CDA 【技巧归纳】 紧扣垂径定理前提，看清弦是否为直径，辨析平分弦、垂直弦、平分弧的逻辑关系，逐条比 对条件判断命题对错 【变式1-1】(24-25九年级下北京海淀阶段练习)如图，AB是⊙0的弦，CD是O0的直径，CD⊥AB 于点E.在下列结论中，正确的是 D E B ①AE=BE:②∠CBD=90°：③LCOB=2∠OBD:④LB0D=2∠C:⑤∠COB=∠C. 【变式1-2】(2025·吉林长春·一模)如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点， 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且满足CF:DF=I:3,连接AF并延长交OO于点E,连接AD、DE,给出下列结论： C B O ①∠ADC=LAED; ②AD=AE·AF; @当症=BE时，c0s乙AbD=5 ④当AF=3,CF=2时，ADEF的面积是4V5】 上述结论中，正确结论的序号是一 题型2利用垂径定理求角度 【例3】(25-26九年级上四川泸州期中)如图，在⊙0中，半径0C垂直弦AB,D为⊙0上的点， ∠ADC=30°，则∠BOC的度数是() D B A.30° B.60 C.80 D.40° 【例4】(25-26九年级上浙江月考)如图，在⊙0中，弦AB垂直平分半径0D,点C是圆上的一点，且 ∠AOC=152°，则∠BAC的度数是() B D A.32° B.22 C.20 D.16° 5/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 借助垂径定理得到等弧、等弦，利用等弧对应等圆心角、等圆周角，结合直角、三角形内角 关系推导所求角度大小 【变式21】(25-26九年级上陕西延安月考)如图，点A、B、C、D都在⊙0上，连接 OA、OB、CD、AD、BC、OA⊥BC,∠CDA=25°，则∠CBO的度数为 【变式2-2】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，AB是⊙0的直径，AC的度数是55°，BE的度数是 21°，且∠AFC=∠BFD,∠AGD=∠BGE,则∠FDG的度数为 B FO G 题型3利用垂径定理求线段长度 【例】(25-26九年级上浙江衢州：月考)如图，AB是⊙0的弦，若O0的半径OA=5,圆心O到弦AB 的距离OC=3,则弦AB的长为() B A.9 B.8 C.7 D.6 【例6】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，AB是⊙O的直径，弦CD上AB于点E.若AB=10, CD=8,则OE的长为() 6/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 E D A.1 B.2 C.3 D.4 A 是 的直径， E D AB⊙O AB=10 1 0C=OB-7AB-5, :CD⊥AB,CD=8. cg=00=4 .0E=V0C2-CE2=3, 故选C. 【技巧归纳】 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用垂径定理平分弦，结合勾股定理列式，求解半径、 弦长、弦心距等线段长度 【变式31】(25-26九年级上全国单元测试)如图，AB是⊙0的直径，OD垂直于弦AC于点D, DE=3,AC=23,则BC的长是一· E B 【变式3-2】(25-26九年级上浙江绍兴期中)如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD于点E,AB=10, 7/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CD=8,则线段AC的长为 D 题型4利用垂径定理求坐标 【例7】(2425九年级上·河北石家庄期中)如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系x0少中，一条圆 弧经过A(0,3),B(2,3)C(3,2)三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是() A.(0,0) B.(1,1) c.(0,) D.(1,0) 【例8】(23-24九年级上·河南信阳期末)如图，半径为5的⊙A经过M,N两点，若已知两点坐标分别 为M(0,-3),N(0,-9),则A点坐标为() A.(-5,-6) B.(-4,-5) C.（-6,-4) D.(-4,-6) 【技巧归纳】 过圆心向弦作垂线，用垂径定理得线段等量，构造直角三角形借助勾股算水平、竖直距离， 结合已知点推算对应坐标 【变式41】(24-25九年级上浙江嘉兴阶段练习)如图所示，⊙P与y轴交于点A0,5),B0,-4),与x 轴的正半轴交于点C.若∠ACB=45°，则点C的坐标为 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 【变式42】(24-25九年级上辽宁葫芦岛期中)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点P在 第一象限，⊙P与x轴交于O,A两点，点A的坐标为(6,0)，⊙P的半径为V5,则点P的坐标为_ A(6,0)x 题型5利用垂径定理求平行弦问题 【例9】(25-26九年级上广东广州期中)若⊙O的直径为10cm,弦AB∥CD,AB=8cm,CD=6cm, 则AB与CD之间的距离为() A.1cm B.7cm C.lcm或7cm D.2cm或7cm 【例10】(24-25九年级上河北秦皇岛期中)如图，⊙0的半径为3，弦MN=23,Rt△ABC的直角顶点 B在弦MN上运动（可与点M,N重合），点A,C始终在⊙O上，且AB=3.关于嘉嘉和淇淇的说法判断 正确的是() M ● 嘉嘉说：“当点B与点M,点N重合时，∠C的度数是30°.” 淇淇说：“连接OA,当OA与弦MN平行时，点B到OA的距离为2.” A.嘉嘉正确，淇淇错误 B.嘉嘉错误，淇淇正确 9/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.嘉嘉正确，淇淇也正确 D.嘉嘉错误，淇淇也错误 【技巧归纳】 先分两弦在圆心同侧、异侧分类讨论，用垂径定理求出弦心距，再相加或相减得到两条平行 弦间的距离 【变式51】(25-26九年级上江苏南京期中)已知⊙0的半径为13，弦AB=10,弦CD=24,AB∥CD 则这两条平行弦AB,CD之间的距离为 【变式52】(24-25九年级上黑龙江绥化期中)已知⊙0的半径为13，弦AB∥CD,AB=24,CD=10 则两弦之间的距离为 题型6利用垂径定理求同心圆问题 【例11】(25-26九年级上·湖北武汉期中)如图，半径为5和V34的两个圆都以点0为圆心，大圆的弦 AB交小圆于C,D两点，若CD=8,则AB的大小为() D A.6 B.8 C.10 D.12 【例12】(24-25九年级上陕西西安·月考)如图，在以点0为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径 的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C,D两点，若AC=CD=4,则小圆半径是 B 【技巧归纳】过圆心作公共弦垂线，用垂径定理平分弦，分别在大小圆构造直角三角形，借助 勾股定理列式求解线段差值或长度 【变式61】(23-24九年级上·安徽铜陵期中)如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C, 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D两点.求证：AD=BC D 【变式62】(24-25九年级上·河南驻马店期末)如图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于 C,D两点. O。 D B Q)求证：AC=BD: (2)若AB=8,BD=1,小圆的半径为5，求大圆的半径R的值. 题型7垂径定理的推论 【例13】(25-26九年级上宁夏吴忠期中)如图，⊙0的直径AB平分弦CD.若∠D=35°，则∠C为 () A.55° B.35 C.45° D.40° 【例14)(25-26九年级上山东潍坊期中)如图，AB为⊙0的直径，BC=BD,∠CDB=24°，则∠ACD 的度数为() A.36° B.48° C.66° D.78° 【技巧归纳】 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 先明确推论成立前提，平分弦时弦不能是直径，由垂直、平分弦、平分弧中任意两个条件， 推导剩余结论，据此判断或计算 【变式7-1】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，AB是⊙0的直径，C为圆上一点AC=4W2,D是弧 AC的中点，AC与BD交于点E,若E是BD的中点，则BC的长为一 D B 【变式7-2】(2025河南·三模)如图，三角形ABC内接于O0,AB=AC,连接B0并延长交⊙0于点 D,连结AO,AD,CD. (I)求证：∠ABC=∠ADB: (2)猜想OA与CD的位置关系，并说明理由. 题型8垂径定理的实际应用 【例15】(2025·四川南充·一模)如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图乙，筒车盛水 桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，⊙0被水面截得的弦AB长为4米，点 C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为1米，则⊙O的半径长为() ？水面 图甲 图乙 A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 【例16】(25-26九年级上·河北唐山：月考)一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆弧门所在圆的半径为() 2.6m 0. 个 A.0.5m B.1m C.1.2m D.1.3m 【技巧归纳】 将实际拱形、桥洞等模型转化为圆和弦，作弦心距构造直角三角形，用垂径定理搭配勾股定 理列式求解相关尺寸 【变式81】(25-26九年级上全国期末)云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的 风味食品.如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图.若竹筒开口AB宽为8cm,这 个竹筒所能装食物的最大深度是8cm,则竹筒截面的半径为 cm B 图1 图2 【变式82】(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm, 瓶内液体已经过半，最大深度CD=7cm,则截面圆中弦AB的长为」 cm B 0 D 题型9利用垂径定理求最值 【例17】(25-26九年级上山西朔州期中)如图，P是AB上的一动点，OP与AB交于点C.若 AB=6,OP=4,则OC的最小值为() 13/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A万 B.22 C.3 D.5 【例18】(25-26九年级上·浙江杭州月考)如图，C、D是以AB为直径的O0上的两个动点（点C、D不 与A、B重合)，在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若 CD=3,AB=5,则PM最大值是() D B A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【技巧归纳】 定点与圆上动点连线最值依托圆心分析，结合垂径定理得最短弦为过定点垂直于连心线的 弦，最长弦为直径，据此列式求值 【变式91】(25-26九年级上湖北武汉阶段练习)如图是由两个正方形组成的轴对称图案，测得正方形 的边长分别为4cm和5.6cm,现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是() A.5cm B.3v3cm C.2√7cm D.√29cm 【变式9-2】(23-24九年级上江苏连云港阶段练习)如图，MN是⊙0的直径，MN=6,点A在⊙0上， ∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 14118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M N 04 过关检测 一、单选题 1.(2026广东广州二模)如图，⊙O的直径CD=10,AB是弦，AB⊥CD,垂足为M, OM:MC=2:3,则AB的长为() 4 M B A4 B.8 C.√21 D.221 2.(2026四川泸州：二模)如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12mm, 测得钢珠顶端离零件表面的距离为9mm，则这个小孔的直径AB是()mm. 0. 9mm B A.45 B.55 C.65 D.8V5 3.(2026四川南充中考真题)如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E,OB=CD=2,则OE长为 A.1 B.√5 C.2 D.5 15118 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026陕西咸阳二模)如图，有一个圆弧形的门洞，AB=8m,AB上的最高点C到水平地面AB的距 离CD为3m,则AB所在圆的半径为() D B 13 25 A 5m B m 6 C.6m D.4m 在 中，由勾股定理得： RtAOAD OA2=AD2+OD2 5.(2026陕西西安模拟预测)如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D在⊙O上，OD平分AB,若 ∠B=68°，则∠AD0的度数为() D B A,68° B.63° C.56° D.48 二、填空题 6.(25-26九年级上·河南周口期末)如图，半径为3W5和5的两个圆都以0为圆心，大圆的弦AB交小圆 于CD两点，若CD=8,则AB=一· 0 D B 7. (2026广东佛山·三模)如图为一条排水管的截面，若半径OB=10,水面宽AB=16,则排水管内水的 最大深度为」 16118 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26九年级上江苏南京期中)己知⊙O的半径为13，弦AB=10,弦CD=24,AB‖CD,则这 两条平行弦AB,CD之间的距离为 9.(2026湖南长沙模拟预测)如图，AB是半径为13的⊙O的弦，OD⊥AB于点C,交⊙O于点D,若 弦AB为24，则0C= D 10.(2026安徽阜阳·三模)己知AB是⊙O的直径，弦CD L AB,垂足为点E,连接AD,AB=9, AD=6,则弦CD的长为 三、解答题 11.(25-26九年级下·全国·课后作业)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,F为AB上一点， ∠CFD=100°.求∠CFE与∠DFE的大小. 0 E 12.(25-26九年级上：江西上饶期末)如图，以点0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=8,CD=6 D\B (I)直接写出BD的长为 (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长. 13.(25-26九年级上：江西赣州期末)如图，AB是⊙O的直径，C,D是半圆的三等分点，请仅用无刻度 17/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的直尺，按要求作图.（保留作图痕迹）， D B B 0 图1 图2 (1)在图1中，作CD的中点E: (2)在图2中，作BD的中点P 14.(2026内蒙古通辽三模)如图，∠A=∠B,AB交⊙O于点C,D,OE是半径，且OE⊥AB于点 F (I)求证：AC=BD: (②)若CD=8,EF=3,求⊙O的半径 15.(2026河南周口·模拟预测)如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心0在水 面上方，点C为运行轨道的最低点（即C是弧AB的中点）， o 图1 图2 图3 (I)如图2，若⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C到弦AB所在直线的距离为2米，求⊙O半径， (②)如图3，在水面的变化过程中，若连接CO并延长分别交AB于点D,交⊙O于点E,连接BE,延长AO 交BE于点F,且⊙O的半径为5，恰好AF⊥BE于点F,求此时⊙O被水面截得的弦AB的长.（精确到 0.1,V3≈1.732) 18/18