第19讲 过三点的圆（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第19讲过三点的圆 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断确定圆的条件 题型2确定圆心（尺规作图) 题型3确定圆的个数 题型4画圆（尺规作图) 题型5三角形的外接圆 题型6求三角形外心坐标 题型7求三角形外接圆的半径 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，掌握其作图方法 确定圆、不在同一直（作两条弦的垂直平分线，交点为圆心）。 线、垂直平分线、外2.知道三角形的外接圆、外心等概念，能根据三角形类型判断外心的位置 接圆、外心、分类讨 (锐角三角形内部，直角三角形斜边中点，钝角三角形外部)。 论。 3.了解“过同一直线上的三个点不能作圆”的理由。 4.经历“确定圆心”的探究过程，体会分类讨论和转化思想，培养推理能力 与几何作图能力。 学习重点：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理及其作图方法。 学习难点：理解为什么“不在同一直线上”这一条件是必需的（即共线三点不能作圆），以及外心位 置与三角形形状的关系。 02 教材全解 1/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知1识1框|架 经过一点可画无数个圆 确定圆的条件 经过两点可画无数个圆 忽略三点共线情况 高频易错点 三点不共线时有唯一圆 外心与内心概念混淆 经过三点确定一个圆 三点共线时无法作圆 过三点的圆 定义 过三角形三个顶点的圆 过三点作圆的条件判断 高频考点 三角形外接圆的圆心 外心性质与位置判定 三角形的外接圆 外心 是三条边垂直平分线的交点 到三角形三个顶点距离相等 锐角三角形外心在三角形内部 外心位置 直角三角形外心在斜边中点 钝角三角形外心在三角形外部 知1识|精1讲 知识点01确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 点和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外 接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外 心.从三角形外心的定义知：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离 B 相等. 如图，分别作出线段AB的垂直平分线1和线段BC的垂直平分线2，设 它们的交点为Q,则OA=0B=OC.于是以点0为圆心，OA(或0BO0为 半径，便可作出经过ABC三点的圆.因为过A、B、C三点的圆的圆 心只能是点Q半径等等于OA,所以这样的圆只有一个. 1)经过一个已知点A可画无数个圆。 2)经过己知两点A,B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3)经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4)经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 判断三点能否作圆先看是否共线，不共线三点唯一确定圆，可作垂直平分线找圆心算半径， 已知圆心半径或直径端点也能快速定圆 即时即练1，下列语句所描述的事件是随机事件的是() A,任意画一个四边形，其内角和为180° B.经过任意两点画一条直线 C.任意画一个平行四边形，是中心对称图形 D.过平面内任意三点画一个圆 2.一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？() ① ② ③ A.① B.② C.③ D.都可以 3.如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的 碎片是 ④ 03 题型突破 题型1 判断确定圆的条件 【例1】(25-26九年级上北京·课后作业)下列条件中，只能确定一个圆的是() A.过定点A B.过定点A、B,且半径为R C.过不在同一直线上的三点 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.过不在同一直线上的四点 【例2】(25-26九年级上·北京课后作业)下列条件中，能确定一个圆的是() A.以点O为圆心 B.以6cm为半径 C.以点O为圆心，3cm为半径 D.经过已知点M 【技巧归纳】 判定能否确定圆，先检验三点是否共线，不共线三点可定唯一圆；己知圆心半径、直径两端 点也能直接定圆，逐一对照条件辨析即可 【变式11】(23-24九年级上全国单元测试)在平面直角坐标系内的点A(-1,-2),B(0,-2),C(3,-2) 确定一个圆（填“能”或“不能”）. 【变式12】(24-25九年级上江苏南京月考)若过平面直角坐标系中的三个点4,0)、B0,2)、C(-1,m) 能确定一个圆，则m≠ 题型2 确定圆心（尺规作图） 【例3】(2425九年级上河南许昌·期末)熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子， 她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B,C,如图所示，测量 出弦BC的长就可以得到镜子的直径.经测量弦BC的长为4cm,则该镜子的直径为() B A 4cm B 6cm C.8cm D.10cm 【例4】(2025九年级下·全国·专题练习)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C,其中， B点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为() 4/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.(2,10 B.(2,2) C.(2,0) D.(2,-1) 【技巧归纳】 在圆上任取两条不平行弦，分别作它们的垂直平分线，两条平分线交点即为圆心，作图保留 作图痕迹，规范作出圆弧与垂线辅助线 【变式2-1】(25-26九年级上·浙江温州期中)如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A,B,C,其中 B点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的半径为 【变式22】(25-26九年级上吉林·期中)图①，图②，图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶 点称为格点，点4，B,C均是格点，△ABC的外接圆的圆心记为点O,只用无刻度的直尺，分别在给定的网 格中按要求作图， 图① 图② 图③ (1)在图①中，标出圆心0 (②)在图②中，△ABC的外接圆上找出一点D,使得BD=AC. ()在图③中，△ABC的外接圆上找出一点E,使得EA=EB 题型3求确定圆的个数 【例5】(25-26九年级上·江苏徐州阶段练习)已知AB=7cm,则过点A,B,且半径为2cm的圆有 5/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【例6】(25-26九年级上全国课后作业)如图，点A,B,C,D均在直线I上，点P在直线I外，则经 过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为() P。 A B C D A.3 B.4 c.5 D.6 【技巧归纳】 先判断点是否共线，分组枚举三点组合，剔除共线不能定圆的情况，统计有效三点组数，即 为可确定圆的总个数 【变式31】(23-24九年级上全国课后作业)过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆. 【变式32】(25-26九年级上浙江绍兴阶段练习)如图，点A,B,C均在直线I上，点P在直线I外， 则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个 P. A 题型4画圆（尺规作图） 【例7】(25-26九年级上·陕西·期中)如图，已知△4BC,请用尺规作图法作⊙0，使得AB为⊙0的直径. (不写作法，保留作图痕迹) 【例8】(2425九年级下·甘肃张掖期中)阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题： 己知：∠ACB是△ABC的一个内角.求作：∠APB=∠ACB A B 小芸同学的作法如下： 如图，①作线段AB的垂直平分线m; ②作线段BC的垂直平分线n,与直线m交于点O: ③以点O为圆心，OA为半径作圆： ④则⊙O为△ABC的外接圆： ⑤在优弧ACB上取一点P,连结AP,BP.则可得∠APB=∠ACB 根据小芸设计的尺规作图过程， ()使用直尺和圆规，完成上面的作图过程；（不写画法，保留作图痕迹） (②)∠APB=∠ACB的依据是 【技巧归纳】 己知圆心半径直接定规画圆：过三点作圆作弦垂直平分线找圆心：己知直径取中点为圆心， 半长为半径作图，保留痕迹 【变式41】(25-26九年级上江苏无锡期中)如图，已知△ABC. (1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙0.（保留作图痕迹，不写作法） 2)在(1)的条件下，若⊙0的半径为10，点O到BC的距离为6，求BC的长 【变式42】(2025·内蒙古通辽中考真题)下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90° 求作：Rt△ABC的外接圆. 作法：如图2. (1)分别以点A和点B为圆心，大于)AB的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点： (2)作直线P吧，交AB于点O, (3)以0为圆心，0A为半径作⊙0，⊙0即为所求作的圆. B A B 图1 图2 下列不属于该尺规作图依据的是() A.两点确定一条直线 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 题型5三角形的外接圆 【例9】(25-26九年级上·山东日照期中)根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的 是() 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例10】(24-25九年级上河北廊坊期中)已知O是△ABC的内心，∠BAC=70°，P为平面上一点，点0 恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为() 0 A.50° B.65.5° C.55° D.62.5° 【技巧归纳】 作三角形任意两边垂直平分线，交点即为外心，以外心到顶点长为半径画外接圆；解题常借 助外心性质求半径、角度与线段长 【变式51】(2024九年级上山东青岛·专题练习)如图，点A,B，C均在6×6的正方形网格格点上， 过A,B,C三点的外接圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为一· B 【变式5-2】(2025贵州铜仁一模)如图，已知点0是△ABC的外心，∠A=40°，连结B0,C0,则 ∠BOC的度数是一· 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6求三角形外心坐标 【例11】(24-25九年级上江苏无锡期末)如图，在平面直角坐标系中，A(0,-2),B(2,0),C(2,2) 则△ABC的外心坐标为() y 3 B -2 2 3 A. (0,0) B.(-l,0) c.(-1,) D.（-2,1) 【例12】(24-25九年级上湖南常德期末)如图，在平面直角坐标系x0少中，△ABC的三个顶点的坐标 分别为：A(-2,4),B(4,4),C(4,0),经画图操作可知，△ABC的外心坐标应是() 6 A B 4 4-3-2-10 123456x 10/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.(2,1) B.(2,2) c.(4,4) D.(1,2) 【技巧归纳】 设外心坐标，利用到三顶点距离相等列方程求解，也可求两边垂直平分线解析式，联立交点 即为外心坐标 【变式61】(25-26九年级上江苏准安月考)如图，在平面直角坐标系中，A0,-2),B(2,0),C(2,2),则 △ABC的外心坐标为 4 3 2 5-4-3-2-{ 【变式6-2】(24-25九年级下江苏连云港·月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，有三点A(0,1), B(4,1),C(5,6),则△ABC的外心坐标是 6 4 .2 A B 2 46 题型7求三角形外接圆的半径 【例13】(24-25九年级上·湖北恩施·月考)如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A,B,C 在同一个圆上，则圆的半径为() 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.22 c. D.85 4 【【例14)(25-26九年级上·全国课后作业)如图，A,B,C是⊙0上的三点，△4BC是等边三角形.若 AB=3,则O0的半径是() A 0 A 3-2 B. 2 C. D. 5-2 【技巧归纳】 可作两边垂直平分线找外心算距离：直角三角形斜边一半即为半径，也可用正弦定理列式直 接求解外接圆半径 【变式7-1】(25-26九年级上·江苏扬州期中)若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的 半径为 【变式7-2】(24-25九年级下四川成都阶段练习)如图，正三角形ABC的边长为26，则它的外接圆 ⊙0的半径为 C 0 B 12116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.(25-26九年级上山东淄博阶段检测)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如 图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是() ① ② ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 2.(25-26九年级上：湖北宜昌·期末)下列说法正确的是() A,任意三点可以确定一个圆 B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.圆内接四边形对角互补 3.(25-26九年级上山东东营阶段检测)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 O,A,B,C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过 A,B,C三点的圆的半径为() A.5 B.3 C.10 D.2/2 4.(25-26九年级上·浙江嘉兴期末)下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（) A. /1 50°70以 6565 110 13116 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上天津蓟州：阶段检测)如图，△ABC顶点都在网格格点上，△ABC外接圆的圆心的 是() 6 5 X 3 2 0123456x A.(1,3) B.(2,3) C.(2,2) D.(1,2) 二、填空题 6.(25-26九年级上河北唐山期中)如图为4×4的网格图，A,B,C,D,O均在格点上，点O是 △ABC的 D (25-26九年级上河北张家口期末)如图，△ABC外接圆的圆心坐标为 7 6 5 4 3 2 1 01234567x 8. (25-26九年级上·吉林长春阶段检测)如图，正方形网格中，AB,C三点均在格点上，那么△ABC的 外接圆圆心是点 14116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 9.(2425九年级下浙江杭州阶段检测)己知△ABC中，AB=AC,点O为△ABC的外心，且 ∠BOC=80°，则∠BAC度数为 10.(2026上海静安·三模)已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为 三、解答题 11.(2026陕西西安模拟预测)如图，弧AB是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心0的位置. (保留作图痕迹，不写作法) A B 12.(25-26九年级上北京课后作业)已知线段AB=2Cm (I)画半径为lCm的圆，使它经过A,B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为2cm的圆，使它经过A,B两点，这样的圆能画几个？ 3)能画出半径为0.05cm的圆，使它经过A,B两点吗？ 13.(25-26九年级上江苏扬州阶段检测)如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过 网格点A、B、C,点O为坐标原点.（网格中小正方形的边长为1） A ()该圆弧所在圆的圆心P的坐标为一； (②)⊙P的半径为一；（结果保留根号） 3)点M(7,-1)在⊙P ;(填“上”、“内”或“外”) 4)扇形PAC刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为 14.(2026河南·一模)如图1和图2，△ABC是等边三角形. 15116 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出△ABC的外接圆⊙O.(保留作图痕迹，不写作法) (②)点P在AC上（点P不与点A、C重合），在图2中连接PA、PB、PC,求证：PB=PA+PC. 16/16 第19讲 过三点的圆 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断确定圆的条件 题型2 确定圆心（尺规作图） 题型3 确定圆的个数 题型4 画圆（尺规作图） 题型5 三角形的外接圆 题型6 求三角形外心坐标 题型7 求三角形外接圆的半径 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 确定圆、不在同一直线、垂直平分线、外接圆、外心、分类讨论。 1. 理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，掌握其作图方法（作两条弦的垂直平分线，交点为圆心）。 2. 知道三角形的外接圆、外心等概念，能根据三角形类型判断外心的位置（锐角三角形内部，直角三角形斜边中点，钝角三角形外部）。 3. 了解“过同一直线上的三个点不能作圆”的理由。 4. 经历“确定圆心”的探究过程，体会分类讨论和转化思想，培养推理能力与几何作图能力。 学习重点：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理及其作图方法。 学习难点：理解为什么“不在同一直线上”这一条件是必需的（即共线三点不能作圆），以及外心位置与三角形形状的关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 点和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个． 1）经过一个已知点A可画无数个圆。 2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 【易错提醒】 判断三点能否作圆先看是否共线，不共线三点唯一确定圆，可作垂直平分线找圆心算半径，已知圆心半径或直径端点也能快速定圆 即时即练1．下列语句所描述的事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和为 B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个平行四边形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆 【答案】D 【详解】解：A. 任意四边形的内角和为，任意画一个四边形内角和为是不可能事件，不符合题意； B. 两点确定一条直线，经过任意两点一定可以画一条直线是必然事件，不符合题意； C. 所有平行四边形都是中心对称图形， 任意画一个平行四边形一定是中心对称图形是必然事件，不符合题意； D.  当平面内三点共线时，不能画出圆，当三点不共线时，可以画出一个圆，过平面内任意三点画一个圆是可能发生也可能不发生的事件，是随机事件，符合题意． 2．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 3．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 题型1 判断确定圆的条件 【例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可． 【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意； B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意； C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意； D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意． 故选C． 【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【技巧归纳】 判定能否确定圆，先检验三点是否共线，不共线三点可定唯一圆；已知圆心半径、直径两端点也能直接定圆，逐一对照条件辨析即可 【变式1-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南京·月考）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 题型2 确定圆心（尺规作图） 【例3】（24-25九年级上·河南许昌·期末）熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接， ， ， 是等边三角形 ， 该镜子的直径为8cm， 故选: Ｃ． 【例4】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由弧确定所在圆的圆心，涉及垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．熟练掌握通过圆弧，由垂径定理的推论确定弧所在圆的圆心方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 故选：C． 【技巧归纳】 在圆上任取两条不平行弦，分别作它们的垂直平分线，两条平分线交点即为圆心，作图保留作图痕迹，规范作出圆弧与垂线辅助线 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1），作中点即可； （2）过作（取格点）即可； （3）作的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ； （2）点即为所求； ； （3）如图，点即为所求． 题型3 求确定圆的个数 【例5】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 【例6】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线的三点确定一个圆是解题的关键．直线上任意两个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、． ∴最多可画出圆的个数为个． 故选：D． 【技巧归纳】 先判断点是否共线，分组枚举三点组合，剔除共线不能定圆的情况，统计有效三点组数，即为可确定圆的总个数 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 题型4 画圆（尺规作图） 【例7】（25-26九年级上·陕西·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得为的直径．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查的是作圆及线段垂直平分线的尺规作图，作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如下图即为所求作． 【例8】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知：是的一个内角．求作：． 小芸同学的作法如下： 如图，①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，与直线交于点； ③以点为圆心，为半径作圆； ④则为的外接圆； ⑤在优弧上取一点，连结，．则可得． 根据小芸设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，完成上面的作图过程；（不写画法，保留作图痕迹） (2)的依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)同弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，同弧所对的圆周角相等等等，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）根据题意作图即可． （2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 【技巧归纳】 已知圆心半径直接定规画圆；过三点作圆作弦垂直平分线找圆心；已知直径取中点为圆心，半长为半径作图，保留痕迹 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，以为半径画圆即可； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 【变式4-2】（2025·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型5 三角形的外接圆 【例9】（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 【例10】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，如图所示，由三角形内心性质结合三角形内角和定理得到，再由三角形外心定义，由圆周角定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 是的内心， 是的角平分线、是的角平分线， ，， 在中，，则由三角形内角和定理可知， ， 在中，， 点恰好又是的外心， 由圆周角定理可得， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及三角形内心性质、角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外心定义及圆周角定理等知识，熟记三角形内心性质及外心定义是解决问题的关键． 【技巧归纳】 作三角形任意两边垂直平分线，交点即为外心，以外心到顶点长为半径画外接圆；解题常借助外心性质求半径、角度与线段长 【变式5-1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点． 先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数． 【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 【变式5-2】（2025·贵州铜仁·一模）如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案． 【详解】的外接圆如下图 ∵∠ ∴． 故答案为：． 题型6 求三角形外心坐标 【例11】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 【例12】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【技巧归纳】 设外心坐标，利用到三顶点距离相等列方程求解，也可求两边垂直平分线解析式，联立交点即为外心坐标 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 所以的外心坐标为 ， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25九年级下·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据 【详解】解：根据三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，然后作和的垂直平分线，如图： ， 通过图像可以明显得到和的垂直平分线交点坐标为：； 故答案为：； 题型7 求三角形外接圆的半径 【例13】（24-25九年级上·湖北恩施·月考）如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解直角三角形等，作直径，连接，根据勾股定理求得 ，，解直角三角形得到，由，，得出，进而即可求得，从而求得圆的半径为． 【详解】解：作的外接圆，作直径，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆的半径为， 故选：D． 【【例14】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 【技巧归纳】 可作两边垂直平分线找外心算距离；直角三角形斜边一半即为半径，也可用正弦定理列式直接求解外接圆半径 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形的外接圆半径；先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半求解． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 斜边长， 外接圆半径． 故答案为： 【变式7-2】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，进而求出，最后根据余弦的定义解答即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质、余弦的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 2．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆内接四边形对角互补 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角与弧的关系、圆内接四边形的性质．根据确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角与弧的关系、圆内接四边形的性质可判断出各选项，注意在等圆中这个条件． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，∴选项A说法错误，不符合题意； ∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，当弦为直径时，平分直径的直径不一定垂直于该弦，∴选项B说法错误，不符合题意； ∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴选项C说法错误，不符合题意； ∵圆内接四边形对角互补是圆内接四边形的基本性质，∴选项D说法正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 5．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 7．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 9．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知中，，点O为的外心，且，则度数为_________． 【答案】或 【分析】根据三角形外心的不同位置分情况讨论，结合圆周角定理计算即可得到的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当点在内部时， ； ②当点在外部时， 根据圆周角定理可得． 10．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 三、解答题 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 12．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 【答案】(1) (2) (3)外 (4) 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； （4）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，圆锥的侧面展开图的扇形圆心角，再根据圆锥底面底面周长等于侧面展开图扇形弧长即可求出半径． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示：， （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 设圆锥底面的半径为，可得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 14．（2026·河南·一模）如图1和图2，是等边三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：． 【答案】(1) 如图1所示，即为所求 (2) 证明：如图2，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 【分析】（1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作即可； （2）延长至点E，使，连接，证明，进而证明是等边三角形，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $