第18讲 圆的有关概念（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第18讲 圆的有关概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆的认识 题型2 判断点与圆的位置关系 题型3 利用点与圆的位置关系求半径 题型4 与圆有关的概念 题型5 利用圆的基本性质求角度 题型6 利用圆的基本性质求长度 题型7 利用圆的基本性质求坐标 题型8 利用圆的基本性质求最值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等弧、集合定义。 1. 经历圆的概念的形成过程，理解圆的描述性定义和集合性定义，知道确定一个圆的两个要素（圆心和半径）。 2. 理解弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等与圆有关的概念。 3. 能准确识别图形中的弦、弧、直径等元素，并会用符号进行表示。 4. 能从图形中辨析易混淆概念的区别与联系（如弦与直径、弧与半圆、等弧与长度相等的弧），体会集合思想和类比学习的方法。 学习重点：理解圆的定义及与圆有关的概念（弦、弧、半圆、等圆等）。 学习难点：理解圆的集合定义（从点的集合角度认识圆），以及辨析“等弧”与“长度相等的弧”的区别（等弧必须能重合）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的定义 1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段 ③直径：经过圆心的弦（如AB）（直径是特殊的弦） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3）确定一个圆的两要素（圆心、半径） 4）圆的任一半径长度都相等 5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； 7）C=2r S= 【易错提醒】 圆是圆周而非圆面；定点为圆心、定长为半径，不可混淆半径与直径。 即时即练1．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 2．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 3．如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 4．已知的半径长为，点P在内，那么的长度有可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点P在内，则点P到圆心O的距离小于半径，据此解答即可． 【详解】解：点P在内，的半径长为， ， 选项中只有符合． 故选：A． 知识点02 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： P在圆外d>r； P在圆上d=r； P在圆内d<r 【易错提醒】 切勿比较点到圆边缘距离，必须用点到圆心距离判断 即时即练5．如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知的半径，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：为直径作， ∴的半径 ∵在直角中，为斜边上的中线， ∴ ∴点C在圆上． 6．已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【分析】先确定点D到圆心A的距离d以及的半径r，再根据当d和r的关系判断点和圆的位置关系即可． 【详解】解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 题型1 圆的认识 【例1】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的定义，解题的关键是掌握圆的定义．利用圆的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，“一中”指的是定点（圆心），“同长”指的是到定点的距离相等（半径）， 所以该图形是圆． 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·广东汕头·月考）下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧和半径的关系．根据圆的定义和性质逐一判断选项的正确性即可． 【详解】A．直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故该选项错误，不符合题意； B．过圆内一点，若该点是圆心，可作无数条直径；若该点不是圆心，只能作一条直径（连接该点与圆心并延长），故该选项错误，不符合题意； C．相等的弦所对的弧不一定相等，因为弧有优弧和劣弧之分，只有在同圆或等圆中且对应同类型弧时才相等，故该选项错误，不符合题意； D．在同圆中，直径的长度是半径的2倍，故该选项正确，符合题意；． 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆的面积，根据：，可先求出圆的半径，进而求出圆的面积即是长方形的面积，圆的面积×就是阴影部分的面积，再分别算出圆面积和阴影部分的面积，再求出它们的比． 【详解】解：半径：（厘米) 圆面积为（平方厘米） 阴影部分的面积为 （平方厘米) 则． 故答案为： 【变式1-2】（2025·安徽·二模）《数书九章》中的“遥度圆城”问题如下：在一座圆形城堡中，有正东、正南、正西和正北四个门，出南门A向东走一段路程到达点后相切圆形城堡于点，刚好看到北门的正北方向的一棵大树，即相切圆形城堡于点．若，圆形城堡的直径为，且经过圆形城堡的圆心，则北门到大树的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的概念、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握圆的概念以及切线的性质成为解题的关键。 如图：连接，则,,，先证明可得，则、，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接，则,,， ∵相切圆形城堡于点A，相切圆形城堡于点D． ∴, ∵,, ∴, ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：． 题型02 判断点与圆的位置关系 【例3】（25-26九年级上·山西运城·月考）的直径为，点到圆心的距离，则点与圆的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；通过比较点到圆心的距离与圆的半径大小来判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， 又∵， ∴， 故点A在外； 故选：C． 【例4】（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知的半径长为1，，则正确图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，解题关键是熟知点与圆的位置关系由点到圆心的距离和圆的半径决定． 根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的半径长为1，， ∴， ∴点B在圆外， 故选：B． 【技巧归纳】 解题先求点到圆心距离d，对比半径r：d>r在圆外，d=r在圆上，d<r在圆内，切勿用点到圆弧距离判断。 【变式2-1】（25-26九年级上·江西南昌·月考）已知的直径为4，平面内一点到圆心的距离为3，则点在 ．（填“上”“内”或“外”） 【答案】外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据圆的直径求出半径，比较点到圆心的距离与半径的大小关系，即可判断点与的位置关系． 【详解】解：∵的直径为4， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在外． 故答案为：外． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点C与的位置关系是 ． 【答案】点在圆内． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系有3种．设⊙的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；①点在圆内． 【详解】解：∵，   ∴，   ∴，   ∴点与⊙的位置关系是点在圆内．   故答案为：点在圆内． 题型03 利用点与圆的位置关系求半径 【例5】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若点P在内，且，则的半径可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查点和圆的位置关系，点P在圆内时，点P到圆心的距离小于圆的半径．掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】∵点P在内， ∴， ∵， ∴， ∴的半径可能为6． 故选：D． 【例6】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 【技巧归纳】 先根据点和圆的位置列出距离与半径的不等或等量关系，列式求解取值范围或具体半径，注意分类讨论多种点位情况，避免漏解 【变式3-1】（24-25九年级上·山东菏泽·月考）已知平面上点到的最大距离为，最小距离是，那么⊙O的半径为 ． 【答案】或 【分析】本题考查点与圆的位置关系，分类讨论，当点在圆外时，根据圆外一点到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径，当点在圆内时，根据圆内一点到圆上各点的最大距离加上最小距离等于圆的直径即可求解． 【详解】解：当点在圆外时， ∵外一点到上各点的最大距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 当点在圆内时， ∵内一点到上各点的最大距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：或． 【变式3-2】（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，处受噪音影响的时间为 秒．    【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系以及勾股定理，过点作，根据“所对的直角边等于斜边的一半”得出的长，再与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．掌握点与圆的位置关系及直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当火车到点时对处产生噪音影响，此时， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∵火车在铁路上沿方向以即的速度行驶， ∴影响时间应是：（秒）． 故答案为：．    题型4 与圆有关的概念 【例7】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【例8】（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此的长度不能大于8． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 圆中最长的弦为直径， ， 选项A中，故的长不可能为9，符合题意， 故选：A． 【技巧归纳】 理清弦、直径、弧、半圆等概念，同圆半径都相等，直径为最长弦；区分优弧劣弧，解题先找准圆心半径，看清题干条件再分析列式 【变式4-1】（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【变式4-2】（2025·上海·模拟预测）如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的内切，圆上两点间距离的最值：连接，延长交圆于C，求出圆P和圆R的半径．连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B，则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值． 【详解】如图，连接，延长交圆于C， 由圆O和圆P内切知C点即为切点， ∴， 连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B， 则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值， ∴， 故答案为：． 题型05 利用圆的基本性质求角度 【例9】（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，是的弦，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的定义，等边三角形的性质和判定， 根据圆的定义可得，再说明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 【例10】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查圆的半径性质、等腰三角形性质、三角形外角定理．解题关键是利用“半径相等”将转化为等腰三角形的腰，通过外角定理推导角的倍数关系；易错点是遗漏连接辅助线，或混淆外角与内角的关系． 首先连接，由，得是等腰三角形，故；其次由三角形外角定理，得；然后由，得是等腰三角形，故；最后再由外角定理，得． 【详解】解：连接，如图， ，， ， ， 而， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【技巧归纳】 解题用好同圆半径相等得等腰三角形，利用圆心角、圆周角关系转化角度，结合内角和、外角性质推导，注意区分优弧、劣弧对应的角 【变式5-1】（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，是的直径，点在上，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键，先证明得出，再利用直径所对圆周角是90度得出，即可求解． 【详解】解：在中，，     在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，等腰的顶角，以为直径的半圆分别交于点D，E．则是 度． 【答案】50 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键；由等腰三角形的性质得，则有，再由等腰三角形的性质得的度数． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：50． 题型06 利用圆的基本性质求长度 【例11】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，是直径，于，若，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质； 连接，求出半径，可得，，则垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴, ∴，， ∴, 又∵， ∴， 故选：C． 【例12】（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，都是的半径，交于点D．若，，则半径的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴点为的中点， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故选：D． 【技巧归纳】 遇线段长度先利用同圆半径相等转化边长，常构造等腰或直角三角形，结合勾股定理计算，理清弦、半径、弦心距之间的数量关系列式求解 【变式6-1】（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知的直径为，是中最长的弦，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆中的弦，圆中最长的弦是直径，理解直径的性质是解题的关键．圆中最长的弦是直径，以此回答即可． 【详解】∵是中最长的弦， 是的直径， 的直径为8cm， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知，以点为圆心，的长为半径画圆，交轴正半轴于点，则线段的长度等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与圆的半径性质，熟练掌握“利用勾股定理计算线段长度、结合圆的半径相等确定点的坐标”是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再结合圆的半径相等得到的长度，进而确定点的坐标，最后用勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，． 在中，． ∵ 以为圆心，为半径画圆， ∴ ． ∵ ， ∴ ，即． 在中， ． 故答案为：． 题型07 利用圆的基本性质求坐标 【例13】（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内，由此即可判断． 【详解】解：A、由勾股定理得到，因此在大圆外，故A不符合题意； B、在小圆上，故B不符合题意； C、由勾股定理得到，因此在大圆上，故C不符合题意； D、由勾股定理得到，因此，得到P在小圆外，大圆内，故D符合题意． 故选：D． 【例14】（24-25九年级上·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，半径为5，下列点坐标在圆上的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出下列各点与原点的距离，再与圆的半径比较，即可求解． 【详解】A项，，此点不在圆上，故本项不符合题意； B项，，此点在圆上，故本项符合题意； C项，，此点不在圆上，故本项不符合题意； D项，，此点不在圆上，故本项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，利用勾股定理求解坐标系中两点之间距离等知识，当某点到一个圆的圆心的距离等于该圆半径的长度时，则该点在圆上，否则就不在圆上． 【技巧归纳】 求解坐标先确定圆心与半径，利用圆中垂直、直径所对圆周角等性质构造线段等量关系，设点结合距离公式列式求解，检验避免漏解 【变式7-1】（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查确定点的坐标，由点的坐标为得，连接，过点B作轴于点，则，再求出，可得，从而得点B的坐标． 【详解】解：连接，过点B作轴于点，如图， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点Ｂ是第四象限内的点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式7-2】（2024·湖南·模拟预测）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，根据同圆的半径相等可知：在上，且半径为，通过画图可知，当最大时，最大，而，，三点共线时，即当在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为坐标平面内一点，， ∴在上，且半径为， 在轴上取，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大，而，，三点共线时，即当在的延长线上时，最大， ∵，， ∴， ∴，且， ∴，即的最大值为， ∵是的中点，则， 故答案为：． 题型08 利用圆的基本性质求最值 【例15】（24-25九年级下·河北邢台·期末）如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求得，根据三角形边长关系可得，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 为的中点，的中点为， ，， ， ， 根据三角形边长关系可得， 的最大值为， 故选：A． 【例16】（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 【技巧归纳】 先定定点与圆心距离，结合半径分析动点轨迹，利用两点间线段最短、垂线段最短，搭配圆内外最值规律列式计算，注意区分最大值与最小值 【变式8-1】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在中，，，，点是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，点为中点，线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取的中点，连接，，，由勾股定理得，然后通过直角三角形性质可得，又是的中点，是的中点，则，通过即可求出线段长度的最大值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵，，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求． 【详解】解：∵，G是EF的中点，则有， 则点在以圆心，1为半径的圆在长方形内的弧上运动． 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于点， 由两点之间线段最短，此时的值最小， 则的最小值= 且， 则的最小值． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了最短路径问题，点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题． 一、单选题 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）一个圆和一个正方形的周长相等，它们的面积比较（    ） A．正方形的面积大 B．圆的面积大 C．一样大 【答案】B 【分析】本题可设周长为定值，分别计算正方形和圆的面积，再比较大小即可得到结论． 【详解】解：设圆和正方形的周长都为， ∴正方形边长为，圆的半径为， ∴正方形面积为，圆的面积为， ∵两个面积的分子均为，且， ∴ ，即， 因此周长相等时圆的面积更大． 2．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得平分，再根据，易得，利用三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 5．（2026·北京密云·一模）如图，，点在射线上，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接．则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和等边对等角得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 二、填空题 6．（24-25八年级上·上海静安·期末）经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【答案】以点A为圆心，为半径的圆 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 7．（2026·甘肃兰州·二模）如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 8．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴． 9．（2026·河南周口·二模）如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 【答案】/120度 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用圆的半径相等得到，进而求出的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·湖南·三模）如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2是其示意图，若圆的直径与正方形的对角线之比是，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是_________． 【答案】 【分析】设圆的直径为，正方形的对角线长为，其中，分别表示出圆的面积和正方形的面积，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径与正方形的对角线之比是， ∴设圆的直径为，正方形的对角线长为，其中， ∴圆的面积， 正方形的面积， ∴． 11．（25-26六年级下·上海·期中）如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【答案】 【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：， ∴圆的半径为， ∴圆形茶杯垫片的面积为． 三、解答题 12．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是，内圈直径是，求该零件的横截面积． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积计算方法，该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即可求解． 【详解】外圈半径为 内圈半径为 如图， 该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即 ． 13．（25-26八年级上·河南周口·期末）团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． （2）解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． 14．（2026·甘肃定西·三模）欧几里得在《几何原本》的第一卷中给出了正方形的作法，但圆内接正方形的作法是在第四卷的命题6中给出的，如图，已知，请你根据以下步骤完成圆内接正方形的作图过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①点O为的圆心，点A为上任意一点，过点作的直径； ②作直径的垂直平分线，分别交交于点； ③连接，即得到的内接正方形． (2)若的半径是6，则正方形的面积为________． 【答案】(1)如图，正方形即为所求； (2)72 【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）解：作图见答案， ∵是直径，点O为的圆心，垂直平分， ∴经过点O，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵垂直平分， ∴ ∴四边形是正方形； （2）解：的半径是6， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴． 15．（2026·安徽合肥·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其工作原理是利用水流冲击水轮使其旋转，将水从低处提升到高处．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，筒车的中心轴为点，水轮边缘上的盛水筒、、均在上．已知为的直径，点在上方，连接、、．如图1过点作于点，连接，已知，，按照下图解决问题． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求解，再利用正切定义求解即可. 【详解】（1）解： 为的直径，， ． 连接，在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， （负根舍去）． （2）解：∵，， ∴， ∵，， 在中：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第18讲圆的有关概念 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1圆的认识 题型2判断点与圆的位置关系 题型3利用点与圆的位置关系求半径 题型4与圆有关的概念 题型5利用圆的基本性质求角度 题型6利用圆的基本性质求长度 题型7利用圆的基本性质求坐标 题型8利用圆的基本性质求最值 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.经历圆的概念的形成过程，理解圆的描述性定义和集合性定义，知道确定 圆、圆心、半径、 一个圆的两个要素（圆心和半径）。 弦、直径、弧、半 2.理解弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等与圆有关的概念。 圆、等弧、集合定 3.能准确识别图形中的弦、弧、直径等元素，并会用符号进行表示。 义。 4.能从图形中辨析易混淆概念的区别与联系（如弦与直径、弧与半圆、等弧 与长度相等的弧)，体会集合思想和类比学习的方法。 学习重点：理解圆的定义及与圆有关的概念（弦、弧、半圆、等圆等）。 学习难点：理解圆的集合定义（从点的集合角度认识圆），以及辨析“等弧”与“长度相等的弧”的 区别（等弧必须能重合）。 1/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知|识|框引架 孤与弦概念混淆 圆的定义 动态定义：线段绕端点旋转一周形成 高频易错点 直径不是半径的2倍关系误用 静态定义：到定点距离等于定长的点集 孤弦圆心角关系 圆心：确定圆的位置 高频考点 圆的要素 半径直径计算 半径：确定圆的大小 由弧和两半径围成 扇形 圆的有关概念 半圆：直径分圆成两段孤 弧 优弧：大于半圆的弧 顶点在圆上的角 圆周角 劣弧：小于半圆的弧 顶点在圆心的角 圆心角 弦 直径：经过圆心的弦是最长弦 知1识|精|讲 知识点01圆的定义 1)圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“⊙ 0”,读作：“圆0”，其中端点0叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 B 2)基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径(OB、OC也是圆的半径) ②弦：圆上任意两点间的线段 ③直径：经过圆心的弦（如AB)(直径是特殊的弦） ④弧：圆上任意两点间的部分（如AC) ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3)确定一个圆的两要素（圆心、半径） 4)圆的任一半径长度都相等 5)圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 2/16 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6)等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等： 7)C=2πr S=nr2 【易错提醒】 圆是圆周而非圆面：定点为圆心、定长为半径，不可混淆半径与直径。 即时即练1.下列说法中，正确的是() A,圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B.圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C.弦是直径 D.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 2.下列说法正确的是() A.任意两点之间的部分叫做弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D.圆上任意两点之间的部分叫做弧 3.如图，AB是⊙0的弦，∠A0B=90°，若OA=4,则AB的长为 B 4.已知⊙0的半径长为5Cm,点P在⊙0内，那么P0的长度有可能为() A.3cm B.5cm C.6cm D.10cm 知识点02点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 1)点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2)设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OPd,则： P在圆外一dDr P在圆上一卡 P在圆内一水n 【易错提醒】 3/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 切勿比较点到圆边缘距离，必须用点到圆心距离判断 即时即练5.如图，在直角△ABC中，CD为斜边AB上的中线，以点D为圆心，以AB为直径作⊙D,则 点C与OD的位置关系为() A.点C在圆外B.点C在圆内 C.点C在圆上 D.不能确定 6.已知矩形ABCD,AB=4,AD=3,以点A为圆心，AB为半径作⊙A,则点D在⊙A (填 “外”“内”或“上”). 03 题型突破 题型1圆的认识 【例1】(25-26九年级上江苏准安·期中)墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这 个图形是() A.圆 B.正方形 C.梯形 D.三角形 【例2】(25-26九年级上·广东汕头·月考)下列说法正确的是() A.直径是弦，弦是直径 B.无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C.相等的弦所对的弧相等 D.在同圆中直径的长度是半径的2倍 【变式1-1】(24-25七年级上·浙江绍兴开学考试)如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相 等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(2025安徽·二模)《数书九章》中的“遥度圆城”问题如下：在一座圆形城堡中，有正东、 正南、正西和正北四个门，出南门A向东走一段路程到达点B后(AB相切圆形城堡于点A),刚好看到北门 8 的正北方向的一棵大树Cc,即BC相切圆形城堡于点D·若B=4km,CD=km,圆形城堡的直径为 3 4km,且AC经过圆形城堡的圆心，则北门到大树的距离为」 km 大树d D 南 B A 题型02 判断点与圆的位置关系 【例3】(25-26九年级上山西运城月考)⊙0的直径为5cm,点A到圆心0的距离OA=3cm,则点A与 圆0的位置关系为() A.点A在圆上B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定 【例4】(24-25九年级下·全国随堂练习)已知⊙0的半径0A长为1,0B=V5,则正确图形可能是 () B B B 【技巧归纳】 解题先求点到圆心距离d,对比半径r:d>r在圆外，d=r在圆上，dr在圆内，切勿用点到圆弧 距离判断。 【变式21】(25-26九年级上江西南昌·月考)已知⊙0的直径为4，平面内一点A到圆心0的距离为3， 则点A在⊙0.（填“上”“内”或“外”） 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】(25-26九年级上江苏无锡期中)如图，在Rt△ABC中，AC=3,BC=4,以点A为圆心， BC为半径画圆，则点C与OA的位置关系是 B 题型03利用点与圆的位置关系求半径 【例5】(25-26九年级上：江苏无锡期中)若点P在⊙0内，且OP=5,则⊙0的半径可能为() A.3 B.4 c.5 D.6 【例6】(25-26九年级上：江苏南京·月考)已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个 圆的半径是() A.6 B.2 C.2或3 D.4或6 【技巧归纳】 先根据点和圆的位置列出距离与半径的不等或等量关系，列式求解取值范围或具体半径，注 意分类讨论多种点位情况，避免漏解 【变式31】(24-25九年级上山东菏泽月考)已知平面上点M到O0的最大距离为19，最小距离是3， 那么⊙0的半径为 【变式32】(23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习)如图，铁路MN和公路P在点O处交汇， ∠00N=30°.公路P0上A处距离0点240m.如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那 么火车在铁路MN上沿ON方向以72kmh的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为一秒. 6/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M 题型4与圆有关的概念 【例7】(2024九年级上·江苏·专题练习)如图，A,B,C,E四点在⊙0上，点4O,B,点C,O,D, 点B,D,E分别共线，则图中弦的条数为() E D A.2 B.3 C.4 D.5 【例8】(25-26九年级上：浙江金华月考)已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是 () A.9 B.8 C.7 D.6 【技巧归纳】 理清弦、直径、弧、半圆等概念，同圆半径都相等，直径为最长弦：区分优弧劣弧，解题先 找准圆心半径，看清题干条件再分析列式 【变式41】(23-24九年级下全国课后作业)⊙0的半径为2cm,A为⊙0上一定点，点P在⊙0上沿圆 周运动（不与点A重合），则使弦AP的长度为整数的点P共有一个 B 3 2 【变式42】(2025·上海模拟预测)如图，以边长为1的正方形0PR的顶点O、P、R分别为圆心作圆， 圆O过点Q,圆P、R均和圆O内切.设圆P、R上任意两点之间的距离是d,则的最大值是 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05利用圆的基本性质求角度 【例9】(25-26九年级上·河北唐山期中)如图，AB是⊙O的弦，且AB=OA,则∠B=() B A.30 B.45 C.60 D.90 【例10】(25-26九年级上江苏连云港期中)如图，CD是⊙0的直径，E是⊙0上一点，∠A=24°，A 为DC延长线上一点，且AB=OC,则∠DOE的度数是() E A A.48° B.60 C.72° D.84° 【技巧归纳】 解题用好同圆半径相等得等腰三角形，利用圆心角、圆周角关系转化角度，结合内角和、外 角性质推导，注意区分优弧、劣弧对应的角 【变式51】(25-26九年级上山东济宁·月考)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，AC=AD, ∠AOD=70°，则∠BC0= 8/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 【变式52】(25-26九年级上北京期中)如图，等腰△ABC的顶角∠BAC=50°，以AB为直径的半圆分 别交BC,AC于点D,E.则∠DOE是_度. B D 题型06 利用圆的基本性质求长度 【例1I】(24-25九年级上内蒙古巴彦淖尔期末)在Rt△ABC中，AB是直径，CD⊥AB于D,若 AD=3,BD=1,则BC的值是() A.2V3 B.5 C.2 D.4 【例12】(24-25九年级下湖南长沙阶段练习)如图，OA,OB,OC都是⊙0的半径，AC,OB交于点 D.若AD=CD=8,OD=6,则半径的长为() D A.4 B.6 C.8 D.10 【技巧归纳】 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 遇线段长度先利用同圆半径相等转化边长，常构造等腰或直角三角形，结合勾股定理计算， 理清弦、半径、弦心距之间的数量关系列式求解 【变式61】(25-26九年级上·河南许昌期中)已知⊙0的直径为8cm,AB是⊙0中最长的弦，则AB的 长为 【变式62】(25-26九年级上湖北黄冈期中)如图，己知4(4,0)B(0,3),以点B为圆心，AB的长为半 径画圆，交y轴正半轴于点C,则线段AC的长度等于 题型07利用圆的基本性质求坐标 【例13】(24-25九年级下湖北宜昌·阶段练习)如图，一组同心圆的圆心为0，半径分别为3cm,5cm 以O为坐标原点建立直角坐标系，点P要求在小圆外，大圆内，则点P可能的坐标为() 174 A.(3.5,5) B.(0,3) c.(3,4) D.(-1,-4) 【例14】(24-25九年级上广西河池期末)在平面直角坐标系中，⊙0以坐标原点为圆心，半径为5，下 列点坐标在圆上的点的坐标是() A.(3,3) B.(-3,-4) c.(2,4) D.(4,5) 【技巧归纳】 求解坐标先确定圆心与半径，利用圆中垂直、直径所对圆周角等性质构造线段等量关系，设 点结合距离公式列式求解，检验避免漏解 10116 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-1】(2025·宁夏银川模拟预测)小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A 的坐标为(0,4)，则点B的坐标为 【变式72】(2024湖南模拟预测)如图，点A,B的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C为坐标平面内一 点，BC=V2,M为线段AC的中点，连接OM,当OM取最大值时，点M的坐标为 B M 题型08利用圆的基本性质求最值 【例15】(24-25九年级下河北邢台期末)如图，A、B为⊙0上两点，∠A0B=90°，C为⊙0上一动 点（不与A,B重合），D为AC的中点.若⊙O的半径为2，则BD的最大值为() A.1+V5 B.5 C.3 D.25 【例16】(25-26九年级上江苏镇江月考)如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),A(3,0),⊙A半径为 2,P为OA上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是() 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 如 A A.1 B. 3-2 C.2 D. 【技巧归纳】 先定定点与圆心距离，结合半径分析动点轨迹，利用两点间线段最短、垂线段最短，搭配圆 内外最值规律列式计算，注意区分最大值与最小值 【变式81】(25-26九年级上江苏徐州月考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是 以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD,点M为BD中点，线段CM长度的最大值为一· D 公 ☑ B 【变式82】(24-25八年级上湖南株洲期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E,F分别 是AB,BC边上的两动点，且EF=2,点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH,GH,则 GH+CH的最小值为 D 12116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.(25-26六年级下·黑龙江绥化期中)一个圆和一个正方形的周长相等，它们的面积比较() A.正方形的面积大 B.圆的面积大 C.一样大 2.(2026湖北宜昌一模)如图，点A、B为⊙0上两点，连接OA、OB,分别以A、B为圆心，以大于 24B的长为半径作弧，两弧交于点M,作射线OM交O0于点C,连接AC~BC,若∠A=65,则 ∠AOB的度数为()· 米M A.90° B.100° C.110° D.120° 3.(2026山东德州一模)如图，AB=AC,∠A=42,0是△ABC的外接圆圆心，连接B0并延长，交 AC于点D,则∠BDC的度数为() D A.69° B.96 C.63° D.48° 4.(2026山东济宁·二模)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆 的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体，而无所失矣”.如图，⊙0的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计 ⊙0的面积，可求得π的估计值是() 13116 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.3 B.3V5 C.3.14 D.3.142 5.(2026北京密云一模)如图，∠A0B=50°，点C在射线OB上，CD∥OA,以点C为圆心，OC长为 半径画弧，交射线CD于点E,连接OE.则∠AOE的大小为() D A.50 B.25 C.130° D.100° 二、填空题 6.(24-25八年级上·上海静安期末)经过定点A且半径为1.5Cm的圆的圆心的轨迹是 7.(2026甘肃兰州二模)如图，AB是⊙0的弦，∠AOB=90°，若0A=4,则AB的长为 B 8.(2425九年级上北京期中)如图，在⊙0中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于 度. B 9.(2026河南周口·二模)如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E,已知EO=EC, ∠OCE=40°，则∠AOD的度数为 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 10.(2026湖南三模)如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2是其示意图，若圆的直径 与正方形的对角线之比是3：1，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是 图1 图2 11.(25-26六年级下·上海期中)如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平 行四边形，如下图所示.已知平行四边形的底是15.7cm,那么圆形茶杯垫片的面积是 cm2.(π 取3.14) 沿线剪开 15.7cm 三、解答题 12.(25-26六年级下·上海杨浦期中)如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是12m,内圈直 径是8cm,求该零件的横截面积. 13.(25-26八年级上河南周口期末)团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表 着团圆友善、吉祥如意.涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为 64πcm2为了美观，涵涵准备用一个体积为3000cm3,长、宽、高之比为15：8：25的长方体纸盒进行包装， 如图2. 图1 图2 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)该圆形团扇的半径为_cm: (2)求该长方体盒子的长。 14.(2026甘肃定西·三模)欧几里得在《几何原本》的第一卷中给出了正方形的作法，但圆内接正方形 的作法是在第四卷的命题6中给出的，如图，己知⊙0，请你根据以下步骤完成圆内接正方形的作图过程. 0 A (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①点O为⊙O的圆心，点A为⊙0上任意一点，过点A,O作⊙0的直径AC; ②作直径AC的垂直平分线BD,分别交⊙0交于点B,D: ③连接A,B,C,D,即得到⊙O的内接正方形ABCD (2)若⊙O的半径是6，则正方形ABCD的面积为 15.(2026·安徽合肥·模拟预测)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其工作原理是利用水流冲击 水轮使其旋转，将水从低处提升到高处.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原 理.如图，筒车的中心轴为点O,水轮边缘上的盛水筒A、B、C均在⊙O上.已知AB为⊙O的直径，点 C在AB上方，连接AC、BC、OC.如图1过点C作CD⊥AB于点D,连接OD,已知AB=8, CD=3,按照下图解决问题. D (1)求OD的长： (2)求tan∠ABC的值. 16116