3.1圆的有关概念 （2）课时练习 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 本练习通过选择、填空、解答题的梯度设计，以确定圆的条件和三角形外心为核心，从概念辨析到实际应用，培养几何直观与推理能力，实现知识巩固与能力提升的衔接。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|确定圆的条件、外心位置|单选题1-3直接考查概念，填空题11-12强化基础记忆| |能力提升|外心性质、圆的确定应用|单选题4-8结合图形辨析，填空题13-15渗透坐标几何| |综合应用|外心与三角形综合、作图计算|解答题17-20融合方程、作图与证明，培养应用意识|

3.1圆的有关概念 （2）课时练习 一、单选题 1.给定下列条件可以确定一个圆的是（   ） A. 已知圆心                      B. 已知半径                      C. 已知直径                      D. 不在同一直线上三点 2.下列说法正确的是（   ） A. 过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点            B. 过两点A、B的圆的圆心在一条直线上 C. 过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点           D. 过四点A、B、C、D的圆不存在 3.若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（    ）. A. 锐角三角形                        B. 直角三角形                        C. 钝角三角形                        D. 不能确定 4.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（   ） A.                 B.                 C.                 D.  5.一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，不能选择的是（     ） A. ①                                         B. ②                                         C. ③                                         D. ④ 6.如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A. 点E                                      B. 点F                                      C. 点G                                      D. 点H 7.三角形的外心具有的性质是（    ） A. 到三边距离相等         B. 到三个顶点距离相等           C. 外心在三角形外           D. 外心在三角形内 8.如图,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（   ） A. △ABC的三边高线的交点处                                  B. △ABC的三角平分线的交点处 C. △ABC的三边中线的交点处                                  D. △ABC的三边中垂线的交点处 9.如图，将 放在每个小正方形边长为1的网格中，点A,B,C均落在格点上，用一个圆面去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（   ） A.                                          B.                                          C. 2                                         D.  10.三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是方程 x2﹣12x+20＝0 的一个实数根，则三角形的外接圆半径是(    ) A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 8 二、填空题 11.锐角三角形的外心在________，直角三角形的外心在________ ，钝角三角形的外心在________. 12.如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作________个． 13.若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是 ________． 14.将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点 在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若 是钝角 的外心，则 的坐标为________. 15.如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为________． 16.已知△ABC的三边a,b,c满足a+b2+|c-6|+28=4 +10b,则△ABC的外接圆半径=________. 三、解答题 17.“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆． 18.如图，已知△ABC中，AC=6，∠ABC=45°. （1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆（保留作图痕迹，写出结论，不写画法）； （2）求出△ABC的外接圆半径. 19.如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点. （1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O 经过B、C、E三点；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； （2）若正方形的边长为4，求(1)中所作⊙O的面积. 20.如图, 是 的边 的中点,过 延长线上的点 作 的垂线 , 为垂足, 与 的延长线相交于点 ,点 在 上, , ∥ . （1）证明： ； （2）证明：点 是 的外接圆的圆心； 答案解析部分 一、单选题 1. D 考点：确定圆的条件 解：A、不能确定.因为半径不确定，故不符合题意； B、不能确定.因为圆心的位置不确定，故不符合题意； C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意； D.不在同一直线上三点可以确定一个圆.故符合题意； 故答案为：D. 分析：确定一个圆需要两个条件：圆心和半径，其中圆心确定位置，半径确定大小。不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据确定圆的条件和性质即可判断求解。 2.B 考点：确定圆的条件 解：A、过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点（A点外），故本选项错误， B、过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线是，故正确， C、错误，A、B、C三点共线时，不符合题意． D、过四点A、B、C、D的圆可以存在，故本选项错误， 故选：B． 分析：利用圆的知识判定即可． 3. B 考点：三角形的外接圆与外心 解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角， ∴该三角形是直角三角形． 故答案为：B. 分析：根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形． 4. C 考点：三角形的外接圆与外心，作图—基本作图 解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心. 故答案为：C. 分析：根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断. 5. C 考点：确定圆的条件 解：圆弧上的三点确定一个圆.故答案为：C 分析：根据三点确定一个圆可得③不能选。 6. D 考点：确定圆的条件，三角形的外接圆与外心 解：如图，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点H即为圆心． 故答案为：D. 分析：作弦AB，BC的垂直平分线，交点H即为圆心。 7. B 考点：三角形的外接圆与外心 解：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点 ∴外心到三角形的顶点的距离相等。 故答案为：B. 分析：根据三角形外心的含义进行判断即可得到答案。 8. D 考点：三角形的外接圆与外心 解：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等. 故答案为：D. 分析：根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点. 9. A 考点：三角形的外接圆与外心 解：如图所示： 点O为 外接圆圆心，则AO为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： ． 故答案为：A 分析：能够完全覆盖这个三角形的最小圆即为三角形ABC的外接圆，作出线段AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心O，由图即可求得半径AO的长。 10. B 考点：因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系，三角形的外接圆与外心 解：x 2-12x+20=0， （x-2）（x-10）=0， ∴x=10或2， 当x=2时，2+6=8，不符合题意， ∴x=10， 当第三边为10时，因为62+82=102 ， 此三角形是直角三角形，如图1， 此三角形的外接圆的直径为最大边10， 则此三角形的外接圆半径为5， 故答案为：B． 分析：解一元二次方程 x2﹣12x+20＝0，结合三角形三边关系定理可求得三角形的第三边的值；再由勾股定理的逆定理可判断三角形是直角三角形，由直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点可求解。 二、填空题 11. 三角形内；斜边上；三角形外 考点：三角形的外接圆与外心 解：锐角三角形的垂直平分线交点在三角形内，直角三角形的垂直平分线的交点在斜边上，钝角三角形的垂直平分线的交点在三角形外. 故答案为： 三角形内；斜边上；三角形外. 分析：三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，据此自己可动手画画，即可得到答案. 12.3 考点：确定圆的条件 解：过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为：3． 分析：根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 13.5x+2y≠9 考点：确定圆的条件 解：设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵A（1，2），B（3，﹣3）， ∴， 解得：k=， b=， ∴直线AB的解析式为y=​x+， ∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆时， ∴点C不在直线AB上， ∴5x+2y≠9， 故答案为：5x+2y≠9． 分析：能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可； 14. 或 考点：三角形的外接圆与外心 解：由图可知P到点A，B的距离为 ，在第一象限内找到点P的距离为 的点，如图所示，由于是钝角三角形，故舍去（5，2）， 故答案为 或 . 分析：由图可知P到点A，B的距离为 ，在第一象限内找到点P的距离为 的点即可. 15. (6，2) 考点：三角形的外接圆与外心 解：圆心是BC，AB两边垂直平分线的交点为(6，2)． 分析：由网格图像的特点和三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点可求解。 16. 考点：三角形的外接圆与外心，非负数之和为0 解：原式整理得:b2-10b+25+a-1-4 +4+|c-6|=0，(b-5)2+( )2-4 +4+|c-6|=0,   (b-5)2+( -2)2+|c-6|=0. ∵(b-5)2≥0,( -2)2≥0,|c-6|≥0,  ∴b=5，c=6，a=5, ∴△ABC为等腰三角形.如图所示,作CD⊥AB, 设O为外接圆的圆心,则OA=OC=R.∵AC=BC=5,AB=6,∴AD=BD=3, ∴CD= =4,∴OD=CD-OC=4-R, 在Rt△AOD中,R2=32+(4-R)2, 解得R= 分析：利用配方法将原等式转化为非负数之和为0的形式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可证得△ABC为等腰三角形，过点C作CD⊥AB于点D，设O为外接圆的圆心，利用等腰三角形的三线合一的性质求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长，从而可求出OD的长，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出△ABC的外接圆半径。 三、解答题 17.解：设直线BC解析式为：y=kx+b，依题可得： ， 解得， ∴直线BC解析式为：y=x-. 将x=2代入得：y=×2-=. ∴A点不在直线BC上， ∴A、B、C三点不共线， ∴A、B、C三点可以确定一个圆. 考点：确定圆的条件 分析：根据待定系数法先求出直线BC解析式，再看A点是否在直线BC上，不在即可确定一个圆. 18. （1）解：如图，圆O即为所求 （2）解：连接OA，OC ∵∠ABC=45° ∠AOC=90° △AOC是Rt△ ∵AC=6，OA=OC; OC=3 ∴圆O的半径为3 考点：三角形的外接圆与外心 分析：（1）由三角形三边中垂线的交点就是三角形的外接圆的圆心可知：作出三角形三边中垂线，其交点即为所求； （2）连接OA、OC，由已知易得三角形AOC是直角三角形，用勾股定理可求得OC的长即可. 19. （1）解: 如图所示 （2）解: 如图，在（1）中设BC的垂直平分线交BC于点F， 则BF= BC=2，∠BFE=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAB=∠ABF=90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴EF=AB=4， 设⊙O的半径为r，连接OB， ∵OB=OE=r，FO=4-r，BF=2， ∴r2=22+(4-r)2 ，  ， ⊙O的面积为 ． 考点：垂径定理，三角形的外接圆与外心，作图—复杂作图 分析：（1）连接BE，作出BE，BC的 垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以O为圆心，OB长为半径画圆。 （2）根据作图可求出BF，EF的长，设⊙O的半径为r，连接OB，可得出FO=4-r，在Rt△BOF中，利用勾股定理求出r，然后根据圆的面积公式，可求出此圆的面积。 20. （1）证明：∵D是△ABC的边BC的中点 ∴BD=CD， ∵BC∥EF，AD⊥EF ∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC， ∴AB=AC （2）证明：连接BO， 由（1）知AD垂直平分BC ∴OB=OC ∵OA=OC ∴AO=BO=CO ∴点O是△ABC的外接圆的圆心. 考点：线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心 分析：（1）利用线段的中点可得BD=CD，由BC∥EF，AD⊥EF，可得AD⊥BC，利用线段垂直平分线的性质即可求出结论. （2）连接BO， 利用线段垂直平分线的性质可得OB=OC，从而可得AO=BO=CO，继而可得点O是△ABC的外接圆的圆心. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $