第19讲 角的概念（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第19讲 角的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 角的概念和表示 题型2 角的单位与角度制 题型3 角的比较 题型4 钟面角 题型5 方位角的表示 题型6 与方位角有关的计算题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 角、顶点、边、静态定义、动态定义、表示方法、度分秒、换算、平角、周角。 1. 理解角的两种定义方式：静态定义（有公共端点的两条射线组成的图形）和动态定义（一条射线绕端点旋转形成的图形）。 2. 掌握角的四种表示方法（三个大写字母、顶点一个字母、希腊字母、数字），能根据图形选择合适方法规范表示。 3. 掌握角的度量单位（度、分、秒）及其六十进制换算（1°=60′，1′=60″），能进行简单的角度换算。 4. 了解平角、周角的形成过程，认识方向角（如北偏东30°）及其在实际中的应用。 学习重点：理解角的概念及会用符号表示角，掌握角的度量单位及换算。 学习难点：用旋转的方式理解角的动态定义（从静态到动态的思维飞跃），以及在同一个顶点处有多个角时正确选择表示方法。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【易错提醒】 角的概念易错警示：角由两条有公共端点的射线组成。注意：角的表示（∠AOB，顶点字母在中间）。角的大小与边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关。一周角=2平角=4直角。0°<锐角<90°<钝角<180°。勿混淆角与射线方向。 即时即练1．在下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 知识点02 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【易错提醒】 角度制换算易错警示：1°=60′，1′=60″。换算时乘60或除60，注意借位（如化小单位用乘法，化大单位用除法）。计算时度、分、秒分别运算，满60进1，不够借1变60。勿与时间进制（60）混淆，但进制相同，注意单位符号。 即时即练1． ′ ″； 知识点03 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【易错提醒】 钟表夹角易错警示：分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。计算夹角时，先求两针与12点方向夹角，再相减取绝对值（若>180°则用360°-）。注意：时针位置要考虑小时和分钟（如3:30时针在3和4中间）。勿忽略分针影响时针。 即时即练1．小明每天下午放学，此时钟面上时针和分针的夹角是 ． 知识点04 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【易错提醒】 方位角易错警示：以正北或正南为基准，描述为“北偏东×°”或“南偏西×°”。注意：要先标出方向线（上北下南），再量角度。如“北偏东30°”指从正北向东转30°。勿与“东偏北”混淆（基准不同）。方位角通常小于90°。注意参照点。 即时即练1．如图是依依家到学校的行走路线图． (1)小公园在依依家的 偏 米处． (2)小公园在银行的 偏 米处． (3)学校西偏南，距离处是超市，请用★标出超市的位置．（表示） 题型1 角的概念和表示 【例1】下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【例2】下列语句中，不正确的个数是（   ） ①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作由一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；③大于的角是钝角；④钝角的一半是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【技巧归纳】 角由两条有公共端点的射线组成，顶点为公共端点。表示：∠AOB（顶点在中间）或∠O（若仅一个角）。注意写法顺序，射线OA到OB。也可用数字或希腊字母。 【变式1-1】图中能用三种方法表示同一个角的是（　　） A．B．C．D． 【变式1-2】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C． D． 题型2 角的单位与角度制 【例3】 ； 【例4】（1） ； （2） ． 【技巧归纳】 角度制：1°=60′，1′=60″。换算时，大化小乘60，小化大除以60。如1.2°=1°12′，则0.2×60=12′。反向：35′≈0.583°。计算角度加减时，度分秒分别运算，满60进1，不够借1。注意进制为60，与十进制不同。可用小数表示角度简化运算。常见于钟表问题。 【变式2-1】单位换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2-2】计算（用度、分、秒表示）： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 题型3 角的比较 【例5】比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”） 【例6】若，，则 ．（填“”“”或“”） 【技巧归纳】 角的大小比较：度量法（用量角器）、叠合法（将顶点及一边重合，看另一边位置）。注意角的大小与边长短无关。也可估算：锐角<90°，直角=90°，钝角>90°。计算差：大角减小角。若用度数表示，直接比较数值。如30°<60°。在图形中，可通过全等或相似判断。常用估测。 【变式3-1】若，，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【变式3-2】若，，则 填“”“”或“” 题型4 钟面角 【例7】2时20分时，钟面上时针与分针所成的角是 ． 【例8】在9时40分这一刻，时针和分针的夹角为 度． 【技巧归纳】 钟面一圈360°，每大格30°，每小格6°。时针速度0.5°/分，分针6°/分。求某时刻两针夹角：先算分针角度=6m，时针=30h+0.5m（h为小时，m为分钟）。夹角=两者差取绝对值，若>180°则取360°-差。夹角不大于180°。注意整点时刻，如3:00夹角90°。审清时刻。 【变式4-1】如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分． 【变式4-2】每天上午“阳光大课间”都如约而至，此时时针与分针所夹的角为 ． 题型5 方位角的表示 【例9】如图，一艘船在A处遇险，则救生船B在船A的 方向． 【例10】如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的点是 ． 【技巧归纳】 方位角从正北或正南开始，如“北偏东30°”、“南偏西45°”。先定基准（北或南），再定偏转方向（东或西）和角度。若用方位角，从正北顺时针度量0°~360°。画图时，以观测点为中心，标出方向线。注意区分“东偏北”与“北偏东”（前者基准为东）。如“东偏南30°”即从东向南转30°。常见于航海、测量。 【变式5-1】如图，点表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的是点 ． 【变式5-2】如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，点C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？ 题型6 与方位角有关的计算题 【例11】如图，方向是北偏东 ， ． 【例12】如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西．若，则的方向是 ． 【技巧归纳】 方位角从正北顺时针度量，范围0°~360°。表示：北偏东30°即方位角30°，南偏西60°即240°。计算两方位角夹角：先化为同一参考，差绝对值，若>180°则用360°-差。实际中常画方位图，用南北方向作基准。如A在B北偏东40°，B在A南偏西40°。注意互余、互补关系。 【变式6-1】如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60千米/小时的速度沿南偏东方向行驶20分钟到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是 ，路程是 千米． 【变式6-2】如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数大小是 ． 一、单选题 1．如图，为锐角，的顶点处被老师的手遮盖，则的大小可以为（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．图中共有三个角：，， D．也可用来表示 3．已知，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 5．小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．度分秒换算：（1）________°；（2）__________′_____″． 7．已知，，则______（填“>”，“<”或“=”）． 8．如图，山东号航母在B处，测得黄岩岛A在北偏西方向，南昌舰C在西南方向，则的度数是__________． 9．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 10．重庆八中2月8日的家校交流活动，某个时段的交流持续了2小时m分钟，结束时钟表的时针和分针的位置刚好跟开讲时的位置对调，若用表示小数x的整数部分，则等于________． 三、解答题 11．计算． (1)； (2)． 12．如图所示，回答下列问题： (1)和是不是同一个角？ (2)和是不是同一个角？ (3)和是不是同一个角？ (4)和是不是同一个角？ (5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 13．如图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行_____千米到达广场；由广场向北偏_____度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 14．钟表的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴藏着丰富的数学知识． (1)下午2：00时，时针与分针夹角的度数为________________°； (2)从下午2：00开始，再经过______________分钟，时针与分针夹角第一次为； (3)“元旦”当天，某校七年级部分学生从学校集中前往吾悦广场开展公益活动，出发时刻是下午1点多钟，到达时刻是下午2点钟不到．有趣的是：出发时刻的时针与分针恰好互相垂直；到达时刻的时针与分针同样也恰好互相垂直．请你结合时针与分针的运动规律，计算出这些学生从学校集中前往吾悦广场所用的时间． 15．问题情景：如图1，已知点，在数轴上表示的数分别为和，若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． 解决问题： （1）若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； 探索问题： （2）当点运动的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_________，点表示的数为 _________ ． ②求运动多少秒时，点与点相距个单位长度？ 知识迁移： （3）如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过_________分钟后，的度数第一次等于． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 角的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 角的概念和表示 题型2 角的单位与角度制 题型3 角的比较 题型4 钟面角 题型5 方位角的表示 题型6 与方位角有关的计算题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 角、顶点、边、静态定义、动态定义、表示方法、度分秒、换算、平角、周角。 1. 理解角的两种定义方式：静态定义（有公共端点的两条射线组成的图形）和动态定义（一条射线绕端点旋转形成的图形）。 2. 掌握角的四种表示方法（三个大写字母、顶点一个字母、希腊字母、数字），能根据图形选择合适方法规范表示。 3. 掌握角的度量单位（度、分、秒）及其六十进制换算（1°=60′，1′=60″），能进行简单的角度换算。 4. 了解平角、周角的形成过程，认识方向角（如北偏东30°）及其在实际中的应用。 学习重点：理解角的概念及会用符号表示角，掌握角的度量单位及换算。 学习难点：用旋转的方式理解角的动态定义（从静态到动态的思维飞跃），以及在同一个顶点处有多个角时正确选择表示方法。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【易错提醒】 角的概念易错警示：角由两条有公共端点的射线组成。注意：角的表示（∠AOB，顶点字母在中间）。角的大小与边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关。一周角=2平角=4直角。0°<锐角<90°<钝角<180°。勿混淆角与射线方向。 即时即练1．在下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念．角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示． 【详解】解：能用，，三种方法表示同一个角的图形是选项B中的图， 选项A，C，D中的图都不能用，，三种方法表示同一个角的图形， 故选：B． 2．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【答案】 （或） （或） （或） 【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 知识点02 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【易错提醒】 角度制换算易错警示：1°=60′，1′=60″。换算时乘60或除60，注意借位（如化小单位用乘法，化大单位用除法）。计算时度、分、秒分别运算，满60进1，不够借1变60。勿与时间进制（60）混淆，但进制相同，注意单位符号。 即时即练1． ′ ″； 【答案】 1 9 36 【分析】本题考查了度、分、秒之间的换算．度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． 【详解】解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； 故答案为：1，9，36；． 知识点03 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【易错提醒】 钟表夹角易错警示：分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。计算夹角时，先求两针与12点方向夹角，再相减取绝对值（若>180°则用360°-）。注意：时针位置要考虑小时和分钟（如3:30时针在3和4中间）。勿忽略分针影响时针。 即时即练1．小明每天下午放学，此时钟面上时针和分针的夹角是 ． 【答案】/40度 【分析】根据每2个数字之间相隔30度和时针1分钟走0.5度可得夹角度数．考查钟面角的计算；用到的知识点为：钟面上每2个数字之间相隔30度；时针1分钟走0.5度． 【详解】解：时针20分所走的度数为，时，分针指着4，4与5之间的夹角为， 答：此时钟面上时针和分针的夹角是． 故答案为：． 知识点04 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【易错提醒】 方位角易错警示：以正北或正南为基准，描述为“北偏东×°”或“南偏西×°”。注意：要先标出方向线（上北下南），再量角度。如“北偏东30°”指从正北向东转30°。勿与“东偏北”混淆（基准不同）。方位角通常小于90°。注意参照点。 即时即练1．如图是依依家到学校的行走路线图． (1)小公园在依依家的 偏 米处． (2)小公园在银行的 偏 米处． (3)学校西偏南，距离处是超市，请用★标出超市的位置．（表示） 【答案】(1)北；西20；距离80． (2)南；西30；距离100 (3)见解析 【分析】本题主要考查了方位角的表示，解题的关键是熟练掌握方位角的定义． （1）根据方位角的定义进行解答即可； （2）根据方位角的定义进行解答即可； （3）根据学校西偏南，距离处是超市，进行解答即可． 【详解】（1）解：小公园在依依家的北偏西距离80米处． 故答案为：北；西20；80． （2）解：∵银行在小公园的北偏东距离100米处； ∴小公园在银行的南偏西距离100米处． 故答案为：南；西30；距离100． （3）解：如图所示： 题型1 角的概念和表示 【例1】下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】下列语句中，不正确的个数是（   ） ①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作由一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；③大于的角是钝角；④钝角的一半是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据角的概念以及分类来判断即可． 【详解】解：①角是由公共端点的两条射线组成的图形，故①错误； ②角是由一条射线绕端点旋转形成的图形，故②正确； ③大于且小于的角是钝角，故③错误； ④大于且小于的角是钝角，设钝角为，则则，则钝角的一半是锐角，故④正确； 故不正确的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了角的概念以及角的分类，解决问题的关键是注意角是由公共端点的两条射线组成的图形以及角的分类． 【技巧归纳】 角由两条有公共端点的射线组成，顶点为公共端点。表示：∠AOB（顶点在中间）或∠O（若仅一个角）。注意写法顺序，射线OA到OB。也可用数字或希腊字母。 【变式1-1】图中能用三种方法表示同一个角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法的理解和掌握．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解． 【详解】解：在选项A、B、D中，以点C为顶点的角不只有一个，如果用表示，容易使人产生歧义，无法让人明确到底表示哪个角； 只有选项C能用，，三种方法表示同一个角，不会使人产生歧义． 故选：C． 【变式1-2】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 题型2 角的单位与角度制 【例3】 ； 【答案】 35 9 0 12.26 【分析】根据度分秒的进制，根据，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：35，9，0，12.26． 【例4】（1） ； （2） ． 【答案】 34 22 12 62 7 30 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握的换算是解题的关键． 根据度分秒的转换规律求解即可． 【详解】（1），， ． 故答案为34；22；12． （2），， ． 故答案为：62；7；30． 【技巧归纳】 角度制：1°=60′，1′=60″。换算时，大化小乘60，小化大除以60。如1.2°=1°12′，则0.2×60=12′。反向：35′≈0.583°。计算角度加减时，度分秒分别运算，满60进1，不够借1。注意进制为60，与十进制不同。可用小数表示角度简化运算。常见于钟表问题。 【变式2-1】单位换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进率及换算方法是解题的关键． （1）根据，用换算即可 ； （2）根据，，用逆向换算即可 ； （3）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解； （4）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3），， ； 故答案为：；；； （4）， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】计算（用度、分、秒表示）： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 【分析】（1）根据度分秒的加法，相同单位相加，满60向上一单位进1，可得答案； （2）根据度分秒的乘法，从小单位乘，满60向上一单位进1，可得答案； （3）根据度分秒的除法，从大单位算起，余数化成下单位再除，可得答案； （4）根据度分秒的乘法，从小单位乘，满60向上一单位进1，再算减法，可得答案． 【详解】解：（1）原式＝ （2）原式 （3）原式 （4）原式＝ 故答案为：① ② ③ ④． 题型3 角的比较 【例5】比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算成度分秒的形式． 将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例6】若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 角的大小比较：度量法（用量角器）、叠合法（将顶点及一边重合，看另一边位置）。注意角的大小与边长短无关。也可估算：锐角<90°，直角=90°，钝角>90°。计算差：大角减小角。若用度数表示，直接比较数值。如30°<60°。在图形中，可通过全等或相似判断。常用估测。 【变式3-1】若，，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了角的大小比较和度分秒的换算，关键是能正确进行度分秒之间的换算． 先换算，再和的度数比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】若，，则 填“”“”或“” 【答案】 【分析】本题主要考查角的大小比较及度分秒的换算，先统一单位，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 题型4 钟面角 【例7】2时20分时，钟面上时针与分针所成的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，由时针每小时转动，时针每分钟转动进行求解即可． 【详解】解：因为时针每小时转动，时针每分钟转动， 所以分针在2时20分时与时的刻度线夹角为， 时针在2时20分时与时的刻度线夹角为， 所以2时20分时，钟面上时针与分针所成的角： ； 故答案为：． 【例8】在9时40分这一刻，时针和分针的夹角为 度． 【答案】50 【分析】本题考查时针与分针的夹角问题，掌握知识点是解题的关键． 先求出时针每小时走30度每分钟走度，分针每小时走360度每分钟走6度，继而得到9点40时分针与9点的夹角是30度，时针与9点的夹角是（度），则（度），即可解答． 【详解】解：∵（度），一格30度，时针每小时走30度每分钟走度，分针每小时走360度每分钟走6度， ∴9点40时分针与9点的夹角是30度，时针与9点的夹角是（度）， ∴（度）． 故答案为：50． 【技巧归纳】 钟面一圈360°，每大格30°，每小格6°。时针速度0.5°/分，分针6°/分。求某时刻两针夹角：先算分针角度=6m，时针=30h+0.5m（h为小时，m为分钟）。夹角=两者差取绝对值，若>180°则取360°-差。夹角不大于180°。注意整点时刻，如3:00夹角90°。审清时刻。 【变式4-1】如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分． 【答案】 9 12 【分析】本题主要考查了钟表时间的推理，解题的关键是掌握钟表时针和分针的特征． 根据钟表时针和分针的特征进行合理的推理即可． 【详解】解：根据时针和分针所指刻度得， 时针走一个大格是60分钟，走一个小格是（分钟）， 此时，分针从12点的刻度走了12个小格， ∴分针刚走过的刻度为2， ∴现在的时刻是9时12分， 故答案为：9，12． 【变式4-2】每天上午“阳光大课间”都如约而至，此时时针与分针所夹的角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角的有关知识，解题关键是得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格．根据时针一分钟旋转，得到从9点到，经过了35分钟，时针旋转了，分针在7上，进而求解即可． 【详解】解：∵钟表上从1到12一共有12格，每个大格， ∴时针一分钟旋转 ∴从9点到，经过了35分钟，在这期间时针旋转了，分针在7上， ∴分针与时针的夹角是． 故答案为：． 题型5 方位角的表示 【例9】如图，一艘船在A处遇险，则救生船B在船A的 方向． 【答案】北偏东（答案不唯一） 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题的关键；因此此题可根据图形直接进行求解即可． 【详解】解：由图可知：救生船B在船A的北偏东方向或东偏北方向； 故答案为：北偏东． 【例10】如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的点是 ． 【答案】D 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查了方向角的表示，根据点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上则可得出图书馆位置的点是D． 【详解】解：∵点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上， ∴图中最有可能表示图书馆位置的点是D． 故答案为：D 【技巧归纳】 方位角从正北或正南开始，如“北偏东30°”、“南偏西45°”。先定基准（北或南），再定偏转方向（东或西）和角度。若用方位角，从正北顺时针度量0°~360°。画图时，以观测点为中心，标出方向线。注意区分“东偏北”与“北偏东”（前者基准为东）。如“东偏南30°”即从东向南转30°。常见于航海、测量。 【变式5-1】如图，点表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的是点 ． 【答案】D 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角，根据图书馆在教学楼南偏东的方向上即东偏南方向上，结合图象进行分析可得答案． 【详解】解：∵图书馆在教学楼南偏东的方向上，即东偏南方向上， ∴可能表示图书馆位置的是点， 故答案为：． 【变式5-2】如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，点C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？ 【答案】(1)与距小明家距离相同 (2)商场B在小明家的北偏西方向，处；学校在小明家的东北方向，处；公园在小明家的南偏东方向，处；停车场在小明家的南偏东方向，处 【知识点】线段中点的有关计算、方向角的表示 【分析】（1）根据线段中点的定义求出，然后判断出距小明家距离相同的地方； （2）根据方向角的定义解答； 【详解】（1）解：点为的中点， ， ， 距小明家距离相同的是学校和公园，即与距小明家距离相同 （2）解：根据图形可得， 商场B在小明家的北偏西方向，处；学校在小明家的东北方向，处；公园在小明家的南偏东方向，处；停车场在小明家的南偏东方向，处 题型6 与方位角有关的计算题 【例11】如图，方向是北偏东 ， ． 【答案】 /60度 /105度 【分析】本题考查方向角及平角的概念，熟练掌握方向角的概念及平角为是解题的关键． 根据图中所给角即方向的概念可得出方向是北偏东，利用平角为求即可． 【详解】解：由图知，与正东方向夹角为， 所以方向是北偏东； 又，所以． 故答案为：；． 【例12】如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西．若，则的方向是 ． 【答案】南偏东 【分析】本题考查了角的计算，方向角，利用图形求得的大小即可得出结论． 【详解】解：设表示南北的直线为，如图， 由题意得：，， ． ， ． ． ， 的方向为：南偏东． 故答案为：南偏东． 【技巧归纳】 方位角从正北顺时针度量，范围0°~360°。表示：北偏东30°即方位角30°，南偏西60°即240°。计算两方位角夹角：先化为同一参考，差绝对值，若>180°则用360°-差。实际中常画方位图，用南北方向作基准。如A在B北偏东40°，B在A南偏西40°。注意互余、互补关系。 【变式6-1】如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60千米/小时的速度沿南偏东方向行驶20分钟到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是 ，路程是 千米． 【答案】 北偏西 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．根据方向角的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知李老师行驶的方向是北偏西，路程是千米 故答案为：北偏西， 【变式6-2】如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数大小是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了方位角及角的计算，根据方位角的描述和平角的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 一、单选题 1．如图，为锐角，的顶点处被老师的手遮盖，则的大小可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的度数，根据角的定义，确定点的位置，借助量角器量出角的度数即可． 【详解】解：如图，借助量角器可知：； 故选B． 2．如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．图中共有三个角：，， D．也可用来表示 【答案】D 【详解】解：由角的表示方法知，选项A、B、C中表示角的方法正确，选项D表示角的方法错误． 【点睛】用大写字母表示角时，特别注意的是：当共顶点的角不止一个时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，应该用三个大写字母表示，且表示角的顶点的字母写中间． 3．已知，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 且， ∴． 4．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 5．小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表上时针和分针的转动规律，计算出6点55分时时针与分针分别相对于12点位置的转动角度，再计算二者的度数差得到夹角，即可解题． 【详解】解：∵钟面一圈为，共分为12个大格， ∴时针每小时转动，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 6点55分时时针和分针的转动角度： 时针转动角度：， 分针转动角度：， ∴时针与分针的夹角为． 二、填空题 6．度分秒换算：（1）________°；（2）__________′_____″． 【答案】 39 26 24 【分析】根据度分秒的换算关系，低级单位化高级单位除以进率，高级单位化低级单位乘以进率，计算即可． 【详解】解：（1）； （2）， 取的小数部分换算为秒： ， 因此． 7．已知，，则______（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算．首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 8．如图，山东号航母在B处，测得黄岩岛A在北偏西方向，南昌舰C在西南方向，则的度数是__________． 【答案】105 【分析】由题意可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得：，， ∴， ∴． 9．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【答案】 锐 3 9 【分析】根据钟面上各时间时针和分针的位置关系分别解答即可． 【详解】解：3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角． 10．重庆八中2月8日的家校交流活动，某个时段的交流持续了2小时m分钟，结束时钟表的时针和分针的位置刚好跟开讲时的位置对调，若用表示小数x的整数部分，则等于________． 【答案】 46 【分析】根据钟表时针与分针的转动速度，结合结束时时针分针位置与开讲时对调，得到二者转过的总角度和为3周，建立一元一次方程求解m的值，再取m的整数部分即可． 【详解】解：由钟表性质可知，时针每分钟转动，分针每分钟转动， 已知交流活动持续时间为小时分钟，即总时长为分钟， 因为结束时时针与分针位置刚好和开讲时对调，因此时针与分针转过的角度之和为， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：， 因此，可得． 三、解答题 11．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．如图所示，回答下列问题： (1)和是不是同一个角？ (2)和是不是同一个角？ (3)和是不是同一个角？ (4)和是不是同一个角？ (5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是，， 【分析】本题主要考查角的表示，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． （1）根据角的表示方法判断即可； （2）根据角的表示方法判断即可； （3）根据角的表示方法判断即可； （4）根据角的表示方法判断即可； （5）根据角的表示方法分析即可． 【详解】（1）解： 和的顶点都是点，角的两边都是射线，，因此是同一个角． （2）解：和的顶点都是点，角的两边都是射线，，因此是同一个角． （3）解：和的两边不是相同的射线，因此不是同一个角． （4）解：和的顶点不同，因此不是同一个角． （5）解：图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是，，． 13．如图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行_____千米到达广场；由广场向北偏_____度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 【答案】(1)2.7；东40 (2)31.5千米/时 【分析】本题考查的是根据方向和距离，确定物体的位置； （1）依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”就可以直接填写答案； （2）先求出整个过程中的总路程，算出总时间，即可求出平均速度． 【详解】（1）解：4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行千米到达广场；由广场向北偏东40度的方向行0.8千米到达公园， 故答案为：2.7；东40； （2）解：整个过程的总时间为：（分钟）（小时）， 整个过程的总路程为：（千米）， 所以平均速度为：（千米/时）， 答：公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 14．钟表的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴藏着丰富的数学知识． (1)下午2：00时，时针与分针夹角的度数为________________°； (2)从下午2：00开始，再经过______________分钟，时针与分针夹角第一次为； (3)“元旦”当天，某校七年级部分学生从学校集中前往吾悦广场开展公益活动，出发时刻是下午1点多钟，到达时刻是下午2点钟不到．有趣的是：出发时刻的时针与分针恰好互相垂直；到达时刻的时针与分针同样也恰好互相垂直．请你结合时针与分针的运动规律，计算出这些学生从学校集中前往吾悦广场所用的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了钟面角，分别求出时针和分针转的角度，再求差即可； （1）根据钟面角计算方法求解即可； （2）根据钟面角计算方法求解即可； （3）根据钟面角计算方法求解即可． 【详解】（1）解：时针1小时转， ∴下午2：00时，时针与分针夹角的度数为； （2）解：设从下午2：00开始，再经过分钟，时针与分针夹角第一次为， 时针1小时转，分针1分钟转， ∴从下午2：00开始，再经过分钟，时针与分针夹角为， 解得； 故答案为：． （3）解：设出发时刻是下午1点分钟， 则时针转过的角度为，分针转过的角度为， ∵时针与分针恰好互相垂直， ∴或， 解得或， ∴出发时刻是下午1点分钟，到达时刻是下午1点分钟， ∴这些学生从学校集中前往吾悦广场所用的时间分钟． 15．问题情景：如图1，已知点，在数轴上表示的数分别为和，若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． 解决问题： （1）若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； 探索问题： （2）当点运动的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_________，点表示的数为 _________ ． ②求运动多少秒时，点与点相距个单位长度？ 知识迁移： （3）如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过_________分钟后，的度数第一次等于． 【答案】（1）不发生变化，理由见解析；（2）①，；②或秒；（3）分钟． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，钟面角，一元一次方程的应用； （1）先求出的长，再根据，即可求解； （2）①根据题目条件，分别表示出点表示的数为，点表示的数为；②分两种情况讨论当点在点左侧时和当点在点右侧时，进行求解； （3）根据钟表上的时针与分针运动的角度，即可求解． 【详解】解：（1）如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化， 理由如下： ∵点在数轴上表示的数分别为和10， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴ 点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （2）①点在数轴上表示的数分别为和10，则 在运动过程中，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； ②点与点相距2个单位长度，分两种情况： 如图，当点在点左侧时， ，解得， 如图，当点在点右侧时， ，解得， 综上所述，运动或秒时，点与点相距2个单位长度； （3）时针每小时转，分针每分钟转， 设经过分钟后，的度数第一次等于，则 ， 解得， ∴经过分钟后，的度数第一次等于 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $