第20讲 角的比较与运算（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第20讲 角的比较与运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 角的比较 题型2 角度的四则运算 题型3 三角板中角度计算问题 题型4 实际问题中角度计算问题 题型5 角平分线的有关计算 题型6 角n等分线的有关计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 角的比较、叠合法、度量法、角的和差、角平分线、度分秒运算、类比思想。 1. 掌握角的大小比较的两种方法：度量法和叠合法，能根据图形选择合适方法比较角的大小。 2. 理解角的和、差运算，能从图形中识别并计算角的和差关系（如∠AOC=∠AOB+∠BOC）。 3. 理解角平分线的概念，掌握其文字语言、图形语言与符号语言的表述，能运用角平分线进行角度计算。 4. 会进行涉及度、分、秒的角度的加、减运算，体会类比思想（类比线段比较与和差）。 学习重点：掌握角的大小比较方法（度量法与叠合法），理解角平分线的概念及数量关系，会进行角的和差与角平分线的相关计算。 学习难点：从复杂图形中准确识别角的和差关系，以及进行含度、分、秒的角度的加、减运算（特别是借位与进位）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【易错提醒】 角的比较易错警示：可用度量法（用量角器）或叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）。注意：角的大小与边长短无关，只与张开程度有关。叠合法时需确保顶点及一边重合，单位统一。钝角>直角>锐角。勿仅凭视觉判断。 即时即练1．已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制 【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，继而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选B． 知识点02 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【易错提醒】 角的运算易错警示：度分秒加减时，低位满60进1，不够借1当60。乘法时度分秒分别乘，满60进位；除法从度开始除，余数化分再除。注意：单位统一，结果要化简到度分秒形式（如 \(1°=60'=3600''\)）。勿用十进制直接加减。 即时即练1．如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的定义和巧分线定义，正确理解“巧分线”的定义是解题的关键． 分3种情况，根据巧分线定义即可求解． 【详解】解：∵，是的“巧分线”， 则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ①，此时； ②，此时； ③，此时； ∴的度数为或或． 故答案为：或或． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了角的四则运算，注意，．掌握度、分、秒的计算方法和它们之间的进率是解题的关键． （1）先度分秒分别相加，再根据满进的原则求出即可； （2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点03 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【易错提醒】 角平分线易错警示：从角的顶点出发的一条射线，把角分成两个相等的角。注意：角平分线是**射线**，不是线段或直线。用尺规作图时需保留痕迹。若点P在角平分线上，则到角两边距离相等（可用于计算）。勿与中线混淆。 即时即练1．如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，则 ；若，则 ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可知，，再根据计算，即得答案； （2）根据角平分线定义可知，，，再根据计算，即得答案． 【详解】（1）解：、分别是，的平分线， ，， ； （2）解：、分别是，的平分线， ，， ， ， ． 同理：， ． 题型1 角的比较 【例1】如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较，根据图中的三角尺为等腰直角三角形得，，利用中间角比较角的大小是解题的关键． 【详解】解：∵图中的三角尺为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：A． 【例2】如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角的比较 【分析】此题考查了角的比较大小与和差，根据图形进行判断即可． 【详解】解：∵在的内部， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴选项B正确，不符合题意； 根据题意，无法比较和的大小，选项C不一定正确，符合题意； ∵， ∴选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【技巧归纳】 角的比较：度量法（用量角器读数比较）、叠合法（将顶点和一边重合，比较另一边的位置）。注意角的大小与边的长短无关。也可通过估算：锐角<直角<钝角。若用度数表示，直接比较数值。在复杂图形中，利用已知角（如直角、平角）作参照。叠合法时注意边的方向。 【变式3-1】如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．可以用表示 D．与表示同一个角 【答案】D 【知识点】角的比较、角的表示方法 【分析】本题主要考查角的大小比较及角的概念，根据角的大小比较及角的概念进行逐一判断即可． 【详解】解：A．∵是内部的一条射线而不是角平分线，∴，故本选项不符合题意； B．可能大于，也可能小于，也有可能等于，故本选项不符合题意； C．不可以用表示，故本选项不符合题意； D．与表示同一个角，故本选项符合题意． 故选：D． 3.（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．将平移，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，让与两个角的顶点重合， 如图： 可得： 在的内部， 所以． 故选：A． 题型2 角度的四则运算 【例3】计算： (1)（结果用度、分、秒表示）； (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）先将分都转化为度，再进行减法计算，两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键.. （1）先进行度、分、秒的除法计算，再算加法． （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： （2） 【技巧归纳】 角度运算：度分秒进制60。加减时度、分、秒分别计算，满60进位，不够借1（1°=60′，1′=60″）。乘法时分别乘后再进位。除法时从度开始除，余数换成分再除。如180°-36°45′，先减分：借1°化60′，得143°15′。注意书写格式，结果可保留小数。常用计算器辅助。 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的四则运算，熟知度分秒的换算、掌握度分秒之间的进率是解题的关键． （1）利用度分秒之间的进率计算即可． （2）利用度分秒之间的进率先算乘除法，再算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）首先将度转化为分，然后计算除法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型3 三角板中角度计算问题 【例5】如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例6】如图，将一个直角三角板的角的顶点与另一个直角三角板的直角顶点重合若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 根据，，可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【技巧归纳】 常用三角板角度：45°-45°-90°和30°-60°-90°。拼角时，角度相加减可得15°的整数倍（如30+45=75，45-30=15）。求组合角时，直接相加或相减。注意三角板平行边可产生同位角、内错角。若重叠，用已知角减重叠角。可画出示意图辅助计算。拼图时考虑公共边。 【变式3-1】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角了角的和差和角平分线的相关计算．根据，可若平分计算出的度数，再由，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵， ∴， 故答案为： 【变式3-2】一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 如图所示： ∵平分， ∴ ∴， 此时三角板转过的角度为； 当的延长线平分，如图所示： ∴ 则 故， 此时三角板转过的角度为； 故答案为：或． 题型4 实际问题中角度计算问题 【例7】如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例8】如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、实际问题中角度计算问题 【分析】本题考查方向角的计算，角的和差关系．如图，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， 故答案为：． 【技巧归纳】 根据实际问题抽象出几何图形，找出已知角和未知角关系。常用公式：互余、互补、对顶角相等、角平分线、平行线性质。设未知数列方程，如角度和为90°或180°。注意单位换算，画辅助线。如楼梯角度、阳光影子。解后检验是否合理（如角度范围0~360°）。结合生活常识。 【变式3-1】如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键． 如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵, ∴，即入射光线与反射光线的夹角的度数为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【答案】/ 【知识点】与方向角有关的计算题、实际问题中角度计算问题 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 题型5 角平分线的有关计算 【例9】如图，点在直线上，． (1)若平分，，则________． (2)若为锐角，，请说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据垂直的定义和，可得，再根据角平分线的定义求出，最后根据，即可求解； （2）由垂直的定义可得：，由平角的定义可得，结合，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【例10】如图，是的平分线，是的平分线，． (1)求的度数是多少？ (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，，那么； （2）先根据求出，然后求出，根据角平分线的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴的度数为：； （2）∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数为：． 【技巧归纳】 角平分线将角分成两个相等角，OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB。若给出角平分线，可用倍数关系求角。多个角平分线时，设未知数列方程。如OC、OD分别平分∠AOB和∠BOC，则∠AOD=¾∠AOB。注意角平分线的定义，常用于几何证明。设x表示部分角更简便。 【变式5-1】已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，分情况确定射线的位置是解题的关键． （1）①由，求角度即可； ②借助①的角的数量关系即可求得的度数； （2）分情况讨论射线的位置，在（1）的基础上求的度数即可． 【详解】（1）解：①分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②由①知， ， ， 即的度数为； （2）解：射线在的外部分两种情况， 如图③， 分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 如图④， ， ， ， ， ， ， 即的度数为或 故答案为：或 【变式5-2】【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角的平分线，角的和差计算即可． （2）根据角的平分线，角的和差计算即可． （3）由，设，则，根据角的平分线，角的和差计算即可． 本题考查了角的和差计算，角的平分线，熟练掌握角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ． 又∵平分，平分， ． ， ； （2）解：∵，， ． 故， ∴， 又∵平分， ． ． （3）解：由， 设，则 ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． 题型6 角n等分线的有关计算 【例11】在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【技巧归纳】 n等分线将角分成n个相等角。若射线OC是∠AOB的m等分线（从OA起第m条），则∠AOC=m/n·∠AOB。已知比例可设每份角为x，列方程。注意等分线位置顺序。多个等分线时，依次累加。如三等分线：∠AOC=1/3∠AOB，∠COD=1/3，∠DOB=1/3。常设份数求值。 【变式6-1】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 一、单选题 1．利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一副三角尺包含一个、、三角板和一个、、三角板，可用角度为、、与、进行拼接重叠．拼叠一次指将两个角的度数相加或相减得到新角度． 【详解】解：一副三角尺拼叠一次可得到以下角度（列举部分）： 加法：，，，，，． 减法：，（结果为正且有效）． A．可由得到，符合； B．无法由、、、中任意两个角度的和或差得到，因此不符合． C．可由得到，符合； D．可由得到，符合． 2．如图，点为直线上一点，过点作射线，，，且始终在的右侧，若平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角平分线定义求出，再通过角的和差计算即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． ∵， ∴． 3．如图，，是内部任意一条射线，、分别是、的角平分线，下列叙述正确的是（   ） A．的度数不能确定 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及角的和差关系逐项判断即可． 【详解】解：A、、分别是、的角平分线， ，， ，故A选项不正确，不符合题意； B、由于，，无法判断，那么B不一定正确，不符合题意； C、 ，故C选项正确，符合题意； D、由于，，无法判断，那么D不一定正确，不符合题意． 4．已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，再运用分类讨论的思想解答即可． 【详解】解：根据题意得： 如图所示，当射线在内部时， ，， ， 是的平分线， ， ； 如图所示，当射线在外部时， ，， ， 是的平分线， ， ， 综上，或． 5．如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②； ③； ④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可． 【详解】解：海轮到灯塔的距离为，速度为， 抵达灯塔需要的时间为小时分钟， 故①正确； ， 故②错误； 、 ，，在同一直线上， 故③正确； ，正北方向与夹角为， 在灯塔的北偏东的方向上， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④． 二、填空题 6．计算：__________，__________． 【答案】 【分析】根据度分的四则运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：， ． 7．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】根据角的和差关系和角度制进行计算即可. 【详解】解：由题意， ∴. 8．已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分．若，则的度数为__________． 【答案】/45度 【分析】根据角平分线的定义得到，结合用表示出，利用建立等式求出的度数，进而求出的度数，最后利用平角的定义计算的度数． 【详解】解：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点为直线上一点， ， ． 9．在的内部引一条射线，则图中共有三个角，分别是、、．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“好好线”．若，且射线是的“好好线”，则的度数有下列情况：，其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查新定义的理解与角的和差运算，解题的关键是运用分类讨论思想，对给出的各个角度逐一验证，结合新定义判断即可. 【详解】解：由题意，在内部引射线，则三个角分别为，“好好线”要求其中一个角是另一个角的两倍，分情况讨论： ①当时，， ， 符合“好好线”定义； ②当时，， ， 符合“好好线”定义； ③当时，， ， 符合“好好线”定义； ④当时，， 检验：，，，不存在两倍关系， 不符合定义． 故答案为：①②③． 10．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为t（，单位：秒）当时，的度数是________；在转动过程中，当________时． 【答案】 150° 10或26或46 【分析】由题意得，当时求出，再根据得出答案； 然后分三种情况：当在左侧时，根据求出解； 当在右侧时，根据解答； 当和在两侧时，根据求出解即可． 【详解】解：由题意，得， 当时，， ∴； 当在左侧时，此时， 即， 解得； 当在右侧时，此时， 即， 解得； 当和在两侧时，此时， 即， 解得， 在转动过程中，当或26,或46时，． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的四则运算，熟知角的四则运算法则是解题的关键． （1）度与度相加，分与分相加，再根据1度等于60分计算即可； （2）先计算乘法，再根据度、分、秒之间的进率为60化简，再计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 12．如图 1，点O在直线上，平分． (1)若，求的度数；小杨的解题过程如下： 解：∵ ． 平分， = °． (2)将按图 2 所示的位置进行放置，请猜想与间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)；65；；25 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义，角的和差补全过程即可； （2）根据角平分线的定义，角的和差证明即可 【详解】（1）解：∵ ． 平分， ． ． （2）证明：，理由如下： ∵O是直线上一点， ∴， ∴． ∵平分， ∴ ∵，， ∴． 13．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合叠放在一起． (1)如图1若，求的度数；若，求的度数； (2)如图2若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）利用角的和差进行求解； （2）利用角的和差进行求解； （3）利用角的和差进行证明． 【详解】（1）解：，，， ； ， ； （2）解：， ； （3）解：，理由如下， ， ． 14．已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，可得，根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差关系求解； （2）①用含t的式子表示出和，即可求解；②根据角的和差关系，用含t的式子表示出和，根据列方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：①；理由如下： ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ， ∴，， ∴； ②由①知，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 把代入得：， 解得． 15．已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)①或；②． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：∵将三角板绕着点A旋转得到， ，， ， ； （2）解：如图，把绕点A逆时针旋转，得到和， 连接，得到，即为所求作； （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ， 解得， 常数m的值为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第20讲角的比较与运算 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1角的比较 题型2角度的四则运算 题型3三角板中角度计算问题 题型4实际问题中角度计算问题 题型5角平分线的有关计算 题型6角n等分线的有关计算 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1. 掌握角的大小比较的两种方法：度量法和叠合法，能根据图形选择合适方 法比较角的大小。 角的比较、叠合法、 2.理解角的和、差运算，能从图形中识别并计算角的和差关系（如 度量法、角的和差、 ∠AOC=∠AOB+∠BOC)。 角平分线、度分秒运 3.理解角平分线的概念，掌握其文字语言、图形语言与符号语言的表述，能 算、类比思想。 运用角平分线进行角度计算。 4.会进行涉及度、分、秒的角度的加、减运算，体会类比思想（类比线段比 较与和差)。 学习重点：掌握角的大小比较方法（度量法与叠合法），理解角平分线的概念及数量关系，会进行角 的和差与角平分线的相关计算。 学习难点：从复杂图形中准确识别角的和差关系，以及进行含度、分、秒的角度的加、减运算（特别 是借位与进位)。 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知1识|框|架 用量角器量出角度 度量法 角的比较方法 数值大的角大 叠合法方向判断错误 高频易错点 将两角顶点及一边重合 度分秒运算进位借位混清 叠合法 看另一边位置判断大小 角比较方法选择 高频考点 角的和 两角度数相加 角平分线计算 角的比较与运算 角的和与差 角的差 两角度数相减 相同单位相加减 度分秒加减 作图 用三角尺或量角器作角和差 满60进1或借1化60 角的运算 定义 从顶点出发平分角的射线 逐位运算 角平分线 度分秒乘除 性质将角分成两个相等角 注意进位与借位 表示与计算 若OC平分∠AOB则∠AOC=∠COB=∠AOB/2 知|识|精|讲 知识点01角的此较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较. 如比较∠AOB和∠A'O'B'的大小：如下图，由图(1)可得∠AOB<∠A'O'B;由图(2)可得 ∠AOB=∠A'O'B';由图(3)可得∠AOB>∠A'O'B'、 B(B' B B 0(0) A(A)O(O)A(A)0(O） () (2) (3) 【易错提醒】 角的比较易错警示：可用度量法（用量角器）或叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）。注意：角的 大小与边长短无关，只与张开程度有关。叠合法时需确保顶点及一边重合，单位统一。钝角>直角>锐角。 勿仅凭视觉判断。 即时即练1. 已知∠1=7624，∠2=76.24°，∠3=76.4°，下列说法正确的是（) A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.∠1<∠2 D.∠2>∠3 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点02角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1= ∠AOB-∠2. 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边与刻度 尺上的零度线重合)：③读数（读出另一边所在线的度数）. (2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°， 75°，105°，120°，135°，150°，165°的角， 【易错提醒】 角的运算易错警示：度分秒加减时，低位满60进1，不够借1当60。乘法时度分秒分别乘，满60进位； 除法从度开始除，余数化分再除。注意：单位统一，结果要化简到度分秒形式（如(1°=60'=3600）)。勿 用十进制直接加减。 即时即练1.如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB,∠AOC和∠BOC, 当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”.如果∠MPN=72°，P是 ∠MPN的“巧分线”，则∠MPO的度数为 2.计算： 1)4753'43+5347'42”, (2)9256'3”-4657'54”, 知识点03角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是 ∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC=2∠AOB. 3/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 )2 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样. 【易错提醒】 角平分线易错警示：从角的顶点出发的一条射线，把角分成两个相等的角。注意：角平分线是*射线*， 不是线段或直线。用尺规作图时需保留痕迹。若点P在角平分线上，则到角两边距离相等（可用于计 算)。勿与中线混淆。 即时即练1.如图，己知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC,∠BOC的平分 线 M 6 (1)若LA0M=20°，∠BON=30°，求∠MON的度数： (2)若∠A0B=120°，则∠MON=:若∠A0B=&,则∠MON=_ 03 题型突破 题型1角的比较 【例1】如图，用同样大小的三角板此较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是() A.∠A>∠B B.∠A<∠B C.∠A=∠B D.没有量角器，无法确定 【例2】如图，下列各式中不一定正确的是() 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A.∠BOD>∠COD B.∠AOC=∠1+∠2 C.∠1+∠2=∠3 D.∠AOD-∠1>∠BOD-∠2 【技巧归纳】 角的比较：度量法（用量角器读数比较）、叠合法（将顶点和一边重合，比较另一边的位置）。注意角的 大小与边的长短无关。也可通过估算：锐角<直角<钝角。若用度数表示，直接比较数值。在复杂图形中， 利用已知角（如直角、平角）作参照。叠合法时注意边的方向。 【变式3-1】如图，己知OB是∠AOC内部的一条射线，下列说法一定正确的是() A A.∠AOC=2∠BOC B.∠BOC<∠AOB C.∠AOC可以用∠0表示 D.∠1与∠AOB表示同一个角 3.(23-24六年级下·山东淄博期中)如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则∠1与∠2的大小 关系为() A.∠1<∠2 B.∠1=∠2 C.∠1>∠2 D.无法比较 题型2角度的四侧运算 【例3】计算： (1)8935'+2020'(结果用度、分、秒表示)； (2)12324'-6036(结果用度表示)· 5/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例4】计算： (1)4026+3030'30”÷6: (2)1353'×3-32°5'31" 【技巧归纳】 角度运算：度分秒进制60。加减时度、分、秒分别计算，满60进位，不够借1(1°=60'，1'=60")。乘法 时分别乘后再进位。除法时从度开始除，余数换成分再除。如180°-36°45'，先减分：借1化60'，得 143°15'。注意书写格式，结果可保留小数。常用计算器辅助。 【变式3-1】计算： (1)180°-1815'×6： (2)90°-(7836-1310'÷4) 3.(24-25七年级上全国假期作业)计算： (1)1532942”+2640'32”: (2)4215'÷5: 3)6224'17”×4; (4)180°-(3454'+2133') 题型3三角板中角度计算问题 【例5】如图，将一副三角尺的两个锐角(45°角和60°角)的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作 ∠1和∠2，若∠1=23°，则∠2的度数为一· 【例6】如图，将一个直角三角板的30°角的顶点与另一个直角三角板的直角项顶点重合若∠1=2030，则 ∠EAB=」 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【技巧归纳】 常用三角板角度：45°.45°-90°和30°-60°-90°。拼角时，角度相加减可得15的整数倍（如30叶45=75,45- 30=15)。求组合角时，直接相加或相减。注意三角板平行边可产生同位角、内错角。若重叠，用已知角 减重叠角。可画出示意图辅助计算。拼图时考虑公共边 【变式31】如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若DA平分∠BAC,则 ∠CAE的度数是 【变式32】一副三角板按如图方式摆放，点B,C,D在同一条直线上，∠A=45°，∠E=30°.现将三角板 DCE绕点C逆时针旋转一周，当AC所在直线恰好平分∠DCE时，三角板DCE转过的角度为 题型4实际问题中角度计算问题 【例】如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角=入射角）， 则阳光与平面镜的夹角（∠1）为_° 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30 777777777 法线 A不 【例8】如图，甲从O处出发沿北偏东15°向走向A处，乙从O处出发沿南偏西55°方向走到B处，则 ∠BOA的度数是 北 东 B 【技巧归纳】 根据实际问题抽象出几何图形，找出已知角和未知角关系。常用公式：互余、互补、对顶角相等、角平分 线、平行线性质。设未知数列方程，如角度和为90或180°。注意单位换算，画辅助线。如楼梯角度、阳 光影子。解后检验是否合理（如角度范围0360°）。结合生活常识。 【变式3-1】如图所示，若入射光线与平面镜成25°夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等， 则入射光线与反射光线的夹角的度数为 25入 777777TTY7777T777 3.(24-25七年级上河南商丘·期末)“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10 月18日至11月18日在开封举办.小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮 与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏.如图所示，一小时后，小亮和妈妈(B点)在东门(A 点)的北偏西)3230方向，爸爸(C点)在小亮他们(B点)的南偏西502°方向，则∠ABC的度数为_ B 北 东门 南 8/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型5角平分线的有关计算 【例9】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD (I)若OC平分∠BOE,∠BOD=25°，则∠AOE= (②)若∠BOD为锐角，∠AOE=2LBOD,请说明OC平分LBOE 【例10】如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB=130° (1)求∠C0E的度数是多少？ (2)如果∠COD=20°，求∠BOE的度数. 【技巧归纳】 角平分线将角分成两个相等角，OC平分∠AOB,则∠AOC=∠COB=LAOB。若给出角平分线，可用倍数 关系求角。多个角平分线时，设未知数列方程。如OC、OD分别平分∠AOB和∠BOC,则 ∠AOD=4LAOB。注意角平分线的定义，常用于几何证明。设x表示部分角更简便。 【变式5-1】已知OC是过点O的一条射线，OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC, D 图① 图② 备用图 (1)当射线OC在∠AOB的内部时 ①如图①，若∠AOB=80°，则∠DOE= ②如图②，若∠AOB=x°，求∠DOE的度数（用含x的式子表示）； (2)当射线OC在∠AOB的外部时，∠AOB=x°，请借助备用图探究∠DOE的度数是 (直接写出答 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 案) 【变式5-2】【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠A0B=3∠A0C B 图1 图2 图3 【问题再现】(1)如图1，若∠AOB=120°，OM平分∠AOC,ON平分∠AOB.求∠MON的度数： 【问题推广】(2)如图2，∠A0B=90°，从点0出发在∠BOC内引射线OD,满足 ∠BOC-∠AOC=∠COD.若OM平分∠COD.求∠BOM的度数； 【拓展提升】(3)如图3，在∠AOC的内部作射线OP,在∠BOC的内部作射线OQ.若 ∠COP:LB00-l:2:求LAOP和∠CO0的数量关系. 题型6角m等分线的有关计算 【例11】在∠AOB的内部作射线OC,射线OC把∠AOB分成两个角，分别为∠AOC和∠BOC,若 ∠40C-408或∠B0C-有408，则称别线0C为∠408的三等分线.若∠408=60·射线0c为 ∠AOB的三等分线，则∠AOC的度数为() A.20° B.40° C.20°或40° D.20°或30° 【技巧归纳】 等分线将角分成n个相等角。若射线OC是∠AOB的m等分线（从O4A起第m条），则 ∠AOC=m:∠AOB。已知比例可设每份角为x,列方程。注意等分线位置顺序。多个等分线时，依次累 加。如三等分线：∠A0C=1/3∠AOB,∠C0D=1/3,∠D0B=13。常设份数求值： 【变式61】定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,把∠AOB分成1：2的两部分，射 线OC叫做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三 等分线，设∠MO0=x,则∠MON用含x的代数式表示为 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是()· A.15° B.65 C.105 D.150° 2.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,OM,ON,且ON始终在OM的右侧，若OM平 分∠B0C,∠B0C=112°，∠MON=70°，则∠BON的度数为() M A.14° B.16° C.24° D.28° 3.如图，∠A0B=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线， 下列叙述正确的是() B A.∠DOE的度数不能确定 B.2∠AOD=∠EOC C.∠AOD+∠BOE=60° D.∠BOE=2∠COD 4.已知∠AOC=110°，过点O作射线OB、OM,使∠AOB=20°，OM是∠BOC的平分线，则∠AOM的 度数为() A.35° B.45°或65° C.40 D.55°或65 5.如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A,B,C,D,E,F,6座海轮，其中F到灯塔的距 离为10km,海轮F在灯塔和海轮D的中点处.且∠A0D=4230',LD0E=∠AOC=78.5°.则下列说法 正确的是() ①若海轮F的速度为30km/h,则海轮F抵达灯塔最少需要20分钟； ②∠E0C=43°： ③∠B0E=59°： ④C在灯塔的北偏东1130'的方向上. 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 D F 西B O灯塔 东 南 A.①④ B.①② C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 6.计算：71°+3440'= 24°17×5= 7.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=265028”，则∠2的度数是 8.已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部 作射线OC,且OC恰好平分∠MOB.若LBON=2∠NOC,则∠AOM的度数为 M B 9.在∠AOB的内部引一条射线OC,则图中共有三个角，分别是∠AOB、∠AOC、∠BOC.若其中有一 个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”.若∠AOC=30°，且射线OC 是∠A0B的“好好线”，则LA0B的度数有下列情况：①45°，②60°，③90°，④120°，其中正确的是 (填序号)， 10.如图1，点A,O,B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同 时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动，直线MN保持不动，如图2，设转动时间为t( 0≤t≤60，单位：秒)当t=3时，∠AOB的度数是 一；在转动过程中，当=时 ∠AOB=80°. 12114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M 上N O M- 图1 图2 三、解答题 11.计算： 1)6739+48°41'： (2)90°-399'50"×2 12.如图1，点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠B0C. B D 图1 图2 (1)若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；小杨的解题过程如下： 解：，∠AOC=50 ∴.∠BOC=180°-∠AOC=130° :OE平分∠BOC, ∠C0E==. .∠DOE=∠COD-∠COE=90°-_°=_° (②)将∠COD按图2所示的位置进行放置，请猜想∠AOC与∠DOE间的数量关系，并给出证明. 13.如图所示，将一副三角板的直角顶点O重合叠放在一起， 图1 图2 1)如图1若∠B0D=50°，求∠A0C的度数：若∠A0C=135°，求∠BOD的度数： 2)如图2若∠A0C=145°，求∠B0D的度数： 3)猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图1说明理由. 13/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠A0B=3∠A0C. B 图1 图2 ()如图1所示，若∠AOB=120°，OM平分∠AOC,ON平分∠AOB,求∠MON的度数： (②)如图2所示，∠AOB=x°，射线OP，,射线O0分别从OC,OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕 着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒. ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系： ②若∠4OB-15r,当P00-号B0P,求前位. 15.已知直角三角板ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，将三角板ABC绕着点A旋转得到△ABC,旋 转角记为∠a. B D 图1 图2 图3 (I)当旋转方向为逆时针方向，且∠α=75°时（如图1），求∠BAC和∠BAC的大小： (②)当旋转方向为逆时针方向，且∠a=90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB'C': 3)当0°<∠a<90°时 ①若∠BAC=3∠BAB,求∠a的度数. 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为C上一点，ZCAD=】∠CAC,在旋转过程中 ∠CAD与∠BAD始终满足m∠CAD-∠BAD为定值，求常数m的值. 14114