专题11.2 图形在坐标系中的平移（举一反三讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦坐标与图形变化的核心知识点，先系统梳理平移规律，明确横向平移时横坐标变化、纵坐标不变，纵向平移时纵坐标变化、横坐标不变，再深入讲解轴对称规律，阐明关于x轴对称“横不变纵变”、关于y轴对称“纵不变横变”，构建从点到图形的完整知识支架。 资料设计亮点突出，涵盖9类典型题型，结合棋盘、古城示意图等现实情境，通过例题与变式题训练，培养学生几何直观与空间观念，如平移作图题提升图形变换能力，对称关系判断题强化推理意识。课中助力教师分层教学，课后变式练习帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

专题11.2 图形在坐标系中的平移（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 根据平移方法求平移前/后的点的坐标】 2 【题型2 根据平移前/后的点的坐标判断平移方法】 2 【题型3 根据平移前后关系求值】 2 【题型4 图形的平移】 2 【题型5 坐标系中平移作图】 2 【题型6 求坐标系中对称点的坐标】 3 【题型7 由点的坐标判断对称关系】 3 【题型8 由对称关系求参数】 3 【题型9 坐标系中轴对称作图】 3 考点1 坐标与图形变化——平移 知识点1 平移与坐标变化 图形横向平移，对应点的横坐标相应变化，纵坐标不变； 图形纵向平移，对应点的纵坐标相应变化，横坐标不变． 例如：在平面直角坐标系中，将点（2，-5）向右平移3个单位长度可得到对应点的坐标为（5，-5）；将点（-2，-5）向左平移3个单位长度可得到对应点的坐标为（-5，-5）；将点（2，5）向上平移3个单位长度可得到对应点的坐标为（2，8）；将点（-2，5）向下平移3个单位长度可得到对应点的坐标为（-2，2）． 【题型1 根据平移方法求平移前/后的点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标的平移规律，按照左减右加，上加下减的规律计算即可． 【详解】解：已知点原坐标为， 将点向右平移个单位长度，横坐标变为， 再向下平移个单位长度，纵坐标变为， ∴平移后点的坐标为． 【变式1-1】（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，坐标确定位置，根据题目的已知条件建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．根据已知建立适当的平面直角坐标系，然后再根据点的平移规律，即可解答． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示： 棋子“马”位于点， 将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：把原点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标为， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，平移后，顶点的对应点的坐标为，则顶点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化——平移，熟练掌握平移中点的变化规律是解题关键． 根据平移后的对应点的坐标为，可得平移规律，即向左平移了个单位长度，向上平移了个单位长度，由点即可推算出对应点的坐标． 【详解】解：平移后的对应点的坐标为， ，， 向左平移了个单位长度，向上平移了个单位长度， 点的坐标为，即． 故答案为：． 【题型2 根据平移前/后的点的坐标判断平移方法】 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【分析】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 【变式2-1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 【变式2-2】如图，这是山西著名景点平遥古城示意图的一部分，建立平面直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），市楼和县衙的坐标分别为，，流动服务站在原点．若要使服务站到县衙和文庙的距离相等，则该服务站需（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，坐标与图形变化—平移，根据湿地和古村落的坐标得出坐标原点的位置，要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需向左平移1个单位，正确应用平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】因为市楼和县衙的坐标分别为，， 所以坐标原点在文庙北3个单位处， 所以要使服务站到县衙和文庙的距离相等，该服务站需向上平移1个单位， 故选A． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）在如图所示的网格图中建立平面直角坐标系，若点A的坐标是，则点B平移到原点的路径可以是（   ） A．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系，点的平移，根据题意建立平面直角坐标，进而得出，进而确定平移方式，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点A的坐标是，则 ∴点B平移到原点的路径可以是向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 故选：D． 【题型3 根据平移前后关系求值】 【例3】（2026·广东广州·三模）把平面直角坐标系上一点向上平移3个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则_______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，以及坐标轴上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵点向上平移3个单位， ∴平移后的点的坐标为， ∵平移后的点恰好在轴的正半轴上， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，则___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的平移变化，代数式求值，平移中点的坐标变化规律为横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减；根据规律求出，的值，代入计算即可. 【详解】解：将点先向右平移个单位长度，得到点， 再向下平移个单位长度，得到点 ，， . 【变式3-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）已知点向左平移3个单位后到y轴的距离为1，则m的值为_______． 【答案】2或4 【分析】本题考查坐标系中点的平移和点到坐标轴的距离，熟练掌握点的平移是解题的关键． 根据点向左平移，横坐标减少，纵坐标不变得到平移后点的坐标，根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值建立方程求解即可． 【详解】解：点向左平移3个单位后，对应点的坐标为， 则对应点到轴的距离为， 解得或， 故答案为：2或4． 【变式3-3】（2026·四川南充·一模）在平面直角坐标系中，把点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度得到点．若点的横坐标与纵坐标相等，则的值为______． 【答案】 7 【分析】根据点平移的坐标变化规律：左减右加，上加下减，得到点的坐标为，再根据点的横坐标与纵坐标相等，可得即可求解． 【详解】解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为， 点的横坐标和纵坐标相等， ， 解得：． 【题型4 图形的平移】 【例4】（25-26七年级上·河北邢台·开学考试）如图，将三角形向右平移个方格，得到图形．用数对表示和的位置． （______，______），（______，______） 【答案】 【分析】本题考查了用数对表示位置．用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此即可求解． 【详解】解：将三角形向右平移个方格，得到图形，用数对表示和的位置． 由图可得：；． 故答案为：，，，． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，先由求出的长，根据平移的性质得出，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形， ∴， ∴角形的面积为∶． 故选A． 【变式4-2】如图，平移线段AB，则平移过程中AB扫过的面积为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，再求出和底边上的高：2−(−1)=3，从而即可求解． 【详解】解：∵平移线段AB得线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵B(−2，−1)， (3，−1)，A (0，2)， ∴，底边上的高：2−(−1)=3， ∴平移过程中AB扫过的面积为5×3=15， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平移的性质及坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，．现将点平移，平移后的对应点的坐标为，若，则的值为______． 【答案】或6 【分析】此题主要考查了坐标中三角形面积求法和点坐标性质等知识，利用数形结合得出的不同位置是解题关键． 分平移后的坐标为在B点的上方；在B点的下方两种情况讨论可求a的值； 【详解】解：当在轴上方，如图所示： ，到的距离为， ， ， ， ； 当在轴下方， ， ∴， ， ， 即或． 故答案为：或6. 【题型5 坐标系中平移作图】 【例5】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立适当的平面直角坐标系，使得格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别为． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，并在坐标轴上标出坐标原点及对应的数字． (2)将向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度，得到（点的对应点分别为），请在平面直角坐标系中画出平移后的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)作图见解析， 【分析】此题考查了平面直角坐标系中平移的作图和点的坐标，正确建立平面直角坐标系和平移作图是关键． （1）根据顶点的坐标分别为建立平面直角坐标系即可； （2）按照平移方式得到对应点，顺次连接对应点即可得到，再写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求， （2）如图，即为所求，点的坐标为． 【变式5-1】（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A，点B，点的横纵坐标都为整数，连接． (1)请直接写出点A，点B的坐标，A：______，B：______； (2)请在所给的平面直角坐标系中描出点，并连接，； (3)平移三角形，使得顶点A平移到点，画出平移后的三角形； (4)直接写出：三角形的面积为______． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)见详解 (4) 【分析】本题考查了点的坐标、图形的平移、格点三角形的面积等； （1）由图写出坐标，即可求解； （2）描出点，连线，即可求解； （3）先向右平移个单位，再向上平移个单位，即可求解； （4）由三角形面积，即可求解； 能根据点的位置写出坐标，并能熟练进行图形的平移是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得 ，， 故答案为：，； （2）解：如图， 、、为所求作； （3）解：如图， 为所求作； （4）解：由题意得 ． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，除此之外，没有其他信息． (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？请你想想办法，并在图的方格纸中画出这个平面直角坐标系； (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在图的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系，并写出此时“宝藏”点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，“宝藏”点的坐标为 【分析】（）根据点的坐标找到原点的位置，再画出平面直角坐标系即可； （）根据平移找到原点位置，再画出平面直角坐标系即可； 本题考查了坐标与图形，坐标的平移，根据已知点找到原点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：确定的平面直角坐标系如图所示： （2）解：确定的平面直角坐标系如图所示，此时“宝藏”点的坐标为． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)写出、、三点的坐标． (2)中任意一点经平移后对应点为，先将作同样的平移得到； (3)求的面积． 【答案】(1)；；； (2)图见详解； (3)． 【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积，根据平移的性质得出对应点位置是解题关键． （1）利用已知坐标系得出各点的坐标即可； （2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用矩形减去周围三角形面积进而求出即可． 【详解】（1）解：由图可得：；；； （2）解：由中任意一点经平移后对应点为，可得：先将向右平移3个单位再向下平移2个单位即可，如图所示， 即为所求；    （3）解：． 考点2 坐标与图形变化——轴对称 知识点2 轴对称与坐标变化 设点P的坐标是（a，b），则 （1）点P关于x轴对称的点的坐标为（a，-b），简记为关于横轴对称，“横”不变“纵”变； （2）点P关于y轴对称的点的坐标为（-a，b），简记为关于纵轴对称，“纵”不变“横”变． 【题型6 求坐标系中对称点的坐标】 【例6】（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 【变式6-1】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 【变式6-2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先根据点的平移规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求解点的坐标． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 【变式6-3】（25-26八年级下·北京·开学考试）我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____． 【答案】 3.5 【详解】解：经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为； 关于轴对称得； 关于平行于轴的直线对称得， 根据关于水平直线对称的性质：对称点的纵坐标中点在对称轴上，即． 【题型7 由点的坐标判断对称关系】 【例7】（25-26八年级下·河北沧州·期中）已知点 ，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 【答案】B 【详解】已知点 ， ， ∵点和点的横坐标相等，纵坐标不相等，也不互为相反数， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A不符合题意，B符合题意． 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，与不互为相反数，故C不符合题意． 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点横坐标相同，不满足条件，故D不符合题意． 选B． 【变式7-1】（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称坐标特征，通过分析两点横纵坐标的关系，即可确定对称轴． 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线，即轴． 【变式7-2】（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【答案】B 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点与点关于轴对称． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质与平移规律，熟练掌握关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征及点的平移规律是解题的关键。根据平面直角坐标系中关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征，以及点的平移规律，逐一判断每个选项的正确性，从而选出正确答案。 【详解】∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 又∵点，的横坐标相同，纵坐标与互为相反数． ∴与关于轴对称，选项正确． ∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵将点向右平移个单位长度，横坐标为，得到的点为，不是点． ∴选项错误． 故选：A． 【题型8 由对称关系求参数】 【例8】（25-26七年级上·山东东营·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称特点，根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此列式求解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：B． 【变式8-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 【变式8-2】（25-26八年级下·北京·课后作业）已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 【变式8-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，依据关于轴的对称点的坐标特点以及关于轴的对称点的坐标特点求解即可； 【详解】解：点与点关于轴对称 点 点与点关于轴对称 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【题型9 坐标系中轴对称作图】 【例9】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换以及关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，得到对应点坐标，再依次连接即可； （2）先作出，再根据对称坐标特征作出直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，和直线即为所求： 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的对称，掌握相关知识是解题的关键． （1）关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，描点后顺次连接，可画出； （2）关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，根据点的坐标，可得关于x轴对称的点的坐标． 【详解】（1），，，关于轴的对称图形是， ， 描点后，画出如图所示， （2）由（1）知， 点关于x轴对称的点的坐标是． 【变式9-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)请作出关于轴对称的，并分别写出点，，的坐标； (2)若点，点，连接，在线段上找一点，使得最短，在坐标系中画出图形并直接写出点坐标． 【答案】(1)图见解析，、、 (2)图见解析， 【分析】本题考查轴对称图形，最短路径． （1）由关于轴对称的点的坐标特征，即可得点，，的坐标，用线段顺次连接点，，，即可得； （2）作关于线段的对称点，连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：∵，，，与关于轴对称， ∴、、， 如图，即为所求． （2）解：作关于线段的对称点，连接，交于点，如图所示，点即为所求，． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是画出图形． （1）利用轴对称的性质分别作出点、的对应点分别为点、，依次连接即可； （2）作点关于轴对称的对称点，连接交轴于点，连接，则最小，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 图形在坐标系中的平移（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 根据平移方法求平移前/后的点的坐标】 1 【题型2 根据平移前/后的点的坐标判断平移方法】 2 【题型3 根据平移前后关系求值】 3 【题型4 图形的平移】 3 【题型5 坐标系中平移作图】 4 【题型6 求坐标系中对称点的坐标】 7 【题型7 由点的坐标判断对称关系】 8 【题型8 由对称关系求参数】 8 【题型9 坐标系中轴对称作图】 8 考点1 坐标与图形变化——平移 知识点1 平移与坐标变化 图形横向平移，对应点的横坐标相应变化，纵坐标不变； 图形纵向平移，对应点的纵坐标相应变化，横坐标不变． 例如：在平面直角坐标系中，将点（2，-5）向右平移3个单位长度可得到对应点的坐标为（5，-5）；将点（-2，-5）向左平移3个单位长度可得到对应点的坐标为（-5，-5）；将点（2，5）向上平移3个单位长度可得到对应点的坐标为（2，8）；将点（-2，5）向下平移3个单位长度可得到对应点的坐标为（-2，2）． 【题型1 根据平移方法求平移前/后的点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 【变式1-1】（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是______． 【变式1-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为______． 【变式1-3】（24-25八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，平移后，顶点的对应点的坐标为，则顶点的对应点的坐标为________． 【题型2 根据平移前/后的点的坐标判断平移方法】 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【变式2-1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，这是山西著名景点平遥古城示意图的一部分，建立平面直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），市楼和县衙的坐标分别为，，流动服务站在原点．若要使服务站到县衙和文庙的距离相等，则该服务站需（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）在如图所示的网格图中建立平面直角坐标系，若点A的坐标是，则点B平移到原点的路径可以是（   ） A．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 【题型3 根据平移前后关系求值】 【例3】（2026·广东广州·三模）把平面直角坐标系上一点向上平移3个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则_______． 【变式3-1】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，则___________． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）已知点向左平移3个单位后到y轴的距离为1，则m的值为_______． 【变式3-3】（2026·四川南充·一模）在平面直角坐标系中，把点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度得到点．若点的横坐标与纵坐标相等，则的值为______． 【题型4 图形的平移】 【例4】（25-26七年级上·河北邢台·开学考试）如图，将三角形向右平移个方格，得到图形．用数对表示和的位置． （______，______），（______，______） 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】如图，平移线段AB，则平移过程中AB扫过的面积为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，．现将点平移，平移后的对应点的坐标为，若，则的值为______． 【题型5 坐标系中平移作图】 【例5】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立适当的平面直角坐标系，使得格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别为． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，并在坐标轴上标出坐标原点及对应的数字． (2)将向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度，得到（点的对应点分别为），请在平面直角坐标系中画出平移后的图形，并写出点的坐标． 【变式5-1】（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A，点B，点的横纵坐标都为整数，连接． (1)请直接写出点A，点B的坐标，A：______，B：______； (2)请在所给的平面直角坐标系中描出点，并连接，； (3)平移三角形，使得顶点A平移到点，画出平移后的三角形； (4)直接写出：三角形的面积为______． 【变式5-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，除此之外，没有其他信息． (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？请你想想办法，并在图的方格纸中画出这个平面直角坐标系； (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在图的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系，并写出此时“宝藏”点的坐标． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)写出、、三点的坐标． (2)中任意一点经平移后对应点为，先将作同样的平移得到； (3)求的面积． 考点2 坐标与图形变化——轴对称 知识点2 轴对称与坐标变化 设点P的坐标是（a，b），则 （1）点P关于x轴对称的点的坐标为（a，-b），简记为关于横轴对称，“横”不变“纵”变； （2）点P关于y轴对称的点的坐标为（-a，b），简记为关于纵轴对称，“纵”不变“横”变． 【题型6 求坐标系中对称点的坐标】 【例6】（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【变式6-3】（25-26八年级下·北京·开学考试）我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____． 【题型7 由点的坐标判断对称关系】 【例7】（25-26八年级下·河北沧州·期中）已知点 ，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 【变式7-1】（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【变式7-2】（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【题型8 由对称关系求参数】 【例8】（25-26七年级上·山东东营·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【变式8-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级下·北京·课后作业）已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【变式8-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【题型9 坐标系中轴对称作图】 【例9】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标___________． 【变式9-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)请作出关于轴对称的，并分别写出点，，的坐标； (2)若点，点，连接，在线段上找一点，使得最短，在坐标系中画出图形并直接写出点坐标． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $