精品解析：广西南宁市高新区高新中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷

2021～2022学年度春季学期期中义务教育质量监测 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 使有意义的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，据此列不等式求解 【详解】解：当时有意义， 得 故选A 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理（如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形就是直角三角形）对各选项依次计算后即可解答． 【详解】选项A，因为12+22≠32，不能组成直角三角形； 选项B，因为22+32≠42，不能组成直角三角形； 选项C，因为32+42=52，能组成直角三角形； 选项D，因为52+62≠72，不能组成直角三角形. 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 3. 边长为5cm的菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可． 【详解】解：∵菱形的各边长相等， ∴边长为5cm的菱形的周长是：5×4=20（cm）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键． 4. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、满足最简二次根式的条件，是最简二次根式，故选项符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意． 5. 如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论． 【详解】解：由题意得：， ，， ∵， ∴， ∴∠BAC＝90°， ∴为直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键． 6. 在中，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出∠A=∠C，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C， ∵∠A=120°， ∴∠C=120°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，解决此题的关键是平行四边形的对角相等． 7. 下列式子中，运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式乘除、加减的运算规则，逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ） A. 5尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺， 依题意，由勾股定理，得：， 解得， 所以芦苇的长度为13尺． 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键． 9. 小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方，商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验（如图）．小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验．小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾．你认为小颖买的这块纱巾一定是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法可得出答案． 【详解】解：根据老板的方法，能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线是对称轴，则这块纱巾是菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10. 如图，用四张一样大小的矩形纸片拼成一个正方形，正方形面积为32，，则图中空白部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】正方形面积为32， ， ， ， 观察可知，空白部分小正方形的边长为， 则图中空白部分的面积为． 11. 把一副三角尺如图所示拼在一起，其中AC边长是，则△ACD的面积是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得到BC4，根据直角三角形的性质得到CDBC＝4，过A作AE⊥CD交DC的延长线于E，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠CAB＝90°，∠ACB＝∠ABC＝45°，AC＝2， ∴AC＝AB＝2， ∴BC4， ∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°， ∴CDBC＝4， 过A作AE⊥CD交DC的延长线于E， ∴∠ECB＝90°， ∴∠ACE＝45°， ∴AE2+CE2＝AC2， ∴AE， ∴△ACD的面积CD•AE4×24， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①正确．证明Rt△AGD≌Rt△AGF,得到∠GAF＝∠GAD，结合∠EAB＝∠EAF可得结果． ②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论． ③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可． ④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可． 【详解】解：如图，连接DF． ∵四边形ABC都是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°， 由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF， ∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）， ∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x， ∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝（∠BAF＋∠DAF）＝45°，故①正确， 在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2， ∴（4＋x）2＝82＋（12−x）2， ∴x＝6， ∵CD＝BC＝BE＋EC＝12， ∴DG＝CG＝6， ∴FG＝GC， 易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误， ∵GF＝GD＝GC， ∴∠DFC＝90°， ∴CF⊥DF， ∵AD＝AF，GD＝GF， ∴AG⊥DF， ∴CF∥AG，故③正确， ∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2， ∴FG：EG＝3：5， ∴S△GFC＝×24＝，故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将正确答案填在横线上） 13. 化简：______． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2022． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 14. 如图，字母所在的正方形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，结合图形可知中间三角形为直角三角形，利用勾股定理建立三边平方之间的关系，进而求出字母所在正方形的面积． 【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为． 由正方形面积公式可知，面积为225的正方形对应， 面积为289的正方形对应， 正方形的面积为． 因为三角形为直角三角形，根据勾股定理得． 所以．即正方形的面积为64． 15. 比较大小：__________（填“”、“=”、“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合，得到，解答即可． 本题考查了二次根式的大小比较，比较被开方数的大小是解题的关键． 【详解】解：根据，又，故， 故答案为：． 16. 如图，矩形的对角线相交于点O，，则边____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键．由矩形的性质得，由得是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ； ， 是等边三角形， ； 故答案为：1． 17. 如图1是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造的一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．图2是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．若正方形MNKT的面积是1，正方形EFGH的面积是61，则正方形ABCD的边长是______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据图2是用八个全等的直角三角形拼接而成，可设一个直角三角形的面积为S，则正方形ABCD的面积可以表示为8S+正方形MNKT的面积，据此即可求解． 【详解】解：图2是用八个全等的直角三角形拼接而成，设一个直角三角形的面积为S， ∵正方形EFGH的面积是61， ∴4S+1=61，解得：S=15， ∵S正方形ABCD=8S+S正方形MNKT ∴S正方形ABCD=， ∴正方形ABCD的边长为11， 故答案为：11． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识． 18. 如图，是的中线，是的中点，是延长线与的交点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线定理得到，，证明得，再根据线段的和差可得答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵是的中线，是的中点， ∴点是的中点，， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．要求要有一定的解答过程） 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式的乘除运算法则化简，再合并同类二次根式即可得到结果． 【小问1详解】 解：   ， 【小问2详解】 解：  ， 【小问3详解】 解：  ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】3x2﹣10，﹣1． 【解析】 【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式＝4x2﹣1﹣（x2﹣6x+9）﹣6x ＝4x2﹣1﹣x2+6x﹣9﹣6x ＝3x2﹣10， 当x＝﹣时， 原式＝3×（﹣）2﹣10 ＝3×3﹣10 ＝9﹣10 ＝﹣1． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键． 21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC的面积和周长． 【答案】面积是7，周长是 【解析】 【分析】利用面积和差和勾股定理求解即可． 【详解】解：△ABC的面积=； 由勾股定理得： ， ， ， 所以△ABC的周长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长． 22. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由． 【答案】添加AB=BC，理由见详解； 【解析】 【分析】添加AB=BC，首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形． 【详解】解：添加AB=BC， ∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形． 23. 如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： （1）如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． （2）如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案． （2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点． 【小问1详解】 解：∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴点即为所求． 24. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点处． （1）如图1，当点E与点C重合时，与AD交于点F，求证：FA＝FC； （2）如图2，当点E不与点C重合，且点在对角线AC上时，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）CE=． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质及折叠性质证明∠FAC=∠FCA即可． （2）由题意可得，根据勾股定理求出AC=5，进而求出B'C=2，设CE= x．然后在Rt△中，根据勾股定理EC2=2+2列方程求解即可； 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC， ∴∠FAC=∠ACB， ∵∠ACB=∠ACF， ∴∠FAC=∠FCA， ∴FA=FC． （2）∵，如图2， 设CE= x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∴AC2=AB2+BC2= 32+42=25， ∴AC=5， 由折叠可知：，，， ∴=5-3=2， 在Rt△中，EC2=2+2 ∴x2=（4-x）2+22， ∴x=， ∴CE=． 【点睛】本题属于矩形折叠问题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，求出此时线段的长（用含的代数式表示），并直接写出的取值范围； （2）在运动过程中，当为何值时，是以为底边的等腰三角形． 【答案】（1） （2）当为秒或秒时，是以为底边的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，根据路程等于速度乘以时间，求出点运动的路程，进而表示出，再用，表示出即可； （2）根据是以为底边的等腰三角形，得到，分点在上和点在上两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵点运动的速度为每秒，运动时间为秒， ∴点移动的路程为， ∴， ∴， ∵（秒），（秒）， ∴当点在上时，． 【小问2详解】 解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 如图，当点在上时，过点作于，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点在上时，， 由（1）可知， ∴， 解得：； 综上所述：当为秒或秒时，是以为底边的等腰三角形． 26. 提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ； （2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为） （3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析；（3），见解析 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得BE＝CD； （2）由“SAS”可证△EAC≌△BAG，可得CE＝BG，∠AEC＝ABG，即可证明CE⊥BG； （3）由“AAS”可证△ABC≌△AEH，可得EH＝BC，由三角形的面积公式可得结论． 【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴BE＝CD， 故答案为： ； （2），；理由如下： 如图，设AB与CE的交点为P， ∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形， ∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ； 即：，； （3）如图，过点作交延长线于； ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021～2022学年度春季学期期中义务教育质量监测 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 使有意义的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 3. 边长为5cm的菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 6. 在中，，则的度数为( ) A. B. C. D. 7. 下列式子中，运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ） A. 5尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺 9. 小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方，商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验（如图）．小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验．小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾．你认为小颖买的这块纱巾一定是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 10. 如图，用四张一样大小的矩形纸片拼成一个正方形，正方形面积为32，，则图中空白部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 把一副三角尺如图所示拼在一起，其中AC边长是，则△ACD的面积是（ ） A. B. 6 C. D. 12. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将正确答案填在横线上） 13. 化简：______． 14. 如图，字母所在的正方形面积为________． 15. 比较大小：__________（填“”、“=”、“”）． 16. 如图，矩形的对角线相交于点O，，则边____． 17. 如图1是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造的一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．图2是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．若正方形MNKT的面积是1，正方形EFGH的面积是61，则正方形ABCD的边长是______． 18. 如图，是的中线，是的中点，是延长线与的交点，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．要求要有一定的解答过程） 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC的面积和周长． 22. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由． 23. 如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： （1）如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． （2）如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 24. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点处． （1）如图1，当点E与点C重合时，与AD交于点F，求证：FA＝FC； （2）如图2，当点E不与点C重合，且点在对角线AC上时，求CE的长． 25. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，求出此时线段的长（用含的代数式表示），并直接写出的取值范围； （2）在运动过程中，当为何值时，是以为底边的等腰三角形． 26. 提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ； （2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为） （3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $