吉林长春市第二中学2025-2026学年高二下学期第二学程考试数学试卷

2025-2026学年度高二年级下学期第二学程考试 数学科试卷 命题人薛克研 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量x,y之间没有关系的是() ☐X2 y2 y2 x X2 y2 2.已知函数f(x)=x-lnx,则f(x)的单调增区间为() A.(e,+o) B.(0,1) C.(1,+o) D.（-0,0) 的展开式中含x项的系数为() A.1 B.6 C.15 D.20 4.设a=n1.3,b=0.3,c=e3-1,则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 5.已知随机变量XB(4,p),E(5X-3)=5,则D(5X-3)=() A.24 B.21 c.24 D. 5 6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正 态分布N(72,82),则数学成绩位于[80,88]的人数约为() 参考数据：P(u-0≤X≤u+o)≈0.6827，P(4-2o≤X≤4+2o)≈0.9545， P(u-3σ≤X≤u+3o)≈0.9973. A.455 B.2718 C.6346 D.9545 7.已知函数∫(x)=(x-1)e-x在区间[2,4]上存在单调减区间，则实数m的取值范围为() A.(2e2,+m) B.(-n,e) c.(0,2e2) D.(0,e) 8.已知不等式eax≥(a+1)x-lnx对任意x>1恒成立，则正数a的取值范围() A.[0,+∞) C.L,+0) D.[e,+o) 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9.下列叙述正确的是() A.甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B.用数字0,1,2,3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C.4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D.正十二边形的对角线的条数是54 10.某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可 以从中选择一类或者两类课程进行学习.设事件A=“甲选了两类课程”，A=“甲选了自然科学 类课程”，则() A4)吉 BP41A)-号 c.4+4)-月 D.A与A相互独立 11.已知P(:,),Q(,)为函数f(x)=hx的图象上不同的两点，且直线P过原点，若 y=∫(x)在x=x1,x=3处的两条切线相交于点A(,%),则() A.直线PO斜率的取值范围为 +x2%+1 C.+>1+lno D.Inx+Inx2 =2vo 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知变量x、y满足线性相关关系，经验回归方程为=0.4x+à且x=20,y=7.现有一 观测数据为(30，n),若该数据的残差为0.6，则n= 13.己知(x-2)展开式的二项式系数和为2048，若 (-2)”=a+a(x-1)十a2c-1)+…+an6-1),则a+4+4+…+4= 14.若直线y=c+b是曲线y=e-1的切线，也是曲线y=lnx+1的切线，则b= 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.(13分)已知函数f(x)=x+ax+bx+2(a,b∈R),当x=1时，f(x)有极小值0. (1)求实数a,b的值： (2)求函数f(x)在区间[-1,3]上的最值. 16.(15分)近几年来，人工智能（简称AI)逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用， 某校随机抽查了100名教师，调查他们使用AI技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列 联表 使用AI技术情况 年级 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 (1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析是否经常使用AI技术与年龄有无关联？ (2)现从样本中经常使用AI技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽 取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超 过40周岁的教师人数为X,求X的分布列和数学期望 n(ad-be) 参考公式：X=(a+b)c+d(a+c)b+d 其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ka 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2 17.(15分)已知函数f(x)=ax+xhnx(a∈R) (1)求函数g(x)=f(x)-(x-1)nx的极值： (2)当a=2时，不等式k(x-1)>∫(x)在x∈(1，+o)上能成立，求整数k的最小值 18.(17分)一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1,2,3,4,5,6. 甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回若两球编号之和是3的倍数，则由 这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球 (1)求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率： (2)假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量X,求随机变量X的分 布列和期望； (3)假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率， 19.（17分)对于函数f(x),若存在实数x,使∫(x)f(x+)=1,其中1≠0，则称f(x)为“可 移2倒数函数”，为“f(x)的可移倒数点”.己知g(x)=e,h(x)=x+a(a>0). (1)设p(x)=g(x)?(x),若√2为“h(x)的可移-2倒数点，求函数p(x)的单调区间； 8(x),x>0 (x)= 1 (2)设 的<0.若函数恰有3个可移1倒数点，求4的取值范围