第19讲 扇形（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第19讲 扇形（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 扇形 同学们，炎炎夏日里，最让人惬意的莫过于吃上一口美味的冰淇淋，或者在树荫下摇起一把折扇。其实，在这些充满夏日气息的物品中，正隐藏着我们今天将要探索的几何魔法。 当我们仔细观察一个圆锥形的冰淇淋甜筒时，大家不妨想象一下：如果我们沿着它侧面的一条“母线”（也就是从顶点到底面边缘的线段）剪开，并把它的侧面平铺在桌面上，它会变成什么形状呢？没错，它会变成一个完美的扇形！在这个奇妙的“变身”过程中，圆锥侧面的面积，其实就等于这个展开后扇形的面积。而圆锥底面那一圈圆形的周长，展开后刚好变成了这个扇形的弧长。 同样，当我们打开一把折扇时，扇面展开也是一个扇形。扇骨撑开的角度（也就是圆心角）越大，扇面边缘的弧度就越长，整个扇面的面积也就越大。 那么，面对这样一个扇形，如果我们只知道它的半径和圆心角，该如何精准地计算出它边缘的“弧长”以及整个“扇形面积”呢？更进一步，既然圆锥的侧面展开图就是扇形，我们能否利用扇形的这些计算公式，反过来去推导和求解圆锥的侧面积、表面积甚至体积呢？ 今天，就让我们从这夏日里的清凉出发，一起走进扇形与圆锥的世界，用数学的钥匙解开这些生活中的几何奥秘！ 【知识点1 弧长公式】 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 【知识点2 扇形及扇形的面积公式】 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【知识点3 圆锥的侧面积和全面积】 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形，那么由勾股定理得：． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【题型1 求弧长】 【例1】（2026·广西梧州·二模）如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26六年级下·上海青浦·期中）已知半径为50厘米，圆心角为的弧的长度为____________厘米．（结果保留） 【变式1-2】（2026·贵州贵阳·一模）如图，正方形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径作圆，则的长为______（结果保留）． 【变式1-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，点，，，在中，若， (1)求证：； (2)若，半径为1，则______． 【题型2 由弧长求扇形半径、圆心角】 【例2】（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【变式2-1】（2026·浙江杭州·模拟预测）已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【变式2-2】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·江苏连云港·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为______厘米． 【题型3 求某点的弧形运动路径长度】 【例3】（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【题型4 求扇形面积】 【例4】（2026·辽宁大连·二模）如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，，与相切于点，点在上，若的半径为3，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26六年级下·上海松江·期中）一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 【变式4-3】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【题型5 求弓形面积】 【例5】（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，三角板内部的小等腰直角三角形的两个顶点A，B恰好落在量角器边缘，对应的刻度分别是70°，130°，若，则阴影部分面积为________． 【变式5-2】如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为；截面中有水部分弓形的高为．则截面中有水部分弓形的面积为_________． 【变式5-3】如图，是的直径，是的弦，半径，垂足为，若，．求：    (1)的半径； (2)弦的长； (3)阴影部分的面积． 【题型6 求不规则图形的面积】 【例6】（2026·安徽·二模）生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一个正方形的顶点B，D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示．经测量，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为______． 【变式6-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）已知四边形是的内接四边形，，连接． (1)如图①．求的度数； (2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积． 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 【例7】（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 【变式7-1】（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为___________．（结果保留） 【变式7-2】（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是___．（结果保留） 【题型8 求圆锥的侧面积】 【例8】（2026·宁夏吴忠·三模）用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的侧面积是_________． 【变式8-1】（2026·浙江丽水·二模）如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，某公共场所为游客提供的一次性饮水纸杯可视为圆锥，如果该圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面积为____________． 【变式8-3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）中，，把它沿所在直线旋转一周，求所得的几何体的全面积． 【题型9 求圆锥的底面半径、高、圆心角】 【例9】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【变式9-1】（25-26九年级下·云南昭通·期中）已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 【变式9-2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【题型10 圆锥的实际应用】 【例10】（2026·云南昆明·二模）某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 【变式10-1】如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深_________； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为_________． 【变式10-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）德强学校新体育场，要给跳远沙坑填装沙子，沙坑长9米，宽3米，学校后勤运来一堆沙子，其形状近似于圆锥，经测量，其底部周长为米，高度为米（本题取） (1)这堆沙子的体积是多少立方米？ (2)跳远沙坑的沙子厚度，按国际田联标准，在至米之间，这样最有利于保证运动员不受挫伤和创造佳绩，请通过计算，看看这堆沙子铺入沙坑后，沙子的厚度是否符合国际田联标准． 【变式10-3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）圆心角为，半径为的扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）小聪用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，该圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 4．120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ） A．3 B．4 C．9 D．18 5．如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点B从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 6．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是______． 8．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）半径为的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 10．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，公园内有一个半径为6米的圆形草坪，为了避免游客踩踏草坪，现从A地到B地修建了观赏路（劣弧）和便民路（线段）．已知A，B是圆上的点，O为圆心，扇形的面积为平方米，小明从A走到B，走便民路比走观赏路少走_______米．（结果保留） 11．（25-26九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，的顶点分别是． (1)画出绕点O逆时针旋转所得的，并写出点的坐标； (2)在（1）的旋转过程中，求线段扫过的图形面积． 12．如图，在中，．分别以B、C为圆心，长为半径在下方画弧，设两弧交于点D，与、的延长线分别交于点E、F，连接、、， (1)求证：平分； (2)若，，求、的长度之和（结果保留）． 13．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 14．（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．如图1，有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差，由于内轮差的存在，汽车在转弯时都会产生这种盲区．为了安全，许多路口都设置“右转危险区”标线．图2是货车在路口“右转危险区”的示意图，后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，． (1)图2中，弧围成的扇形面积为_____（结果保留）； (2)用的代数式表示“右转危险区”的面积，并求出当时，“右转危险区”的面积（结果保留）； (3)小明站在线段的延长线上，且与的距离为米的地方，若之间的距离为米，请判断小明是否有危险，并说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 扇形（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 扇形 同学们，炎炎夏日里，最让人惬意的莫过于吃上一口美味的冰淇淋，或者在树荫下摇起一把折扇。其实，在这些充满夏日气息的物品中，正隐藏着我们今天将要探索的几何魔法。 当我们仔细观察一个圆锥形的冰淇淋甜筒时，大家不妨想象一下：如果我们沿着它侧面的一条“母线”（也就是从顶点到底面边缘的线段）剪开，并把它的侧面平铺在桌面上，它会变成什么形状呢？没错，它会变成一个完美的扇形！在这个奇妙的“变身”过程中，圆锥侧面的面积，其实就等于这个展开后扇形的面积。而圆锥底面那一圈圆形的周长，展开后刚好变成了这个扇形的弧长。 同样，当我们打开一把折扇时，扇面展开也是一个扇形。扇骨撑开的角度（也就是圆心角）越大，扇面边缘的弧度就越长，整个扇面的面积也就越大。 那么，面对这样一个扇形，如果我们只知道它的半径和圆心角，该如何精准地计算出它边缘的“弧长”以及整个“扇形面积”呢？更进一步，既然圆锥的侧面展开图就是扇形，我们能否利用扇形的这些计算公式，反过来去推导和求解圆锥的侧面积、表面积甚至体积呢？ 今天，就让我们从这夏日里的清凉出发，一起走进扇形与圆锥的世界，用数学的钥匙解开这些生活中的几何奥秘！ 【知识点1 弧长公式】 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 【知识点2 扇形及扇形的面积公式】 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【知识点3 圆锥的侧面积和全面积】 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形，那么由勾股定理得：． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【题型1 求弧长】 【例1】（2026·广西梧州·二模）如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为． 【变式1-1】（25-26六年级下·上海青浦·期中）已知半径为50厘米，圆心角为的弧的长度为____________厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：厘米． 【变式1-2】（2026·贵州贵阳·一模）如图，正方形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径作圆，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】先由正方形得到扇形圆心角度数与半径，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：四边形是正方形，边长为， ，所在圆半径， 根据弧长计算公式： ． 【变式1-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，点，，，在中，若， (1)求证：； (2)若，半径为1，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与弦的关系，弧长公式等知识点． （1）由弧与弦的关系证明即可； （2）连接，则由圆周角定理可得，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 【题型2 由弧长求扇形半径、圆心角】 【例2】（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【答案】48 【分析】根据扇形弧长公式，将已知的弧长和圆心角代入扇形弧长公式，即可计算得到扇形半径． 【详解】解：设该扇形的半径为. 解得． 【变式2-1】（2026·浙江杭州·模拟预测）已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【答案】 【分析】设弧的度数为，利用弧长公式构造方程并求解即可． 【详解】解：设弧的度数为， 由弧长公式可得，， ∴， 解得． 【变式2-2】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 【变式2-3】（2025·江苏连云港·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为______厘米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得： ， 解得：， 故答案为：． 【题型3 求某点的弧形运动路径长度】 【例3】（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 【变式3-1】（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，根据题意求得点从开始到结束所经过的路径为半径为，圆心角为的2个弧长，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 依题意， ∴点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求,． （2）解：， ∴点B的运动路径长为 【题型4 求扇形面积】 【例4】（2026·辽宁大连·二模）如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形和扇形面积公式求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴图中扇形的面积为． 【变式4-1】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，，与相切于点，点在上，若的半径为3，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质，结合题意得到，由此得到，再根据扇形面积的计算即可求解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积， 故选：A ． 【变式4-2】（25-26六年级下·上海松江·期中）一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 【答案】 【分析】先求出从下午到时针转过的圆心角度数，确定扇形的半径，再代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵时针每小时转过的度数为， 从下午到，经过小时， ∴时针转过的圆心角为． ∵时针长为扇形的半径，即， ∴ （）． 【变式4-3】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 【题型5 求弓形面积】 【例5】（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【变式5-1】将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，三角板内部的小等腰直角三角形的两个顶点A，B恰好落在量角器边缘，对应的刻度分别是70°，130°，若，则阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】把量角器看作半圆，构造扇形，阴影部分的面积就等于扇形的面积减去的面积，再利用相关的面积公式求解即可． 【详解】解：连接、，作于点， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵A，B对应的刻度分别是70°，130°， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，构造扇形并得出等边三角形是解题的关键． 【变式5-2】如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为；截面中有水部分弓形的高为．则截面中有水部分弓形的面积为_________． 【答案】()cm2 【分析】连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，由于弓形的高为6cm可求出OE的长，在Rt△AOE中可求出∠AOE的度数，由垂径定理可知，AB=2AE，∠AOE=∠BOE，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积． 【详解】解：连接、，过作，交于点， 弓形的高为，截面半径为， ， 在中，， ， ，， ， ． 故答案为：() cm2． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键． 【变式5-3】如图，是的直径，是的弦，半径，垂足为，若，．求：    (1)的半径； (2)弦的长； (3)阴影部分的面积． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角函数，扇形面积计算；掌握相关定理是解题关键． （1）根据“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”可知：，在直角中，利用勾股定理就可以求出的值； （2）根据“直径所对圆周角是直角”可知，在直角三角形中利用勾股定理求得即可； （3）由可知是等边三角形，利用的正弦值求得边上的高，再根据阴影部分的面积=扇形的面积-的面积计算求值即可； 【详解】（1）解：∵半径， ， ， ， 设，在直角三角形中，， ， 解得：， 即半径； （2）解：为直径， ，， 又， ， ； （3）， ∴是等边三角形， ， 设边上的高为，则，可得， ． 【题型6 求不规则图形的面积】 【例6】（2026·安徽·二模）生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一个正方形的顶点B，D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示．经测量，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：根据图2可知，图形是由2个完全相同的扇形重叠在一起得到的， ∴阴影部分的面积2个扇形面积正方形的面积， ∵正方形的边长为4cm， ∴扇形的半径为4cm， ∴阴影部分的面积（）． 【变式6-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先根据旋转的性质得，，再利用面积的和差得到，即有，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵半圆AB绕点A顺时针旋转，点B旋转到C的位置， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 【变式6-3】（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）已知四边形是的内接四边形，，连接． (1)如图①．求的度数； (2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差是解题的关键． （1）根据题意得到 ，根据得到 ，从而求得，最后根据，即可得到结果； （2）根据题意得到，利用勾股定理得然后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ； （2）∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 【例7】（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算及时钟角度问题的综合应用，根据时针转动的时间求出扇形的圆心角是解题的关键． 时针扫过的面积为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为，时针从上午点到上午点移动小时，时针小时转，即时针扫过的圆心角为，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：时针扫过的面积即为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为， 从上午点到点，时针共走了小时， 时钟一圈为小时，对应，因此时针转过的圆心角为： ， ∴时针扫过的面积为． 故答案为：． 【变式7-1】（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为___________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 【变式7-2】（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是___．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转变换，推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键． 线段所扫过的面积 ． 【详解】解：线段所扫过的面积 ． 故答案为． 【题型8 求圆锥的侧面积】 【例8】（2026·宁夏吴忠·三模）用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的侧面积是_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积等于围成圆锥侧面的扇形的面积，利用扇形面积公式即可计算出结果． 【详解】解：由题意可知，圆锥的侧面积等于圆心角为，半径为的扇形的面积． 根据扇形面积公式，将，代入得： ． 【变式8-1】（2026·浙江丽水·二模）如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，圆锥的底面半径，高 在中，由勾股定理得母线长， 圆锥的侧面积． 【变式8-2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，某公共场所为游客提供的一次性饮水纸杯可视为圆锥，如果该圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面积为____________． 【答案】 【详解】解：因为圆锥体的底面半径为，母线长为， 所以圆锥形纸杯侧面展开图的面积为：． 【变式8-3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）中，，把它沿所在直线旋转一周，求所得的几何体的全面积． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积与全面积计算，解题的关键是确定旋转后几何体的形状（两个同底圆锥的组合体），并求出圆锥的母线长和底面半径． 先求斜边的长度与边上的高（底面半径），再利用圆锥侧面积公式计算两个圆锥侧面积之和（即全面积）． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得， 由三角形面积公式（为边上的高，即圆锥底面半径）， 得， 沿旋转转周所得几何体是两个同底圆锥， 其全面积为两个圆锥侧面积之和，由圆锥侧面积公式（为母线长）， 得． 【题型9 求圆锥的底面半径、高、圆心角】 【例9】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，从直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形； (1)求被剪掉的部分的面积； (2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形与圆的面积计算，扇形弧长的计算，割补法求面积，以及扇形所围成的圆锥与扇形之间的关系，掌握扇形与圆的面积，弧长公式是解决本题的关键． （1）由图可知当扇形圆心角为时，的连线过圆心O，连接，，进而可证为等腰直角三角形，通过勾股定理可计算出扇形半径，进而计算出扇形面积，用圆形铁皮面积减扇形面积即为所求； （2）根据扇形半径可求出扇形上弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】（1）解： 如图所示，连接，， 当扇形圆心角为时，的连线过圆心O， ∵（为同圆的半径），， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 所以扇形面积为：， 圆形铁皮面积为：， ∴减掉部分面积为：； （2）解：由剪下来的扇形的半径为， ∴扇形弧长为：， ∴围成圆锥的底面半径为：． 【变式9-1】（25-26九年级下·云南昭通·期中）已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 【答案】8 【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，圆锥侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，可得圆锥母线长，圆锥底面半径． 设圆锥的高为h，根据勾股定理得：． 【变式9-2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算、弧长的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 圆锥的母线为 ∴ 故选：C． 【变式9-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥体侧面展开图的圆心角，先根据圆锥全面积公式求出母线长，再根据侧面展开图的弧长等于底面周长，建立方程求解圆心角． 【详解】解：∵圆锥全面积，其中，， ∴ 即 ∴ ∴ 设侧面展开图的圆心角为，则弧长 ∵弧长等于底面周长 ∴ ∴ 故侧面展开图的圆心角为， 故选D． 【题型10 圆锥的实际应用】 【例10】（2026·云南昆明·二模）某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】求出圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥形小丑帽子的底面半径为， 圆锥的底面周长为， 扇形木纸板的半径为， 扇形木纸板的面积为 【变式10-1】如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深_________； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为_________． 【答案】 /180度 【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 【变式10-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）德强学校新体育场，要给跳远沙坑填装沙子，沙坑长9米，宽3米，学校后勤运来一堆沙子，其形状近似于圆锥，经测量，其底部周长为米，高度为米（本题取） (1)这堆沙子的体积是多少立方米？ (2)跳远沙坑的沙子厚度，按国际田联标准，在至米之间，这样最有利于保证运动员不受挫伤和创造佳绩，请通过计算，看看这堆沙子铺入沙坑后，沙子的厚度是否符合国际田联标准． 【答案】(1)立方米 (2)沙子的厚度符合国际田联标准 【分析】（1）根据圆锥体积公式求解； （2）根据长方体体积公式求解． 【详解】（1）解：米， 立方米， 答：这堆沙子的体积是立方米； （2）解：平方米，米， ∵， ∴沙子的厚度符合国际田联标准． 【变式10-3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长 ， ∴侧面积为 ∴底面积为 ， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）圆心角为，半径为的扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题关键． 运用弧长公式计算，即可得答案． 【详解】解：∵圆心角，半径， ∴弧长． 故选：D． 2．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）小聪用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积和弧长的关系，解题的关键是掌握扇形面积和弧长关系公式． 利用扇形面积和弧长关系公式进行求解即可． 【详解】解：扇形纸板的面积为, 故选：B． 3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，该圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求圆锥的母线长，圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 利用弧长公式建立方程求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得， 故选：B． 4．120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ） A．3 B．4 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据弧长的公式l=把条件代入进行计算即可得半径长. 【详解】已知120°的圆心角对的弧长是6π，根据弧长的公式l= 可得6π=， 解得r=9． 故答案选C． 考点：弧长的计算． 5．如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点B从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用含角的直角三角形的性质得，从而得出点B经过的路径是圆心角，半径为的弧，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∴， ∵绕点C顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴点B经过的路径是圆心角，半径为的弧， ∴点B从开始到结束经过的路径长为：． 6．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是______． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，代入圆心角和弧长列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，解得． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）半径为的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，勾股定理，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， ，， ， 中间空白部分的面积为， ∵以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为， 故答案为：1． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，找准圆心角和半径是解题关键． 先在扇形中，计算，再在半圆中，计算，最后计算总共需要的篱笆长． 【详解】解：由题意得，直径， 半径， 以为圆心，为半径画弧交半圆于点， ， 是等边三角形，， 在扇形中，， 在半圆中，， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，公园内有一个半径为6米的圆形草坪，为了避免游客踩踏草坪，现从A地到B地修建了观赏路（劣弧）和便民路（线段）．已知A，B是圆上的点，O为圆心，扇形的面积为平方米，小明从A走到B，走便民路比走观赏路少走_______米．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，弧长及扇形计算公式等知识点，根据题意求出线段以及劣弧的长度是解本题的关键．过点作于点，根据垂径定理、所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求出的长，然后根据弧长公式求出的长，相减即可． 【详解】解：设， 扇形的面积为平方米，半径为6米， ， ， 过点作于点， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， 劣弧长米， ∴便民路比走观赏路少走米． 故答案是：． 11．（25-26九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，的顶点分别是． (1)画出绕点O逆时针旋转所得的，并写出点的坐标； (2)在（1）的旋转过程中，求线段扫过的图形面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，勾股定理，求扇形的面积， 对于（1），将点A，B绕点O逆时针旋转得到点，再依次连接，可得答案，然后确定点的坐标； 对于（2），先根据勾股定理求出，再根据扇形的面积得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，； （2）解：， ∴． 12．如图，在中，．分别以B、C为圆心，长为半径在下方画弧，设两弧交于点D，与、的延长线分别交于点E、F，连接、、， (1)求证：平分； (2)若，，求、的长度之和（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及弧长计算公式，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及弧长计算公式是解题的关键； （1）根据题意可用证明，从而得证结论； （2）由题意知，因此可知是等边三角形，因此由，根据三角形的内角和及外角可求出，因此可根据弧长公式，求得两段弧的长，再求和即可 【详解】（1）证明：由作图可知． 在和中， ， ∴． ∴， 即平分． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴的长度的长度． ∴、的长度之和为． 13．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）直线CD与⊙O相切，理由见解析 （2） 【详解】解：（1）直线CD与⊙O相切．如图，连接OD． ∵OA=OD，∠DAB=45°， ∴∠ODA=45°， ∴∠AOD=90°． ∵CD∥AB， ∴∠ODC=∠AOD=90°， 即OD⊥CD． 又∵点D在⊙O上， ∴直线CD与⊙O相切． （2）∵BC∥AD，CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=2． ∴S梯形OBCD=， ∴图中阴影部分的面积为S梯形OBCD -S扇形OBD= ． 14．（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， 为直径， ， ，即， ． (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求弧长，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，再证明，，即可证明． （2）先证明，则，由圆周角定理得到，进一步求出，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．如图1，有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差，由于内轮差的存在，汽车在转弯时都会产生这种盲区．为了安全，许多路口都设置“右转危险区”标线．图2是货车在路口“右转危险区”的示意图，后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，． (1)图2中，弧围成的扇形面积为_____（结果保留）； (2)用的代数式表示“右转危险区”的面积，并求出当时，“右转危险区”的面积（结果保留）； (3)小明站在线段的延长线上，且与的距离为米的地方，若之间的距离为米，请判断小明是否有危险，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)小明有危险，理由如下： 如图所示，连接并延长，则一定过点， ∵，， ∴， ∵之间的距离为米， ∴（米）， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴小明有危险． 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，正方形的性质，勾股定理的运用，掌握扇形面积的计算方法，勾股定理的运用是解题的关键． （1）运用扇形面积的公式计算即可； （2）数学结合得到，代入计算即可； （3）如图所示，连接并延长，则一定过点，由勾股定理得到，则（米），再根据勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：后内轮转弯半径米，， ∴弧围成的扇形面积为（平方米）， 故答案为：平方米； （2）解：后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，，由（1）弧围成的扇形面积为平方米， 如图所示，补全内轮所在半圆的正方形，则四边形均是正方形， ∴弧围成扇形面积为，正方形的面积为平方米，正方形的面积为平方米， ∴ （平方米）， 当时，右转危险区的面积为（平方米）； 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $