2026年暑假苏科版九年级数学上册预习手册11《第3章圆第4节圆周角》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册11 《第3章圆第4节圆周角》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   准确辨析圆周角，牢记圆周角两大判定条件，区分圆心角与圆周角。 2.   掌握圆周角定理及其三条核心推论，能完成角度换算、线段计算、几何简单证明。 3.   理解圆内接四边形定义，熟练运用 “ 对角互补、外角等于内对角 ” 两条性质解题。 4.   学会构造直径辅助线、同弧圆周角转化两种常用圆几何辅助线思路，融合三角形内角、勾股定理综合解题。 5.   规避江苏中考高频易错点：忽略 “ 同弧/等弧 ” 前提、弦对应圆周角双解遗漏、直径推论不会构造直角、圆内接四边形内外角混淆。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   圆周角定理：圆周角=同弧圆心角的 ； 2.   两大推论： ① 同弧/等弧圆周角相等 ② 直径所对圆周角为90 ° ； 3.   圆内接四边形对角互补性质应用。 （二）难点 1.   一条弦对应两类弧，圆周角存在双解（锐角/钝角）分类讨论； 2.   无直角条件时，作直径构造90 ° 圆周角辅助线； 3.   圆周角、垂径定理、三角形、平行线综合几何证明； 4.   圆内接四边形外角与内对角转化综合题型。 ) 三．自主探究 （一）圆周角定义（两个条件缺一不可） 【观察思考】 图中的∠BA1C,∠BA2C,∠BA3C有什么共同特征? 【解析】顶点都在圆上,两边都和圆相交. 1.定义：像图中∠BA1C,∠BA2C,∠BA3C这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.理解：两个条件缺一不可 （1）顶点在圆上； （2）角的两边都与圆另有一个交点。 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 【解析】图A：不是圆周角，理由：角的顶点不在圆上。图B：是圆周角，理由：角的顶点在圆上，且两边都与圆相交，满足圆周角的两个条件。图C：不是圆周角，理由：角的顶点在圆上，但只有一边与圆相交，另一边不与圆相交。图D：不是圆周角，理由：角的顶点在圆上，但只有一边与圆相交，另一边是圆的切线，不与圆相交。只有图B中的角是圆周角，其余都不是。 ⚠️易错：顶点在圆心是圆心角；顶点在圆内/圆外、一边相切都不是圆周角。 （二）圆周角定理 【思考探究】 如图,AB为☉O的直径,∠BOC,∠BAC分别是所对的圆心角、圆周角,则图①②③中∠BAC的度数分别是__45o___, __60o__, _（）o______. 如图AB为☉O的直径 (1)设所对的圆周角为∠BAC,除了圆心O在∠BAC的一边上外,圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系? 解:(1)圆心O在∠BAC的内部和圆心O在∠BAC的外部. (2)对于这几种位置关系,结论∠BAC=∠BOC还成立吗?试给出证明. 解:结论∠BAC=∠BOC仍成立. 证明:当圆心O在∠BAC的内部时,如图, 连接AO并延长交☉O于点D.∵∠BAD=∠BOD,∠CAD=∠COD,∴∠BAD+∠CAD=1/2(∠BOD+∠COD),即∠BAC=∠BOC; 当圆心O在∠BAC的外部时,如图, 连接AO并延长交☉O于点E.∵∠BAE=∠BOE,∠CAE=∠COE,∴∠BAE-∠CAE=1/2(∠BOE-∠COE),即∠BAC=∠BOC. 【归纳】 圆周角定理：一条弧所对的圆周角，等于这条弧所对圆心角度数的一半。 （三）圆周角定理三大推论（江苏考试必考） 推论1：同弧或等弧所对的所有圆周角相等；等圆周角对应等弧。 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是直角（90°）；反之，90°的圆周角所对弦为直径。 推论3：一条弦分圆为优弧、劣弧两段，对应两组圆周角互补（和为180°），做题必须分两类讨论。 （四）圆内接四边形 1.圆内接多边形的定义 如果一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形;这个圆叫做这个多边形的外接圆如图，四边形ABCD是0的内接四边形，0是四边形ABCD的外接圆。 2.性质 【思考】圆内接四边形的四个角之间有什么关系? 【猜想】:∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º 已知:如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形 求证：∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º 证明:连接OB、OD，∠C所对的弧BAD,∠A所对的弧是DCB且弧DCB和弧BAD所对的圆心角的和是360,∠A+∠C=×360°=180°同理:∠B+∠D=180° 圆内接四边形性质1:圆内接四边形的对角互补. 如图，四边形ABCD是0的内接四边形，∠D=50°则∠ABC=130° 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE=105°。 圆内接四边形性质2:圆内接四边形任意一个外角等于和它相邻的内角的对角. 补充：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 四．经典例题 例1.（2025·盐城亭湖期末）下列角属于圆周角的是（ ） A.顶点在圆心，两边交圆 B.顶点在圆上，一边切圆 C.顶点在圆上，两边与圆各有交点 D.顶点在圆内，两边延长交圆 【答案】：C 【解析】：圆周角两大条件：顶点在圆上、两边都与圆相交；A是圆心角，B、D不满足定义。 例2.（2024·苏州吴中期末）⊙O中，弧AB对应的圆心角\angle AOB=80^\circ，则弧AB所对圆周角为（ ） A.40 B.80 C.100 D.160° 【答案】：A 【解析】：圆周角=同弧圆心角的一半，80°÷2=40°。易错：直接照搬圆心角度数。 例3.（2026·南通通州一模）AB是⊙O直径，点C在圆上，则∠ACB度数一定是（ ） A.60° B.90° C.120° D.180° 【答案】：B 【解析】：推论2，直径所对圆周角恒为直角90°。 例4.（2025·泰州姜堰期末）圆内接四边形ABCD，∠A=70°，则对角∠C为（ ） A.70° B.90° C.110° D.130° 【答案】：C 【解析】：圆内接四边形对角互补，180°-70°=110°。 例5．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（　　） A．85° B．75° C．70° D．65° 【答案】D 【解析】连接OC，如图，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∴．解法二：因为AB是直径，所以∠ACB＝90°所以∠BDC＝∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°．故选：D． 例6．如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝105°，则∠α的度数为（　　） A．150° B．130° C．105° D．75° 【答案】A 【解析】优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，∵四边形ACBD内接与⊙O，∠ACB＝105°，∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣105°＝75°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×75°＝150°． 故选：A． 例7. 如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 解：（1）连接，如图，∵，，∴，∴， ∴，而，得，∴，而，∴，∴． （2）由（1）得，，又， ∴ ∴弧的度数为． 例8.如图，⊙O的直径AB＝10，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD. (1)判断△ABD的形状，并说明理由； (2)若弦AC＝6，求BC的长． 解：(1)△ABD是等腰直角三角形．理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵CD是∠ACB的平分线，∴＝，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形． (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝＝8. 例9．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD，AC于点F，G. (1)判断△FAG的形状，并说明理由； (2)如图②，若点E和点A在BC的两侧，BE，AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明理由． 解：(1)△FAG是等腰三角形．理由如下：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C.∵＝，∴∠ABE＝∠E＝∠C， ∴∠ABE＝∠BAD.∵∠BAD＋∠CAD＝90°，∠ABE＋∠AGB＝90°，∴∠CAD＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形． (2)成立．理由如下：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C.∵＝，∴∠ABE＝∠C，∴∠ABE＝∠BAD.∵∠BAD＋∠CAD＝90°，∠ABE＋∠AGB＝90°，∴∠CAD＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形． 例10.如图，为的直径，点，都在上，且平分，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 解：（1）证明：∵平分，∴，∵， ∴； （2）如图，作于点，∴，∵为的直径， ∴，∵平分，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理得：， ∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴的半径为． 五．夯实基础 （一）选择题 1．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．50° C．40° D．80° 【答案】C 【解析】∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣100°＝80°，∴∠D＝∠AOC＝40°，故选：C． 2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为（　　） A．28° B．42° C．56° D．62° 【答案】C 【解析】∵OC⊥AB交⊙O于点C，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC，∵∠ADC＝28°，∴∠AOC＝2∠ADC＝56°，∴∠BOC的度数为56°．故选：C． 3．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠ACB＝∠AOB，则∠AOB的度数是（　　） A．60° B．90° C．100° D．120° 【答案】D 【解析】如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD．∵∠ACB+∠ADB＝180°，∠ACB＝∠AOB＝2∠ADB，∴2∠ADB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝60°，∴∠AOB＝2∠ADB＝120°，故选：D． 4．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】D 【解析】∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， 由圆周角定理得，∠A＝∠BOC＝50°，故选：D． 5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若∠AOD＝110°，则∠BCD等于（　　） A．25° B．35° C．55° D．70° 【答案】B 【解析】连接AC，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AOD＝110°，∴∠ACD＝55°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝35°，故选：B． 6．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（　　） A．40° B．50° C．55° D．70° 【答案】D 【解析】∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠E＝∠FOB＝70° 故选：D． 7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（　　） A．36° B．44° C．54° D．56° 【答案】C 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵＝，∴∠ABD＝∠ACD＝36°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，故选：C． 8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】A 【解析】连接BE，如图，∵四边形BCDE为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∴∠BED＝180°﹣100°＝80°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠BED＝90°﹣80°＝10°．故选：A． （二）填空题 9.（2026·盐城滨海二模）弦对应的两个圆周角之和为________° 【答案】：180 【解析】：优弧、劣弧对应圆周角互补。 10．如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是上任意一点，连接BE、CE．则∠BEC的度数为________. 【答案】30° 【解析】连接AC，如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BEC＝∠BAC＝30°． 11.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的度数为________. 【答案】50° 【解析】∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝25°，∴∠AOC＝50°， 12.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，则∠BDC的度数为________. 【答案】39° 【解析】连接AC，如图，∵∠ACD＝∠ABD＝63°，∠DCO＝24°，∴∠ACO＝∠ACD﹣∠DCO＝63°﹣24°＝39°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝39°，∴∠BDC＝∠A＝39°． （三）解答题 13.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝13，BC﹣AC＝7，求CE的长.  解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB， ∴∠B＝∠D (2)设BC＝x，则AC＝x﹣7，  在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即(x﹣7)2＋x2＝132，解得：x1＝12，x2＝﹣5(舍去)，∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB， ∴CE＝CB＝12 14．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径． 解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2AO＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径，∴⊙C的半径为4 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证： (1)AD＝CD； (2)AB是⊙O的直径． 解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD　 (2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，∴AB是⊙O的直径 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·徐州铜山期末）下列图形中，能直接用圆周角定理推论得到直角的是（ ） A.两条半径夹角 B.直径与圆上一点相连形成的三角形内角 C.任意弦对应的角 D.圆内接四边形内角 【答案】：B 【解析】：直径所对圆周角为直角，对应推论2。 2.（2026·盐城射阳二模）下列条件不能判定直角三角形的是（ ） A.三角形一边为圆的直径，三顶点共圆 B.三角形一个内角为90°圆周角 C.三角形两边相等 D.三角形外接圆直径等于一条边长 【答案】：C 【解析】：两边相等只能判定等腰，无法判定直角；其余三项均可结合圆周角推论证直角。 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝26°，则∠ABC＝（　　） A．26° B．52° C．64° D．74° 【答案】C 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC+∠CDB＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣26°＝64°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝64°，故选：C． 4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（　　） A．35° B．55° C．60° D．70° 【答案】D 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠D＝55°，∴∠BAC＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：D． 5．如图，已知⊙O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，则∠AOC＝（　　） A．∠BOC B．∠ABC C．2∠BOC D．2∠ABC 【答案】D 【解析】∵圆周角∠ABC所对的弧是，圆心角∠AOC所对的弧是，∴∠ABC＝∠AOC， ∴∠AOC＝2∠ABC，故选：D． 6．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　） ①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'， ∴AC＝CD'＝CD，故①正确；∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；∴＝，由折叠得：＝，∴+＝；故③正确；延长OD交⊙O于E，连接CE， ∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A． 7．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠BCD＝（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 【答案】C 【解析】连接AC，∵∠ABC＝50°，四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＝130°，∵点D是弧AC的中点，∴CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC＝25°，∵AB是直径，∴∠BCA＝90°，∴∠BCD＝∠BCA+∠DCA＝115°，故选：C． 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝6，∠BAC＝∠BOD，则BE的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】连接OC，如图，∵∠BAC＝∠BOC，而∠BAC＝∠BOD，∴∠BOC＝∠BOD，∴＝，∴AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝3，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝6﹣r，在Rt△OCE中，32+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，∴BE＝AB﹣AE＝2×﹣6＝．故选：B． 9．如图，点B，C，D在⊙A上，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　　） A．68° B．78° C．88° D．98° 【答案】C 【解析】∵∠BDC＝∠BAC＝×44°＝22°，∴∠CBD＝2∠BDC＝2×22°＝44°， ∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CAD＝2×44°＝88°．故选：C． 10．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 【答案】D 【解析】∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故选：D． （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）圆周角定理推导用到的数学思想是________（分类讨论） 【答案】：分类讨论 【解析】：圆心在角内部、边上、外部三类分类证明定理，课本核心思想。 12.（2026·盐城大丰一模）等弧对应的圆心角、圆周角、弦心距全部________ 【答案】：相等 【解析】：同圆中等弧所有对应量全部相等，串联前一节圆的对称性知识点。 13.（2026·盐城阜宁二模）弧MN对应圆周角56°，则优弧MN对应的圆周角为________° 【答案】：124 【解析】：互补180-56=124。 14．如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为________. 【答案】124° 【解析】作所对的圆周角∠APB，如图，∵OC⊥AB，OA＝OB，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠APB＝∠AOB＝56°，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°． 15．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　） 【答案】30° 【解析】∵∠AOC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30° 16如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝70°，则∠OAB的度数是__________. 【答案】20° 【解析】∵∠ACB＝70°，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝20°， 17．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　） 【答案】2 【解析】连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，∵∠DCE＝100°，∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，∵点D关于AB对称的点为E，∴∠BAD＝∠BAE＝40°，∴∠BOD＝∠BOE＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠COD＝40°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°， ∵OE＝OC，OH⊥CE，∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，∵直径AB＝4，∴OE＝OC＝2，∴EH＝CH＝，∴CE＝2． 18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） 【答案】110° 【解析】连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠ADE＝∠ACE＝20°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°， 19．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 　 ． 【答案】16 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB＝AB＝＝4，∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为 CD2＝16，故答案为：16． 20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为_______. 【答案】1+ 【解析】连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+。 （三）解答题 21．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由． 解：作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAO， ∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线． 22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B＝∠D； （2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长． 解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D； （2）设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42， 解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+． 23.已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC． （1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE； （2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长． 解：（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE． （2）如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD， ∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵＝，∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3． 24．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E. (1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数； (2)求证：∠BAC＝2∠DAC. 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝70°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°. (2)证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°.∴∠ACB＝90°－∠CBD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°－∠CBD.∴∠BAC＝180°－2∠ABC＝2∠CBD.∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC. 25. 如图，在半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在 　上运动． (1) 当点P与点C关于直线AB对称时，求CP的长； (2) 当点P运动到　的中点时，求CP的长； (3) 当点P在　上运动时，求CP的长的取值范围． 解：(1) 因为点P与点C关于直线AB对称，所以CP⊥AB，设垂足为D.因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.因为AB＝10，且BC∶AC＝4∶3，所以BC＝8，AC＝6.因为AC·BC＝AB·CD， 所以CD＝4.8，所以CP＝2CD＝9.6. (2) 当点P运动到 的中点时，连接PA，PB，过点B作BE⊥PC，垂足为E.因为P是弧AB的中点，所以AP＝BP＝5，∠ACP＝∠BCP＝45°.因为BC＝8，所以CE＝BE＝4.又因为PB＝5，所以PE＝＝3，所以CP＝CE＋PE＝7. (3) 当点P在 上运动时，恒有CP≥CA，即CP≥6；当CP过圆心O时，PC取最大值10， 所以CP的长的取值范围是6≤CP≤10. 26.【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考] （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． 解：（1），． 故答案为：50，130； （2）当在优弧上时，；当在劣弧上时，；故答案为：或 （3）如图（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形． 证明：∵为的直径，∴，在中，∵点C在上，由（2）得，∴（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）如图， ∵△ABC为等边三角形，∴，，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴点P的运动轨迹是，∴．连接CO，∵， ∴，∴，， ∴，在中，设，则， 根据勾股定理得，解得，∴，， ∵，∴，∴的最小值为．故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册11 《第3章圆第4节圆周角》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   准确辨析圆周角，牢记圆周角两大判定条件，区分圆心角与圆周角。 2.   掌握圆周角定理及其三条核心推论，能完成角度换算、线段计算、几何简单证明。 3.   理解圆内接四边形定义，熟练运用 “ 对角互补、外角等于内对角 ” 两条性质解题。 4.   学会构造直径辅助线、同弧圆周角转化两种常用圆几何辅助线思路，融合三角形内角、勾股定理综合解题。 5.   规避江苏中考高频易错点：忽略 “ 同弧/等弧 ” 前提、弦对应圆周角双解遗漏、直径推论不会构造直角、圆内接四边形内外角混淆。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   圆周角定理：圆周角=同弧圆心角的 ； 2.   两大推论： ① 同弧/等弧圆周角相等 ② 直径所对圆周角为90 ° ； 3.   圆内接四边形对角互补性质应用。 （二）难点 1.   一条弦对应两类弧，圆周角存在双解（锐角/钝角）分类讨论； 2.   无直角条件时，作直径构造90 ° 圆周角辅助线； 3.   圆周角、垂径定理、三角形、平行线综合几何证明； 4.   圆内接四边形外角与内对角转化综合题型。 ) 三．自主探究 （一）圆周角定义（两个条件缺一不可） 【观察思考】 图中的∠BA1C,∠BA2C,∠BA3C有什么共同特征? 1.定义：像图中∠BA1C,∠BA2C,∠BA3C这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.理解：两个条件缺一不可 （1）顶点在圆上； （2）角的两边都与圆另有一个交点。 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 ⚠️易错：顶点在圆心是圆心角；顶点在圆内/圆外、一边相切都不是圆周角。 （二）圆周角定理 【思考探究】 如图,AB为☉O的直径,∠BOC,∠BAC分别是所对的圆心角、圆周角,则图①②③中∠BAC的度数分别是_____, ____, ______. 如图AB为☉O的直径 (1)设所对的圆周角为∠BAC,除了圆心O在∠BAC的一边上外,圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系? (2)对于这几种位置关系,结论∠BAC=∠BOC还成立吗?试给出证明. 【归纳】 圆周角定理：一条弧所对的圆周角，等于这条弧所对圆心角度数的一半。 （三）圆周角定理三大推论（江苏考试必考） 推论1：同弧或等弧所对的所有圆周角相等；等圆周角对应等弧。 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是直角（90°）；反之，90°的圆周角所对弦为直径。 推论3：一条弦分圆为优弧、劣弧两段，对应两组圆周角互补（和为180°），做题必须分两类讨论。 （四）圆内接四边形 1.圆内接多边形的定义 如果一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形;这个圆叫做这个多边形的外接圆如图，四边形ABCD是0的内接四边形，0是四边形ABCD的外接圆。 2.性质 【思考】圆内接四边形的四个角之间有什么关系? 【猜想】:∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º 已知:如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形 求证：∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º 圆内接四边形性质1:圆内接四边形的对角互补. 如图，四边形ABCD是0的内接四边形，∠D=50°则∠ABC=130° 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE=105°。 圆内接四边形性质2:圆内接四边形任意一个外角等于和它相邻的内角的对角. 补充：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 四．经典例题 例1.（2025·盐城亭湖期末）下列角属于圆周角的是（ ） A.顶点在圆心，两边交圆 B.顶点在圆上，一边切圆 C.顶点在圆上，两边与圆各有交点 D.顶点在圆内，两边延长交圆 例2.（2024·苏州吴中期末）⊙O中，弧AB对应的圆心角\angle AOB=80^\circ，则弧AB所对圆周角为（ ） A.40 B.80 C.100 D.160° 例3.（2026·南通通州一模）AB是⊙O直径，点C在圆上，则∠ACB度数一定是（ ） A.60° B.90° C.120° D.180° 例4.（2025·泰州姜堰期末）圆内接四边形ABCD，∠A=70°，则对角∠C为（ ） A.70° B.90° C.110° D.130° 例5．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（　　） A．85° B．75° C．70° D．65° 例6．如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝105°，则∠α的度数为（　　） A．150° B．130° C．105° D．75° 例7. 如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 例8.如图，⊙O的直径AB＝10，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD. (1)判断△ABD的形状，并说明理由； (2)若弦AC＝6，求BC的长． 例9．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD，AC于点F，G. (1)判断△FAG的形状，并说明理由； (2)如图②，若点E和点A在BC的两侧，BE，AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明理由． 例10.如图，为的直径，点，都在上，且平分，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 五．夯实基础 （一）选择题 1．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．50° C．40° D．80° 2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为（　　） A．28° B．42° C．56° D．62° 3．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠ACB＝∠AOB，则∠AOB的度数是（　　） A．60° B．90° C．100° D．120° 4．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若∠AOD＝110°，则∠BCD等于（　　） A．25° B．35° C．55° D．70° 6．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（　　） A．40° B．50° C．55° D．70° 7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（　　） A．36° B．44° C．54° D．56° 8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° （二）填空题 9.（2026·盐城滨海二模）弦对应的两个圆周角之和为________° 10．如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是上任意一点，连接BE、CE．则∠BEC的度数为________. 11.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的度数为________. 12.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，则∠BDC的度数为________. （三）解答题 13.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝13，BC﹣AC＝7，求CE的长.  14．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证： (1)AD＝CD； (2)AB是⊙O的直径． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·徐州铜山期末）下列图形中，能直接用圆周角定理推论得到直角的是（ ） A.两条半径夹角 B.直径与圆上一点相连形成的三角形内角 C.任意弦对应的角 D.圆内接四边形内角 2.（2026·盐城射阳二模）下列条件不能判定直角三角形的是（ ） A.三角形一边为圆的直径，三顶点共圆 B.三角形一个内角为90°圆周角 C.三角形两边相等 D.三角形外接圆直径等于一条边长 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝26°，则∠ABC＝（　　） A．26° B．52° C．64° D．74° 4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（　　） A．35° B．55° C．60° D．70° 5．如图，已知⊙O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，则∠AOC＝（　　） A．∠BOC B．∠ABC C．2∠BOC D．2∠ABC 6．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　） ①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠BCD＝（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝6，∠BAC＝∠BOD，则BE的长为（　　） A． B． C． D．2 9．如图，点B，C，D在⊙A上，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　　） A．68° B．78° C．88° D．98° 10．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）圆周角定理推导用到的数学思想是________（分类讨论） 12.（2026·盐城大丰一模）等弧对应的圆心角、圆周角、弦心距全部________ 13.（2026·盐城阜宁二模）弧MN对应圆周角56°，则优弧MN对应的圆周角为________° 14．如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为________. 15．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　） 16如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝70°，则∠OAB的度数是__________. 17．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　） 18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） 19．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 　 ． 20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为_______. （三）解答题 21．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由． 22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B＝∠D； （2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长． 23.已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC． （1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE； （2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长． 24．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E. (1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数； (2)求证：∠BAC＝2∠DAC. 25. 如图，在半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在 　上运动． (1) 当点P与点C关于直线AB对称时，求CP的长； (2) 当点P运动到　的中点时，求CP的长； (3) 当点P在　上运动时，求CP的长的取值范围． 26.【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考] （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $