第17讲 点与圆、直线与圆的位置关系（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第17讲 点与圆、直线与圆的位置关系（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+5个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 点与圆、直线与圆的位置关系 同学们，数学往往就藏在我们身边最生动的画面里。请大家想象一个壮丽的自然场景：一轮红日从辽阔的海平面上冉冉升起。在这个动态的过程中，如果我们把海平面看作一条直线，把太阳看作一个圆，随着太阳的升起，它与海平面的位置关系会发生奇妙的变化。 最初，太阳还在海平面以下，两者没有任何交集；接着，太阳的边缘刚好触及海平面，两者紧紧相贴；最后，太阳跃出海面，与海平面产生了两个交点。这短短几分钟的日出过程，完美地浓缩了直线与圆的三种位置关系。 除了直线与圆，点和圆的位置关系同样充满趣味。回想一下我们在运动会上玩过的飞镖游戏，或者奥运会上激动人心的射击比赛。靶盘是由许多同心圆组成的，当飞镖或子弹击中靶盘时，落点与靶心（圆心）的距离决定了它所处的位置。落点可能在靶心区域（圆内），可能刚好扎在某一圈环线边缘（圆上），也可能偏离靶盘（圆外）。 无论是日出的海平面，还是飞镖的靶盘，这些生活中的现象都蕴含着严谨的几何规律。 今天，就让我们从这些生动的场景出发，一起探究点与圆、直线与圆的位置关系，看看如何用数学的语言来精确描述它们！ 【知识点1 点与圆的位置关系】 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 【知识点2 直线与圆的位置关系】 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 【知识点3 切线的判定与性质】 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【知识点4 切线长及切线长定理】 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【知识点5 三角形的内切圆】 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型1 判断点与圆的位置关系】 【例1】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在内． 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级下·广东江门·期中）若圆O的直径为8，的长为4，则点P在圆O________（填“上”或“内”或“外”） 【答案】上 【分析】根据圆的直径求出圆的半径，再根据的长与半径的关系，求解即可． 【详解】解：由圆的直径为，可得圆的半径， 由可得， 根据点与圆的位置关系，当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上， 则答案为：上 【变式1-2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 【答案】或 【分析】根据直线与圆的位置关系可进行求解． 【详解】解：∵三个圆的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点P在上，则点P到直线l的距离； 若点P在或上，则点P到直线l的距离可以为8． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在_______． 【答案】圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系判定．熟练掌握点与圆的位置关系判定是解题的关键． 根据圆的面积公式求出半径，再比较点P到圆心O的距离与半径的大小，确定位置关系． 【详解】由的面积是，得，解得． ∵， ∴点在外． 故答案为圆外． 【题型2 根据点与圆的位置关系求半径】 【例2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知的半径是2，若点在外，则的长可能为_______．（填一个符合条件的数即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点在圆外得到，即可求解． 【详解】解：∵的半径是2，若点在外， ∴， ∴的长可能为3（答案不唯一）， 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式2-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 【变式2-3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为； ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：或． 【题型3 判断直线与圆的位置关系】 【例3】（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆的位置关系：①当时，直线与相交；②当时，直线与相切；③当时，直线与相离；据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，掌握好切线的定义是关键． 圆的切线指的是与圆只有一个公共点的直线，根据定义判断选项即可． 【详解】解：根据直线与圆的公共点个数判断位置关系如下： 对于选项A：与没有公共点，则与相离，故A错误； 对于选项B：与有两个公共点，则与相交，故B错误； 对于选项C：与有两个公共点，则与相交，故C错误； 对于选项D：与只有一个公共点，则与相切，故D正确． 故选：D． 【变式3-2】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 【变式3-3】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，是边上的中点．连接，以点为圆心，为半径作圆．，则直线与的位置关系是_____． 【答案】相离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，等腰三角形三线合一． 根据三线合一得到，根据勾股定理求出，作交于，根据等面积法求出，即可判断． 【详解】解：∵，，是边上的中点， ∴， ∴， 作交于， ∴， 解得：， 即直线与的位置关系是相离． 故答案为：相离． 【题型4 根据直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 【例4】（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径得出，再根据r为整数且，即可得出答案． 【详解】∵直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离．已知， ∴，即， 又∵r为整数且， ∴r可取1，2，3． 故答案为：3 【变式4-1】（24-25九年级下·浙江·单元复习）直线和圆相交，圆的半径为r，且圆心到直线的距离为5，则有（ ） A． B． C．r=5 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直线和相交 ．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线与半径的相交，且点到直线的距离，． 【详解】解：直线与半径的相交，且点到直线的距离为， ． 故选：B． 【变式4-2】（2025九年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出圆心到的距离为2.4，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， 的面积， ，即圆心到的距离， 以为圆心的与边有交点，则的取值范围是：． 故选B． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 【题型5 根据直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例5】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式5-1】已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系， 根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d， ∴直线l与相切或相交， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为________； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为________． 【答案】 5 【分析】（1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，于是得到结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1， ， 当点在圆外且，，三点共线时，点到直线的距离最大， 最大值为； （2）如图2，，是直线与的公共点，当线段的长度最大时， 线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 【变式5-3】已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为______； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为______． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理， （1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论； 正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， ∵，的半径是，， ∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大， 最大值为：， 故答案为：； （2）如图2， ∵，是直线与的公共点，线段的长度最大， ∴线段是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【题型6 切线的概念辨析】 【例6】当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 【变式6-1】下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．圆内接四边形对角互补 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，圆的相关概念，根据有关概念性质和性质进行判定即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误，不符合题意； B、不在同一直线上得三点确定一个圆，故错误，不符合题意； C、经过半径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线，故错误，不符合题意； D、圆内接四边形对角互补，是圆内接四边形的性质，故正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 【变式6-3】如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定和性质．根据题意可得直线与切于点，再根据角的直角三角形的性质可得结论．掌握切线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，，设交点为， ∴直线与切于点，， 连接， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 【题型7 切线的判定】 【例7】有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的判定．根据切线的判定定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴直线是的切线，故甲同学的答案正确； ∵是的直径， ∴， 若，无法确定的度数，故乙同学的答案错误； 若， ∴， 即， ∴直线是的切线，故丙同学的答案正确； 故选：C 【变式7-1】如图，内接于，过A点作直线，当（    ）时，直线与相切． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与⊙O相切． 【详解】解：当 时，直线与相切． 理由如下： 作AF交圆O于F点，连接BF． ∵∠F，∠C是同弧AB所对的角， ∴∠C＝∠F， ∵∠BAE＝∠C， ∴∠BAE＝∠F， ∵AF为直径， ∴∠ABF＝90°， ∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°， ∵∠F＝∠BAE， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴FA⊥DE， ∴直线DE与⊙O相切． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°． 【变式7-2】（25-26九年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，由圆的半径相等得，由等边对等角，直径对的圆周角是和两角互余，证得即可解答． 【详解】证明：如图，连接． ，． 又， ．     是的直径， ． ， ． 又是的半径， 是的切线． 【变式7-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【题型8 切线的性质定理】 【例8】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 【答案】/74度 【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，为的半径，为的切线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵为的切线， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查切线的性质和圆内接四边形的性质．分别连接，，根据四边形内角和求出的度数，再利用圆周角定理求得即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是的内切圆，分别切，，于点，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8-3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，为外接圆的直径，且与相切于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键． 连接，先根据圆周角定理可得，根据圆的切线的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后根据圆周角定理可得，由此即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵为外接圆的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴． 【题型9 切线的判定与性质的综合】 【例9】如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【分析】本题考查切线的判定和性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，作轴于 E，轴于 H，连接 ，根据切线的性质即得出．根据平行线的性质可求出，由切线长定理可知．即易证，得出，．设，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出、的长，再根据等积法可求出的长，再次利用勾股定理可求出的长，即得出C点坐标，正确的作出辅助线构造全等三角形是关键． 【详解】解：如图，作 轴于 E， 轴于 H，连接， ∵，， ∴，， 轴， ∴为的切线， ∵直线与切于点C， ∴，， 在 和 中 ， ∴， ∴，， 设 ，则，， 在 中，，即， 解得， ∴，， ∵ ∴ ， ∴ =， 在 中， ， ∴C点坐标为 ， ． 故选：C． 【变式9-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知平分是上任意一点，与相切于点．求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】根据切线的判定定理，证明圆心到的距离等于圆的半径．结合角平分线的性质以及与⊙相切的条件来推导． 【详解】解：如图，连接，过点作于点． 与相切于点，． 又是平分线上一点， ，即是的半径， 与相切． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质，解题关键是熟练运用切线的判定与性质定理，结合角平分线的性质，将证明切线的问题转化为证明点到直线的距离等于半径的问题． 【变式9-2】（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的性质及判定，全等三角形的判定和性质，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．如图，连接，由“垂径定理”可知，垂直平分，所以，可证明，所以，由切线的性质可知， ，所以．即，由此可得结论． 【详解】证明∶ 如图，连接． ，经过圆心， 垂直平分． ． 在和中 ． ． 是的切线， ． ．即． 是的切线． 【变式9-3】如图，已知是上一点，是直径，的平分线交于点，的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若， ①若，则________． ②作关于直线对称的，连接，，当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）先由切线的性质得到，由角平分线的定义得到，再由圆周角定理得到，，则，证明得到，即可证明结论； （2）①先证明，则由垂径定理可得，则，进而求出，即可得到； ②如图所示，由菱形的性质可得，，进而证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵是上一点， ∴为的切线； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，菱形的性质，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 【题型10 切线长定理】 【例10】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，是的切线，切点分别是．若，则的长为__． 【答案】5 【分析】本题主要考查了切线长定理，由切线长定理可得，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的切线，切点分别是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式10-1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，，分别与相切于，两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．18 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质等知识，先运用切线长得到，从而判定是等边三角形，从而得解． 【详解】解：∵，分别与相切于，两点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：A． 【变式10-2】已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D． （1）求证：BC=CD；   （2）求证：∠ADE=∠ABD； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴OB⊥BC ∵OB是⊙O的半径， ∴CB为⊙O的切线． 又∵CD切⊙O于点D， ∴BC=CD； （2）证明：∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE=90°． ∴∠ADE+∠CDB=90°． 又∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBD=90°． 由（1）得BC=CD， ∴∠CDB=∠CBD ∴∠ADE=∠ABD； 考点：切线的判定与性质． 【变式10-3】如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，    与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 【题型11 三角形的内切圆】 【例11】如图，已知为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，求的半径．    【答案】的半径为2． 【分析】连接，由勾股定理可计算出AC的长，根据面积关系，即可求得半径． 【详解】解：如图，连接，    ∵为的内切圆，切点分别为D、E、F ∴，且， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵ ∴ 即 ∴， 即的半径为2． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理，图形的面积等知识，利用面积关系解答是关键． 【变式11-1】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（   ） A． B． C．7cm D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，设与相切于点，，，与相切于点，则，，，，，然后三角形的周长公式和等线段代换即可得到结论，解题的关键是熟练掌握切线长定理． 【详解】解：如图，设与相切于点，，，与相切于点， ∴，，，，， ∵三角形纸片的周长是 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三角形纸片的周长是， 故选：． 【变式11-2】如图，在△ABC中，AB=3，AC=2.25，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么=（   ） A．2 B．1.25 C．1.5 D． 【答案】C 【分析】如图，根据切线长定理可得AE=AG，BE=BF，DG=DF，根据已知条件可得AE=AG=BE=BF=1.5，再根据三角形的面积S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1即可求解． 【详解】解：如图，设⊙O与△ABD内切于E、F、G． ∴DG=DF，AE=AG，BE=BF， ∵DA=DB， ∴BF=AG=BE=AE， ∵AB=3， ∴AE=BE=BF=AG=1.5， 设DF=DG=m， ∵AD=2DC， ∴ ∵S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1， ， ∴r1：r2=3：2=1.5 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的面积公式：（r为内切圆半径）等知识，解题的关键是灵活运用切线长定理，学会利用参数解决问题，有一定的难度． 【变式11-3】（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出斜边的长，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （2）过点作，设，则，利用勾股定理，建立方程，求出，进而求出，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （3）根据材料中内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：∵两条直角边长为3和4， ∴斜边的长为：， ∵出的面积为：， 根据材料： 它的内切圆半径为:； （2）解：如图2，过点作， 则， ∴， 中，，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为， 根据材料： 的内切圆半径为:； （3）解：， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养． 【题型12 三角形的内心有关应用】 【例12】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，满足三角形内心在上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内心、基本尺规作图，根据三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点可得答案． 【详解】解：由题意，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，选项A中是该三角形的角平分线，符合题意， 故选：A． 【变式12-1】如图，在中，点O是的内心，，_____． 【答案】114 【分析】利用内心的定义，OB，OC都是角平分线，因此可求出∠OBC与∠OCB的和，从而得到∠BOC的度数． 【详解】解：∵O是△ABC的内心， ∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-48°）=66°， ∴∠BOC=180°-66°=114°． 故答案为：114． 【点睛】此题主要考查了三角形的内心性质，理解三角形内心的定义，记住三角形内角和定理是解题的关键． 【变式12-2】如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线DGBC． (1)若，则______； ______． (2)求证：； (3)求证：DG是的切线C． 【答案】(1)80°，130°； (2)见解析过程； (3)见解析过程． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB＝125°； （2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD； （3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接BD，OD， ∵， ∴∠ACB＝∠ADB＝80°， ∴∠ABC+∠BAC＝100°， ∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE， ∴∠BAE+∠ABE＝50°， ∴∠AEB＝130°， 故答案为：80°，130°； （2）证明：∵∠BAE＝∠CAE， ∴＝， ∴BD＝CD， ∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE， ∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE， ∴BD＝DE， ∴DE＝CD； （3）证明：∵＝， ∴OD⊥BC， ∵DG∥BC， ∴OD⊥DG， 又∵OD是半径， ∴DG是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式12-3】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到，再由内心性质得到，，结合外角性质得到，再由，等量代换即可得到，结合等腰三角形的判定与性质即可得证； （2）由（1）知，再由圆周角定理及三角形内角和定理可得，再由三角形内心的性质得到，，然后在中，由三角形内角和定理代值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 点是的内心， 平分，平分， ，， 在中， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及同弧所对的圆周角相等、三角形内心性质、角平分线定义、外角性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内心等相关几何性质，掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 模块三 课后作业 1．（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 3．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 5．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（   ） A．64° B．120° C．122° D．128° 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数． 【详解】在⊙O中， ∵∠CBD=32°， ∴∠CAD=32°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAC=64°， ∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°， ∴∠BEC=180°-58°=122°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数． 6．（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【答案】或． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据点P与圆的位置关系分类讨论：当点P在圆外时，当点P在圆内时，分别求解即可． 【详解】如图所示，当点P在圆内时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 如图所示，当点P在圆外时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 综上所述，的半径是或． 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·新疆·期中）的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是_______；若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是_______ 【答案】 圆外 相离 【分析】此题考查的是点、直线与圆的位置关系，根据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断点与圆的位置关系．若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与半径的大小；根据直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小． 【详解】对于点P：∵点P到圆心O的距离为，的半径为，且， ∴点P在外． 对于直线l：∵圆心O到直线l的距离为，的半径为，且， ∴直线l与相离． 故答案为：圆外；相离． 8．（2026·安徽·模拟预测）如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，由是的切线，则有，根据直角三角形两个锐角互余得出，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 _________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、切线的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，利用得，可得，再根据切线的判定及性质可判断①，利用三角形的判定及性质得，再根据菱形的判定即可判断②，利用含角的直角三角形的特征可判断③，利用菱形的性质可判断④，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， ，，， ， ， 与相切于点C， ， ， 是的直径， 与相切；故①正确； ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ∵四边形是菱形， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 12．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理和切线的判定定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“直径所对的圆周角是直角”得，计算即可求解； （2）连接，根据角之间的关系，易求，根据切线的判定定理即可求证． 【详解】（1）解： 为的直径， ，即是直角三角形， ， ； （2）证明：如图，连接， ，， ， ， ， ，即， 又 是半径， 是的切线． 13．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器，图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等； 与 垂直于点 ，够长． 使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 在边 上，半圆 与另一边 恰好相切，切点为 ，则，就把 三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明． 请你根据已知和求证，写出证明过程． 已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点 ，，与半圆 相切于点 ． 求证：． 【答案】见解析 【分析】通过证明，得到，通过证明，得到，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质、判定定理． 【详解】解：， ， 又， ， ， 与半圆 相切于点 ， ， ， ， ， ． 14．用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：    (1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线； (2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图−复杂作图、也考查了切线的判定．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 （1）以为圆心，大于为半径画弧，再以为圆心，适当长度为半径画弧，分别相交于点M、N， 连接，点P在直线（直线）上，即可得直线过P点作的切线得到直线； （2）连接，作的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，为半径作圆交于A、B，则直线、满足条件． 【详解】（1）解：如图①，切线为所作：    （2）解：如图②，切线为所作：      15．如图，在△AEF中，点O是AF上的一点，以点O为圆心，AO为半径的⊙O与△AEF的三边分别交于点B、C、D． 给出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线 ． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由 ． (2)在（1）的情况下，若AO＝2，DF＝，求BF的长 ． 【答案】(1)①②，③（答案不唯一）理由见解析 (2)4 【分析】（1）根据切线的性质与判定任选2个作为条件，剩下的一个作为结论； （2）连接，在直角三角形ODF中利用勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：选择条件是①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；结论是③直线EF是⊙O的切线．理由如下， 连接， AD平分∠EAF； ， ， ， ， ， ， ， ， 直线EF是⊙O的切线． 故答案为：①②，③ 选择条件是①AD平分∠EAF；③直线EF是⊙O的切线；结论是②∠AEF＝90°．理由如下， 连接， AD平分∠EAF； ， ， ， ， ， 直线EF是⊙O的切线． ， ， ， 选择条件是②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线；结论是①AD平分∠EAF．理由如下， 连接，直线EF是⊙O的切线，， ，， ， ， ， ， ， AD平分∠EAF； （2）连接，直线EF是⊙O的切线， ， 在直角三角形ODF中，由勾股定理得， AO＝2，DF＝， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 点与圆、直线与圆的位置关系（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+5个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 点与圆、直线与圆的位置关系 同学们，数学往往就藏在我们身边最生动的画面里。请大家想象一个壮丽的自然场景：一轮红日从辽阔的海平面上冉冉升起。在这个动态的过程中，如果我们把海平面看作一条直线，把太阳看作一个圆，随着太阳的升起，它与海平面的位置关系会发生奇妙的变化。 最初，太阳还在海平面以下，两者没有任何交集；接着，太阳的边缘刚好触及海平面，两者紧紧相贴；最后，太阳跃出海面，与海平面产生了两个交点。这短短几分钟的日出过程，完美地浓缩了直线与圆的三种位置关系。 除了直线与圆，点和圆的位置关系同样充满趣味。回想一下我们在运动会上玩过的飞镖游戏，或者奥运会上激动人心的射击比赛。靶盘是由许多同心圆组成的，当飞镖或子弹击中靶盘时，落点与靶心（圆心）的距离决定了它所处的位置。落点可能在靶心区域（圆内），可能刚好扎在某一圈环线边缘（圆上），也可能偏离靶盘（圆外）。 无论是日出的海平面，还是飞镖的靶盘，这些生活中的现象都蕴含着严谨的几何规律。 今天，就让我们从这些生动的场景出发，一起探究点与圆、直线与圆的位置关系，看看如何用数学的语言来精确描述它们！ 【知识点1 点与圆的位置关系】 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 【知识点2 直线与圆的位置关系】 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 【知识点3 切线的判定与性质】 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【知识点4 切线长及切线长定理】 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【知识点5 三角形的内切圆】 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型1 判断点与圆的位置关系】 【例1】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【变式1-1】（25-26八年级下·广东江门·期中）若圆O的直径为8，的长为4，则点P在圆O________（填“上”或“内”或“外”） 【变式1-2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在_______． 【题型2 根据点与圆的位置关系求半径】 【例2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知的半径是2，若点在外，则的长可能为_______．（填一个符合条件的数即可） 【变式2-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为______． 【题型3 判断直线与圆的位置关系】 【例3】（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式3-1】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【变式3-3】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，是边上的中点．连接，以点为圆心，为半径作圆．，则直线与的位置关系是_____． 【题型4 根据直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 【例4】（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【变式4-1】（24-25九年级下·浙江·单元复习）直线和圆相交，圆的半径为r，且圆心到直线的距离为5，则有（ ） A． B． C．r=5 D． 【变式4-2】（2025九年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【题型5 根据直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例5】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围__________． 【变式5-2】如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为________； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为________． 【变式5-3】已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为______； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为______． 【题型6 切线的概念辨析】 【例6】当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 【变式6-1】下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．圆内接四边形对角互补 【变式6-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【变式6-3】如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【题型7 切线的判定】 【例7】有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 【变式7-1】如图，内接于，过A点作直线，当（    ）时，直线与相切． A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 【变式7-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【题型8 切线的性质定理】 【例8】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 【变式8-1】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，为的半径，为的切线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，为外接圆的直径，且与相切于点．求证：． 【题型9 切线的判定与性质的综合】 【例9】如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【变式9-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知平分是上任意一点，与相切于点．求证：与相切． 【变式9-2】（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 【变式9-3】如图，已知是上一点，是直径，的平分线交于点，的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若， ①若，则________． ②作关于直线对称的，连接，，当四边形是菱形时，求的长． 【题型10 切线长定理】 【例10】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，是的切线，切点分别是．若，则的长为__． 【变式10-1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，，分别与相切于，两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．18 B．12 C． D． 【变式10-2】已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D． （1）求证：BC=CD；   （2）求证：∠ADE=∠ABD； 【变式10-3】如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【题型11 三角形的内切圆】 【例11】如图，已知为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，求的半径．    【变式11-1】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（   ） A． B． C．7cm D．随直线的变化而变化 【变式11-2】如图，在△ABC中，AB=3，AC=2.25，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么=（   ） A．2 B．1.25 C．1.5 D． 【变式11-3】（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 【题型12 三角形的内心有关应用】 【例12】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，满足三角形内心在上的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，在中，点O是的内心，，_____． 【变式12-2】如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线DGBC． (1)若，则______； ______． (2)求证：； (3)求证：DG是的切线C． 【变式12-3】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 模块三 课后作业 1．（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 5．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（   ） A．64° B．120° C．122° D．128° 6．（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 7．（25-26九年级上·新疆·期中）的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是_______；若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是_______ 8．（2026·安徽·模拟预测）如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 10．如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 _________（填序号）． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 12．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 13．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器，图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等； 与 垂直于点 ，够长． 使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 在边 上，半圆 与另一边 恰好相切，切点为 ，则，就把 三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明． 请你根据已知和求证，写出证明过程． 已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点 ，，与半圆 相切于点 ． 求证：． 14．用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：    (1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线； (2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线． 15．如图，在△AEF中，点O是AF上的一点，以点O为圆心，AO为半径的⊙O与△AEF的三边分别交于点B、C、D． 给出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线 ． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由 ． (2)在（1）的情况下，若AO＝2，DF＝，求BF的长 ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $