第16讲 圆周角（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第16讲 圆周角（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 圆周角 同学们，在足球比赛中，球员们经常需要在门前寻找最佳的射门位置。假设球门的两根立柱分别是点A和点C，当球员在球场上的B点、D点或E点准备射门时，他们看向球门所形成的“射门张角”分别是∠ABC、∠ADC和∠AEC。大家不妨思考一下：如果这几个点都在以球门为弦的同一个圆弧上，那么球员在这几个不同位置射门时，哪个角度最大？或者说，这几个角的大小有什么关系？仔细观察这些角，我们会发现它们的顶点都在圆上，而且角的两边都与圆有交点。像这样顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，在数学中有一个专门的名字——“圆周角”。 今天，就让我们化身“足球战术分析师”，一起走进圆周角的世界，探索它与圆心角之间隐藏的奇妙数量关系！ 【知识点1 圆周角】 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=． S 同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． 3. 圆周角定理的推论 （1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 4. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 【知识点2 圆的内接四边形】 1. 圆内接四边形的定义 （1）一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【题型1 圆周角的定义】 【例1】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图与相切于点为上点,则下列说法中错误的（  ） A．是圆心角 B．是圆周角 C．是圆周角 D．是圆心角 【变式1-2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-3】如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半】 【例2】（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·云南昆明·二模）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，在中，，是上一点，则______． 【变式2-3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例3】（2026·陕西榆林·三模）如图，内接于，点在弦所对的优弧上，连接、，若，则的度数为__________． 【变式3-1】（2026·湖南益阳·二模）如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【变式3-2】（2026·云南玉溪·二模）如图，在中，弦，相交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，点都在上，．求证：． 【题型4 直径所对圆周角为直角】 【例4】（2026·云南普洱·二模）如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 【变式4-2】如图所示，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，交于点E．若，，则的长为______． 【变式4-3】如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接，，，，若，则的度数为________． 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例5】（2026·贵州遵义·二模）小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【变式5-2】如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为4，则的直径为_______． 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是_______． 【题型6 圆内接四边形对角互补】 【例6】（2026·江苏常州·模拟预测）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为______度． 【变式6-1】（2026·贵州遵义·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·广东肇庆·二模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【题型7 圆周角与勾股定理结合】 【例7】（25-26九年级上·重庆潼南·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为_______________，的长度为______________． 【变式7-1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形内接于，，，的半径为6，则的长度为___________． 【变式7-2】如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 _____． 【变式7-3】（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，内接于，圆的半径为6，，则弦的长度为________． 【题型8 圆周角综合证明与计算】 【例8】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【变式8-1】如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作． （1）求证：AB是的直径； （2）延长CB交于点E，连接DE，求证：DC=DE． 【变式8-2】如图，在中，、是两条互相垂直的弦，垂足为点，为的中点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【变式8-3】如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．         （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在上时，求证：； （3）如图2，已知的半径为，，求的长． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，四边形是的内接四边形，点O在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 7．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）如图，以点为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么_______． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，点A，B在上．若，，则___ ． 9．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 10．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，网格中的小正方形边长均为，点，，都在格点上，过格点，，作圆，点是圆上一点，，则的大小为________． 11．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分． 13．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 14．（2025·福建福州·二模）已知矩形中，E为边上一点，连接为上一点，且． (1)如图①，作，满足圆心O在上，且经过点 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1）的条件下，如图②，若点B在上，求证：． 15．如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，． (1)求证：平分；并求的大小； (2)过点作交的延长线于点，若，圆的半径长为8，求的长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 圆周角（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 圆周角 同学们，在足球比赛中，球员们经常需要在门前寻找最佳的射门位置。假设球门的两根立柱分别是点A和点C，当球员在球场上的B点、D点或E点准备射门时，他们看向球门所形成的“射门张角”分别是∠ABC、∠ADC和∠AEC。大家不妨思考一下：如果这几个点都在以球门为弦的同一个圆弧上，那么球员在这几个不同位置射门时，哪个角度最大？或者说，这几个角的大小有什么关系？仔细观察这些角，我们会发现它们的顶点都在圆上，而且角的两边都与圆有交点。像这样顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，在数学中有一个专门的名字——“圆周角”。 今天，就让我们化身“足球战术分析师”，一起走进圆周角的世界，探索它与圆心角之间隐藏的奇妙数量关系！ 【知识点1 圆周角】 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=． S 同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． 3. 圆周角定理的推论 （1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 4. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 【知识点2 圆的内接四边形】 1. 圆内接四边形的定义 （1）一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【题型1 圆周角的定义】 【例1】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 【变式1-1】如图与相切于点为上点,则下列说法中错误的（  ） A．是圆心角 B．是圆周角 C．是圆周角 D．是圆心角 【答案】C 【分析】根据圆周角和圆心角的定义去排除错误答案，顶点在圆心上的角且两边都和圆相交的角为圆心角，角度在圆周上且两边都和圆相交的角为圆周角. 【详解】解：根据圆周角和圆心角的定义去排除错误答案， A中是圆心角，正确； B中是圆周角，正确； C中是圆周角，错误，因为角的两边不都和圆相交，所以不是圆周角； D中是圆心角，正确； 【点睛】本题考查圆心角和圆周角的定义，其中顶点在圆周上而且两边和圆相交的角才称为圆周角. 【变式1-2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半】 【例2】（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 【变式2-1】（2026·云南昆明·二模）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出， 最后利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【变式2-2】（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，在中，，是上一点，则______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解即可． 【详解】∵， ∴优弧所对应的圆心角为， 根据圆周角定理得： ∴优弧所对应的圆周角为 ． 【变式2-3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【答案】 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例3】（2026·陕西榆林·三模）如图，内接于，点在弦所对的优弧上，连接、，若，则的度数为__________． 【答案】35 【详解】解：∵，， ∴． 【变式3-1】（2026·湖南益阳·二模）如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】/63度 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（2026·云南玉溪·二模）如图，在中，弦，相交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】和对应同一段弧，故，又，在中，． 【详解】解： 和对应同一段弧， ， 在中，． 【变式3-3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，点都在上，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查同圆中等弦、同弧所对圆周角相等，以及三角形全等的判定定理；利用即可证明． 【详解】证明：点都在上， ∵， ∴， ∴， 同理：， 在和中 ， ∴． 【题型4 直径所对圆周角为直角】 【例4】（2026·云南普洱·二模）如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴ ∵ ∴ 【变式4-2】如图所示，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，交于点E．若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】连接，根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形三线合一得出，根据求得． 【详解】解：连接， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接，，，，若，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例5】（2026·贵州遵义·二模）小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据的圆周角所对的弦是直径，只有选项A中的工件合格． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据圆周角定理可得为圆的直径，由此即可得． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵，，三个顶点均在圆上， ∴为圆的直径， ∴圆的半径为， 故选：B． 【变式5-2】如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为4，则的直径为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，由正方形的性质得到，则是的直径，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∴是的直径， 在中，由勾股定理得， ∴的直径为， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据可得是的直径，则由圆周角定理可得，由切线的性质推出，据此根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，圆O是的外接圆， ∴是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【题型6 圆内接四边形对角互补】 【例6】（2026·江苏常州·模拟预测）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为______度． 【答案】140 【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】（2026·贵州遵义·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆内接四边形的性质得出，求出，由圆周角定理得出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式6-2】（2026·广东肇庆·二模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角是圆心角的一半即可得，根据是直径可知，，根据等腰直角三角形可知，，进而根据角度关系即可求解． 【详解】， ． 是的直径， ， ， ， ． ∵四边形是的内接四边形， ∴ ． 【变式6-3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，垂径定理推论，求解即可． 【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ∵点M是弦的中点，， ． 【题型7 圆周角与勾股定理结合】 【例7】（25-26九年级上·重庆潼南·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为_______________，的长度为______________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求出，进而可得的长度，求出，根据圆周角定理可得，结合，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 的直径垂直于弦， ，， 设的半径为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 是的中点， ， ， ， ， 故答案为: ，． 【变式7-1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形内接于，，，的半径为6，则的长度为___________． 【答案】 【分析】由90度圆周角所对的弦为直径，可得是的直径，由同弧所对的圆周角相等，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解即可． 【详解】解： ， ， 是的直径， 的半径为6， ， ，和是同弧所对的圆周角， ， ， ． 【变式7-2】如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 _____． 【答案】1 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，结合已知条件求得是解题的关键．连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式7-3】（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，内接于，圆的半径为6，，则弦的长度为________． 【答案】 【分析】如图，连接，作于，由垂径定理得，，由圆周角定理可得，则，然后可求，的长． 【详解】解：如图，连接，作于， ∴， ∴， 由垂径定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 【题型8 圆周角综合证明与计算】 【例8】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接、，先得，则，因为半径相等，得出、都在的垂直平分线上，即可作答． （2）先由直角三角形的两个锐角互余，得，运用圆周角定理得，然后结合等角对等边，则．故是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答． 【详解】（1）证明：连接、，如图， 为优弧的中点， ， ， 又， 、都在的垂直平分线上， 即是垂直平分线， ； （2）证明：连接，如图， ，， ，， ， ∵， ， ， ． ∴是等腰三角形， 又， ； 【变式8-1】如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作． （1）求证：AB是的直径； （2）延长CB交于点E，连接DE，求证：DC=DE． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析 【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理判断即可； （2）根据圆周角定理证明即可； 【详解】（1）连接BD， ∵，， ∴， ∴， ∴AB是的直径； （2）∵， ∴， 由圆周角定理可得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，准确分析证明是解题的关键． 【变式8-2】如图，在中，、是两条互相垂直的弦，垂足为点，为的中点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据（1）中结论可得，根据同弧所对的圆周角相等可得：，利用等量代换及三角形内角和定理即可得出，即可证明结论． 【详解】证明：（1）， ， 为的中点， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 【点睛】题目主要考查直角三角形中线的性质及圆中同弧所对圆周角相等的性质，理解两个主要性质运用题目中是解题关键． 【变式8-3】如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．         （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在上时，求证：； （3）如图2，已知的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=10 【分析】（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证； （2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证； （3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根据勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴弧AB=弧AC ∴∠ADB=∠ADC； （2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠ADB+∠ACB=180°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ADC=∠ABC ∴∠ACB=∠ADC， ∴； （3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示： ∵AB=AC，BC=12， ∴BE=EC=6， ∴AE是线段BC的垂直平分线， ∵△ABC是⊙O的内接三角形， ∴圆心O在线段AE上， ∵OB=OA=， ∴在Rt△BEO中，， ∴， ∴在Rt△AEB中，． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周角是解题的关键． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义，圆周角是指顶点在圆上，并且两条边都与圆相交的角，据此断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由圆周角定理得到，再由垂径定理得到，即可根据等弧所对圆心角相等求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，四边形是的内接四边形，点O在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理可得圆周角等于圆心角的一半，弧所对的圆周角为，故． 【详解】解：， ， ． 4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及逆定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是得到为圆的直径． 作辅助线构造等边三角形，连接，，根据可得为圆的直径，根据点和点可求解的长度，可得与的长度，由此可得为等边三角形，可求解的度数，由此可解． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴为圆的直径， ∵点和点，即，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：D ． 6．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 【答案】/80度 【详解】解：∵为四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）如图，以点为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么_______． 【答案】/35度 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据“的圆周角所对的弦是直径”，可得点在圆上，再根据圆周角定理，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，则， 量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， 点在圆上， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，点A，B在上．若，，则___ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理． 先连接，根据等弧所对的圆心角相等得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 【答案】20 【分析】连接，由圆内接四边形对角互补可得的度数，由直径所对的圆周角相等和直角三角形两锐角互余可得的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，网格中的小正方形边长均为，点，，都在格点上，过格点，，作圆，点是圆上一点，，则的大小为________． 【答案】/34度 【分析】连接，由网格特点，结合勾股定理及其逆定理得到，则，然后利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：连接， 由网格特点，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得出，再根据，圆周角定理证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形内接于， ． 又， ． ， ， ， ， ，即平分． 13．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明： 是弧AB的中点， ， ， ， ， 在和 中， 由，， ． (2)四边形是菱形 证明：如图连接、 由圆的性质知 ，由D、E分别是、的中点，得， 由知， 在和中， 由， ， ， 同理可证， ， 综上可得 ，故四边形是菱形． 【分析】（1）由C是弧的中点得到，故可证明，从而；（2）通过中点及圆的性质可知四边形四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 14．（2025·福建福州·二模）已知矩形中，E为边上一点，连接为上一点，且． (1)如图①，作，满足圆心O在上，且经过点 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1）的条件下，如图②，若点B在上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用垂径定理知圆心在弦的垂直平分线上，画的垂直平分线即可； （2）先利用直径所对圆周角为直角和矩形的性质，证得，得到对应角相等，再利用平行线的性质得到对应角相等，等量代换后，利用在同一个三角形中，等角对等边求出答案． 【详解】（1）解：如下图所示，即为所求； ∵圆心在上， ∴是圆上的弦， 则圆心在弦的垂直平分线上， ∴作的垂直平分线交于点， 以点为圆心，为半径画圆， 则为所求圆； （2）证明：如下图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，． (1)求证：平分；并求的大小； (2)过点作交的延长线于点，若，圆的半径长为8，求的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、角平分线的定义、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理结合得出，即可得出平分，由角平分线的定义得出，再由圆内接四边形的性质得出，即可得解； （2）证明出是等边三角形，得出，从而得出，再由圆内接四边形的性质求出，从而即可得解． 【详解】（1）证明：， ， 平分， 平分， ， ∵四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知：，， 是圆的直径，， ，， ， 是等边三角形， ， 又平分， ， ， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $