精品解析：福建省漳州市龙海区第四中学2025-2026学年九年级上学期第二次素养测试数学试题

龙中22026学年第一学期第二次素养测试 九年级数学 考试范围：九上全册；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知＝，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. “翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（ ） A. 9米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，与位似，点O为位似中心，若，则的长为（ ） A. 15 B. 20 C. 10 D. 5 7. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，，分别为，的中点，为上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 9. 中，，的平分线交AC于D，M在AC延长线上，N在BD上，MN经过BC中点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数a、b、c满足，且，则（ ） A. B. 2025 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，小明对二维码开展数学实验活动．如图，小明将自己的微信二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______． 13. 如图，O是的重心，，相交于点，那么与的周长的比是______． 14. 已知m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，则m2﹣5n+2021＝_______． 15. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=上，第二象限的点B在反比例函数y=上，且OA⊥OB，cosA=，则k的值为______． 16. 如图，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点H，连接交于点Q，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的有______．（填序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 20. 如图，在中， （1）在上求作一点D，连接，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 （2）若，求的值． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根中，有一个实数根大于，另一个实数根小于，求的取值范围． 22. 如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． （1）的长为___________m；（用含的代数式表示） （2）若羊的活动范围的面积为，求的长； （3）羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 23. 已知是方程的解，．其中，，，均为整数，且四个数互不相等． （1）求证：； （2）若，求的值． 24. 如图1，小明同学参加了测量某公园内一古塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下： 【制作工具】 如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数． 【获取数据】 如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小明在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． （1）如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小明在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则 ， ， （结果保留小数点后两位）． 【计算塔高】 （2）请根据小明的数据，计算该塔高度（结果取整数）． 25. 在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点E作的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙中22026学年第一学期第二次素养测试 九年级数学 考试范围：九上全册；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含开得尽方的因数，故本选项不符合题意； B、被开方数含有分母，故本选项不符合题意； C、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，故本选项符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知＝，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例设a＝2k，b＝5k（k≠0），然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵＝， ∴设a＝2k，b＝5k（k≠0）， ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b可以使计算更加简便． 3. “翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：“翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是随机事件， 故选：C． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 根据配方法的步骤解答即可 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 5. 如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（ ） A. 9米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 过点B作于点C，构造直角，利用坡度的定义求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴ ， ∴米， 在中，，由勾股定理得米 ， 故选：D． 6. 如图，与位似，点O为位似中心，若，则的长为（ ） A. 15 B. 20 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的性质可得且相似比为，然后由相似三角形对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵与位似，点O为位似中心， ∴且， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键在于明确增长次数与时间间隔的关系． 根据平均增长率的计算公式来列方程求解即可． 【详解】根据题意，全球相关信息量每五年平均增长率为， 从2015年到2025年共10年，其中有2个5年， ． 故选：B． 8. 如图，中，，，，，分别为，的中点，为上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，，， 则由勾股定理得：， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：． 9. 中，，的平分线交AC于D，M在AC延长线上，N在BD上，MN经过BC中点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB于F，过点C作CH⊥AB于H，设BC=6x，AB=7x，由，得到∠MDN=∠MND，根据BD平分，推出∠CDB=∠MND，证得得到，求出BG=GH，证明△BCD≌△BFD，得到BF=BC=6x，由勾股定理求出AC、BH，得到BG、FG的长，由此得到答案． 【详解】解：过点D作DF⊥AB于F，过点C作CH⊥AB于H， ∵，， ∴， 设BC=6x，AB=7x， ∵E是BC中点， ∴BE=CE． ∵， ∴∠MDN=∠MND． ∵BD平分，∠DFB=， ∴∠FDB=∠CDB， ∴∠CDB=∠MND， ∴ ∴ ∴，即BG=GH． ∵∠DFB=，∠FDB=∠CDB，BD=BD， ∴△BCD≌△BFD， ∴BF=BC=6x． 在中，，BC=6x，AB=7x， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵． ∴=． 故选：A． 【点睛】此题考查了利用锐角三角函数求边长，全等三角形的判定及性质，勾股定理，角平分线的性质定理，平行线分线段成比例，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的关键． 10. 已知实数a、b、c满足，且，则（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过换元将已知等式整理为关于的一元二次方程，利用因式分解得到根的关系，再将所求代数式变形后代入化简计算． 【详解】设，则，将x代入已知等式得：， 整理为关于x的一元二次方程：， 对左边因式分解得：， ∵， ∴方程的两根为和， 由已知条件得是方程的根， ∴， ∵， ∴， 将代入得： 原式， ∴结果为． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得， 解得． 故答案为：． 12. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，小明对二维码开展数学实验活动．如图，小明将自己的微信二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故答案为： 13. 如图，O是的重心，，相交于点，那么与的周长的比是______． 【答案】##1:2 【解析】 【分析】根据三角形的重心的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵O是△ABC的重心， ∴M、N分别为AB和BC的中点 ∴，NM=AC， ∴△MON∽△AOC， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的重心的性质，三角形相似的性质与判定，掌握三角形的重心的性质是解题的关键． 14. 已知m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，则m2﹣5n+2021＝_______． 【答案】2045 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2+5m+1＝0，化简m2﹣5n+2021得到﹣5(m+n)+2020，再根据根与系数的关系得到 m+n＝﹣5，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵m为方程x2+5x+1＝0的根， ∴m2+5m+1＝0， ∴m2＝﹣5m﹣1， ∴m2﹣5n+2021＝﹣5m﹣1﹣5n+2021 ＝﹣5(m+n)+2020， ∵m，n是方程x2+5x+1＝0的两根， ∴m+n＝﹣5， ∴m2﹣5n+2021＝﹣5×(﹣5)+2020＝2045． 故答案为：2045． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2= ，x1x2=；解题的关键是熟练掌握以上知识． 15. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=上，第二象限的点B在反比例函数y=上，且OA⊥OB，cosA=，则k的值为______． 【答案】-4 【解析】 【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D． 则∠BDO=∠ACO=90°， 则∠BOD+∠OBD=90°， ∵OA⊥OB，cosA=， ∴∠BOD+∠AOC=90°，tanA=， ∴∠BOD=∠OAC， ∴△OBD∽△AOC， ∴=（ ）2=（tanA）2=2， 又∵S△AOC=×2=1， ∴S△OBD=2， ∴k=-4． 故答案为-4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键． 16. 如图，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点H，连接交于点Q，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由等边三角形及正方形的性质求出，，从而判断①；证，可判断③；作，设，则，，，由求出，从而求得的长，据此可判断②，证，根据求解可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意； ， ， 又， ，故①符合题意； 如图，过点作于，而， 设，则， ， 由知， 解得， ∴， ∵， ， ∴，故②不符合题意； 又∵°， ∴， 过作于， ∴ ∴，故④符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别化简二次根式，计算零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值并相乘，最后再进行加减计算． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 19. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 20. 如图，在中， （1）在上求作一点D，连接，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-相似变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用尺规作图作即可； （2）利用相似三角形的性质求出可得结论． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求． 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根中，有一个实数根大于，另一个实数根小于，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）求出根的判别式即可求解； （2）用公式法求出方程的根，然后根据一个实数根大于，另一个实数根小于列一元一次不等式组求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：， ∴，． ∵有一个实数根大于，另一个实数根小于， ∴ 解得 ． 22. 如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． （1）的长为___________m；（用含的代数式表示） （2）若羊的活动范围的面积为，求的长； （3）羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）的长为或； （3）羊的活动范围的面积不能为．理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据得到，整理即可得到答案； （）根据羊的活动范围的面积为列出代数式即可； （）依题意得：，根据根的判别式，即可得到答案； 【小问1详解】 解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得：羊的活动范围的面积为， ∴，即， 解得， ∴的长为或； 【小问3详解】 解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下， 依题意得：，即， ∵， ∴羊的活动范围的面积不能为． 23. 已知是方程的解，．其中，，，均为整数，且四个数互不相等． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的性质，熟练掌握一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解出方程的解，再根据中，，，均为整数，且四个数互不相等，进行证明即可； （2）根据（1）求得，再利用、，得到，，代入，计算求解的值即可． 【小问1详解】 证明：由得， 判别式， ， ，， ， ． ． 【小问2详解】 解：由（1）得，则、奇偶性相同， ， 由于，，，均为整数，为偶数， 则、均为偶数， 由于，， 则， 当时，， ，、、、四个数互不相等， ∴， ∵、均为偶数， ∴只能分成两个负偶数之积，即， 则，， 因此，，解得， 答：的值为． 24. 如图1，小明同学参加了测量某公园内一古塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下： 【制作工具】 如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数． 【获取数据】 如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小明在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． （1）如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小明在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则 ， ， （结果保留小数点后两位）． 【计算塔高】 （2）请根据小明的数据，计算该塔高度（结果取整数）． 【答案】（1），，；（2）米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据正切的定义计算即可得解； （2）延长交于，延长交于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得米，，，，设米，则米，解直角三角形得出，求出米，米，再解直角三角形得出米，即可得解． 【详解】解：（1）∵在中，，，，， ∴； ∵，，，， ∴，， ∵在中，，，，， ∴； ∵，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴； （2）如图，延长交于，延长交于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 由题意可得：米，，，， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴米，米， ∴， 解得， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米， 答：该塔的高度约为米。 25. 在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点E作的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）证明：由旋转可知，，，， ， ∴． （2）①证明：由旋转得，，，， ，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质结合相似三角形的判定即可证得结论； （2）①根据旋转的性质得出，，再利用平行线的性质和平角的定义得到，证明，即可得出结论； ②延长，交的延长线于点M，先证明，再证得，利用相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理结合已知条件即可得出最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②解：如图，延长，交的延长线于点M， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， 由（2）①可知，， ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $