第15讲 实际问题与一元一次方程（10类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第15讲 实际问题与一元一次方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元一次方程的应用之古代问题 题型2 一元一次方程的应用之销售问题 题型3 一元一次方程的应用之方案问题 题型4 一元一次方程的应用之配套问题 题型5 一元一次方程的应用之工程问题 题型6 一元一次方程的应用之行程问题 题型7 一元一次方程的应用之数字问题 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 题型9 一元一次方程的应用之几何问题 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实际问题、一元一次方程、等量关系、建模、行程问题、配套问题、检验。 1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世界的有效模型。 2. 掌握行程、工程、销售、配套、方案选择等常见实际问题的基本数量关系。 3. 能运用解一元一次方程的方法求解实际问题，并验证解的合理性。 4. 经历“审题—设未知数—找等量关系—列方程—求解—检验”的全过程，培养分析问题、解决问题的能力。 学习重点：分析实际问题中的数量关系，找等量关系列出一元一次方程，并正确求解。 学习难点：准确理解题意，找出隐含的等量关系（特别是行程中的相遇、追及问题，以及方案选择问题），以及对求得的解根据实际意义进行取舍。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 实际问题与一元一次方程 1.列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 【易错提醒】 列方程解应用题易错警示：审题设未知数，找等量关系。注意单位统一，解方程后检验是否符合实际（如人数、长度为正）。避免漏解或多解，答案要带单位。勿混淆“增加”与“增加到”。 即时即练1．（2025·陕西榆林·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗） 【答案】原来有斗米 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题．设原来有x斗米，则后加入斗谷子，由题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来有x斗米，则后加入斗谷子， 根据题意，得， 解得， 答：原来有斗米． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 【答案】(1)购进商品的数量为100件 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件，根据400件商品的花的费用为10000元，列出方程，解方程即可； （2）根据销售A，B两种商品共获利2125元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件， 依题意得， 解得：， （件）， 答：购进商品的数量为100件，则购进商品的数量为300件； （2）解：商品售出，即（件），剩余（件）， 商品售出，即（件），剩余（件）， 剩余的商品都参加了促销活动，即促销活动卖出商品75件，赠送商品75件，再剩下的125件商品以优惠全部卖出， 依题意得：， 整理得， 即， 解得． 3．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：不符合题意，舍去． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 题型1 一元一次方程的应用之古代问题 【例1】列一元一次方程解应用题：我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问车有几何？”其意思是：“每车坐3人，空出来2车；每车坐2人，9人没车坐，问车有多少辆？” 【答案】15辆 【分析】本题考查一元一次方程的应用，能根据题意找出等量关系，并根据等量关系列出方程是解决此题的关键．设车有x辆，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设车为x辆，根据题意，得 解得， 答：车有15辆． 【例2】《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽，又三家合取一鹿，恰尽”．问：有多少户人家？大意为：有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完，问共有多少户人家？ 【答案】共有75户人家 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设共有x户人家，根据“有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设共有户人家， ， 解得， 答：共有75户人家． 【技巧归纳】 用现代数学翻译古文：设未知数，根据“多、少、倍、半、相等”等词列方程。如“今有物不知其数，三三数之剩二”可列x=3a+2。注意单位换算（斤、两、尺）。解方程后，用古语或现代单位作答，检验是否符合题意。通常为一次方程。 【变式1-1】相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类． （1）由第3列上的3个数之和及每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，即可求出其他方格中的数，将其填入图3中即可； （2）由对角线及第1列上的3个数之和相等，可求出第2行第1个方格中的数，利用两对角线上的3个数之和相等，可求出第1行第3个方格中的数，再结合对角线及第1列上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵第3列上的3个数之和为， ∴第1行第2个方格中的数为， 第2行第1个方格中的数为， 第2行第2个方格中的数为， 第3行第2个方格中的数为， 将图3中的数据补充完整，如图所示； （2）解：第2行第1个方格中的数为， 第1行第3个方格中的数为， 根据题意得：， 解答：． 答：图4幻方中x的值为． 【变式1-2】《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？” 译文：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？请解答上述问题． 【答案】一共织了尺布 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设每天减少尺布，根据题意得出，解方程得出，进而根据题意根据列出算式进行计算即可求解． 【详解】解：设每天减少尺布， ∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工， ∴，解得， ∴（尺）． 答：一共织了尺布． 题型2 一元一次方程的应用之销售问题 【例3】随着打印技术越来越成熟，家用打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元． (1)设每台乙型打印机为元，则每台甲型打印机为 元(用x表示)． (2)若购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 【答案】(1) (2)每台甲型、乙型打印机的进价各是元，元 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，写出每台甲型打印机的进价、掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据“每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元”计算即可； （2）根据题意，列关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：每台甲型打印机为元． 故答案为：． （2）根据题意，得， 解得， 元． 答：每台甲型打印机的进价为元，每台乙型打印机的进价为元． 【例4】试根据图中信息，解答下列问题： (1)购买5根跳绳需_____元，购买15根跳绳需_____元． (2)小红比小明多买3根，付款时小红反而比小明少9元，请求出小红购买跳绳的根数． 【答案】(1)75，157.5 (2)小红购买跳绳12根 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）根据题意列出算式即可； （2）设小红购买跳绳根，根据题意列出方程进而求解． 【详解】（1）解：∵（元），（元）， ∴购买5根跳绳需75元，购买15根跳绳需元； 故答案为：，； （2）解：设小红购买跳绳根，则小明购买跳绳根， 根据题意得： ， 解得：． 答：小红购买跳绳12根． 【技巧归纳】 关键公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，售价=标价×折扣。设进价、售价或折扣为x，根据利润关系列一次方程。注意“打几折”即乘0.几。单位统一。若含税费，利润=售价×(1-税率)-进价。解后检验合理性。 【变式2-1】小张开了一家皮鞋店，为尽快出售，小张决定将皮鞋打折销售．若每双皮鞋按标价的4折出售将亏40元，而按标价的8折出售将赚40元． (1)请你算一算每双皮鞋的标价和进价各是多少元？ (2)该皮鞋改款后，小张又以同样的进价进货500件，若标价不变，按标价销售了300件后，剩下的进行大甩卖，为了尽快减少库存，又要保证盈利2万元，请你告诉小张最低能打几折？ 【答案】(1)每双皮鞋的标价为200元，进价为120元 (2)小张最低能打5折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每双皮鞋的标价为元，则每双皮鞋的进价为元，根据题意列出方程，求出的值，即可解答； （2）设小张最低能打折，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设每双皮鞋的标价为元，则每双皮鞋的进价为元， 由题意得，， 解得：， 则， 答：每双皮鞋的标价为200元，进价为120元． （2）解：设小张最低能打折， 由题意得，， 解得：， 答：小张最低能打5折． 【变式2-2】某商店购进甲、乙两种型号的节能灯，若购买只甲型号节能灯和只乙型号节能灯共需元．其中甲、乙两种型号的节能灯的进价、售价如下表： 型号 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 乙型 (1)求甲、乙两种型号的节能灯的进价各是多少？ (2)第一次该商店购进甲、乙两种型号的节能灯共个，全部售完后总利润（利润售价进价）为元，求该商店甲、乙两种型号的节能灯分别购进多少只？ (3)第二次该商店购进了与第一次一样多的甲、乙两种型号的节能灯，由于两种节能灯的进价都比第一次优惠了，该商店准备对乙型节能灯进行打折销售，让利于客户，甲型节能灯售价不变，全部售完后总利润比第一次还多赚元，求乙型节能灯打了几折？ 【答案】(1)甲型节能灯的进价是元只，乙型节能灯的进价是元/只 (2)该商店购进甲型节能灯只，购进乙型节能灯只 (3)折 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用； （1）根据表格数据，结合题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设购进甲型节能灯只，则购进乙型节能灯只，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设乙型节能灯打了折，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ， 答：甲型节能灯的进价是20元/只，乙型节能灯的进价是30元/只； （2）设购进甲型节能灯只，则购进乙型节能灯只，根据题意，得， 解得， ． 答：该商店购进甲型节能灯120只，购进乙型节能灯80只； （3）设乙型节能灯打了折，根据题意，得 200只节能灯的进价为（元）， 200只节能灯的售价为（元）， 全部售完200只节能灯的总利润为， 解得． 答：乙型节能灯打了9折． 题型3 一元一次方程的应用之方案问题 【例5】按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批排球和跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： A方案：买一个排球送一根跳绳； B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款． (1)若学校要购买排球50个，跳绳100根，则选择________方案更优惠 若学校要购买排球50个，跳绳300根，则选择________方案更优惠； (2)若学校要购买排球50个，跳绳x根（），请问购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多？ 【答案】(1)A，B (2)购买200根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据选择A、B两种方案所需要的钱数一样多，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）若学校要购买排球50个，跳绳100根， 选择A方案所需费用为（元）； 选择B方案所需费用为（元）， ∵， ∴此时选择A方案更优惠； 若学校要购买排球50个，跳绳300根， 选择A方案所需费用为（元）； 选择B方案所需费用为（元）， ∵， ∴此时选择B方案更优惠． 故答案为：A，B； （2）根据题意得：， 解得：． 答：购买200根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多． 【例6】“中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)该团队共有人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）设团队有人，根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元） 方案二的花费为：（元） ∵， ∴该团队应该选择方案一． （2）解：该团队共有人． 根据题意，得， 解得 答：该团队共有人． 【技巧归纳】 将两种方案费用表示为含x的一次式，令相等得临界值。根据x的范围选择最优方案。若比较大小，列不等式。注意分类讨论：如x为整数、分段计费。实际背景如租车、电话套餐、购物优惠。画数轴或表格辅助决策。解后验证端点值。 【变式3-1】学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【答案】(1)双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元 (2)应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元，根据买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要元列出方程解出x的值可得答案； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，分两种情况：若购买球珠直径的三色笔，与购买球珠直径的三色笔，列出方程，解方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元， 根据题意得：， 解得：， ， 双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，则购买双色圆珠笔数量为支， 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ∴这种情况不符合题意； 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ， 应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支． 【变式3-2】2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 【答案】(1)种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； (2)见详解 (3)A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元，分别写出、关于的表达式，再比较二者大小即可； （3）设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个，根据题意列关于的一元一次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， ∴（元）， 种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； （2）解：设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元． 根据题意，， ． 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； ∴ ∴当购买B种款式吉祥物大于个时，选择方案二合算； 当购买B种款式吉祥物等于个时，选择方案一和方案二一样合算； 当购买B种款式吉祥物大于个且小于个时，选择方案一合算； （3）解：∵打折后一周内两款吉祥物共售出100个， ∴设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个， ∵A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，且A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个， ∴， 解得． ∴ 则A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个． 题型4 一元一次方程的应用之配套问题 【例7】一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成台仪器． 【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B部件的配套关系（1个A部件和3个B部件构成一台仪器 ），设用钢材做A部件，钢材做B部件，通过部件数量的配套比例列方程求解．本题主要考查一元一次方程在配套问题中的应用，熟练掌握根据部件配套比例建立方程是解题的关键． 【详解】解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件．则， 解得， ∴做B部件的钢材为，做A部件数量：（个），做B部件数量：（个）， 可制作仪器数量： 台（此时A部件和B部件数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成台仪器． 【例8】今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 【答案】用60张卡纸做底面 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面． 根据题意，得 解得 答：用60张卡纸做底面． 【技巧归纳】 设需配套的某物数量为x，根据比例关系列方程。如螺栓与螺母1:2配套，设生产螺栓x个，则螺母2x个。注意总数限制（如总人数、总材料）。或设分配人数，则产量=人数×效率。用比例式或方程表示配套关系，解出后验证是否符合题中比例。 【变式4-1】某车间每天能制作500个甲种零件，或250个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各1个配成1套产品．现要用30天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？ 【答案】甲种零件应制作10天，则乙种零件应制作20天． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系式，列出方程． 设甲种零件应制作x天，则乙种零件应制作天，根据生产的两种零件数量相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种零件应制作x天，则乙种零件应制作天， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：甲种零件应制作10天，则乙种零件应制作20天． 【变式4-2】某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多6人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据“每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入x名工人，由题意可得： ， 解得， 答：新调入8名工人； （2）解：由（1）得工人总人数为（名）， 设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意可得，， 解得：， 答：应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 题型5 一元一次方程的应用之工程问题 【例9】甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程 (2)调走甲更合适 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题． （1）设甲乙合作需要x天完成，建立方程求出合作时间，再与15进行比较可以得出结论； （2）先求出完成需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后与甲、乙独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需x天． 则，解得． 因为， 所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程； （2）解：设两人合作a天完成工程的． 则 解得． 若调走甲，则乙还需（天）； 若调走乙，侧甲还需（天）． 因为（天）天， （天）天， 所以调走甲更合适． 【例10】一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 【技巧归纳】 将总工作量看作1，效率=1/时间。合作效率=各效率之和。设未知时间，列方程：部分工作量之和=1。如甲单独x天，乙单独y天，合作t天：t/x + t/y = 1。注意剩余工作量：已完成+未完成=1。解后检验时间是否为正。 【变式6-1】某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． (2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程， （2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【变式6-2】哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 题型6 一元一次方程的应用之行程问题 【例11】小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【答案】经过分钟以后小明，小杰第一次相遇 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求出，即可求解． 【详解】解：设分钟以后小明，小杰第一次相遇， 由题意可得，， 解得， 答：经过分钟以后小明，小杰第一次相遇． 【例12】A、B两地间相距，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，乙的速度为3千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，问：乙出发多长时间两人相遇？ 【答案】4小时 【详解】解：设乙出发x小时后两人相遇，由题意得： ， 解得：； 答：乙出发4小时后两人相遇． 【技巧归纳】 基本公式：路程=速度×时间。相遇：相距距离=速度和×时间；追及：路程差=速度差×时间。设时间或速度为x，画线段图辅助。注意方向相向、同向，单位统一（小时/分钟）。若含往返，分段列方程。解后检验是否满足实际。 【变式7-1】甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【答案】(1)快车开出后两车相遇 (2)后两车相距 (3)后两车相距 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键． （1）设快车开出后两车相遇，根据两车行驶路程和为，列出方程式即可解题； （2）设后两车相距，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为，列出方程式即可解题； （3）设后两车相距，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多，即可列出方程式，即可解题． 【详解】（1）解：设快车开出后两车相遇． ． 由题意，得， 解得． 答：快车开出后两车相遇． （2）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． （3）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． 【变式7-2】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)，1 (2)①秒；②秒或秒 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P的运动距离加上动点Q的运动距离等于A，B两点间的距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解∶∵数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14． ∴点B表示的数为， 当点P运动到的中点时，它所表示的数是， 故答案为∶，1； （2）解∶①点P和点Q运动t秒时，点P和点Q第一次相遇， 则， 解得， 即点P和点Q运动秒时，点P和点Q第一次相遇； ②设点P运动t秒 根据题意得： 当点P与点Q相遇前，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得； 当点P与点Q相遇后，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 题型7 一元一次方程的应用之数字问题 【例13】一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ． 【答案】63 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意得：， 解得：， ， 原两位数是63． 故答案为：63． 【例14】一个三位数，已知十位数字是，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是．设原三位数的百位数字是． (1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x的代数式表示） (2)列方程求解原三位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用三位数的数位计数规则（百位十位个位），结合已知的个位与百位数字的倍数关系，分别写出原数和调换后数的代数式； （2）根据“两数之和为”的等量关系列一元一次方程，求出百位数字的值，再代入原数的代数式计算出原三位数即可． 【详解】（1）解：设原三位数的百位数字是，则原三位数的个位数字是，新三位数的百位数字是，个位数字是， ∴原三位数为； 调换位置后的三位数为； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴， 答：原三位数是． 【技巧归纳】 设个位或十位数字为x，用10a+b表示两位数。根据数字关系（如调换位置、和、积）列方程。注意数位限制：首位不能为0，每位0-9。若设两位数为x，则十位=⌊x/10⌋。解后检验数字范围。也可表示三位数。方程组思想。 【变式7-1】将奇数至按照顺序排成下表： 记表示第行第个数，如表示第行第个数是． (1) ； (2)将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出个数中的最大数；若不能，请说明理由； (3)用、的式子表示 ； (4)若，求、的值． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) (4)， 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式， （1）根据题意可知表示第行第个数，每行都有个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值； （2）先判断，然后设个阴影格子中的数分别为、、、，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由； （3）根据表格中的数据和发现，可以用含、的代数式表示出． （4）根据题意，可以得到，然后、为整数，，即可得到、的值； 解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）所覆盖的个数之和不能等于． 理由：设个阴影格子中的数分别为、、、， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴所覆盖的个数之和不能等于； （3）由题意可得， ， 故答案为：； （4）∵， ∴， ∴， ∵、为整数，， ∴，． 【变式7-2】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等． (1)前4个台阶上的数的和是多少？ (2)第5个台阶上的数x是多少？ (3)试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、有理数加法运算、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了图形的变换规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上的数的和都相等得出台阶上的数字每4个一循环． （1）将前4个数字相加可得； （2）根据“相邻四个台阶上的数的和都相等”，列方程求解即可； （3）根据“台阶上的数是每4个一循环”求解可得，观察发现，由循环规律即可知道“1”所在的台阶数为． 【详解】（1）解：由题意，得． 故前4个台阶上的数的和是3． （2）由题意，得， 所以， 故第5个台阶上的数x是． （3）由题意知，台阶上的数每4个一循环，，，1，9，，，1，9，… 数“1”所在的台阶数为3，7，11，15，19. . .， 所以数“1”所在的台阶数为． 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 【例15】“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)17 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用； （1）根据表格中参赛者A的成绩和参赛者B的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分； （2）设答对了x道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得分， 由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题扣分， 故答案为：5，； （2）解：设答对了x道题，则答错了道题， 根据题意，得， 解得， 答：答对了17道题． 【例16】在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【答案】九（1）班获胜7场 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设九（1）班获胜x场，则平场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平场， 根据题意得：， 解得：． 答：九（1）班获胜7场． 【技巧归纳】 积分规则：胜场得分+平场得分+负场得分=总积分。设胜x场，平y场，负z场，根据总场数列x+y+z=N，再积分方程。通常已知总场数和积分，可消去一个未知数。注意胜负场数非负整数。解后检验是否合理。常见于循环赛。 【变式8-1】为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【答案】 他答对了19道题 【分析】设他答对了道题，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， 依题意得：， 解得． 答：他答对了19道题． 【变式8-2】某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 64 D 10 10 40 (1)参赛者E说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由： (2)参赛者C答对了几道题？请你通过计算说明． 【答案】(1)不可能，详见解析 (2)14 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得5分、答错一道扣1分成为解答本题的关键． （1）由参赛者A可得答对1题得5分，设答错1题扣x分，，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据共作答20道，可补全参赛者B、D；设参赛者C答对y题，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）不可能， ∵参赛者A答对20题答错0题得100分， ∴答对1题得5分， 设答错1题扣x分， 由参赛者B的得分可得，． 解得， ∴答错1题扣1分 ∴参赛者E说他错了10个题，不可能得50分； （2）∵共有20题，参赛者B答错2题， ∴答对18题， ∵参赛者D答对10题， ∴答错10题， 设参赛者C答对y题， 由题意得，， 解得． 故参赛者C答对14题． 题型9 一元一次方程的应用之几何问题 【例17】如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了三角形的面积公式的运用以及一元一次方程的应用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键，同时要注意分类讨论．分当点在上时，当点在上时，两种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：，点是的中点， ， ①如图1，当点在上，， ，的面积等于， ， 解得：； ②如图2，当点在上时，， ， ， 解得：t； 综上所述，值是或， 故选：C． 【例18】如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 【答案】130 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，根据长方形展板上下对边相等，列出相应的方程，从而可以求得x的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可． 【详解】解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米， 根据长方形展板上下对边相等，得， 解得， 展板的长是（米） ，展板的宽是（米）， 长方形展板的面积是（平方米）． 故答案为：130． 【技巧归纳】 利用几何公式（面积、周长、角度）列方程。设未知边或角，根据图形性质（如内角和、勾股、相似）建立一次关系。注意单位一致。若为动点，设时间为t，用t表示线段长。解后检验边长>0，角度在范围内。画图标量。 【变式9-1】综合与探究 如图，在长方形中，，，动点从点开始，沿边向点以的速度运动；动点从点开始，沿边向点以的速度运动．点同时开始运动，当点到达点时，点和点同时停止运动，用表示运动的时间． (1)当点在边上运动时，为何值，使得？ (2)当为何值时，等于长方形周长的？ (3)当点Q在上运动时，且点与点的距离为3时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)5或11 【分析】（1）找出点Q在边上运动且运动时间为时，、的值，令其相等，即可求出t值； （2）分两种情况：当点在边上运动时，当点在边上运动时，分别列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分两种情况：当点Q在点P左侧时，当点Q在点P右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当点在边上运动时，，根据题意，得： ， 解得：． 答：当为时，． （2）解：当点在边上运动时，，， 根据题意，得， 解得； 当点在边上运动时，，， 根据题意，得， 解得． 综上所述，当为或时，等于长方形周长的． （3）解：当点Q在点P左侧时，， 解得：； 当点Q在点P右侧时，， 解得：； 综上，t的值为5或11． 【变式9-2】如图1，在长方形中，．点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以的速度沿方向运动到点C停止，连接、；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒，的面积为．    (1)当时，_________；当时，_________． (2)当点P和点Q相遇时，求t的值． (3)当时，用含t的代数式表示S． (4)如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接，当以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或或 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）先根据和求出，，再求出的值即可； （2）根据P、Q的运动速度求出t的值即可； （3）分两种情况进行讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，点Q到达点B前，根据三角形面积公式求出结果即可； （4）分三种情况讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，当，点Q从点B向点C运动的过程中，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴． （2）解：， 解得：， 即当点P和点Q相遇时，t的值为． （3）解：当，即、Q相遇前， ， ∴； 当，即、Q相遇后，点Q到达点B前， ， ∴； 综上分析可知：． （4）解：四边形的面积为， ∴以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是：， 当，即、Q相遇前， ， 则， 解得：； 当，即、Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得：； 当，点Q从点B向点C运动的过程中， ， 则， 解得：； 综上分析可知：当或或时，以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的． 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 【例19】某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案 （2）对于x（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可 （3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答． 【详解】（1）， ； 故答案为：元 （2）解： ， 故答案为：元． （3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得； 元， ， ， ， ， ， 答：共行驶了6公里． 【例20】我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12的部分 a元/ 超过12但不超过20的部分 元/ 超过20的部分 元/ (1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示） (2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示） (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示） 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】(1) 根据费用=，列式计算即可． (2)根据题意，得，费用=，得出的结论． (3) 分和，两种情况计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，当时，每费用为 元，当时，每费用为元， 故本月总费用为：（元）． 故该用户4月份应缴纳的水费为元． （2）解：根据题意，得，， 故不超过12的部分费用为：（元）； 超过12但不超过20的部分费用为：（元）； 超过20的部分费用为：（元）， 故该户应缴纳的水费为： (元)． 答：应交电费元． （3）解：根据题意，得，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x， 故； 当时，甲户用水量超过12但不超过20，乙户用水量不少于12但少于20， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： （元）． 当时，甲的用水量超过20乙的用水量不超过12， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元． 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 【技巧归纳】 阶梯计价：分段计算，每段单价不同。设用水/用电量为x，先判断所在区间，总费用=前段费用+本段费用。列方程时，若已知总费用，先假设x在某一阶梯，解出后验证是否在该区间内。注意每个阶梯的基数和单价。可用分段函数思想。 【变式10-1】为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 【答案】(1)五，； (2)他家七月份的用电量是306度． 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查正数、负数的意义，一元一次方程的应用，理解分段计费的含义是正确解答的关键． （1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费； （2）判断出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）解：五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度， 元， （2）解：∵， ∴用电量大于200度， 设用电量为x度，由题意得， ， 解得：， 答：他家七月份的用电量是306度． 【变式10-2】小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 【答案】(1) 6吨 (2) 6吨 (3) 77.4吨 【分析】（1）由2月底读数196减去1月底读数190，得二月份用水量； （2）由一月份用水量及"一月份比六月份少 ​"先求出六月份用水量为14吨，再设标准量为 吨，由六月份水费54元列方程求解； （3）先逐月计算上半年水费，再由"上半年比下半年少 "求出下半年水费，设下半年用水量 吨，标准内部分按3元/吨，超标部分按元/吨列方程求解． 【详解】（1）解：（吨）， 二月份小晶家用水6吨； （2）解：一月份用水 （吨）， 设六月份用水 吨，由一月份比六月份少 ​， ， （吨）， 若标准量 ，水费 ，故标准量小于14吨， 设标准量为 吨， ， 解得，； 答：每月用水量的最高标准为6吨； （3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨）， 标准量为6吨， 1月水费：（元）， 2月水费：（元）， 3月水费：（元）， 4月水费：（元）， 5月水费：（元）， 6月水费：（元）， 上半年总水费 （元）， 设下半年总水费为 元， ， 解得，（元）， 设下半年用水量为 吨，标准内 吨， ， 解得，（吨）． 答：小晶家下半年用水量为吨． 一、单选题 1．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先设王刚答对了道题，再根据题意列方程，即可解答． 【详解】解：设王刚答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得，， 即他答对了道题． 2．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用含的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：∵设共有辆车，总人数保持不变，且每人乘一车，剩余辆空车， ∴实际使用辆车， ∴总人数可表示为， ∵每人乘一车，剩余人步行， ∴总人数可表示为， ∴． 3．农历“三月三”即将来临，某传统文化小组计划做一批“绣球”，如果每人做个，那么可比计划多做个；如果每人做个，那么将比计划少做个，该文化小组计划做多少个“绣球”？若设该文化小组计划做个“绣球”，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】文化小组的人数不变，根据两种制作情况，用计划做的绣球总数表示出小组人数，即可列出方程． 【详解】解：设该文化小组计划做个“绣球”，小组人数固定不变， 根据题意得， 故选：A． 4．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么恰好空出一间房．设共有客人x人，根据题意可列出的方程是（     ） A． B． C．7x+7＝9（x﹣1） D．7x﹣7＝9（x+1） 【答案】A 【分析】利用房间总数不变的等量关系，用客人总数表示出两种住宿情况对应的房间数即可列出方程． 【详解】解：设共有客人人，两种情况下房间总数不变． ∵ 每间房住7人时，有7人无房可住， ∴此住满房间的人数为，可得房间总数为， ∵每间房住9人时，空出1间房， ∴实际使用房间数为，原房间总数比实际使用房间数多1，可得房间总数为． ∵ 房间总数不变， ∴． 5．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得，，由“完美矩形”的周长得，列式计算即可求解． 【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， ∵“完美矩形”的周长为26， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴正方形d的边长为5． 二、填空题 6．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是∶．学校给每个班级发放根红色跳绳和根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______根． 【答案】 288 1008 【分析】设学校共有个班级，根据发放规则分别表示出红色跳绳与蓝色跳绳的总数量，再结合两种跳绳的数量比列出一元一次方程，求解得到班级数后，即可计算两种跳绳的原有数量． 【详解】设学校共有个班级． 由题意得 红色跳绳总数量为，蓝色跳绳总数量为． 已知红色跳绳与蓝色跳绳数量比为，可得方程 ， 解得， ∴红色跳绳数量为根，蓝色跳绳数量为根． 7．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程应用题，先根据题意确定比赛场数和比赛总得分，设参数最低分数为，利用各队得分是四个连续自然数的和是总分列方程，求出，即可知道第一名的分数. 【详解】解：四支球队进行单循环比赛， 总比赛场为（场）． 一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；比分是，则胜队得2分，负队得1分, 每场比赛无论比分如何总得分均为3分， 所有比赛总得分为18分. 比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，设最低得分为x，则其他自然数分别为，，， ， ， 第一名得分是. 8．把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 【答案】 【分析】根据九宫格任意一行任意一列及两条对角线上的数之和相等，先由含三个已知数的对角线求出相等的和，再计算出第一行第一列的数，最后利用对角线的和相等列方程求解． 【详解】解：由题意可知，右上到左下的对角线经过中心方格，三个数分别为，，，可得任意行、列、对角线的和为：， 设第一行第一列的数为， ∵第一列三个数的和为， ∴， 解得， 左上到右下的对角线三个数为，，，和为， ∴， 解得． 9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 【答案】 【分析】首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴3和x中间的数为 ∴ ∴． 故答案为：． 10．如图，在长方形中，，．有一动点从点出发以的速度沿运动到点时停止．动点从点出发以的速度在线段上沿方向向点运动，，两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是．当________时，能使． 【答案】 或或 【分析】分两种情况讨论：①当点在上时，利用直角三角形斜边大于直角边的性质判断无解；②当点在上时，用含的代数式表示和的长，根据列出绝对值方程求解，并检验的取值范围． 【详解】解：由题意得，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 所以． 当时，点在上，点在上， 在中，． 因为，， 所以． 因为， 所以． 所以，即，不符合题意． 当时，点在上，点在上． 此时，两点都在线段上运动， 点运动的路程为，则，点运动的路程为，则． 因为， 所以． 所以． 由，得． 所以或． 即或． ①当时，或． 解得或． 因为， 所以舍去，符合题意． ②当时，或． 解得或． 因为， 所以和均符合题意． 综上所述，的值为或或． 三、解答题 11．2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱6组；双人合唱12组 【详解】本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x组，因为总组数是18组，所以单人独唱的组数就是组，再根据单人独唱每组1人，双人合唱每组2人，以及总共有30名学生参加比赛这一条件，列出方程求解． 【分析】解：设双人合唱有x组，则单人独唱有组，根据人数关系可列方程： ， ， ， 将代入，可得单人独唱的组数为（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组． 12．烟台市政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工作多少天？ 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天． 【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可． 【详解】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进米， 由题意得， 解得， ， （天）， 答：甲乙两个工程队还需联合工作10天． 13．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 14．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 15．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍 (2)成立；理由如下： 假设中间数为，则上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是， (3)不能 【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案； （2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是，然后再计算这五个数的和即可； （3）根据题意用未知数表示出框出个数，根据这个数的和为列出方程解答即可． 【详解】（1）解：     答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍． （2）略 （3）解：设中间数为． 答：在该月历上，是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数． 16．列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 【答案】(1)30 (2)3 【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进货花费列方程求解； （2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次多76.4元列方程求解，验证条件后得到m的值． 【详解】（1）解：设金桔盆栽的进价为x元， 由题意得， 解得， 设花店第一次进货购进金桔盆栽y盆，则购进花肥包， 由题意得， 解得． 答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30盆． （2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为（包），花肥售价为（元）， 第一次总利润为（元）， 第二次金桔盆栽进货数量为（盆），进价为元，第二次花肥进货数量为包，进价为2元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38包，单独售卖的花肥数量为（包）， 由题意得：， 整理得 ， 解得， 此时第二次花肥进货数量为，符合题意． 答：m的值为3． 17．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 譬如：某用户2月份用水，则应缴水费：(元)． (1)某用户3月用水应缴水费多少元？ (2)已知某用户4月份缴水费元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水(月份用水量超过5月份用水量)，共交水费元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)元； (2)； (3)5月份用水，6月份用水 【分析】（1）用水量超过，需分三段计算水费：不超过的部分、到的部分、超过的部分，将各段费用相加得到总水费． （2）先计算不同阶梯的费用上限，判断元对应的用水量区间，再设用水量为，根据阶梯计费规则列方程求解． （3）设5月份用水量为，则6月份为，结合6月份用水量超过5月份得，分三种情况讨论：①5月份用水量不超过；②5月份用水量在到之间；③5月份用水量超过，分别列方程求解后验证是否符合假设条件，舍去矛盾解． 【详解】（1）解：∵用户3月用水，根据阶梯收费标准分三段计算： 不超过的部分费用为(元)， 到的部分费用为(元)， 超过的部分费用为(元)， ∴总水费为(元)． 答：该用户3月应缴水费元． （2）解：当用水量为时，水费为(元)； 当用水量为时，水费为(元)． ∵用户4月缴水费元，， ∴该用户4月用水量在到之间． 设该用户4月用水量为，根据题意列方程：， 解得：． 答：该用户4月份的用水量为． （3）解：设5月份用水，则6月份用水， 分三种情况讨论： ①若，则， 5月份水费为元， 6月份水费为元， 根据总水费列方程：，解得， ，与假设矛盾，故该情况不成立． ②若，则， 5月份水费为元， 6月份水费为元， 根据总水费列方程：，解得． 此时6月份用水量为，满足题意，符合条件． ③若，则，不满足月份用水量超过5月份用水量． 答：该户居民5月份用水，6月份用水． 18．【方法指导】在学习绝对值时，老师通过绝对值的几何意义，拓展了数轴上任意两点之间的距离公式，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离为：． 【问题解决】如图，在数轴上，点A表示，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，线段的长为 ；线段的长为 ； (2)当为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ (3)在点Q出发后到达点B之前，求为何值时； (4)当t为何值时，P、Q两点间的距离 【答案】(1)4，5 (2)当时，、两点相遇，相遇点所对应的数为11 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据题意表示出点和点表示的数，进而求出时点和点表示的数，再根据两点距离计算公式即可； （2）根据题意表示出点和点表示的数，然后当、两点相遇时列出方程求解即可； （3）根据题意表示出，的长度，然后根据列方程求解即可； （4）首先表示出的长度，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：动点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ，． （2）解：动点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得， 相遇点所对应的数为， 当时，、两点相遇，相遇点所对应的数为11． （3）解：点表示的数为，点表示的数为， ，， 当时，， 解得或， 当点Q到达点B时，， 解得， ∴或都符合题意， 综上，或； （4）解：点表示的数为，点表示的数为， ， 当时，则， 解得或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 实际问题与一元一次方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元一次方程的应用之古代问题 题型2 一元一次方程的应用之销售问题 题型3 一元一次方程的应用之方案问题 题型4 一元一次方程的应用之配套问题 题型5 一元一次方程的应用之工程问题 题型6 一元一次方程的应用之行程问题 题型7 一元一次方程的应用之数字问题 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 题型9 一元一次方程的应用之几何问题 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实际问题、一元一次方程、等量关系、建模、行程问题、配套问题、检验。 1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世界的有效模型。 2. 掌握行程、工程、销售、配套、方案选择等常见实际问题的基本数量关系。 3. 能运用解一元一次方程的方法求解实际问题，并验证解的合理性。 4. 经历“审题—设未知数—找等量关系—列方程—求解—检验”的全过程，培养分析问题、解决问题的能力。 学习重点：分析实际问题中的数量关系，找等量关系列出一元一次方程，并正确求解。 学习难点：准确理解题意，找出隐含的等量关系（特别是行程中的相遇、追及问题，以及方案选择问题），以及对求得的解根据实际意义进行取舍。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 实际问题与一元一次方程 1.列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 【易错提醒】 列方程解应用题易错警示：审题设未知数，找等量关系。注意单位统一，解方程后检验是否符合实际（如人数、长度为正）。避免漏解或多解，答案要带单位。勿混淆“增加”与“增加到”。 即时即练1．（2025·陕西榆林·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗） 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 3．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 题型1 一元一次方程的应用之古代问题 【例1】列一元一次方程解应用题：我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问车有几何？”其意思是：“每车坐3人，空出来2车；每车坐2人，9人没车坐，问车有多少辆？” 【例2】《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽，又三家合取一鹿，恰尽”．问：有多少户人家？大意为：有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完，问共有多少户人家？ 【技巧归纳】 用现代数学翻译古文：设未知数，根据“多、少、倍、半、相等”等词列方程。如“今有物不知其数，三三数之剩二”可列x=3a+2。注意单位换算（斤、两、尺）。解方程后，用古语或现代单位作答，检验是否符合题意。通常为一次方程。 【变式1-1】相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 【变式1-2】《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？” 译文：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？请解答上述问题． 题型2 一元一次方程的应用之销售问题 【例3】随着打印技术越来越成熟，家用打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元． (1)设每台乙型打印机为元，则每台甲型打印机为 元(用x表示)． (2)若购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 【例4】试根据图中信息，解答下列问题： (1)购买5根跳绳需_____元，购买15根跳绳需_____元． (2)小红比小明多买3根，付款时小红反而比小明少9元，请求出小红购买跳绳的根数． 【技巧归纳】 关键公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，售价=标价×折扣。设进价、售价或折扣为x，根据利润关系列一次方程。注意“打几折”即乘0.几。单位统一。若含税费，利润=售价×(1-税率)-进价。解后检验合理性。 【变式2-1】小张开了一家皮鞋店，为尽快出售，小张决定将皮鞋打折销售．若每双皮鞋按标价的4折出售将亏40元，而按标价的8折出售将赚40元． (1)请你算一算每双皮鞋的标价和进价各是多少元？ (2)该皮鞋改款后，小张又以同样的进价进货500件，若标价不变，按标价销售了300件后，剩下的进行大甩卖，为了尽快减少库存，又要保证盈利2万元，请你告诉小张最低能打几折？ 【变式2-2】某商店购进甲、乙两种型号的节能灯，若购买只甲型号节能灯和只乙型号节能灯共需元．其中甲、乙两种型号的节能灯的进价、售价如下表： 型号 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 乙型 (1)求甲、乙两种型号的节能灯的进价各是多少？ (2)第一次该商店购进甲、乙两种型号的节能灯共个，全部售完后总利润（利润售价进价）为元，求该商店甲、乙两种型号的节能灯分别购进多少只？ (3)第二次该商店购进了与第一次一样多的甲、乙两种型号的节能灯，由于两种节能灯的进价都比第一次优惠了，该商店准备对乙型节能灯进行打折销售，让利于客户，甲型节能灯售价不变，全部售完后总利润比第一次还多赚元，求乙型节能灯打了几折？ 题型3 一元一次方程的应用之方案问题 【例5】按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批排球和跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： A方案：买一个排球送一根跳绳； B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款． (1)若学校要购买排球50个，跳绳100根，则选择________方案更优惠 若学校要购买排球50个，跳绳300根，则选择________方案更优惠； (2)若学校要购买排球50个，跳绳x根（），请问购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多？ 【例6】“中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 【技巧归纳】 将两种方案费用表示为含x的一次式，令相等得临界值。根据x的范围选择最优方案。若比较大小，列不等式。注意分类讨论：如x为整数、分段计费。实际背景如租车、电话套餐、购物优惠。画数轴或表格辅助决策。解后验证端点值。 【变式3-1】学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【变式3-2】2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 题型4 一元一次方程的应用之配套问题 【例7】一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 【例8】今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 【技巧归纳】 设需配套的某物数量为x，根据比例关系列方程。如螺栓与螺母1:2配套，设生产螺栓x个，则螺母2x个。注意总数限制（如总人数、总材料）。或设分配人数，则产量=人数×效率。用比例式或方程表示配套关系，解出后验证是否符合题中比例。 【变式4-1】某车间每天能制作500个甲种零件，或250个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各1个配成1套产品．现要用30天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？ 【变式4-2】某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 题型5 一元一次方程的应用之工程问题 【例9】甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【例10】一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【技巧归纳】 将总工作量看作1，效率=1/时间。合作效率=各效率之和。设未知时间，列方程：部分工作量之和=1。如甲单独x天，乙单独y天，合作t天：t/x + t/y = 1。注意剩余工作量：已完成+未完成=1。解后检验时间是否为正。 【变式6-1】某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【变式6-2】哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 题型6 一元一次方程的应用之行程问题 【例11】小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【例12】A、B两地间相距，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，乙的速度为3千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，问：乙出发多长时间两人相遇？ 【技巧归纳】 基本公式：路程=速度×时间。相遇：相距距离=速度和×时间；追及：路程差=速度差×时间。设时间或速度为x，画线段图辅助。注意方向相向、同向，单位统一（小时/分钟）。若含往返，分段列方程。解后检验是否满足实际。 【变式7-1】甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【变式7-2】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 题型7 一元一次方程的应用之数字问题 【例13】一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ． 【例14】一个三位数，已知十位数字是，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是．设原三位数的百位数字是． (1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x的代数式表示） (2)列方程求解原三位数． 【技巧归纳】 设个位或十位数字为x，用10a+b表示两位数。根据数字关系（如调换位置、和、积）列方程。注意数位限制：首位不能为0，每位0-9。若设两位数为x，则十位=⌊x/10⌋。解后检验数字范围。也可表示三位数。方程组思想。 【变式7-1】将奇数至按照顺序排成下表： 记表示第行第个数，如表示第行第个数是． (1) ； (2)将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出个数中的最大数；若不能，请说明理由； (3)用、的式子表示 ； (4)若，求、的值． 【变式7-2】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等． (1)前4个台阶上的数的和是多少？ (2)第5个台阶上的数x是多少？ (3)试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数． 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 【例15】“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 【例16】在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【技巧归纳】 积分规则：胜场得分+平场得分+负场得分=总积分。设胜x场，平y场，负z场，根据总场数列x+y+z=N，再积分方程。通常已知总场数和积分，可消去一个未知数。注意胜负场数非负整数。解后检验是否合理。常见于循环赛。 【变式8-1】为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【变式8-2】某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 64 D 10 10 40 (1)参赛者E说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由： (2)参赛者C答对了几道题？请你通过计算说明． 题型9 一元一次方程的应用之几何问题 【例17】如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 【例18】如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 【技巧归纳】 利用几何公式（面积、周长、角度）列方程。设未知边或角，根据图形性质（如内角和、勾股、相似）建立一次关系。注意单位一致。若为动点，设时间为t，用t表示线段长。解后检验边长>0，角度在范围内。画图标量。 【变式9-1】综合与探究 如图，在长方形中，，，动点从点开始，沿边向点以的速度运动；动点从点开始，沿边向点以的速度运动．点同时开始运动，当点到达点时，点和点同时停止运动，用表示运动的时间． (1)当点在边上运动时，为何值，使得？ (2)当为何值时，等于长方形周长的？ (3)当点Q在上运动时，且点与点的距离为3时，直接写出的值． 【变式9-2】如图1，在长方形中，．点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以的速度沿方向运动到点C停止，连接、；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒，的面积为．    (1)当时，_________；当时，_________． (2)当点P和点Q相遇时，求t的值． (3)当时，用含t的代数式表示S． (4)如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接，当以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的时，直接写出t的值． 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 【例19】某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【例20】我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12的部分 a元/ 超过12但不超过20的部分 元/ 超过20的部分 元/ (1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示） (2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示） (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示） 【技巧归纳】 阶梯计价：分段计算，每段单价不同。设用水/用电量为x，先判断所在区间，总费用=前段费用+本段费用。列方程时，若已知总费用，先假设x在某一阶梯，解出后验证是否在该区间内。注意每个阶梯的基数和单价。可用分段函数思想。 【变式10-1】为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 【变式10-2】小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 一、单选题 1．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 2．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 3．农历“三月三”即将来临，某传统文化小组计划做一批“绣球”，如果每人做个，那么可比计划多做个；如果每人做个，那么将比计划少做个，该文化小组计划做多少个“绣球”？若设该文化小组计划做个“绣球”，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么恰好空出一间房．设共有客人x人，根据题意可列出的方程是（     ） A． B． C．7x+7＝9（x﹣1） D．7x﹣7＝9（x+1） 5．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是∶．学校给每个班级发放根红色跳绳和根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______根． 7．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 8．把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 10．如图，在长方形中，，．有一动点从点出发以的速度沿运动到点时停止．动点从点出发以的速度在线段上沿方向向点运动，，两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是．当________时，能使． 三、解答题 11．2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 12．烟台市政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工作多少天？ 13．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 14．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 15．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 16．列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 17．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 譬如：某用户2月份用水，则应缴水费：(元)． (1)某用户3月用水应缴水费多少元？ (2)已知某用户4月份缴水费元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水(月份用水量超过5月份用水量)，共交水费元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？ 18．【方法指导】在学习绝对值时，老师通过绝对值的几何意义，拓展了数轴上任意两点之间的距离公式，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离为：． 【问题解决】如图，在数轴上，点A表示，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，线段的长为 ；线段的长为 ； (2)当为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ (3)在点Q出发后到达点B之前，求为何值时； (4)当t为何值时，P、Q两点间的距离 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $